Curso de Engenharia de Controle e Automação Disciplina: Álgebra Linear Professor: Marcelo Cendron
Exercícios – Espaços vetoriais
Exercícios1. Verifique se os espaços abaixo são vetoriais:
a. O conjunto ℚ dos números racionais.
Resposta: Não é espaço vetorial. Não atende o axioma 6, pois não é fechado
na multiplicação. Exemplo 𝛼 = 2,3 𝑒 𝑢 = 1 3 ,então𝛼𝑢 = 2,33 ∉ 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑄
b. O conjunto ℚ! = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ}, com as operações usuais
Resposta: Não é espaço vetorial, idem anterior
c. O conjunto unitário {0}, com as operações usuais,
Resposta: É espaço vetorial
d. ℝ! = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 > 0} com as operações usuais,
Resposta: Não é espaço vetorial. Não atende o axioma 5, dado um vetor u =
(x), não existe um vetor –u = (-x)
e. O conjunto dos números complexos com parte real não negativa com as
operações usuais
Lembrando das operações usuais dos números complexos:
Soma: z1+z2=(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
Multiplicação:𝛽𝑧 = (𝛽𝛼 + 𝛽𝑏𝑖)
Resposta: Não é espaço vetorial. Não atende o axioma 5, dado um vetor u =
(a+ bi), um vetor –u = (-a - bi) não pertence ao conjunto de números
complexos com parte real não negativa
2. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as
operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) e
𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) por:
𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2), 𝛼𝑢 = (0,𝛼𝑢!)
a. Calcule 𝑢 + 𝑣 e 𝛼𝑢, com u = (-1, 2), v = (3, 4) e 𝛼 = 3
b. Explique por que V é fechado na adição e multiplicação por escalar
c. Como a adição de V é uma operação de adição padrão de ℝ! certos
axiomas de espaço vetorial valem para V por valerem em ℝ!. Quais são
esses axiomas
d. Mostre que valem os axiomas 7, 8 e 9
e. Mostra que o axioma 10 falha e que, portanto, V não é um espaço vetorial
com as operações dadas.
3. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as
operações de adição e multiplicação por escalar definidas em 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) e
𝑣 = (𝑣1, 𝑣2) por:
𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1 + 1, 𝑢2 + 𝑣2 + 1), 𝛼𝑢 = (𝛼𝑢!,𝛼𝑢!)
a. Calcule 𝑢 + 𝑣 e 𝛼𝑢, com u = (0, 4), v = (1, -3) e 𝛼 = 2
b. Mostre que (0, 0) ≠ 0
c. Mostre que −1,−1 = 0
d. Mostre que vale o axioma 5 fornecendo um par ordenado –u tal que u + (-
u) = 0 com 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2)
e. Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.
4. Nos exercícios a seguir, determine se o conjunto dado com as operações é um
espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que
falham:
a. O conjunto de todos os números reais com as operações padrão de adição
e multiplicação.
b. O conjunto de todos os pares de números reais da forma (x, 0) com as
operações padrão de ℝ!
c. O conjunto de todos os pares de números reais da forma (x, y) em que
𝑥 ≥ 0 com as operações padrão de ℝ!
d. O conjunto de todos os termos de números reais com operação padrão de
adição, mas com multiplicação por escalar definida por:
𝛼 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎!𝑥, 𝑎!𝑦, 𝑎!𝑧
e. O conjunto de todas as matrizes 2 x 2 da forma:
𝑎 00 𝑏
Com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
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