Rosa – 2019
Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hoje
Função Distribuição CondicionalCalculando Probabilidades Condicionando
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Função Distribuição Condicional: Motivação
Muitas vezes as variáveis aleatórias possuem dependência
A forma de expressar a dependência entre duas variáveis aleatórias é condicionando uma v.a. na outra e depois usar o teorema da probabilidade total e suas variações
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Função Distribuição Condicional
Considere que iremos condicionar a variável Y na variável X
Casos a serem estudados:
X e Y são duas variáveis aleatórias discretas
X e Y são duas variáveis aleatórias contínuas
X é v.a. discreta e Y é v.a. contínua
X é v.a. contínua e Y é v.a. discreta
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Caso 1: X e Y v.a. discretas
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Caso 1: X e Y v.a. discretas
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Exemplo: X e Y v.a. discretas
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Exemplo: X e Y discretas O número de requisições enviadas para o
servidor A dado que chegaram n no sistema é
uma v.a. Binomial pY∣X (k∣n)=(nk) p
k(1−p)
(n−k )
pY (k )=∑n=k
n=∞
pY∣X (k∣n) pX (n)
pY (k)=∑n=k
n=∞
(nk) pk(1−p)(n−k )e(−λ) λ
n
n!
pY (k)=e(−pλ) (p λ)k
k!
usando o teorema da pmf total, temos:
Y também é v.a. Poisson com parâmetro pλ
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Caso 2: X e Y v.a. contínuas
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Caso 2: X e Y v.a. contínuas
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Caso 3: Y v.a. contínua e X v.a. discreta
Considere um servidor com r classes i=1,2, .., r e cada classe possui um tempo de serviço que pode ser representado por uma v.a. exponencial
Y representa o tempo de serviço e X a classe
f Y∣X ( y∣i)=λi e−λi y pX (i)=αi
f (i , y)=f Y∣X ( y∣i) pX (i)
f Y ( y)=∑i=1
r
f (i , y)=∑i=1
r
f Y∣X ( y∣i) pX (i)
f Y ( y)=∑i=1
r
λ ie−λi y αi
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Caso 3: Y v.a. contínua e X v.a. discreta
Y representa o tempo de serviço e tem distribuição hiperexponencial
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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua
Xweb server service time Ynumber req arrivingwhile one is being serviced
The number of requests in an interval (0,t) is Poisson
Compute the distribution of Y
We know that X has exponential distribution and the number of requests in an interval (0,t) is Poisson
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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua
X web service time é uma v.a. exponencial
Y representa o número de requisições que chegam enquanto uma está sendo servida tem distribuição Poisson
f X (x)=μ e−μ x pY∣X ( y∣x)=(λ x)y
y!e−λ x
pY ( y)=∫0
∞
f (x , y)dx
pY ( y)=∫0
∞
μ e−μ x (λ x)y!
e−λ x
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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua
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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua
y!
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Calculando Probabilidades Condicionando
Muitas vezes para calcular a probabilidade de um evento temos que condicionar em uma variável aleatória
O evento pode ser uma relação entre duas variáveis aleatórias (ex: X > Y)
Depois usamos o teorema da probabilidade total e suas variações para obter a probabilidade do evento
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Probabilidade Condicional de um Evento
Considere E um evento de interesse. P[E] pode ser calculada a partir de:
P [E ]=∑y P [E /Y= y]P [Y= y] , seY é v.a. discreta
P [E ]=∫−∞
∞
P [E /Y= y ] f Y y dy , se Y é v.a. contínua
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Exemplo: X e Y v.a. contínuas
Suponha duas tarefas T1 e T2 independentes. Queremos saber a probabilidade da tarefa T1 terminar primeiro que a tarefa T2.
Sabemos que T1 tem duração representada pela v.a. X com função densidade f
X(x) e que T2 tem duração
representada pela v.a. Y com função densidade f
Y(y).
Como podemos calcular ?
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Exemplo: X e Y v.a. contínuas
Queremos calcular P[X<Y]
P [X Y ]=∫−∞
∞
P [X Y /Y= y ] f Y y dy
P [X Y ]=∫−∞
∞
P [X y ] f Y y dy
P [X Y ]=∫−∞
∞
F X y f Y y dy
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