Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra
Elaborada por: Larissa de Sousa Moreira e Cíntia da Silva Gomes
Orientada por: Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista
NOVEMBRO/ 2008
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Estudando Trigonometria com applets desenvolvidos no software GeoGebra
Esta apostila de atividades foi elaborada por Cíntia da Silva Gomes e Larissa de Sousa Moreira sob
orientação das professoras Gilmara Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista.
ATIVIDADE 1
1.1-Clique em “Triângulo Retângulo I” no menu. Observando o applet, anote o valor das razões
entre:
a) a medida do cateto oposto a α e a medida da hipotenusa: ab =
b) a medida do cateto adjacente a α e a medida da hipotenusa: ac =
c) a medida do cateto oposto a α e a medida do cateto adjacente: cb =
1.2- Mova o seletor k e observe, inicialmente, o triângulo. Mova, novamente, o seletor k e observe
as razões apresentadas. A seguir, anote o valor de:
a) ab = b)
ac = c)
cb =
1.3- Movimente o seletor correspondente ao ângulo α . Observe o triângulo e as razões.
Considere um determinado valor de e anote o valor de:
α =
a) ab = b)
ac = c)
cb =
1.4- Mantendo o mesmo valor de considerado no item 1.3, mova o seletor k, observe as razões
e anote seus valores:
a) ab = b)
ac = c)
cb =
1.5- Em um triângulo retângulo, do que depende o valor das razões entre seus lados?
______________________________________________________________________________
1.6- Marque as três caixas no applet e visualize o nome dessas razões.
3
Razões Trigonométricas
As razões consideradas na atividade 1 não dependem das medidas dos lados do triângulo
retângulo, e sim do ângulo agudo α. Estas são chamadas razões trigonométricas e cada uma
recebe um nome, conforme já visto no applet e mostrado, novamente, a seguir:
ab =
hipotenusadamedidaaopostocatetodomedida = sen α (lê-se seno de α)
ac =
hipotenusadamedidaaadjacentecatetodomedida
= cos α (lê-se cosseno de α)
cb =
aadjacentecatetodomedidaaopostocatetodomedida
= tg α (lê-se tangente de α)
1.7- No menu principal do applet, clique em Exibir e, a seguir, em Janela de álgebra (ativando-a).
Utilizando o campo de entrada (na parte inferior do applet), solicite e anote o valor de:
a) sen 47º (para tanto digite t = sin(47°)).
b) cos 18º (para tanto digite u = cos(18°)).
c) tg 31º (para tanto digite v = tan(31°)).
1.8- No menu principal do applet, clique em Exibir e, a seguir, em Janela de álgebra
(desativando-a). Movendo o seletor adequado, identifique:
a) um ângulo agudo cujo seno seja aproximadamente 0,34.
b) um ângulo agudo cujo cosseno seja aproximadamente 0,88.
c) o ângulo agudo cuja tangente é 1.
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Relações
As duas relações a seguir decorrem das razões trigonométricas:
a)
Para demonstrar essa relação vamos considerar o triângulo ABC a seguir e que
sen α = ab , cos α =
ac e tg α =
cb .
Dessa forma, temos que:
cossen
=
acab
= ab .
ca =
cb = tg α
b)
Para demonstrar essa relação vamos considerar o triângulo retângulo ABC abaixo.
A partir dele podemos afirmar que:
sen α = ab
, cos α = ac
;
a² = b² + c² (teorema de Pitágoras).
Dessa forma, temos que:
tg =
cossen
sen² α + cos² α = 1
5
sen² α + cos² α = 2
22
2
2
2
222
acb
ac
ab
ac
ab
Como a² = b² + c², podemos afirmar que:
12
2
2
22
aa
acb
Ou seja, sen² α + cos² α = 1, que é chamada de relação fundamental
1.9- Sem utilizar os recursos do applet, calcule tg x, sabendo que cos x = 54
( 0 < x < 90º).
ATIVIDADE 2
2.1- Clique em “Triângulo Retângulo II” no menu. Observando o applet, anote os valores das
razões trigonométricas, abaixo:
a) sen α =
b) cos α =
c) tg α =
d) sen β =
e) cos β =
f) tg β =
Compare os valores encontrados nos itens acima. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.2- Mova o seletor k, observe as razões e anote seus valores:
a) sen α =
b) cos α =
c) tg α =
d) sen β =
e) cos β =
f) tg β =
Compare os valores encontrados nos itens acima.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.3- Movimente o seletor correspondente ao ângulo α, observe o triângulo e as razões. Considere
um determinado valor de α, e anote o valor de:
α = β =
a) sen α =
b) cos α =
c) tg α =
d) sen β =
e) cos β =
f) tg β =
6
Compare os valores encontrados nos itens acima. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.4- Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens 2.1, 2.2 e 2.3. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Conclusão:
Se dois ângulos α e β são complementares (α + β = 90º), então:
2.5- Sem utilizar os recursos do applet, sabendo que sen (90° - a) = 21
, calcule tg a, sendo
0º < a < 90º.
ATIVIDADE 3
3.1- Clique em “Medidas de Ângulo” no menu (a medida do ângulo , que aparece na tela, está
com aproximação de uma casa decimal) e:
a) observando o applet, complete a tabela abaixo:
comprimento do arco medida do raio raiodomedidaarcodoocompriment
b) considerando a medida de do item anterior, movimente o seletor correspondente à medida do
raio e complete a tabela, para dois raios diferentes:
comprimento do arco medida do raio raiodomedidaarcodoocompriment
57,3º
sen α = cos β = ab cos α = sen β =
ac tg α =
tg1
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c) descreva o que você observou a partir da resolução dos itens a e b
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.2- No applet, marque a caixa que está ao lado dos seletores e observe o texto.
3.3- Altere a medida do ângulo , movendo o seletor correspondente. Para o valor de
consideradopreencha a tabela abaixo, utilizando três raios diferentes (para tanto, movimente o
seletor correspondente ao raio).
Comprimento do arco Medida do raio raiodomedidaarcodoocompriment
3.4- Considerando três valores diferentes para e uma medida fixa para o raio, preencha a
tabela abaixo:
Comprimento do arco Medida do raio raiodomedidaarcodoocompriment
3.5- Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens 3.3 e 3.4.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.6- Mova o seletor correspondente à medida do raio até obter raio = 1.
a) Compare o comprimento do arco com a sua medida em radianos.
______________________________________________________________________________
b) Altere a medida do ângulo , movendo o seletor correspondente. Compare novamente o
comprimento do arco com a sua medida em radiano.
______________________________________________________________________________
c) Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens a e b. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.7- Utilizando o campo de entrada do applet e observando a razão apresentada na tela, converta
para radianos a medida dos seguintes ângulos:
a) = 150º b) = 31º
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Conclusões:
1- Dado um ângulo central, é constante a razão entre o comprimento do arco determinado e a
medida do raio. Logo, podemos definir que a medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo central de uma circunferência e a medida do raio dessa circunferência. Sendo assim, quando o comprimento do arco for igual à
medida do raio, podemos afirmar que o ângulo central mede 1 radiano (1 rad).
2- Quando R = 1, a medida do ângulo central, em radianos, coincide com o comprimento do arco.
Conversão grau/radiano
Como o comprimento de uma circunferência é 2R (sendo R o raio), a medida em radianos
de um ângulo de 360º é dada por R
R2π , ou seja, 2 rad. A medida do ângulo central em graus é
diretamente proporcional a sua medida em radianos. Isto nos permite fazer a conversão de
unidades por meio de regra de três simples:
Medida em graus Medida em radianos
180
x α
Para 1 rad, temos:
180º ---- rad
x ---- 1 rad
x =
180 143
180,
º,357
9
3.8 Utilizando regra de três, complete a tabela abaixo:
Medida do ângulo em graus Medida do ângulo em radianos
45º
3
90º
3
75º
Tabela Trigonométrica
Ao longo da história, os matemáticos determinaram as razões trigonométricas por variados
processos. Com os valores encontrados foram construídas tabelas ou tábuas trigonométricas
para serem consultadas sempre que a resolução de um problema exigisse o conhecimento de
um desses valores. Atualmente, as calculadoras e os computadores permitem obter as razões
trigonométricas com várias casas decimais.
No estudo da Trigonometria, os ângulos de 30º, 45º e 60º são freqüentemente utilizados.
Para estes é comum utilizar os valores exatos das razões trigonométricas. O seno, o cosseno
e a tangente de 30º e 60º são obtidos a partir de um triângulo eqüilátero, e o seno, o cosseno
e a tangente de 45º, a partir de um quadrado. Para facilitar, colocamos estes valores na tabela
abaixo:
10
ATIVIDADE 4
4.1- Clique em “Circunferência Trigonométrica” no menu. Marque a caixa 1, leia atentamente o
texto correspondente e observe o applet. Repita o procedimento para as demais caixas,
executando as ações solicitadas.
4.2- Sem utilizar o applet, identifique os quadrantes da circunferência trigonométrica a que
pertencem as extremidades dos arcos cujas medidas são:
a) 18º d) 141º g) 3 rad
b) 6
rad e) 3
rad h) 4
5rad
c) - 5 rad f) –100º i) - 2 rad
4.3- Determine, em radianos, a medida dos arcos com origem em A e extremidades nos vértices
dos polígonos regulares inscritos nas circunferências trigonométricas abaixo.
a) b)
c)
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Função de Euler
Até aqui, o seno e o cosseno foram definidos para ângulos maiores que 0º e menores que
90º. Como esses ângulos podem ser medidos em radianos estão definidos o seno e o cosseno de
números reais maiores que zero e menores que 2
. Agora, vamos estender as definições
estudadas para todos os números reais.
Para isto imagine a circunferência trigonométrica C como um “carretel” no qual se enrola a
reta IR, de modo que o zero fique sobre o ponto (1, 0). Assim, a reta real está sendo imaginada
como um longo “fio”, que deverá ser enrolado no “carretel” considerado. Ao enrolar o “fio” no
“carretel”, este coincidirá com algum arco da circunferência.
Se convencionarmos que o zero da reta real estará no ponto (1, 0) e que, ao enrolar o “fio’
no sentido anti-horário ele representará um número positivo (no sentido horário o fio representará
um número negativo), poderemos associar o número real “1” (fio de comprimento 1) ao arco de
comprimento 1 e também ao ângulo que subentende esse arco de comprimento 1. Como o raio da
circunferência é unitário (mede 1 também), então cada arco de comprimento 1 mede 1 radiano,
assim como o ângulo que o subentende.
Dessa forma, conseguimos associar cada número real a um ângulo da circunferência. O
número 1 associa-se ao ângulo de 1 rad, o número 2 associa-se ao ângulo de 2 rad, o número
associa-se ao ângulo que mede rad, e assim por diante. O número 2 associa-se ao ângulo de
comprimento 2 , que coincide com o ponto inicial (lembre-se de que o comprimento da
circunferência unitária é 2 ).
Clique em “Função de Euler” no menu. Movimente o seletor e observe a
correspondência entre números reais e pontos da circunferência trigonométrica no intervalo de
[0, 2 ].
A maneira mais natural de definir as funções trigonométricas tem como ponto de partida a
função de Euler E: IR → C, cujo contradomínio é a circunferência C de raio 1 e centro na origem
do plano cartesiano. Esta função faz corresponder a cada numero real t o ponto E (t) = (x, y) da
circunferência unitária obtido do seguinte modo (LIMA1, 2001):
E (0) = (1, 0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um caminho de
comprimento t, sempre andando no sentido positivo. O ponto final do caminho será
chamado E (t).
Se t < 0, E (t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento |t|, que
parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo.
1 LIMA, E. L., Carvalho, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino Médio, v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 2001.
12
Sendo t um número real e P = E (t) na circunferência trigonométrica, defini-se
nesta circunferência:
sen t = ordenada de P;
cos t = abscissa de P.
P = (cos t, sen t)
ATIVIDADE 5
5.1- Clique em “Seno e Cosseno (sentido anti-horário)” no menu. Observe o applet. Altere a
medida do ângulo , movendo o seletor correspondente, e complete, corretamente, com > ou <,
os itens abaixo:
a) Considerando no primeiro quadrante:
sen ___ 0
cos ___ 0
b) Considerando no segundo quadrante:
sen ___ 0
cos ___ 0
c) Considerando no terceiro quadrante:
sen ___ 0
cos ___ 0
d) Considerando no quarto quadrante:
sen ___ 0
cos ___ 0
5.2- No campo de entrada digite = 0º, observe os valores de sen e cos que aparecem no
applet e preencha a coluna correspondente da tabela abaixo. Repita o procedimento, alterando os
valores de , de forma a preencher toda a tabela.
0º 90º 180º 270º 360º
sen
cos
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5.3- Movimente o seletor, observe o valor de sen e cos e responda:
a) Qual o valor máximo assumido pelo seno? E o mínimo?
b) Qual o valor máximo assumido pelo cosseno? E o mínimo?
Conclusão: O seno de um número real é a ordenada do seu ponto correspondente na circunferência
trigonométrica. Como os pontos de ordenadas positivas são os do 1º e os do 2º quadrante e os
pontos de ordenadas negativas são os do 3º e os do 4º quadrante, temos o seguinte quadro de
sinais para o seno:
O cosseno de um número real é a abscissa da extremidade desse arco. Como os pontos
de abscissas positivas são os do 1º e os do 4º quadrante e os pontos de abscissas negativas são
os do 2º e os do 3º quadrante, temos o seguinte quadro de sinais para o cosseno:
Como, para todo x IR temos sen x entre [-1, 1]. Então o valor mínimo para sen x é -1 e o
máximo é 1. O mesmo ocorre para o cos x.
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5.4- Identifique a quais quadrantes podem pertencer o ângulo apresentado em cada item (utilize
o applet, se necessário):
a) sen = 41
b) cos = 22
c) sen = 23
d) cos = - 21
5.5- Identifique o sinal de (utilize o applet, se necessário):
a) sen 5
b) cos 5
c) sen 1,4
d) cos 2
e) sen 4
f) cos 3,5
5.6- Nos parênteses, coloque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas:
a) ( ) cos 7 < cos
65
b) ( ) cos 4
> cos 1
c) ( ) cos 4 < 0
d) ( ) sen 3 > sen 2
e) ( ) sen 2 > 0
ATIVIDADE 6
6.1- Clique em “Seno e Cosseno (sentido horário)” no menu. Movimentando o seletor, identifique o
sinal de:
a) sen , -90º < < 0º
b) sen , -180º < < -90º
c) sen , -270º < < -180º
d) sen , -360º < < -270º
e) cos , -90º < < 0º
f) cos , -180º < < -90º
g) cos , -270º < < -180º
h) cos , -360º < < -270º
6.2- Apresente um valor para , -360º < < 0º tal que:
a) sen > 0 e cos < 0 b) sen < 0 e cos < 0
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ATIVIDADE 7
7.1- Clique em “Seno e Cosseno de Ângulos Complementares” no menu. Observe o applet e
anote o valor de:
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (90º - ) = ______
d) cos = cos (90º - ) = ______
Compare os valores encontrados nos itens acima.
______________________________________________________________________________
7.2- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 37º e anote o valor de:
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (90º - ) = ______
d) cos = cos (90º - ) = ______
Compare os valores encontrados nos itens acima.
______________________________________________________________________________
7.3- Escolha um outro valor para , movendo o seletor correspondente e anote o valor de:
= ____
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (90º - ) = ______
d) cos = cos (90º - ) = ______
Compare os valores encontrados nos itens acima.
______________________________________________________________________________
7.4- Descreva o que você observou.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
16
Conclusão:
Na atividade 2, no estudo de Trigonometria no triângulo retângulo, foi verificado que
quando dois ângulos e são complementares,
sen = cos ou sen = cos (90º - )
cos = sen ou cos = sen (90º - )
É possível provar que essa relação é verdadeira também na circunferência trigonométrica.
Para tanto se observa na figura abaixo que o triângulo ABO é congruente ao triângulo CDO pelo
caso LAAo. (Lado, Ângulo adjacente e Ângulo oposto).
Essa relação pode ser escrita como:
, para x IR, ou
, para x IR.
ATIVIDADE 8
8.1- Clique em “Seno e Cosseno de Ângulos Suplementares” no menu. Observe o applet e anote
o valor de:
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (180º - ) = ______
d) cos = cos (180º - ) = ______
Compare os valores encontrados nos itens acima. ______________________________________________________________________________
8.2- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 27º e anote o valor de:
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (180º - ) = ______
d) cos = cos (180º - ) = ______
sen x = cos
x2
cos x = sen
x2
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Compare os valores encontrados nos itens acima. ______________________________________________________________________________
8.3 - Escolha um outro valor para , movendo o seletor correspondente e anote o valor de:
= ____
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (180º - ) = ______
d) cos = cos (180º - ) = ______
Compare os valores encontrados nos itens acima.
______________________________________________________________________________
8.4- Descreva o que você observou a partir da resolução dos itens anteriores desta atividade.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ATIVIDADE 9
9.1- Clique em “Seno e Cosseno de Ângulos Explementares” no menu. Observe o applet e anote
o valor de:
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (180º + ) = ______
d) cos = cos (180º + ) = ______
Compare os valores encontrados nos itens acima. ______________________________________________________________________________
9.2- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 35º e anote os valores
representados na tela de:
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (180º + ) = ______
d) cos = cos (180º + ) = ______
Compare os valores encontrados nos itens acima. ______________________________________________________________________________
9.3- Escolha um outro valor para , movendo o seletor correspondente e anote o valor de:
= ____
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (180º + ) = ______
d) cos = cos (180º + ) = ______
Compare os valores encontrados nos itens acima. ______________________________________________________________________________
9.4- Descreva o que você observou. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
18
ATIVIDADE 10
10.1- Clique em “Seno e Cosseno de Ângulos Replementares” no menu. Observe o applet e anote
o valor de:
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (360º - ) = ______
d) cos = cos (360º - ) = ______
Compare os valores encontrados nos itens acima. ______________________________________________________________________________
10.2- Mova o seletor correspondente à medida do ângulo até obter = 43º e anote os valores
representados na tela de:
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (360º - ) = ______
d) cos = cos (360º - ) = ______
Compare os valores encontrados nos itens acima. ______________________________________________________________________________
10.3- Escolha um outro valor para , movendo o seletor correspondente e anote o valor de:
= ____
a) sen = ______
b) cos = ______
c) sen = sen (360º - ) = ______
d) cos = cos (360º - ) = ______
Compare os valores encontrados nos itens acima. ______________________________________________________________________________
10.4- Descreva o que você observou. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
19
Simetrias
Em uma circunferência trigonométrica, se um arco tiver sua extremidade no 2º, 3º ou 4º
quadrante, sempre existirá um arco com extremidade no 1º quadrante e cujas funções
trigonométricas terão, em módulo, o mesmo valor das do arco considerado.
Simetria em relação ao eixo dos senos
Dado o ângulo tal que 90º < < 180º, seja P a extremidade de na circunferência
trigonométrica. Seja P’ o ponto simétrico de P em relação ao eixo dos senos, o ângulo
correspondente ao arco e ’ o ângulo correspondente ao arco .
Observando a figura podemos afirmar que
+ = 180º (I).
Além disso,
= (II), pois, P’ é simétrico de P em relação ao eixo dos senos.
Substituindo (II) em (I) temos que
+ = 180º (no sentido anti-horário).
Portanto + = 180º ou = 180º - (III)
Como P(cos , sen ) e P’(cos , sen ) são simétricos em relação ao eixo dos senos
estes pontos têm mesma ordenada e abscissas simétricas. Ou seja:
(IV)
Substituindo (III) em (IV) temos que:
sen = sen
cos = - cos
sen (180º - ) = sen
cos (180º - ).= - cos .
20
Logo, dois ângulos suplementares têm senos iguais e cossenos simétricos.
Essas relações podem ser escritas como:
, para x IR, e
, para x IR.
Simetria em relação à origem
Dado o ângulo tal que 180º < < 270º, seja P a extremidade de na circunferência
trigonométrica. Seja P’ o ponto simétrico de P em relação à origem e o ângulo correspondente
ao arco .
Observando a figura podemos afirmar que
- = 180º (I).
Além disso,
= (II), pois, P’ é simétrico de P em relação à origem.
Substituindo (II) em (I) temos que
- = 180º (no sentido anti-horário).
Portanto - = 180º ou = 180º + (III)
Como P(cos , sen ) e P’(cos , sen ) são simétricos em relação à origem estes pontos
possuem ordenadas e abscissas simétricas. Ou seja:
(IV)
sen x = sen x
cos x = - cos x
sen = - sen
cos = - cos
sen = - sen
cos = - cos
21
Substituindo (III) em (IV) temos que:
Logo, dois ângulos que somam 180º têm senos e cossenos simétricos.
Essas relações podem ser escritas como:
, para x IR, e
, para x IR.
Simetria em relação ao eixo dos cossenos
Dado o ângulo tal que 270º < < 360º, seja P a extremidade de na circunferência
trigonométrica. Seja P’ o ponto simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos e o ângulo
correspondente ao arco .
Observando a figura podemos afirmar que
+ = 360º (I).
Além disso,
= (II), pois, P’ é simétrico de P em relação ao eixo dos cossenos.
Substituindo (II) em (I) temos que
+ = 360º (no sentido anti-horário).
Portanto + = 360º ou = 360º - (III)
sen x = - sen x
cos x = - cos x
sen (180º + ) = - sen
cos (180º + ).= - cos .
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Como P(cos , sen ) e P’(cos , sen ) são simétricos em relação ao eixo dos cossenos
estes pontos têm mesma abscissa e ordenadas simétricas. Ou seja:
(IV)
Substituindo (III) em (IV) temos que:
Logo, dois ângulos que somam 360º têm senos simétricos e cossenos iguais.
Essas relações podem ser escritas como:
, para x IR, e
, para x IR
ATIVIDADE 11
No menu, clique em “Definição da Função Seno” e marque as caixas numeradas.
11.1- Clique em “Transformação da Função Seno” no menu. O applet apresenta o gráfico da
função xsen)x(f . Observando-o, determine o conjunto imagem (Im) e o período (p) da função f.
Im =________ p = _______
11.2- Mova o seletor d até encontrar d = 2. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e
o período da função g.
Im =________ p = ________
11.3- Mova o seletor d até encontrar d = -3. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e
o período da função g.
Im =________ p = _______
11.4- Movimente o seletor d e observe a modificação ocorrida no gráfico. Descreva a
transformação que o parâmetro d, das funções da forma xsen+d=)x(g , causa sobre o gráfico da
função xsen)x(f .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
sen x2 = - sen x
cos x2 = cos x
sen = - sen
cos = cos
sen (360º - ) = - sen cos (360º - ).= cos .
23
11.5- Mova o seletor d até encontrar d = 0, para que o gráfico da função f coincida novamente
com o gráfico da função g. Mova o seletor c até encontrar c = 2,9. Observando o gráfico,
determine o conjunto imagem e o período da função g.
Im =________ p = _______
11.6- Mova o seletor c até encontrar c = - 3,7. Observando o gráfico determine o conjunto imagem
e o período da função g.
Im =________ p = ________
11.7- Movimente o seletor c e observe a modificação ocorrida no gráfico. Descreva a
transformação que o parâmetro c, das funções da forma )c+x(sen=)x(g , causa sobre o gráfico
da função xsen)x(f .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11.8- Mova o seletor c até encontrar c = 0, para que o gráfico da função f coincida novamente
com o gráfico da função g . Mova o seletor a até encontrar a = 0,5. Observando o gráfico,
determine o conjunto imagem e o período da função g.
Im =________ p = ________
11.9- Mova o seletor a até encontrar a = 2. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e
o período da função g.
Im =________ p = ______
11.10- Movimente o seletor de forma que a assuma apenas valores positivos e observe os
gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma xsena=)x(g ,
causa sobre o gráfico da função xsen)x(f , quando 0 < a < 1 e quando a > 1.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11.11- Mova o seletor a até encontrar a = -1. Observando o gráfico determine o conjunto imagem
e o período da função g.
Im =________ p = ______
Compare os gráficos das funções xsen)x(f e xsen)x(g e descreva o que você observou. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11.12- Movimente o seletor de forma que a assuma apenas valores negativos e observe os
gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro a, das funções da forma xsena=)x(g ,
causa sobre o gráfico da função xsen)x(f , quando -1 < a < 0 e quando a < - 1.
24
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11.13- Mova o seletor a até obter a = 1, para que o gráfico da função f coincida novamente com o
gráfico da função g . Mova o seletor b até encontrar b = 0,5. Observando o gráfico, determine o
conjunto imagem e o período da função g.
Im =________ p = ________
11.14- Mova o seletor b até encontrar b = 0,25. Observando o gráfico determine o conjunto
imagem e o período da função g.
Im =________ p = ________
11.15 Mova o seletor b até encontrar b = 2. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e
o período da função g.
Im =________ p = _______
11.16 Mova o seletor b até encontrar b = 4. Observando o gráfico determine o conjunto imagem e
o período da função g.
Im =________ p = _______
11.17- Movimente o seletor de forma que b assuma apenas valores positivos e observe os
gráficos. Descreva a transformação que o parâmetro b, das funções da forma bxsen=)x(g ,
causa sobre o gráfico da função xsen)x(f , quando 0 < b < 1 e quando b > 1.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11.18- Mova o seletor b até encontrar b = -1. Observando o gráfico determine o conjunto imagem
e o período da função g.
Im =________ p = ______
Compare os gráficos das funções xsen)x(f e )x(sen)x(g e descreva o que você observou. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11.19- Mova o seletor de forma que b assuma apenas valores negativos e observe os gráficos.
Descreva a transformação que o parâmetro b, das funções da forma bxsen=)x(g , causa sobre o
gráfico da função xsen)x(f , quando -1 < b < 0 e quando b < - 1.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________
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Conclusões:
Funções na forma g (x) = d + sen x
A imagem é [-1 + d, 1 + d] e o período é 2π.
Em relação à função f(x) = sen x:
- quando d > 0, estas funções sofrem uma translação vertical de d unidades para cima.
- quando d < 0, estas funções sofrem uma translação vertical de |d| unidades para baixo.
Funções na forma g (x) = sen (x + c)
A imagem é [-1, 1] e o período é 2π.
Em relação à função f(x) = sen x:
- quando c > 0, estas funções sofrem uma translação horizontal de c unidades para a esquerda.
- quando c < 0, estas funções sofrem uma translação horizontal de |c| unidades para a direita.
Funções na forma g (x) = a sen x
A imagem é [-a, a] e o período é 2π.
Em relação à função f(x) = sen x:
- quando 0 < a < 1, estas funções sofrem uma contração vertical.
- quando a > 1, estas funções sofrem uma dilatação vertical.
- quando -1 < a < 0, estas funções sofrem uma contração vertical e uma reflexão em relação ao eixo x.
- quando a < -1, estas funções sofrem uma dilatação vertical e uma reflexão em relação ao eixo x
Funções na forma g (x) = sen bx
A imagem é [-1, 1] e o período é bπ2
.
Em relação à função f(x) = sen x:
- quando 0 < b < 1, estas funções sofrem uma dilatação horizontal .
- quando b > 1, estas funções sofrem uma contração horizontal.
- quando -1 < b < 0, estas funções em relação à função f(x) = sen x, sofrem uma dilatação
horizontal e uma reflexão em relação ao eixo x.
- quando b < -1, estas funções em relação à função f(x) = sen x, sofrem uma contração
horizontal e uma reflexão em relação ao eixo x.
26
11.20- De acordo com o que foi estudado até aqui, determine o que se pede em cada item, sem
utilizar o applet.
a) Dadas as funções abaixo, determine o conjunto imagem e o período de cada uma:
f: IR IR / f (x) = 3 sen x
f: IR IR / f (x) = sen 3x
f: IR IR / f (x) = 1 – sen x
f: IR I R / f (x) = 2 + sen 2x
b) Determine o valor de b sabendo que o período da função xbcos+1=)x(f é igual a 8 π :
c) Determine o valor de a sabendo que a imagem da função x2sena=)x(f é [-3, 3].
EXERCÍCIOS
1- Uma pessoa está a 380 m de um prédio e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30º. O
aparelho que mede o ângulo está a 1,6m do solo. Determine a altura do prédio.
2- (F. E. Edson Queiroz – CE) É dada a expressão cos x = m – 6. Os números reais m, de modo
que existam x satisfazendo essa igualdade, são tais que:
a) 5 ≤m ≤ 7 b) -7≤m ≤ 5 c) -1≤m ≤ 5 d) -7≤m ≤ 1 e) -1 ≤m ≤ 1
3- (Unifor-CE) O valor de sen (-210º) é:
a) 23
b) 22- c)
21- d)
21 e)
23
4- (Unifor – CE) O valor de tg 150º + 2 sen120º - cos 330º é igual a:
a) 3 b) 23
c) 23 d)
63 - e)
63
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5- (Fuvest) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função:
a) y = sen x
b) y = 2 sen
2x
c) y = 2 sen x
d) y = 2 sen 2x
e) y = sen 2x
6- (Puccamp) Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da função f, de IR em IR, dada por
f(x)=k.cos(tx).
Nessas condições, calculando-se k - t obtém-se:
a) -23
b) -1 c) 0 d) 23
e) 5
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