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1A. P. Ramos Set. 2006
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL
Estruturas de Betão Armado II
3 – Lajes - Análise
2A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseTEORIA DE COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE LAJES FINAS
HIPÓTESES DO MODELO DE COMPORTAMENTO (1)
1) Laje de pequena espessura (deformação por corte
deprezável - h<<l/10), homogénea e isotrópica, e
material com comportamento elástico linear;
2) Hipótese dos pequenos deslocamentos (w<h/10);
3) Hipótese de Kirchoff – as deformações no plano médio
da laje são nulas (i.e. a laje é rígida no seu plano e não
tem esforços normais);
2
3A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseTEORIA DE COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE LAJES FINAS
HIPÓTESES DO MODELO DE COMPORTAMENTO (2)
4) Hipótese de Bernouli – as fibras perpendiculares ao
plano médio da laje permanecem rectas e
perpendiculares após a deformação (não há
deformação por corte);
5) As tensões normais ao plano médio são desprezáveis.
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3 – Lajes - Análise
yzu∂∂
−=ω
2xzu∂∂
−=ω
1
u1 – deslocamentos na direcção x
u2 – deslocamentos na direcção y
u3 – deslocamentos na direcção z
Os deslocamentos u1 e u2 variam linearmente na espessura:
ω=3u
3
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3 – Lajes - Análise
DEFORMAÇÃO
)(21
,, ijjiij uu +=ε
2
2
xzxx ∂∂
−=ωε
yxzxy ∂∂∂
−=ωε
2
2
2
yzyy ∂∂
−=ωε
0=== zzyzxz εεε
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3 – Lajes - AnáliseTENSÕES
)(1 2 yyxxxx
E ευευ
σ +−
=
)(1 2 xxyyyy
E ευευ
σ +−
=
)1(22
υεσ
−==
EGcomG xyxy
0)5 =zzhipóteseDa σ
4
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3 – Lajes - AnáliseMOMENTOS (1)
∫−= 2
2
h
hdzzm xxx σ
∫−= 2
2
h
hdzzm xyxy σ
∫−= 2
2
h
hdzzm yyy σ
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3 – Lajes - AnáliseMOMENTOS (2)
)( 2
2
2
2
xyDmy ∂
∂+
∂∂
−=ωυω
)( 2
2
2
2
yxDmx ∂
∂+
∂∂
−=ωυω
Se introduzirmos agora o conceito de rigidez de flexão da laje:
)1(12 2
3
υ−=
hED
yxDmxy ∂∂
∂−−=
ωυ2
)1(
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3 – Lajes - AnáliseEQUAÇÃO DE LAGRANGE
Dq
yyxx=
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=∇ 4
4
22
4
4
44 ωωωω
Por equilíbrio:
Equação de Lagrange
(deduzida em 1811)
qym
yxm
xm yxyx −=
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
2
22
2
2
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3 – Lajes - AnáliseEQUAÇÃO DE LAGRANGE
Ainda por equilíbrio:
ym
xmv xyx
x ∂
∂+
∂∂
=x
my
mv xyy
y ∂
∂+
∂
∂=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
−= 2
2
2
2
yxxDvx
ωω
Ou :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
−= 2
2
2
2
yxyDvy
ωω
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO CILÍNDRICA
As lajes com comprimento infinito numa direcção, ao longo da qual existem apoios lineares, têm uma deformação cilíndrica, em que w é constante ao longo dessa direcção.
0=∂∂
xω
w = cte em x logo:
02
2
=∂∂
xω
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO CILÍNDRICA
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂
−=
∂∂
−=
2
2
2
2
yDm
yDm
y
x
ω
ωυ
yx mm υ=
Logo:
É necessário que o mx = ν my para contrariar a deformação devida ao efeito de Poisson.
Para ν = 0.2: my → Asy
mx → Asx = 0.2 Asy
O efeito de Poisson surge sempre que w é constante ao longo de uma direcção.
Efeito de Poisson
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3 – Lajes - AnáliseEXEMPLOS DE EFEITO DE POISSON
Lajes em que lx ≥ 2 ly
Consolas
Apoio de continuidade
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3 – Lajes - AnáliseEFEITO DE POISSON
A armadura correspondente ao efeito de Poisson (20% da
armadura principal) designa-se por armadura de distribuição.
ssd AA 2.0=
As lajes com flexão cilíndrica designam-se por lajes
unidirecionais ou armadas numa só direcção, porque só existe
armadura principal na direcção da flexão cilíndrica.
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15A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseLAJE APOIADA EM DOIS BORDOS
Deformada
Flexão cilíndrica
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3 – Lajes - AnáliseLAJE APOIADA EM DOIS BORDOS
m22
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3 – Lajes - AnáliseLAJE APOIADA EM DOIS BORDOS
m11
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3 – Lajes - AnáliseLAJE APOIADA EM DOIS BORDOS
m12
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3 – Lajes - AnáliseLAJE APOIADA EM DOIS BORDOS
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
As lajes, de uma forma geral possuem deformação bidireccional. Vejamos o caso particular das lajes vigadas, rectangulares, com lx < 2ly:
Nestes casos, além de mx e my surgem também momentos torsores mxy. Estes têm especial relevância junto dos cantos onde convergem dois bordos simplesmente apoiados.
Devido à deformação da laje estes cantos teriam a tendência a levantar, o que é impedido pelos apoios, resultando num esforço cuja direcção principal é a diagonal das linhas dos apoios.
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje rectangular apoiada no contorno
L1/L2=1.5
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje rectangular apoiada no contorno
L1/L2=1.5
m11
m11
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23A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje rectangular apoiada no contorno
L1/L2=1.5
m22
m22
Os esforços no menor vão (m22) são superiores aos no
maior vão (m11).
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje rectangular apoiada no contorno
L1/L2=1.5
m12
Os máximos e os mínimos verificam-se junto aos cantos e em módulo são da mesma ordem de grandeza.
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25A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje rectangular apoiada no contorno
L1/L2=1.5
26A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje rectangular apoiada em dois bordos e
encastrada nos outros dois
L1/L2=1.5
Deformada
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27A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Comparação entre os dois casos analisados
L1/L2=1.5
A laje apoioada no contorno é mais
deformável
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje rectangular apoiada em dois bordos e
encastrada nos outros dois
L1/L2=1.5
m11
m22
Os esforços no menor vão (m22) são superiores aos do
maior vão (m11).
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29A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje rectangular apoiada em dois bordos e encastrada nos outros dois
L1/L2=1.5
30A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje rectangular apoiada em dois bordos e encastrada nos outros dois
L1/L2=1.5
Os maiores valores para os
momentos torsores surgem junto ao canto
em que convergem os dois bordos
apoiados
m12
16
31A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje quadrada
apoiada no contorno
Deformada
32A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje quadrada
apoiada no contorno
m11
m22
17
33A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje quadrada
apoiada no contorno
Os maiores valores para os
momentos torsores surgem junto aos cantos
m12
34A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje quadrada
apoiada no contorno
Reacções nos apoios
Reacções verticais nos cantos ↓
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35A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje Quadrada apoiada no contorno excepto
nos cantos
Deformada
Os cantos levantam !
36A. P. Ramos Set. 2006
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje Quadrada apoiada no contorno excepto nos cantos
19
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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL
Laje Quadrada apoiada no contorno excepto nos cantos
Reacções nos apoios
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