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Estudo Dirigido Elipse
1. Definição
Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertences a um plano . Elipse é o lugar geométrico de um ponto P, pertencente ao mesmo plano, que se move de maneira que a soma das distâncias do ponto P aos pontos F1 e F2 é sempre igual a uma constante.
d(P, F1) + d(P, F2) = k i
2. Principais Elementos da Elipse
Focos pontos F1 e F2
Centro ponto médio C do segmento
Vértices pontos A1, A2, B1, B2, de intersecção da elipse com os eixos
Eixo maior segmento , este segmento contém os focos
Eixo menor segmento , e perpendicular ao eixo maior no ponto C
Se , Do triângulo , teremos uma relação notável:
Medida da distância focal, Medida do eixo menor, Medida do eixo maior, ? (usaremos a definição da elipse para deduzi-la)
P
F1 F2
α
C F1 F2
A2 A1
B2
B1
a b
c
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2
Observe que , então pela definição temos:
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a i E se ,
d(A1, F1) = x e d(A1, F2) = x + 2c Então,
Desta maneira, deduzimos que a medida do eixo maior,
Uma importante característica da elipse é sua excentricidade, que é definida pela relação
e usualmente é representada pela letra e. Logo, temos:
Curiosidade: 1ª Lei de Kepler “Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol
ocupa um dos focos”. A maioria dos planetas tem órbitas aproximadamente circulares, o que significa dizer que
suas excentricidades estão perto de zero. Por exemplo, a órbita da Terra tem excentricidade 0,02, a de Jupiter 0,05, a de Marte 0,09, para citar apenas algumas. Mercúrio e Plutão, cujas órbitas elípticas têm excentricidades bem maiores, 0,21 e 0,25, respectivamente, constituem uma exceção à maioria dos planetas. O “campeão” de excentricidade no sistema solar parece ser o Cometa Halley com excentricidade 0,967 (quase 1) e leva aproximadamente 76 anos para dar uma volta em torno do Sol.
Cometa Halley
Júpiter Sol
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3. Equações Reduzidas
Com a finalidade de obtermos uma equação da elipse, teremos que referi-la ao sistema de eixos cartesianos. Iniciemos pelos casos mais simples.
Seja a elipse de centro C . Consideramos dois casos: 1º) O eixo maior está sobre Ox
Seja P um ponto qualquer da
elipse de focos F1 e F2 .
Pela definição, tem-se
ou
ou, em coordenadas
Como pela relação notável, tem-se , resulta
Dividindo ambos os termos da equação por , vem
que é a equação reduzida da elipse para este caso.
y
x
P(x, y)
F2(c, 0) F1(-c, 0)
A1 A2
B1
B2
C(0, 0)
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2º) O eixo maior está sobre Oy Com procedimento análogo ao 1º caso, com os
focos F1 e F2 , obteremos a equação
que é a equação reduzida da elipse para este caso.
Observação Como em toda elipse tem-se , para saber se a elipse tem o seu eixo maior sobre
ou sobre , basta observar onde está o maior denominador na sua equação reduzida. Se esse for denominador de , o eixo maior está sobre . Caso contrário, estará sobre .
Por exemplo, na equação reduzida
o maior denominador é 9. Como ele é denominador de , o eixo maior da elipse está sobre . No caso temos
e, portanto, as intersecções com os eixos são os quatro pontos e .
Observemos, por outro lado, que se na equação anterior
fizermos , vem e para , vem , o que confirma as intersecções com os eixos em e .
P(x, y)
(0, c)
(0, -c)
F1
F2
y
x
y
x
3
-3
-2 2
A2
B2 B1
C(0, 0)
A1
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Exemplos
Nos problemas 1 e 2, para cada uma das elipses, determinar a) a medida dos eixos; b) os focos; c) um esboço do gráfico; d) a excentricidade.
1)
a) Para expressar a equação para a forma reduzida, dividimos todos os termos da equação por 16
Maior denominador: 16. Logo, e o eixo maior da elipse está sobre o eixo Então, e e
b)
Logo, os focos são F1 e F2
c) Gráfico:
d)
2)
a) A forma reduzida desta equação é
Neste caso . Logo, não há eixo maior ou menor
4
-4
-2 2
F1(0, -√12)
F2(0, √12)
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Então,
e e
b)
Logo, os dois focos coincidem com o centro c) Gráfico:
d)
A circunferência pode ser considera uma elipse de excentricidade nula.
3) Uma elipse de centro na origem tem a medida do eixo menor igual a 6, focos no eixo e
passando pelo ponto . Determinar sua equação. Como os focos estão no eixo , a equação da elipse é do tipo
E como o eixo menor mede 6, isto é
E o ponto P pertence a elipse, as suas coordenadas devem verificar a equação
Logo, a equação procurada é
3
3 -3
-3
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4. Outras Formas da Equação da Elipse Seja uma elipse de centro . Consideraremos somente os casos de os eixos
da elipse serem paralelos aos eixos coordenados. 1º) O eixo maior é paralelo a Ox Utilizando uma conveniente
translação de eixos, obtemos um novo sistema em relação ao qual a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo . Logo, sua equação reduzida é
Para expressá-la em relação ao
sistema , utilizamos as fórmulas de translação de eixos
e
que substituídas na equação anterior, resulta
que é a forma padrão para este caso.
2º) O eixo maior é paralelo a Oy De modo análogo ao 1º caso, temos
Assim por exemplo, uma elipse que tem centro no ponto , eixo maior medindo 10
( , e eixo menor medindo 8 ( , apresenta a equação:
se A1A2 //
ou
se A1A2 //
Uma outra forma da equação da elipse será apresentada no próximo exemplo.
y’
y
P
F2 F1 y
k
h
x
O’ = C
x’
y’ A1 A2 x’
x O
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Exemplos
1) Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo , tem centro C , excentricidade
e eixo menor de medida 6. Obter uma equação desta elipse.
Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo , sua equação é da forma
com e Precisamos determinar e . Mas
e
Sendo
, vem
De , resulta
Donde . Logo a equação da elipse é
Se eliminarmos os denominadores, desenvolvermos os quadrados e ordenarmos os
termos, obteremos outra forma da equação da elipse:
que é uma equação geral desta elipse. Assim, qualquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos coordenados ou são paralelos a
eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma
com e de mesmo sinal. Em particular, quando esta equação poderá representar uma circunferência.
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2) Dada a elipse de equação , determinar: a) sua equação na forma padrão b) o centro c) a medida dos eixos
d) os focos e) um esboço do gráfico f) a excentricidade
Solução
a) Iniciemos escrevendo a equação na forma padrão
b) Como e são coordenadas do centro, da equação obtida, vem imediatamente:
C c) Como sabemos o valor de e , da equação obtida acima, temos:
e e
d) Para determinar os focos precisamos do valor de .
De
Logo, os focos são F1 e F2
e) Gráfico:
f)
(1, 4)
(1, 2)
(1, 0)
(-2, 2) (4, 2)
(1-√5, 2) (1+√5, 2)
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5. Equações Paramétricas Consideremos a elipse de equação
Tracemos a circunferência de centro O e raio
igual ao semi-eixo maior da elipse (Figura 12). Seja P um ponto qualquer desta elipse.
A reta que passa por P e é paralela ao eixo , intercepta a circunferência em A e o eixo em A’, e o raio AO determina com o eixo um ângulo .
Do triângulo vem
Como é abscissa de um ponto da elipse, a ordenada do mesmo ponto é calculada
substituindo o valor de na equação da elipse:
e
Observamos que para cada valor de corresponde um e um só ponto P da elipse, e
quando varia de a , o ponto P parte de e “descreve” a elipse na sentido anti-horário. Então, é o parâmetro e o sistema
constitui as equações paramétricas dessa elipse.
Figura 1
O
P
A
A’ a
b
y
x θ
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No caso da elipse ser
com eixo maior sobre , suas equações paramétricas são
Quando o centro da elipse for C , pela translação de eixos obtemos
ou
eixo maior paralelo a
e
ou
eixo maior paralelo a
Exemplo Obter as equações paramétricas da elipse de equação
Solução
Como e são coordenadas do centro, da equação obtida, vem imediatamente:
C
Como sabemos o valor de e , da equação obtida acima, temos:
(eixo maior sobre
Logo, as equações paramétricas procuradas são
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6. Exercícios Propostos
1) Determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas.
a) Vértices A e excentricidade
b) Vértices A e passando por P
2) Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas.
a) Focos F1 e F2 , e excentricidade
b) Centro C , um foco F e tangente ao eixo
3) Obter as equações paramétricas da elipse de equação
4) Obter uma equação geral da elipse dada por equações paramétricas
5) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade
viaja ao redor de um planeta situado em um
dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300 , calcular a maior distância.
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