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Física 1Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Cinemática Unidimensional
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Outline
1 Referencial
2 Movimento Uniforme
3 Movimento Acelerado
4 Derivada
5 MRUV
6 Integral
7 Queda Livre
8 Exercícios
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Cinemática
Para descrever o movimento precisamos primeiramente escolher um referencial(observador), que será representado aqui pelos eixos cartesianos. Devemostambém escolher a origem.
Descrever o movimento significa dizer em que posição o objeto estará emqualquer instante de tempo, queremos determinar o vetor posição r t .O vetor r t pode ser escrito em termos de suas componentes:
r t x t y t z t k
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Chamamos de vetor deslocamento da partícula entre os instantes t1 e t2 ovetor
r r t2 r t1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 k
e definimos o vetor velocidade média como a razão entre o vetordeslocamento e o intervalo de tempo necessário para realizar o deslocamento
vmed t1 t2r
t
r2 r1t2 t1
Qual é a direção do vetor vmed t1 t2 ?
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Movimento Uniforme
O Movimento Uniforme se caracteriza pelo fato de quepercursos iguais ( r) são realizados em intervalos de temposiguais. Pela definicão de velocidade vmed t1 t2
r
tvemos que
ela não varia:
v t v0
Como r v0 t ‹ r é um vetor constante ‹ MovimentoRetilíneo.Sabendo o vetor posição em um instante inicial, r t0 , e avelocidade v0, podemos obter o vetor posição em qualquerinstante de tempo:
v v0r
t
r t r t0
t t0
r t r t0 v0 t t0
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Movimento Uniforme
Lei Horária do MRU
r t r t0 v0 t t0
Como o movimento é retilíneo, é conveniente escolher a direçãode um dos eixos coincidente com a direção do movimento:
v0 v0
r t x t
como x t x0 v0 t t0
r t x0 v0 t t0
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Gráficos - MU
Uma forma bastante prática de se visualizar o movimento éatravés de gráficos
Graficamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta nográfico x t
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Gree
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Gráficos - MU
Como vx
t
x2 x1t2 t1
,
Podemos ter velocidades positivas ou negativas:
Se x2 x1 ‹ movimento no sentido crescente de x ‹ v 0
Se x2 x1 ‹ movimento no sentido decrescente de x ‹ v 0
Como ficaria o gráfico x t ?
Quanto maior a inclinação maior a velocidade.
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Movimento Acelerado (ainda retilíneo)
Qualquer Movimento Retilíneo que não seja uniforme(v constante) é chamado acelerado.
Da definição de vmx
tvemos que, graficamente, ela representa
o coeficiente angular da corda que liga os extremos P1 e P2 dacurva no gráfico x t .A velocidade média entre t1 e t2 é equivalente à velocidade de ummovimento uniforme de uma partícula que saindo de x1 em t1chegasse em x2 no instante t2.
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Exemplo
Um carro percorre 10 km a 50 km/h até que a gasolina acaba. Omotorista caminha então 4 km em meia hora até um posto.a) Qual a velocidade média desde que entrou no carro até oposto?b) Se, depois disso, o motorista traz o combustível de volta em35 min, qual a velocidade média desde o instante em que entrouno carro até o retorno ao posto?c) Faça o gráfico da posição x em função do tempo.
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Tr = Daft←at
tueho 1 ; sabemos D ki e J,
tech 2 : Sabena Dkz e Dtz
bktot = lot 4 km
Dttot = Bt , + Dtz
Btr = Dye = ! = 0,2k
Dttot = 0,2+0,5 i 0,7 h
I = I = so kmlh0,7
Note que a I ± union
das velocidades V, t Vz
= got 8
- 2-= Zq
2
I = Dktot= DR , + D kz + A k
) D rkz = - D k }÷be At
, + Dtz + Bt }
Dttot = 0.7 + 0.58 = e . z 8h →I = I. = 7 's hlh
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Movimento Acelerado
Suponha que um carro percorra 400km em linha reta em 10horas. ‹ vm 40km h .
Essa informação descreve bem o movimento?
‹ Precisamos do conceito de velocidade instantânea
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Velocidade Instantânea
A velocidade média dá apenas uma noção de como a partícula se desloca numdado intervalo de tempo, porém se quisermos uma informação mais precisatemos que definir a velocidade instantânea da partícula, no instante t ,como sendo o limite da razão entre x e t quando t 0.
v t limt 0
x
tlimt 0
x t t x t
t
dx
dt
Lê-se: A velocidade instantânea no instante t é a derivada da posição emrelação ao tempo neste instante.
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Velocidade Instantânea
Se mantivermos o ponto P fixo e considerarmos intervalos detempo cada vez menores, vemos que a direção da secante entre osdois instantes de tempo, vai se aproximando à direção datangente no instante t
A velocidade instantânea é o coeficiente angular da reta tangenteà curva do gráfico x t .
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Exemplo
Uma pedra é lançada do topo de um prédio. Suponha que afunção posição seja dada por x t 5t2, onde x está em metros et em segundos. A origem do eixo x está no topo do prédio e seusentido positivo é para baixo. Determine a velocidade da pedraem função do tempo durante o qual ela está caindo.
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Gráfico
Podemos obter o gráfico de v t a partir do gráfico x t .
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Propriedades das Derivadas
A Derivada de uma função constante é nula.
x t 4dx
dtlimt 0
x t1 x t0
t1 t0limt 0
4 4t1 t0
0
A derivada da função que é igual à variável independente t éigual a 1.
x t t
dx
dtlimt 0
x t1 x t0
t1 t0limt 0
t1 t0
t1 t01
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Propriedades das Derivadas
A Derivada da função tn , é nt
n 1
x t t2
dx
dtlimt 0
x t t x t
t
x t t t2
t2 2t t
dx
dtlimt 0
t2 2t t
t2t
x t t4 dx
dt4t3
x t1t4 t
4 dx
dt4t 5 4
t5
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Propriedades das Derivadas
A Derivada das somas das funções é igual à soma dasderivadas
x t t3
t2
t 5dx
dt3t2 2t 1 0
A Derivada de atn , onde a é uma constante, é ant
n 1
x t 3t2 dx
dt6t
x t 6t2 3t3 dx
dt12t 9t2
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Exemplo
Uma partícula move-se ao longo do eixo x de modo que suaposição varia com o tempo de acordo com
x t 8 9t 2t3
(posição em m e tempo em s)a) Escreva o vetor posição da partícula em qualquer instante detempo. E no instante t 2s.
b) Qual a velocidade da partícula em qualquer instante detempo? E no instante t 3s?
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a) with posiyao Fe ( t ) = sect ) I =(8t9t. 2t3 ) i
X ( t=2s ) = ( 8 + l8 - ie ) I = to T m
b ) Flt ) = DI = D= I
dt dt
D= = 9 -6+2
Ict ) = ( 9 -6+2 ) I
v. ( t =3 s ) = (9-54) i = -45 i ms
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Exercícios
1 Uma partícula se move ao longo do eixo x de acordo comx 50t 10t2 (x em m, t em s). Obtenha:
1 A vm durante os 3 primeiros segundos2 A velocidade instantânea v em t 3s3 Faça o gráfico x t e indique como a vm e a v podem ser obtidas4 Faça o gráfico v t
2 O gráfico abaixo representa o movimento de um automóvelem uma estrada retilínea. Esboce o gráfico v t
correspondente e indique os intervalos em que ele se move (a)para a frente, (b) para trás e (c) o intervalo em que está parado
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Aceleração
Uma outra grandeza importante no estudo da cinemática é aaceleração, que descreve como a velocidade varia com o tempo.Definimos a aceleração média
am t1 t2v
t
v2 v1
t2 t1
e a aceleração instantânea
a limt 0
v
tlimt 0
v t t v t
t
dv
dt
Aceleração instantânea é a derivada da velocidade em
relação ao tempo
adv
dt
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Aceleração
Como vdx
dt‹ a
dv
dt
d
dt
dx
dt
d2x
dt2
Aceleração instantânea é a derivada segunda da posição emrelação ao tempo
ad
2x
dt2
Ex: Uma partícula move-se ao longo do eixo x de modo que suaposição varia com o tempo de acordo com
x t t3 27t 4
(posição em m e tempo em s) . Qual a aceleração em t 2 s?Em que instante a velocidade é nula?
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Caso Particular - Aceleração Constante - MRUV
Aceleração instantânea é igual à aceleração média ‹ Gráficov t é uma reta.
av
tescolhendo t1 0 e v1 v0 temos a
v v0t 0
Equação da velocidade para o MRUV
v v0 at
Verifique que dv
dta
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MRUV - Variação da posição em função de t
vx
t‹ x x0 vt
Como a é constante ‹ vv0 v
2 (Demonstre)
Substituindo v v0 at nessa:
vv0 v0 at
22v0 at
2 v012at
Substituindo na eq. para x
Equação horária do MRUV
x x0 v0t12at
2
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MRUV
Equações fundamentais do MRUV
x x0 v0t12at
2v v0 at
Eliminando o tempo entre elas, obtemos a chamada equação deTorricelli
v2
v20 2a x
que permite determinar, o módulo da velocidade ao fim de umdeslocamento, a partir apenas do módulo da velocidade no iníciodo deslocamento, sem saber o tempo decorrido.
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Gráficos do MRUV
x x0 v0t12at
2 ‹ O gráfico x t é uma parábola.
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Exercícios
Um motorista freia seu carro uniformemente de forma que avelocidade cai de 60 km/h para 30 km/h em 5s. Quedistância o carro percorrerá depois disso até parar? Quantotempo levará para percorrer essa distância adicional?
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72
6an
os
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Queda Livre
Um exemplo bastante comum de MRUV é a queda livre de umapartícula próxima à superfície da Terra.Esse é o movimento de uma partícula com velocidade inicialvertical; ela realiza um movimento retilíneo com aceleraçãoconstante apontando para baixo e de módulo g 9 8 m s
2 (emboa aproximação).Portanto, escolhendo como eixo do movimento, um eixo verticalOY apontando para cima, obtemos ay g , de modo que asequações fundamentais da queda livre são
Equações de queda livre
y y0 v0yt12gt
2vy v0y gt
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Exercícios
H 2.54 Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, umcarro parte com aceleração constante a 2 2 m/s2. No mesmoinstante, um caminhão, com velocidade constante de 9,5 m/s,ultrapassa o automóvel.
1 A que distância após o sinal, o carro ultrapassará ocaminhão?
2 Qual a velocidade do carro nesse instante?
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Exercícios
H 2.83 Um paraquedista salta e cai livremente por 50 m. Emseguida o paraquedas se abre e ele desacelera a 2,0 m/s2. Quandochega ao solo, sua velocidade é de 3,0 m/s.
1 Quanto tempo o paraquedista fica no ar?2 De que altura ele saltou?
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H 2.68 Um modelo de foguete é lançado verticalmente e sobecom uma aceleração constante de 4,00 m/s2, por 6,00 s. Seucombustível então acaba e ele passa a mover-se como umapartícula em queda livre.
1 Qual a altura máxima atingida pelo foguete?2 Qual o tempo total decorrido desde o lançamento até sua
queda na Terra?
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Obtenção de x t a partir de v t
Vimos como obter v t a partir de x t e a t a partir de v t .Queremos agora fazer o processo inverso: Obter o espaçopercorrido x t2 x t1 a partir de v t .Vamos começar usando o MRU: v constante ‹ v v v0
v v0x
tx x t2 x t1 v0 t
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IntegralVamos considerar uma função v t qualquer. Dividimos o intervalo de tempoem vários intervalos pequenos de larguras t1 t2 , de forma a poderconsiderar v v .
x t2 x t1i
vi ti
x t2 x t1 limt 0
i
vi ti
t2
t1
v t dt
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Obtenção de x no MRUV
Para o MRUV, o gráfico de v t é uma reta. Podemos calcular a área sob acurva entre os instantes t1 e t2 para saber o espaço percorrido x nesseintervalo.
x v1 t12a t
2
escolhendo t1 0 e t2 t esta equação se torna x x0 v0t12at
2
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