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ESCOLA SECUNDÁRIA SÁ DE MIRANDA
Ficha de trabalho de Matemática
12º 4 e 5 Janeiro 2008
I – Definição de derivada de uma função num ponto e sua interpretação
geométrica
Se f é uma função real de variável real e a é a abcissa de um ponto do seu domínio
então a derivada da função para x = a é
!f a( ) = limx"a
f x( ) # f a( )x # a
e representa o
declive da tangente ao gráfico de f no ponto a,f a( )( ) .
A derivada de uma função num ponto representa também a taxa de variação
instantânea da função nesse ponto ( velocidade instantânea)
1. Determine a equação da recta tangente ao gráfico de cada uma das fuções
no ponto cuja abcissa é a indicada.
1.1. f x( ) =
3
x ! 2 para x = !1
1.2. f x( ) = 3! x para x = 1
1.3. f x( ) = ex para x = 3
1.4. f x( ) = 2 ! 5ln x +1( ) para x = 0
1.5. f x( ) = log
4x para x = 8
1.6. f x( ) = 2x2
! 5x + 4 para x = 3
2. O gráfico da função real de variável real g é tangente à recta de equação
y = 3x ! 5 no ponto de abcissa !2 . Qual o valor de g !2( ) e de
!g "2( )?
2
II - Função derivada
Chama-se função derivada de uma função f à função !f definida por
!f x( ) = limh"0
f x + h( ) # f x( )h
.
Notação:
!f x( ) =d
dxf x( )
3. Determine uma expressão para a função derivada de cada uma das funções
3.1. f x( ) = x
2
3.2. f x( ) = e
x
3.3. f x( ) = ln x
3.4. f x( ) = log
ax, com a !!
+ \ 1{ }
3.5. f x( ) = a
x, com a !!
+\ 1{ }
III - Derivadas laterais
Uma função diz-se derivável ou diferenciável num ponto do seu gráfico se e
só se a derivada existe e é finita, ou grficamente, existe tangente não vertical
ao gráfico da função.
Se f é derivável no seu domínio então é continua nesse domínio.
4. Se f é a função real de variável real definida por
f x( ) =3x ! 2 " x # 1
x2 " x < 1
$%&
'& determine :
4.1. !f 1
+( ) = !fd
1( ) .
4.2. !f 1
"( ) = !fe
1( ) .
5. Se g é a função real de variável real definida por
3
g x( ) =
1
x! x > 2
2 ! x = 2
x + 3! x < 2
"
#
$$
%
$$$
determine:
5.1. !g 1+( ) = !g
d1( ) .
5.2. !g 1
"( ) = !ge
1( )
6. Seja f a função real de variável real definida por
f x( ) =ax ! x > 3
bx2 ! x " 3
#$%
&%
6.1. Determine uma relação entre a e b de modo que f seja contínua para
x = 3 .
6.2. Calcule !f 3
+( ) e !f 3"( ) e indique, caso existam, os valores de a e b de
modo que f seja derivável para x = 3 , ou seja !f 3
+( ) = !f 3"( ) .
IV – Regras de derivação
• u ! v( )" = "u ! v + u ! "v
•
u
v
!"#
$%&'=
'u v ( u 'v
v2
• u
k( )! = k " uk#1
" !u
• e
x( )! = ex e e
u( )! = !u " eu
• a
x( )! = ax" lna e a
u( )! = !u " au" lna , a #!
+\ 1{ }
•
ln x( )! =1
x e lnu( )! =
!u
u
• log
ax( )! =
1
x " lna e log
au( )! =
!u
u " lna , a #!
+ \ 1{ }
• f ! g( )! x( ) = !f g x( )( ) " !g x( )
4
7. Determine a expressão da derivada de cada uma das funções reais de
variável real definidas por
7.1.
f x( ) = x ! ln x "1
x
7.2. g(x) =
ex!1
ex
7.3. h(x) = e
x!1
x
7.4.
a x( ) =x !1
x
"#$
%&'
e
7.5. b x( ) = ln x
2( )5
3
8. De duas funções reais de variável real f e g contínuas e deriváveis sabe-se
que :
• f 5( ) = f !1( ) = !2 " #f 5( ) = 7
• g 5( ) = 3 ! "g 5( ) = "g #2( ) = 4
Determine o valor de :
8.1. f ! g( )" 5( ) 8.2.
f
g
!"#
$%&'
5( )
8.3. f 3( )! 5( ) " g3( )! 5( ) 8.4.
g ! f( )! 5( )
8.5.
limx!5
x2" 7x +10
3f x( ) + 6
V – Derivadas infinitas em funções contínuas.
Chama-se cúspide ao ponto a,f a( )( ) do gráfico de uma função contínua f que
verifica
limx!a
+"f x( ) = +# $ lim
x!a%"f x( ) = %#&
'()*+, lim
x!a+"f x( ) = %# $ lim
x!a%"f x( ) = +#&
'()*+
5
9. Dadas as funções reais de variável real abaixo definidas calcule as
derivadas das funções nos pontos dados e interprete graficamente os
resultados.
9.1. Se f x( ) = 9 ! x
2 calcular !f 3
"( ) e !f "3
+( ) .
9.2. Se f x( ) = x
23 calcular !f 0
"( ) e !f 0
+( )
9.3. Se f x( ) = x ! 2( )3 +1 calcular
!f 2
"( ) e !f 2
+( )
VI – Derivadas infinitas em funções descontinuas – determinação gráfica
10. Para cada uma das funções representadas pelos seus gráficos, determine as
derivadas à esquerda e à direita do ponto de abcissa 3.
VII – Derivadas de segunda ordem
Se f é derivável em D, então chama-se segunda derivada de f à derivada da
função derivada
!!f x( ) =d
d2x
f x( )( ) = !f x( )( )!
11. Determina uma expressão da segunda derivada de cada uma das funções
reais de variável real definidas por:
11.1.
f x( ) =x
2 ! x( )3
11.2. g x( ) =
ln x
x
VIII – Extremos e monotonia de uma função. Pontos de inflexão e sentido das
concavidades do gráfico de uma função.
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Se f é uma função contínua num intervalo
a,b!" #$ e derivável em
a,b!" #$
!f x( ) > 0,"
x# a,b$% &'( f é crescente em a,b&' $%
!f x( ) < 0,"
x# a,b$% &'( f é decrescente em a,b&' $%
!f x( ) = 0,"
x# a,b$% &'( f é cons tan te em a,b&' $%
Se f é uma função contínua num intervalo
a,b!" #$ e duplamente derivável em
a,b!" #$
!!f x( ) > 0,"
x# a,b$% &'( o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em a,b&' $%
!!f x( ) < 0,"
x# a,b$% &'( o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em a,b&' $%
Se f é uma função contínua num intervalo
a,b!" #$ e duplamente derivável em
a,b!" #$
!f é crescente em
a,b!" #$ ! f tem a concavidade voltada para cima em a,b!" #$
!f é decrescente em
a,b!" #$ ! f tem a concavidade voltada para baixo em a,b!" #$
Chama-se ao ponto a,f a( )( ) ponto crítico de uma função f ao ponto do gráfico em
que a tangente é horizontal ( a derivada anula-se) ou não existe derivada. Num ponto
crítico de f :
Existe máximo local ou relativo igual a f a( ) se se verificam as condições -
!f x( ) > 0
num intervalo aberto imediatamente à esquerda de a e !f x( ) < 0 num intervalo aberto
imediatamente à direita de a.
Existe minimo local ou relativo igual a f a( ) se se verificam as condições -
!f x( ) > 0
num intervalo aberto imediatamente à direita de a e !f x( ) < 0 num intervalo aberto
imediatamente à esquerda de a.
Se f é contínua num intervalo contendo o ponto a,f a( )( ) e a concavidade muda neste
ponto diz-se que é um ponto de inflexão
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12. Na figura junta encontra-se o gráfico de !f , função
derivada de f.
12.1. Relacione o sinal de !f com a monotonia de f
12.2. Relacione a monotonia de !f com o sinal de !!f
12.3. Estude o sentido da concavidade de f
12.4. Sabe-se que !Df= 5,+"#$ #$ e
f 0( ) = 7 . Escreva a expressão analítica de
f.
13. Na figura junta encontra-se o gráfico de !f , derivada de f.
Complete a tabela e a partir desta construa um possível
gráfico de f.
x !" 1 2 3 +!
Sinal de !f
Monotonia de f -5 4 6
Monotonia de !f
Sinal de !!f
Concavidade de f -5 4 6
14. Observe o gráfico de !f , derivada de f.
14.1. Existirá !!f 1( )?. Justifique convenientemente a
sua resposta.
14.2. Estude a monotonia de f.
14.3. Diga justificando qual a abcissa do ponto de inflexão de f.
15. Da função f conhece-se unicamente o gráfico
da sua derivada !f . O eixo das abcissas é
tangente ao gráfico de !f .
15.1. Estude a monotonia de f.
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15.2. Qual o valor de !!f 2( )?
15.3. Justifique a afirmação: “ O gráfico de f tem a concavidade voltada para
baixo”
16. Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar.
17. Prove que sendo f uma função real de variável real e verificando-se que
limx!a
f x( ) " f a( )x " a
= k (finito) então
limx!a
f x( ) = f a( ) .
18. Na figura está representada parte do gráfico de uma função h de domínio
!
0
+
Em cada uma das figuras abaixo estão representadas parte dos gráficos de duas
funções reais de variável real de domínio !
0
+
Uma das funções representadas é !h , primeira derivada de h e a outra é !!h ,
segunda derivada de h.
Numa pequena composição explique em qual das figuras está representado o
gráfico de !h e de !!h . Na sua composição deverá estabelecer relaçõ~es entre
as características de h e os sinais de !h e !!h .
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