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Fundamentos da Matemática
PROF. VLAMIR TEIXEIRA
2º SEMESTRE LETIVO: 2013
2
ÍNDICE
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS ...............................................................................................
2. INTERVALOS........................................................................................................................
3. EXERCÍCIOS.........................................................................................................................
5. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E REVISÃO GERAL – PROPRIEDADES BÁSICAS
DA ÁLGEBRA: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVIS.........................
4. EXERCÍCIOS........................................................................................................................
5. POTENCIAÇÃO ..................................................................................................................
6. RADICIAÇÃO ......................................................................................................................
7. RACIONALIZAÇÃO............................................................................................................
8. EXERCÍCIOS........................................................................................................................
9. CÁLCULO LGÉBRICO........................................................................................................
10. POLINÔMIOS .....................................................................................................................
11. EXERCÍCIOS........................................................................................................................
12. FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS.......................................................................
13. EXERCÍCIOS........................................................................................................................
14. EQUAÇÃO E SISTEMA DO 1º GRAU..............................................................................
15. EXERCÍCIOS.......................................................................................................................
16. EQUAÇÃO DO 2º GRAU..................... .............................................................................
17. EXERCÍCIOS......................................................................................................................
18. A TRIGOOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO..................................................
19. MEDIDAS DE ÂNGULOS E ARCOS; GRAUS E RADIANOS......................................
21. EXERCÍCIOS.....................................................................................................................
22. SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO.....................................................
23. LEI DOS SENOS................................................................................................................
3
24. LEI DOS COSSENOS..................................................................................................
25. EXERCÍCIOS...............................................................................................................
26. POTENCIAS E EXPONENCIAS DE BASE e..........................................................
27. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS..................................................................................
28. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS.................................................................................
29. EXERCÍCIOS.............................................................................................................
30. NÚMEROS COMPLEXOS.........................................................................................
31. COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA................................................................
32. COMPLEXOS NA FORMA POLAR..........................................................................
33. COMPLEXOS NA FORMA EXPONENCIAL..........................................................
34. EXERCÍCIOS...............................................................................................................
35. BIBLIOGRAFIA...........................................................................................................
4
CONJUNTOS NUMÉRICOS I) Números Naturais Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... } Quando for representar o Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N. N = { 1 , 2 , 3 , ... } II) Números Inteiros Pertencem ao conjunto dos números inteiros, os números negativos e também os Números Naturais. Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... } N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... }
Z = { ... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }
N Z
→ Inteiros não nulos são os números inteiros, menos o zero. Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z. Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...} → Inteiros não positivos são os números negativos incluindo o zero. Na sua representação deve ser colocado _ ao lado do Z. Z_ = {..., -3, -2, -1, 0} → Inteiros não positivos e não nulos são os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z. Z*_ = {..., -3, -2, -1} → Inteiros não negativos são os números positivos incluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z. Z + = { 0,1 ,2 ,3, 4,...} O Conjunto Z + é igual ao Conjunto dos N
Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z
5
→ Inteiros não negativos e não nulos são os números do conjunto Z+, excluindo o zero. Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z. Z* + = {1, 2, 3, 4,...} O Conjunto Z* + é igual ao Conjunto N* III) Números Racionais → São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.
Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }
Esses números tem a forma b
a com a , b Z e b ≠ 0.
→ Números decimais exatos são racionais
4
3
100
7575,0
4
1
100
2525,0
10
33,0
→ Números decimais com expansão infinita periódica são racionais. São dízimas periódicas simples ou compostas:
........2555,090
23
.........363636,011
4
.......333,03
1
08,0100
81008
........666666,113
35335
4,05
252
6
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.
Q = {x =b
a, com a Z e b Z*}
→ subconjuntos de Q: Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. Q
* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.
Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero. Q- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero. Q
*+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos.
Q
*- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos.
→ Representação Geométrica
IV) Números Irracionais → São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0. São compostos por dízimas infinitas não periódicas.
Exs: = 3,141592654... no número pi, após a virgula, não existe formação de períodos, por isso é
considerado irracional.
3 = 1,73205... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não
formam períodos), então é irracional. A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula.
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V) Números Reais → É a reunião (união) do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, .... Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..... Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4, Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592....
Resumindo:
Intervalos : Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos. Intervalo fechado nos extremos a e b:
bxaRxba /,
Intervalo fechado em a e aberto em b:
bxaRxba /,
Intervalo aberto em a e fechado em b:
bxaRxba /,
Intervalo aberto em a e b:
bxaRxba /,
Temos também:
axRxa /,
bxRxb /,
Exercícios resolvidos 1) Represente na reta real os intervalos: a) [1;7] b) [3;9[ Note que não inclui o ponto 9.
8
2) Sendo A=[1;7] e B=[3;9[, determine os conjuntos abaixo: a) A ∩ B Analisando as retas abaixo, constatamos que a intersecção entre A e B é dada pela área compreendida entre 3 e 7. Logo: A ∩ B = [3;7] b) A U B Novamente analisando as retas, constamos que a união entre A e B é dada pela área compreendida entre 1 e 9, não contando 9, pois [3;9[ Logo: A U B = [1;9[ Exercícios: 1) Represente na reta real os seguintes intervalos: a) ]−3;4] b) [1;4]
c) [2;+∞ [ d) ]−∞;1] 2) Sendo A=]−1;3] e B=[3;5[, determine: a) A ∩ B b) A U B 3) Sendo A=[1;4] e B=]−1;2], determine: a) A U B b) A ∩ B
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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Adição e Subtração + + = + + – = – – + = – – – = + Na soma de dois números inteiros com sinais iguais, o valor absoluto será a soma das parcelas, e o sinal será o mesmo das parcelas. Exercício Resolvido: (+ 5) + (+ 4) = + 9 (− 5) + (− 4) = − 9 Na soma de dois números inteiros com sinais diferentes, o valor absoluto será a diferença das parcelas e o sinal será o da parcela de maior valor absoluto. Exercício Resolvido: (−5) + (+ 4) = − 1 A Soma de dois números inteiros opostos é ZERO. Exercício Resolvido: (+ 10) + (- 10) = 0
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Multiplicação ( + ) . ( + ) = ( + ) ( + ) . ( – ) = ( – ) ( – ) . ( + ) = ( – ) ( – ) . ( – ) = ( + ) Produto de dois números inteiros com sinais diferentes. (+5) × (– 2) = –10
(−4) × (+ 3) = −12 Produto de dois números inteiros com sinais iguais. (+ 8) × (+5) = + 40
(– 6) × (– 15) = + 90 Divisão ( + ) ÷ ( − ) = ( − ) ( – ) ÷ ( + ) = ( – ) ( + ) ÷ ( + ) = ( + ) ( – ) ÷ ( – ) = ( + ) Observações: • Não existe divisão por zero. Exemplo: 15 ÷ 0, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja 15. → Quociente de dois números inteiros com sinais iguais.
Exercício Resolvido:
(– 60) ÷ (– 10) = + 6
(+ 60) ÷ (+ 10) = + 6
→ Quociente de dois números inteiros com sinais diferentes.
Exercício Resolvido:
(–45) ÷ (+5) = – 9
(+45) ÷ (–5) = – 9
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Potenciação de Números Reais
Número inteiro no expoente
16
81
2
3
3
2)4
251
5
1
5
5
1)3
64
1
4
14)2
4
1
2
1
2
12)1
:
1
44
2
222
3
3
2
22
2
1
Exercícios
aa
Propriedades da potenciação → Multiplicação de potências de mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.
5432432
9432432
52323
777.7.7)3
101010.10.10)2
555.5)1
:
.
Exercícios
aaa yxyx
→ Divisão de potências de mesma base: “conservar a base e subtrair os expoentes”.
7823)8()2(3823
23535
3
3
35252
4444:4:4)3
666:6)2
33
1
3.3.3.3.3
3.3,,333:3)1
:
:
sejaou
Exercícios
aaa yxyx
12
→ Potência de potência
124.343
84.242
.
222
333
yxyx aa
→ Multiplicação de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e multiplicar as bases”.
222
5555
273.9
24)6.4(6.4
)(.
xxx abba
→ Divisão de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e dividir as bases”.
444
55
555
7321
3
2
4
6)46(46
)(
xxx baba
Exemplos:
1) 2³ = 2.2.2=8
2) 10101
3) 10101
4) 4
1
2
12
2
2
5) 1064 aaa
6) 2222
2 134
3
4
7) 3663232 2222
8) 9
4
3
2
3
22
2
2
9) 6422 632
10) 9333 212212
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Radiciação
Dada a seguinte expressão:
raizx
índicen
radicandoa
radicalxan
* Quando n=2, a raiz n-ésima chama-se raiz quadrada, quando n=3, chama-se raiz cúbica, quando n=4 chama-se raiz quarta, etc.
Raízes exatas
Aplicando o uso da fatoração para o cálculo de raízes. Exemplo 1
12144123.2.2144 222 édequadradaraiz
1
3933
39
24218
236
24272
2144
144
2
2
2
Fatorando
Exemplo 2
25625255.5625 22 édequadradaraiz
1
52555
525
5255125
5625
625
2
2
Fatorando
14
Exemplo 3 Qual a medida da aresta de um cubo que possui volume igual a 729 cm³?
9
729
729
729
)(:
:
3
3
3
x
x
x
xxx
xxxLcubodoVolume
xAresta
A medida da aresta de um cubo que possui 729 cm³ de volume é igual a 9 cm. Raízes não-exatas As raízes que não possuírem como resultado um número inteiro positivo, terá como resultado um número irracional. Exemplo 1 Simplifique o seguinte radical:
80
54522
52280
22
22
queTemos
Exemplo 2
353575 2 Exemplo 3
76732252 22
Outros exemplos:
a) 3 27 3
b) 25 5
c) 4 não existe
d) 3 27 - 3
d) 9 3
e) 9 3
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Propriedades da Radiciação:
pn pmn m
n mn
m
mm
aa
aa
aa
b
a
b
a
baab
)5
)4
)3
)2
.)1
Exemplos:
2444)9
.6.6.6)8
6.66.666)7
2242
8
2
82:8)6
4222.22.2)5
3
2
9
4
9
4)4
124.316.916.9)3
44)2
3999)1
2 12
1
12 43 4 43 4
44 14 44 55
4
4 2444
444
23 63 423 43 2
39 3
2 18 4
aaa
Racionalização Existem frações cujo denominador é irracional. Como:
, , Para facilitar os cálculos, é conveniente transformá-las em uma outra, equivalente, de denominador racional.
16
1º Caso:
2
2
2
2
2
1
2
1
22
1
anteracionalizFator
2º Caso:
6
3
32
3
3
3
32
1
32
1
332
1
anteracionalizFator
3º caso:
3 23 2
3 3
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
33
3 2
3
22
22
2
22
22
22
2
2
2
2
2
2
22
2
anteracionalizFator
4º Caso:
2323
23
23
23
23
1
23
1
2323
1
anteracionalizFator
5º Caso:
22212
)12(2
12
12
12
2
12
2
1212
2
anteracionalizFator
17
Resolva:
1) 310
7
2) 5 32.3
4
3) 13
3
4) 3 2.2
a
5)
22
21
6) 6 2
2
ab
ba
7)
15
15
8) 3 2
8
9) 132
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Cálculo Algébrico Expressões Algébricas são aquelas que contém termos literais e numéricos 2ax² + bx
Variáveis são as partes literais das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido. 2ax parte numérica → 2 parte literal → ax Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações.
Sendo, x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão: x² + y
→ 1² + 2 = 3 Portando o valor numérico da expressão é 3.
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POLINÔMIOS Monômio: um termo onde a parte numérica e a literal estão ligados apenas por produtos. 4x Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. 4x + 2y → Neste caso temos um binômio. Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais iguais ( variáveis ) 2 x³ y² z e 3 x³ y² z → são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal. Adição e Subtração de expressões algébricas → Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z − 3x³ y² z = −x³ y² z → Convém lembrar das regras de sinais. → Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) =
= x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = = x³ + y² +3
Multiplicacão e Divisão de expressões algébricas → Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade distributiva. 1) a ( x + y ) = ax + ay 2) (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by → Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. x ( x ² + y ) = x³ + xy → Na divisão de potências de mesma base devemos conservar a base e subtrair os expoentes.
1) 4x² ÷ 2 x = 2 x 2) ( 6 x³ - 8 x ) ÷ 2 x = 3 x² − 4
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3) (x4 – 5x
3 + 9x
2 – 7x +2) ÷ (x
2 – 2x + 1) = x
2 – 3x + 2
[Resolução] Exercícios: 1) Calcule:
Exemplo: (3x² + 2x − 1) + (−2x² + 4x + 2) = 3x² + 2x – 1 − 2x² + 4x + 2 = x² + 6x + 1
a) (3a − 2b + c) + (−6a – b − 2c) + (2a + 3b − c)
b) (3x² − 1/3) − (6x² − 4/5)
c) (2ª − 3ab + 5b) − (−a – ab + 2b) 2) Efetue e simplifique:
Exemplo: (2x + 3).(4x + 1) = 8x² + 2x + 12x + 3 = 8x² + 14x + 3
a) (2a + 3b).(5a − b)
b) (x − y).(x² − xy + y²)
c) (3x − y).(3x + y).(2x − y) 3) Simplifique:
Exemplo: xyyx
yx2
5
102
23
a) 2
23
2
8
ab
ba
b)
a
aaa
2
824 23
c) 32
23
6
18
yx
yx
4) O valor da expressão a³ − 3a² x² y², para a = 10, x = 3 e y = 1 é: 5) Se A = (x − y)/xy, x = 2/5 e y = 1/2, então A é igual a:
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Fatoração Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores. Ex: ax + ay = a.(x + y) Fator Comum em evidência Dado o polinômio: ax + ay → Colocamos o fator comum “a” em evidência. Forma fatorada = a.(x + y) Exemplos: a) bx + by − bz = b.(x + y − z) b) 2x
2 – 4xy = 2x(x – y)
c) 12ax
2z + 24axz
2 – 12a
2xz = 12axz.(x + 2z – a)
d) (a + b)x + (a + b)y = (a + b).(x + y) e) x
3 + 2x
2 – x = x.(x
2 + 2x – 1)
Fatoração por agrupamento Como por exemplo: ax + ay + bx + by Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência: a.(x + y) + b.(x + y) Agora o polinômio possui um novo termo em comum → (x + y) e colocando-o em evidência: (x+y).(a+b) Portanto: ax + ay + bx + by = (x + y).(a + b) Exemplo I:
2 3 3
. .
( 3) ( 3)
. . ( 3)
( 3).( )
x x ax a
F C x e a
x x a x
Novo F C x
Forma fatorada x x a
Exemplo II:
2 2 3 3
2 2
2 3
2 3
2 2
. .
(2 ) (2 )
. . (2 )
(2 )( )
b ab c ac
F C b ec
b a c a
Novo F C a
Forma fatorada a b c
21
Fatoração por diferença de quadrados: Transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, e extraindo a raiz quadrada de cada quadrado. Exemplos:
a) a2 – b
2 = (a + b) . (a – b)
b) 16a2 – 1 = (4a + 1) . (4a – 1)
c) x2 – 9 = (x + 3) . (x – 3)
)]21).(21).[(41(
)41).(41(
161)
2
22
4
xxx
xx
xc
Repare que podemos fatorar a expressão duas vezes Fatoração do trinômio quadrado perfeito:
Os trinômios 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) a ab b e a ab b são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva
(a + b) e (a - b) ao quadrado.
(a + b)2 = a
2 + 2ab + b
2
(a – b)2 = a
2 – 2ab + b
2
Fatorando I: 4x
2 – 12xy + 9y
2
| |
24x
29y
| | 2x 3y |_____ ____| | 2.2x.3y = 12xy é igual ao segundo termo de 4x
2 – 12xy + 9y
2
Portanto é um trinômio do quadrado perfeito.
forma fatorada de 4x2 – 12xy + 9y
2 (2x – 3y)
2
22
Fatorando II: 4x
2 + 12xy + 9y
2
| |
24x
29y
| | 2x 3y |_____ ____| | 2.2x.3y = 12xy é igual ao segundo termo de 4x
2 + 12xy + 9y
2
Portanto é um trinômio do quadrado perfeito.
forma fatorada de 4x2 + 12xy + 9y
2 (2x + 3y)
2
Exemplo I:
a) x2 – 10x + 25 =
[Solução] → (x – 5)2
b)16x2 + 24xy + 9y
2 =
[Solução] → (4x + 3y)2
Exemplo II:
2
2
2 2
2
) 3 6 3
. . 3
3( 2 1)
( 2 1), ( 1)
:
3( 1)
a x x
F C
x x
Agora temos um trinômio do quadrado perfeito
Fatorando x x teremos x
Então
x
4 2
4 2
4 2 2 2
2 2
) 25 100
. . 25
25.( 4 )
( 4 ), ( 2 ).( 2 )
:
25.( 2 ).( 2 )
b a b
F C
a b
Agora temos um quadrado da soma pela diferença
Fatorando a b teremos a b a b
Então
a b a b
23
Exercícios Exemplos: ax + 2a = a(x + 2) a² − b² = (a + b)(a − b) a² − 4ab + 4b² = (a − 2b)² 2x² − 2 = 2(x² − 1) = 2(x + 1)(x − 1) Fatore, colocando os fatores comuns em evidência: a) 3ax − 7ay =
b) x³ − x² + x =
c) x³y² + x²y² + xy² =
d) a²b² − ab³ =
e) a² + ab + ac + bc =
f) x² − b² =
g) x² − 25 =
h) 169
22 yx =
i) x² + 4x + 4 =
j) a² + 6ab + 9b² =
l) 144x² − 1 =
m) ab + ac + 10b + 10c =
n) 4a² − 4 =
o) x³y − xy³ =
p) x² + 16x + 64 =
q) 2x² + 4x + 2 =
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Equação e sistema do 1º grau
Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.
Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro. Exemplos:
I) 2x – 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 V = {9}
II) 3 – 7.(1 − 2x) = 5 – (x + 9)
3 – 7 + 14x = 5 – x – 9
14x + x = 5 – 9 – 3 + 7
15x= 0 x = 0 V= {0}
Exercícios
1) Resolva as seguinte equações: a) 2x – 3 = 17
b) 4x + 7 = x − 8
c) 3 − 7(1 − 2x) = 5 − (x − 9)
d) 2(2x + 7) + 3 (3x − 5) = 3(4x + 5) − 1
e) 12
53
8
1
6
32
xxx
f) 6
1
3
12
4
xxx
g) 4
22
3
2 xxx
25
2) Resolva os seguintes sistemas:
a)
123
102
yx
yx
b)
14
1032
yx
yx
c)
7
3
5
2
7
yx
yx
d)
9)2(5)1(8
4)2(3)1(5
yx
yx
3) Problemas com sistemas já montados: a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os coelhos? [Solução] x + y = 23 2x + 4y = 82 b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma? [Solução] x + y = 25 x – y = 13 c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números? [Solução] x + y = 50 x = 2y – 1 d) Duas pessoas ganharam, juntas, 50 reais por um trabalho e uma delas ganhou 25% do que a outra. Quanto ganhou cada pessoa? [Solução] x + y = 50 x = 1/4y e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e duas canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapiseira? [Solução] x = 2y x + 2y = 30
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Equação do 2º Grau 2x + 1 = 0, o expoente da variável x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau. 2x² + 2x + 6 = 0, temos duas variáveis x nesta equação, onde uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau. x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, onde o maior expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau.
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, onde a é o coeficiente do monômio de grau 2, b é o coeficiente do monômio de grau 1 e c é o termo independente.
Exemplos: Equação a b c
x²+2x+1 1 2 1
5x-2x²-1 -2 5 -1
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b = 0 x² − 9 = 0 x² = 9
x = 9
x = 3 V = {+3, −3}
2º caso: c = 0 x² − 9x = 0 Basta fatorar o fator comum x x.(x − 9) = 0 x = 0 e x – 9 = 0 x = 9 V = {0, 9}
3º caso: b = c = 0 2x² = 0 x = 0 V = {0} Fórmula de Bháskara:
2.
bx
a
onde: 2 4. .b a c
27
Exemplo I: Vamos determinar pelo método de Bhaskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3.
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆) ∆ = b² – 4.a.c ∆ = (–2)² – 4.1.(–3) ∆ = 4 + 12 ∆ = 16 2º passo
}3,1{
12
2
2
42''
32
6
2
42'
2
42
1.2
16)2(
.2
V
x
x
x
x
a
bx
Exemplo II: Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0. Os coeficientes são: a = 1 b = 8 c = 16 ∆ = b² – 4ac ∆ = 8² – 4 × 1 × 16 ∆ = 64 – 64 ∆ = 0
}4{
42
08''
42
08'
1.2
08
.2
V
x
x
x
a
bx
28
Exemplo III: Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau. ∆ = b² – 4.a.c ∆ = 6² – 4 × 10 × 10 ∆ = 36 – 400 ∆ = –364
V = { } ou → vazio
Duas raízes reais e diferentes
Duas raízes reais e iguais
Nenhuma raiz real
Exercícios: 1) Complete o quadro conforme o exemplo:
Equação Coeficientes
a b c 6x² − 3x + 1 = 0 6 −3 1 −3x² = 5/2 + 4x y² = 5y 6x² = 0
2) Determine as raízes das seguintes equações: a) x² − 3x + 2 = 0
b) 2y² − 14y + 12 = 0
c) −x² + 7x – 10 = 0
d) 5x² − x + 7 = 0
e) y² − 25 = 0
f) x² − 14
= 0
g) 5x² − 10x = 0
h) 5 + x² = 9
i) 7x² − 3x = 4x + x²
j) z² − 8z + 12 = 0
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Trigonometria no triângulo Retângulo
O triângulo é a figura mais simples e uma das mais importantes da Geometria, ele é objeto de estudos desde os povos antigos. A soma dos ângulos internos do triângulo totaliza 180º e de acordo com o tamanho de seus lados pode ser classificado da seguinte forma: Equilátero: possui os lados com medidas iguais. Isósceles: possui dois lados com medidas iguais. Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes. Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser denominados: Acutângulo (Agudo): possui os ângulos internos com medidas menores que 90º e maiores que 0.º Obtusângulo(Obtuso): possui um dos ângulos com medida maior que 90º e menor que 180º. Ângulo reto: possui um ângulo com medida igual a 90º. Uma importante relação no triângulo retângulo é o Teorema de Pitágoras.
2 2 2hipotenusa cateto cateto
As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.
Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.
senoB = b/a cossenoB = c/a tangenteB = b/c
senoC = c/a
cossenoC = b/a tangenteC = c/b
A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia, Física, Geometria, Navegação entre outras.
30
Medida de ângulos e arcos
Numa circunferência de centro O e raio r, temos dois pontos A e B, os quais dividirão a circunferência em dois arcos. Caso as extremidades A e B sejam coincidentes, temos um arco com uma volta completa.
O arco AB e de um ângulo central representado por α.
med(AÔB) = med(AB). O comprimento de um arco depende do valor do ângulo central. Medidas em Grau A circunferência é um arco de 360º com o ângulo central medindo uma volta completa, ou seja, 360º.
Medidas em Radianos Dada a circunferência de centro O e raio R, com um arco de comprimento s e α o ângulo central do arco.
O arco mede um radiano quando o comprimento do arco for igual à medida do raio. Então, devemos calcular quantos raios da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco. Portanto:
Podemos destacar uma regra de três para converter as medidas dos arcos.
medida em graus
medida em radianos
x α
180 π
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Exercícios Resolvidos de conversões: a) 270º em radia b) 5π/12 em graus
2
3
180
270
270180
180
270
o
o
o
o
x
x
x
75
12
900
12
5.180.
12
5
180
Seno de um ângulo O segmento OR’ será o seno de PR.
Cosseno de um ângulo O segmento OR’ será o cosseno de PR.
Tangente de um ângulo A tangente de um arco é dada por um terceiro eixo que paralelo ao eixo Y (eixo dos senos). Prolongando o raio da circunferência até o eixo das tangentes, definimos que se x є 1ºQ, Tgx = AR > 0
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Lei dos senos Em casos envolvendo triângulos quaisquer (triângulos não retângulos) utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos no intuito de calcular medidas e ângulos desconhecidos.
→ Fórmula que representa a lei dos senos:
Na lei dos senos utilizamos relações envolvendo o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo. Exercício Resolvido 1: Determine o valor de x no triângulo a seguir. [Solução]
100x c
senB senA senC
100
120º 45º
x
sen sen
Sen 120º = sen(180º – 120º) = sen 60º = √3/2 ou 0,865 Sen 45º = √2/2 ou 0,705
100
60º 45º
100
0,866 0,707
0,707. 0,866.100
86,6
0,707
122,5
x
sen sen
x
x
x
x
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Exercício Resolvido 2 No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de x.
[Solução]
Aplicando a lei dos senos
90
45º 30º
90
0,707 0,5
0,5 0,707.90
63,63
0,5
127, 26
x
sen sen
x
x
x
x
Lei dos cossenos
Exercício Resolvido 1 Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:
Descobrindo o valor do terceiro ângulo do triângulo. α + 105º + 45º = 180º α + 150º = 180º α = 180º – 150º α = 30º
[Solução]
a = 7, b = x e c = 3
a² = b² + c² – 2 * b * c * cosӨ
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º 49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5 49 = x² + 9 – 3x x² –3x – 40 = 0
34
Resolvendo a equação do 2º grau, por Bháskara temos: x’ = 8 e x” = – 5 Por se tratar de medidas descartamos x” = – 5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.
Exercício Resolvido 2 Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A. Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.
O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º. Exemplo 3 Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.
[Solução]
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5
2 2 2 2. . .cosa b c a c x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * cos 60º x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5) x² = 125 + 50 x² = 175 √x² = √175 x = √5² * 7 x = 5√7 Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.
[Solução]
Aplicando a lei dos cossenos
a = 7, b = 6 e c = 5
a² = b² + c² – 2 * b * c * cosӨ
7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A 49 = 36 + 25 – 60 * cos A 49 – 36 – 25 = –60 * cos A –12 = –60 * cos A 12 = 60 * cos A 12/60 = cos A cos A = 0,2
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