Estatística II
Aula 2
Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
Distribuições Amostrais
Antes de tudo...
• ... vocês lembram que:
Estatística Parâmetro
População Amostra
E usamos estatíticas das amostras
para estimar parâmetros da população
Finalidade da amostragem
• Obter uma indicação do valor de um ou mais
parâmetros de uma população, tais como média, o
desvio padrão populacional, ou a proporção de itens
que possuem determinadas característica.
Variabilidade Amostral
• Mas você pode retirar várias amostras diferentes de
uma mesma população!!
• Cada amostra pode te dar diferentes valores para a
média, desvio-padrão ou proporção. Como saber
então qual o valor do parâmetro na população?
• É preciso conhecer como a estatística varia de
amostra para amostra...
Exemplo
• Vamos supor uma população finita com 5 elementos,
que são os números 3, 5, 7, 9, 11.
• Neste caso, é fácil calcular os parâmetros média e
desvio padrão da população:
• A média dessa população é
• E seu desvio padrão é
• Vamos supor que eu não pudesse calcular
diretamente a média da população e tivesse que fazê-
lo através de estimativas com base em amostras de 2
elementos...
75
119753
83,285
7117977757322222
Exemplo
• Quantas amostras diferentes seria possível montar?
• Vamos listar as amostras e suas médias:
• Cada amostra tem uma probabilidade de ser escolhida igual a
1/10.
10!32
!345
!3!2
!5
2
5
x
xx
Amostras 3 e 5 3 e 7 3 e 9 3 e 11 5 e 7 5 e 9 5 e 11 7 e 9 7 e 11 9 e 11
Médias 4 5 6 7 6 7 8 8 9 10
Exemplo
• Posso calcular a probabilidade de encontrar cada um dos
diferentes valores de média nas amostras, que será:
Prob.
4 1/10
5 1/10
6 2/10
7 2/10
8 2/10
9 1/10
10 1/10
x
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
4 5 6 7 8 9 10
O que acabamos de
construir foi uma
distribuição de
probabilidades da
média da amostra
Mas isso nada mais é
do que uma
Distribuição Amostral!!
Distribuição Amostral
Uma distribuição amostral é uma distribuição de
probabilidades que indica até que ponto uma
estatística amostral tende a variar devido a variações
casuais na amostragem aleatória.
Voltando ao Exemplo
• No nosso exemplo qual a média das médias nas amostras? E
qual o desvio-padrão dessas médias?
Prob.
4 1/10
5 1/10
6 2/10
7 2/10
8 2/10
9 1/10
10 1/10
710
110
10
19
10
28
10
27
10
26
10
15
10
14x
3
310
1710
10
179
10
278
10
277
10
276
10
175
10
174
22222222
x
x
x
É igual a média
da população
É menor que o
desvio padrão da
população
• Vamos ver outro exemplo, agora fazendo a
amostragem com reposição...
Exemplo 2
• Suponha uma população (simplificada) de quatro
pessoas de seu departamento.
• Tamanho da população N=4
• Variável aleatória, X, é a idade dos indivíduos
• Valores de X: 18, 20, 22, 24 (anos)
Exemplo 2
Parâmetros da distribuição da População:
214
24222018
N
Xμ i
2.236N
μ)(Xσ
2
i
.3
.2
.1
0 18 20 22 24
A B C D
P(x)
x
Distribuição Uniforme
Exemplo 2
1o.
Obs.
2o. Observação
18 20 22 24
18 18,18 18,20 18,22 18,24
20 20,18 20,20 20,22 20,24
22 22,18 22,20 22,22 22,24
24 24,18 24,20 24,22 24,24
Agora, considere todas as amostras possíveis de
tamanho n=2
1o.
Obs.
2o. Observação
18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
16 médias
amostrais
16 amostras possíveis
(amostragem com
reposição)
Exemplo 2
Distribuição Amostral de todas as médias
amostrais
1o.
Obs
2o. Observação
18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
16 médias
amostrais
18 19 20 21 22 23 24 0
.1
.2
.3
P(X)
X
(não é mais uniforme)
Distribuição das
médias amostrais
_
Exemplo 2
2116
24211918
N
Xμ i
X
1.5816
21)-(2421)-(1921)-(18
N
)μX(σ
222
2
Xi
X
Parâmetros da distribuição amostral da média
Exemplo 2
População
N = 4
1.58σ 21μXX
2.236σ 21μ
Distribuição Amostral da Média n = 2
18 20 22 24
A B C D
0
.1
.2
.3
P(X)
X 18 19 20 21 22 23 24 0
.1
.2
.3 P(X)
X _
_
Por enquanto... pelo menos em nossos exemplos...
x , a média da distribuição amostral de x , é igual a , a
média da população; x , o desvio padrão da distribuição
amostral de x , é menor do que , o desvio padrão
populacional.
Observem a notação!!!!
• Mas... será que sempre podemos enumerar todas as
amostras possíveis para então analisar a média
amostral e quanto ela está próxima da média da
população?
• Não!!
• Alguns teoremas solucionam a questão...
• Teorema 1:
Para amostras aleatórias de tamanho n extraídas de uma
população com média e o desvio padrão , a distribuição
amostral de x tem média x .
Erro Padrão
• Desvio padrão da estimativa
• Erro padrão: quanto menor, melhor!
• Erro padrão da média para populações infinitas e finitas:
1N
nN
nou
nxx
O que acontece se o erro padrão é pequeno? E se ele for grande?
O que determina o tamanho do erro padrão?
Você lembra?
Fator de
correção
para populações
finitas!!
Veja que interessante...
• No primeiro exemplo dessa aula tínhamos uma população com 5
elementos: 3, 5, 7, 9, 11
• A média e o desvio padrão da população eram:
• Aí, listamos todas as amostras possíveis e calculamos a média
e o desvio-padrão (erro padrão) das médias das amostras:
• Mas, se calcularmos o erro-padrão pela expressão do slide
anterior, teremos:
87 e
37 xx e
342
38
15
25
2
8
1N
nN
nx
As expressões nos dão o erro padrão sem que seja necessário listar todas as
amostras possíveis, calcular suas médias e então obter o erro padrão da média
das amostras!!
Efeito do tamanho da amostra sobre uma
distribuição amostral
• À medida que aumenta o tamanho da amostra, há
variabilidade cada vez menor entre as médias das
amostras;
• A média da distribuição amostral é igual ao
parâmetro da população, ou seja, é igual à média da
população;
• Na medida em que o tamanho da amostra aumenta,
a distribuição dos resultados amostrais tende para a
forma da distribuição normal (ver apostila nas
páginas 229 a 232).
Distribuição Amostral da Média
Erro Padrão: População Normal
μμX
n
σσ
X
• Se a população é normal com média μ e desvio-padrão σ, a
distribuição amostral da média é também distribuída
normalmente com
e
(Assume-se que a amostragem é feita com reposição ou sem
reposição em uma população infinita)
Distribuição Amostral da Média
Valor Z: População Normal
n
σ
μ)X(
σ
)μX(Z
X
X
• Valor-Z para a distribuição amostral da média:
onde: = média da amostra
= média da população
= desvio padrão da população
n = tamanho da amostra
Xμ
σ
Distribuição Amostral da Média
Propriedades: População Normal
(i.e. é não viesada )
População segue
Distribuição Normal
Distribuição Amostral da
média segue
Distribuição Normal
(com a mesma média)
μμx
xx
x
μ
xμ
Distribuição Amostral da Média
Propriedades: População Normal
• Para amostragem com reposição:
– À medida que n aumenta,
– diminui xσ Maior tamanho
de amostra
Menor tamanho
de amostra
xμ
Teorema do Limite Central
• Para grandes amostras, a distribuição amostral da média pode
ser muito bem aproximada por uma distribuição normal,
lembrando que para populações infinitas:
• Podemos então dizer formalmente que:
ne xx
Se x é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população infinita com a média μ e o desvio padrão σ e se n é grande
então
n
xz
/
tem aproximadamente a distribuição normal padrão.
Teorema do Limite Central
• Se aplica a populações infinitas...
• ... e a populações finitas em que n é grande mas
representa uma porção pequena da população, ou
seja, n/N é pequeno
• Em geral n=30 é considerado suficientemente
grande
• Quando sabemos que a população tem distribuição
normal, a distribuição amostral da média pode ser
aproximada pela normal, independentemente do
tamanho de n.
X
Teorema do Limite Central
À medida
em que o
tamanho
da
amostra
aumenta
(n 30) ...
Estatística: Prof. André Carvalhal
X
Teorema do Limite Central
A distribuição
amostral torna-
se praticamente
normal.
À medida
em que o
tamanho
da
amostra
aumenta
(n 30) ...
Estatística: Prof. André Carvalhal
X
Teorema do Limite Central
A distribuição
amostral torna-
se praticamente
normal.
À medida
em que o
tamanho
da
amostra
aumenta
(n 30) ...
xn
x
Estatística: Prof. André Carvalhal
Distribuição Amostral da Média
Exemplo
• Suponha uma população com média μ = 8 e desvio-
padrão σ = 3. Suponha uma amostra aleatória de
tamanho n = 36 é selecionada.
• Qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre
7.75 e 8.25?
• Mesmo que a população não seja normalmente
distribuída, o Teorema do Limite Central pode ser usado
(n > 30).
• Então, a distribuição amostral da média é
aproximadamente normal com
8μ x0.5
36
3
n
σσx
Distribuição Amostral da Média
Exemplo
5.0
363
8-8.25
5.0
363
8-7.75
Z
Z
Primeiro, vamos calcular os valores-Z para 7.75
e 8.25.
0.38300.5)ZP(-0.5 8.25) μ P(7.75X
Agora, usando uma tabela de probabilidades da
Distribuição Normal teremos:
Distribuição Amostral da Média
Exemplo
= 2(.5000-.3085)
= 2(.1915)
= 0.3830
Z -0.5 0.5
Distribuição Normal
Padrão
0μz7.75 8.25
Distribuição
Amostral
Amostra
8μX
x
Distribuição da
População
8μ X
Distribuição Amostral da Proporção
amostra da tamanho
interesse de ticacaracterís a com amostra na de número
n
X itensp
• A proporção da população com determinada
característica é denotada por π.
• A proporção da amostra ( p ) com esta
característica dá uma estimativa de π:
– 0 ≤ p ≤ 1
– p segue uma Distribuição Binomial
(Assume-se que a amostragem é feita com reposição ou sem reposição em
uma população infinita)
Distribuição Amostral da Proporção
• Erro padrão para a proporção:
n
)(1σp
n
)(1σZ
p
pp
• Valor-Z para a proporção:
Distribuição Amostral da Proporção
Exemplo
• Se em um plebiscito a proporção de votantes à favor
da Proposta A é π = .4, qual a probabilidade de que
em uma amostra de 200 pessoas a proporção de
votantes a favor esteja entre .40 and .45?
• Em outras palavras, se π = .4 e n = 200, qual a?
P(.40 ≤ p ≤ .45) ?
Distribuição Amostral da Proporção
Exemplo
.03464200
.4).4(1
n
)(1σ p
1.44)ZP(0
.03464
.40.45Z
.03464
.40.40P.45)P(.40 p
Encontre :
Converta para
a Normal
Padronizada:
pσ
Distribuição Amostral da Proporção
Exemplo
Use a tabela de probabilidade Normal acumulada:
P(0 ≤ Z ≤ 1.44) = P(Z ≤ 1.44) – 0.5 = .4251
Z .45 1.44
.4251
Padronize
Distribuição Amostral Distribuição Normal
Padronizada
.40 0 p
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