FRAÇÕES
Podemos concluir que o surgimento do
número fracionário veio da necessidade de
representar quantidades menores que
inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro,
mas se comermos um pedaço, qual seria a
representação numérica que esse pedaço e
o resto do bolo representaria? Foi a
necessidade de criar uma representação
numérica para as partes de um inteiro que
proporcionou o surgimento dos números
fracionários.
Fração é a representação da parte de um
todo (de um ou mais inteiros), assim,
podemos considerá-la como sendo mais uma
representação de quantidade, ou seja, uma
representação numérica, com ela podemos
efetuar todas as operações como: adição,
subtração, multiplicação, divisão, potenciação,
radiciação.
Dessa forma, toda fração pode ser
representada em uma reta numerada, por
exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um
inteiro foi considerada apenas a sua metade,
portanto, podemos dizer que em uma reta
numerada a fração 1/2 estará entre os
números inteiros 0 e 1.
Por ser uma forma diferente de representação
numérica, a fração irá possui uma
nomenclatura específica e poderá ser escrita
em forma de porcentagem, números decimais
(números com vírgula) e números mistos.
NOMENCLATURA
• As frações possuem dois tipos de representação,
uma geométrica (desenho) e outra na forma de
expressão matemática. É importante lembrar que
fração é uma representação da parte de um todo.
Para termos uma representação fracionária
devemos primeiramente constituir todo o inteiro.
• Sabendo que uma fração deve ser representada
por um numerador e um denominador, fica fácil
compreendermos a sua nomenclatura. A leitura
de uma fração irá depender do seu denominador.
• A nomenclatura de uma fração pode ser
dividida em dois grupos:
– o primeiro compreende os denominadores
iguais a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000.
– o segundo compreende os denominadores que
não pertencem ao primeiro grupo, como 12,
20, 51.
• Para denominadores iguais a 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 100, 1000, a leitura das frações
fica da seguinte forma:
• Segundo grupo: considerando que o
denominador seja qualquer outro número,
acrescentamos na sua leitura a palavra
“avos”.
Tipos de Fração
• Fração própria
Toda fração que for considerada própria
deverá ser menor que um inteiro, ou seja, seu
numerador é menor que seu denomi-
nador. Ex: 5
8
• Fração imprópria
As frações impróprias são maiores que um
inteiro, ou seja, o seu numerador é maior que
o denominador. Ex: 11
8
• Fração aparente
Fração aparente é um tipo de fração imprópria,
sendo que os numeradores são múltiplos dos
denominadores, ou seja, ao dividirmos o
numerador pelo denominador iremos obter
valor inteiro como resposta. Ex: 16
8
• Fração misto
Toda fração imprópria pode ser escrita na
forma de número misto. Esse tipo de número
é formado por uma ou mais partes inteiras
mais uma parte fracionária. Ex: 19
8 = 2
3
8
• Fração irredutível
Fração irredutível é a fração onde o numerador
e o denominador são primos entre si, não
permitindo simplificação. Ex: 7
3
• Fração Unitária
É a fração cujo numerador é igual a 1 e o
denominador é um inteiro positivo. Ex: 1
3
• Fração Composta
É a fração cujo numerador e o denominador
são frações. Ex: 1
3 /
2
5
• Fração Algébrica
É a fração onde no denominador há uma
incógnita. Ex: 3
𝑥 −1
• Fração Equivalentes
Dizemos que uma fração é uma parte de um
inteiro que pode ser representada
geometricamente ou numericamente.
Podemos dividir o inteiro em diversas partes,
as quais representarão quantidades diferentes
e outras que representarão uma mesma
quantidade.
No caso de frações diferentes que representam a
mesma quantidade, damos o nome de frações
equivalentes. A única condição para que existam
frações equivalentes é que elas pertençam ao
mesmo inteiro.
Ex:
Para identificarmos se duas ou mais frações
são equivalentes, basta aplicarmos os
princípios de simplificação conhecidos, isto é,
dividir o numerador e o denominador pelo
mesmo número, reduzindo a fração à forma
irredutível. Se as formas irredutíveis forem
idênticas, dizemos que as frações são
equivalentes.
SIMPLIFICAÇÃO
Simplificar uma fração consiste em reduzir o
numerador e o denominador através da divisão
pelo máximo divisor comum aos dois números.
Uma fração está totalmente simplificada quando
verificamos que seus termos estão totalmente
reduzidos a números que não possuem termos
divisíveis entre si. Uma fração simplificada sofre
alteração do numerador e do denominador, mas
seu valor matemático não é alterado, pois a
fração quando tem seus termos reduzidos se
torna uma fração equivalente.
• Exemplos:
Ou você pode simplificar a fração uma única vez.
Para isso, você deve identificar o máximo divisor
comum aos dois termos.
Portanto, para que uma fração se torne irredutível,
devemos dividir o numerador e o denominador pelo
maior divisor comum ou realizar a simplificação por
partes. Lembre-se de que toda fração irredutível
possui inúmeras frações equivalentes.
REDUÇÃO DE FRAÇÃO AO MESMO DENOMINADOR
• Podemos transformar duas frações que
representam quantidades diferentes de um mesmo
inteiro, por exemplo, 1
2 e
2
5 em frações com
denominadores iguais. Esse processo é conhecido
como redução de fração ao mesmo denominador.
• Para reduzir as frações 1
2 e
2
5 ao mesmo
denominador devemos encontrar as frações
equivalentes a cada uma delas, ou seja, frações
diferentes, mas que representam a mesma
quantidade.
• Para 1
2 temos:
1
2 =
2
4 =
3
6 =
4
8 =
5
10
• Para 2
5 temos:
2
5 =
4
10 =
6
15
• Como as frações equivalentes a 1
2 e
2
5 foram
encontradas levando em consideração o
mesmo inteiro, podemos dizer que as
frações 1
2 e
2
5 transformadas em um mesmo
denominador ficariam respectivamente
iguais a 5
10 e
4
10.
• Uma maneira mais prática de reduzir as frações
ao mesmo denominador é encontrar o mínimo
múltiplo comum (menor múltiplo comum) dos
números que representam os denominadores, por
exemplo: As frações 3
20 e
5
6 possuem os números
20 e 6 como denominadores e o menor múltiplo
comum (mmc) entre eles é 60. Assim, o
denominador comum das frações 3
20 e
5
6 será 60.
• Depois de encontrar o “novo denominador” temos
que dividi-lo pelo “antigo” e multiplicar o resultado
pelo numerador, devemos fazer sempre esse
processo, pois se mudamos o denominador temos
que encontrar um numerador proporcional.
• Depois de encontrar o “novo denominador”
temos que dividi-lo pelo “antigo” e multiplicar
o resultado pelo numerador, devemos fazer
sempre esse processo, pois se mudamos o
denominador temos que encontrar um
numerador proporcional.
Comparação de frações
• Podemos comparar frações utilizando a
representação numérica através de algumas
técnicas e propriedades. Comparar significa
analisar qual representa a maior (>) ou menor
(<) quantidade ou se elas são iguais (=).
• 1ª Situação
Quando os denominadores são iguais, basta
compararmos somente o valor dos numeradores.
1
2 <
3
2 ou
3
5 >
2
5
• 2ª Situação
Quando os denominadores são diferentes,
devemos realizar operações no intuito dos
denominadores se tornarem iguais. Quando
eles se tornam iguais aplicamos as
definições da 1ª situação. O processo que irá
transformar os denominadores em valores
iguais é o de redução, visto anteriormente.
Por exemplo: 5
6 e
8
3
• As frações dadas possuem denominador 6
e 3, respectivamente. Vamos multiplicar os
membros da 1ª equação por 3 e multiplicar
os membros da 2ª equação por 6. Veja:
5∶3
6∶3 =
15
18 e
8∶6
3:6 =
48
18
• Note que: 48
18 >
15
18 ou seja,
8
3 >
5
6
• Observe que multiplicamos os membros da
1ª equação pelo denominador da 2ª
equação e os membros da 2ª equação pelo
denominador da 1ª equação.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
• As operações de adição e subtração com fração
dependem unicamente do denominador, ou seja,
dependem da quantidade de partes que um
inteiro foi dividido. Podendo ser iguais ou
diferentes, assim diferenciando a resolução.
• Quando os denominadores forem iguais devemos
somar ou subtrair as partes consideradas dos
numeradores e conservar as partes dos
denominadores.
1
5+
3
5=
4
5 ou
3
4−
2
4=
1
4
• Quando os denominadores forem diferentes é
preciso torná-los iguais antes de resolver a
operação de adição ou subtração, utilizando
as técnicas que a redução de uma fração ao
mesmo denominador. É preciso que
encontremos o mmc de 5 e 7 que é o 35. logo
encontraremos as respectivas frações
equivalentes com as quais efetuamos a soma:
2
5+
4
7=
35:5 .2
35+
35:7 .4
35=
14
35+
20
35=
34
35
• Na operação de subtração o processo é o
mesmo, só irá diferenciar-se ao operar.
MULTIPLICAÇÃO
• A multiplicação é uma operação básica que
surge para simplificar a soma de parcelas
iguais. A operação da multiplicação é
aplicada a qualquer conjunto numérico, dos
Naturais aos Reais. No caso dos racionais,
principalmente os números fracionários, a
multiplicação deve ser utilizada respeitando
algumas regras básicas: multiplicar
numerador por numerador e denominador
por denominador.
• Na multiplicação de números fracionários,
é valido o jogo de sinal entre os fatores.
Observe tabela de jogo de sinais:
(+) . (+) ou (-) . (-) resulta em valor (+)
(+) . (-) ou (-) . (-) resulta em valor (-)
• Observe que multiplicação de sinais iguais
dá positivo e multiplicação de sinais
diferentes dá negativo!
• Você também pode simplificar a fração
antes de iniciar as contas ou mesmo após
terminá-las.
• Exemplos:
1.2
5.
3
4=
2.3
5.4=
6
20=
3
10
2.(−1)
3.
4
7=
(−1).4
3.7=
−4
21
3.8
2.
11
3=
4
1.
11
3=
4.11
1.3=
44
3
4.7
9.
4
5=
7.4
9.5=
28
45
5.(−2)
15.
8
(−3)=
(−2).8
15.(−3)=
−16
−45=
16
45
DIVISÃO
• A resolução da operação de divisão envolvendo
frações pode ser resolvida de forma simples. Basta
lembrar que o quociente de duas frações é o
produto da primeira pelo inverso da segunda.
• Exemplos:
1.2
5:
11
5=
2
5.
5
11=
2.5
5.11=
10
55=
2
11
2.(−3)
8:
7
2=
(−3)
8.
2
7=
−3 .2
8.7=
−6
56=
−3
28
3.(−12)
3:
(−5)
11=
(−12)
3.
11
(−5)=
−12 .11
3.(−5)=
−132
−15=
132
15=
44
5
POTENCIAÇÃO
• A potenciação de frações algébricas utiliza o
mesmo processo das frações numéricas, o
expoente precisa ser aplicado ao numerador
e ao denominador, considerando o valor do
denominador diferente de zero. Após o
desenvolvimento da potenciação, se for o
caso, simplifique a fração.
• Ex: (2
3)2 =
22
32 = 2.2
3.3=
4
9
• O exemplo anterior trata-se de uma fração
numérica. No entanto para frações
algébricas o raciocínio é o mesmo.
Ex:
1. (2𝑎
5𝑏)2 =
2𝑎 2
5𝑏 2 =22.𝑎2
52.𝑏2 =2.2 . 𝑎.𝑎
5.5 . 𝑏.𝑏=
4𝑎2
25𝑏2
2. (𝑎+𝑏
3𝑎)−2 = (
3𝑎
𝑎+𝑏)2 =
3𝑎 2
𝑎+𝑏 2 =32.𝑎2
𝑎+𝑏 . 𝑎+𝑏=
9𝑎2
𝑎2+2.𝑎.𝑏+𝑏2
FRAÇÃO E PORCENTAGEM
• A palavra porcentagem apresenta
ligações estreitas com a ideia de fração,
uma vez que significa partes de 100. Ora,
se é parte de um todo então é uma fração.
Vamos compreender melhor a relação
entre porcentagem e as frações.
• Definição de porcentagem: Se x é um
número real, então x% representa a
fração 𝑥
100.
• Ou seja:
5% = 5
100; 32% =
32
100; 78% =
78
100
e assim por diante.
• Como a porcentagem pode ser escrita na
forma de fração, podemos realizar
facilmente cálculos que envolvam essas
ideias. Veremos alguns exemplos de como
isso pode ser feito.
• Exemplo 1: Sabe-se que 55% dos
estudantes de uma sala são do sexo
feminino. Como na classe há 40
estudantes, quantas meninas há nessa
sala?
Solução: 55% = 55
100
55
100.40 =
55.40
100=
2200
100= 22
Logo, há 22 meninas na sala.
• Além disso, podemos escrever a
porcentagem na forma decimal, também a
fim de facilitar os cálculos na resolução de
problemas.
• Exemplos:
25% = 0,25
30% = 0,3
16% = 0,16
217% = 2,17
1154% = 11,54
E assim por diante.
PROBLEMAS ENVOLVENDO NÚMEROS FRACIONÁRIOS
• A maneira como resolvemos uma situação
problema é sempre a mesma, o que pode ser
diferente é a estratégia de resolução, pois cada
uma delas envolve um conteúdo diferente.
• Levando em consideração os problemas
matemáticos que envolvem números
fracionários, podemos utilizar como estratégia
na sua resolução a construção de figuras que
representem os inteiros ou partes deles
(fração).
• Veja o exemplo de situação problema
envolvendo números fracionários.
Uma piscina retangular ocupa 𝟐
𝟏𝟓 de uma área
de lazer de 300m2. A parte restante da área de
lazer equivale a quantos metros quadrados?
Resolução: Considere o retângulo abaixo como
sendo a área de lazer completa.
• Para representarmos 2/15 (área ocupada
pela piscina) na região retangular que está
representando a área de lazer, basta dividir
esse retângulo em 15 partes iguais e
considerar apenas duas como sendo
ocupadas pela piscina.
• Observando a figura acima percebemos
que a fração que irá corresponder à parte
restante da área de lazer é 13/15, dessa
forma:
13
15. 300 =
13.300
15=
3900
15= 260
Logo, a área de lazer restante é de 260m2.
E UM ÓTIMO DOMINGO!
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