Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 1
Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo MATERIAIS DE APOIO AgraveS SESSOtildeES PRAacuteTICAS
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I- EMISSOtildeES DE CO2 E O FUTURO DO MUNDO
Comeccedila por abrir o ficheiro TOP 20 CO2_PIB
Para aleacutem de uma paacutegina introdutoacuteria encontraraacutes na paacutegina 21 os
valores de emissatildeo de dioacutexido de carbono (CO2) em megatoneladas
(Mt) nos anos de 2006 e de 2008 dos 20 paiacuteses ldquomais poluidoresrdquo
Na paacutegina 31 estaacute registado o Produto Interno Bruto (PIB) desses
mesmos paiacuteses no ano 2006 em milhares de milhotildees de doacutelares (109
$USD) e os valores de emissatildeo de CO2 nesse mesmo ano em
megatoneladas com arredondamento agraves unidades
1 A partir dos dados da primeira tabela constroacutei um graacutefico com os
valores resumidos por paiacutes (2006 e 2008) de forma a
percecionares a ordem de grandeza das emissotildees realizadas por
cada um desses paiacuteses
2 Observa o seguinte graacutefico onde
se pretende comparar as
emissotildees de CO2 em 2008 dos
trecircs gigantes
Que comentaacuterio te sugere o
graacutefico representado No caso
de o achares pouco rigoroso
apresenta um graacutefico que transmita a informaccedilatildeo de uma forma
que te pareccedila mais correta
3 Identifica os cinco paiacuteses com maiores emissotildees de CO2 em 2008
Obteacutem um graacutefico circular em que surjam os valores de emissatildeo
em percentagem efetuados pelo conjunto desses cinco paiacuteses
comparados com os restantes quinze paiacuteses identificados na
tabela e ainda o resto do mundo
Nota foram emitidas no mundo em 2008 29 888 Mt de CO2
4 Com base nos dados de 2006 e de 2008 achas que houve um
esforccedilo global para controlar as emissotildees de CO2 ou apenas
alguns paiacuteses demonstraram essa preocupaccedilatildeo Calcula a
variaccedilatildeo percentual nas emissotildees efetuadas por cada um dos
paiacuteses e apresenta a informaccedilatildeo resumida na forma graacutefica e
ordenada
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Como adicionar a aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Comeccedila por te localizares na paacutegina 21 e abre uma paacutegina
22 de Dados e Estatiacutestica
Como criar graacuteficos - I
Aparece uma nova paacutegina no problema ativo (paacutegina 22) com
uma representaccedilatildeo graacutefica predefinida do conjunto de dados
Como selecionar na janela graacutefica as variaacuteveis pretendidas
Na janela graacutefica com o cursor no centro da imagem deves
clicar em b e selecionar a opccedilatildeo 3Adicionar
variaacutevel X com lista resumo
Em seguida podes selecionar a variaacutevel que te interessa
representar graficamente clicando sobre as zonas de legenda
Caso pretendas acrescentar uma nova variaacutevel deves clicar
em b e selecionar 2Propriedades do graacutefico
9Adicionar lista de resumo Y e escolher a nova variaacutevel
(neste caso as emissotildees de CO2 em 2008)
Repara que automaticamente surgem dois conjuntos de
barras com cores identificativas de cada uma das variaacuteveis
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Deslocando o cursor por cima de cada uma das barras surge-
te uma caixa com os dados especiacuteficos
Como criar listas
Apoacutes teres adicionado ao problema uma nova paacutegina 23
com a aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo introduz duas
listas identificando os ldquopaiacutesesrdquo representados no graacutefico da
paacutegina inicial e as respetivas emissotildees
1 Na primeira linha escreve o nome dos campos paiacuteses_grf2
e co2_2008_grf2
Nota precisas de definir novas variaacuteveis com os dados
resumidos para as poderes utilizar aquando da construccedilatildeo do
graacutefico
2 Para evitar teres que introduzir os dados poderaacutes copiaacute-los
da paacutegina inicial
21 na paacutegina 21 com recurso agrave tecla g e ao touchpad
seleciona os dados que deveratildeo ficar em destaque (uma
coluna de cada vez)
22 podes copiar os dados de uma forma semelhante agrave
utilizada noutras folhas de caacutelculo atraveacutes da combinaccedilatildeo de
teclas C
23 Na paacutegina 23 podes colar os dados mais uma vez
atraveacutes da combinaccedilatildeo de teclas V
No caso de pretenderes preencher agrave matildeo cada uma das
ceacutelulas podes encontrar os siacutembolos utilizados clicando nas
teclas k surgindo um cataacutelogo de siacutembolos
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Para introduzires caracteres acentuados deves apoacutes a
digitaccedilatildeo do caraacutecter pressionar sucessivamente a tecla
Como criar graacuteficos ndash II
Cria um novo graacutefico (paacutegina 24) com uma leitura mais
fidedigna dos dados apresentados Segue as instruccedilotildees
anteriores
Atenccedilatildeo com a correta identificaccedilatildeo das variaacuteveis
Nota Clicando sobre as setas associadas agraves caixas de ediccedilatildeo
aparece o conjunto de variaacuteveis definidas
Coacutepia de conjuntos de dados para uma nova folha de caacutelculo
Cria uma nova folha de caacutelculo (paacutegina 25) e copia dos dados
iniciais o conjunto de dados com a identificaccedilatildeo dos paiacuteses e
das respetivas emissotildees de CO2 em 2008
Copiar os dados para novas colunaslistas
Faz um clique duplo na ceacutelula a cinzento (linha de foacutermulas
para listas) de cada uma das colunas onde pretendes introduzir
os dados e pressionando a tecla h seleciona as variaacuteveis
paiacuteses e co2_2008 para cada uma das colunas
respetivamente
Ao clicares em middot satildeo inseridos todos os dados destas duas
variaacuteveis De seguida seleciona as duas ceacutelulas a cinzento e
apaga-as pressionando a tecla desta forma foi removida a
dependecircncia destes dados das variaacuteveis a eles associadas
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Como escrever uma foacutermula
Para natildeo interferir com os dados jaacute introduzidos calcula a
partir da coluna D o valor total das emissotildees de cada um dos
conjuntos de paiacuteses os primeiros cinco paiacuteses (Top_5)
Restantes 15 paiacuteses do Top (Rest_15) e o resto do Mundo
(Rest_Mundo) Natildeo te esqueccedilas de introduzir estes nomes
entre aspas
Nota mais uma vez para a construccedilatildeo do graacutefico temos que
criar novas variaacuteveis ndash top_paiacuteses e top_2008
Observa que para efetuar alguns tipos de caacutelculo podes utilizar
funccedilotildees preacute-definidas (por exemplo sum() cumsum() mean()
hellip) tal como acontece noutras folhas de caacutelculo
Compreender as referecircncias a ceacutelulas nas foacutermulas
Numa foacutermula podes incluir
bull a letra de uma coluna e o nuacutemero de uma linha para uma referecircncia relativa
bull o siacutembolo $ antes da letra da coluna eou do nuacutemero da linha para especificar
uma referecircncia absoluta
bull dois pontos () entre duas referecircncias de ceacutelulas para especificar um intervalo
de ceacutelulas
bull uma referecircncia a uma variaacutevel definida anteriormente
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Como trabalhar com linhas e colunas de dados
Selecionar uma coluna ou linha
1 Prime sem soltar pound para mover para aleacutem da ceacutelula superior
da coluna de modo anaacutelogo para selecionar a linha
2 Para alargar uma seleccedilatildeo agraves colunas ou linhas adjacentes
prime sem soltar g e simultaneamente em iexcl cent pound ou curren
3 Prime d para cancelar a seleccedilatildeo
Redimensionar uma linha ou coluna
1 Atraveacutes do menu de contexto b seleciona
8Redimensionar e 1Largura da coluna
2 Clica na seta de direccedilatildeo do Touchpad respetiva de forma a
ajustar manualmente ao tamanho pretendido
3 Termina pressionando middot
Nota Caso queiras anular a uacuteltima accedilatildeo realizada podes clicar no conjunto de
teclas d
Como criar graacuteficos de barras e graacuteficos circulares
Ainda no mesmo problema abre uma nova paacutegina de Dados e
Estatiacutestica
A partir do graacutefico de resumo identifica as variaacuteveis a
representar (utiliza os elevadores para selecionar as variaacuteveis
pretendidas)
Aparece por defeito um diagrama de barras Clicando em
b aparece a opccedilatildeo de construccedilatildeo de um graacutefico circular
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Podemos associar uma etiqueta a cada sector circular atraveacutes
de b opccedilatildeo 2Mostrar todas as etiquetas
Como efetuar um caacutelculo a partir de variaacuteveis jaacute definidas
Cria na paacutegina inicial 21 na coluna D (para natildeo interferir com
os dados introduzidos) uma nova variaacutevel associada ao caacutelculo
da variaccedilatildeo percentual das emissotildees por paiacutes entre 2006 e
2008 e que denominaremos var_perc
A foacutermula que nos permitiraacute efetuar o caacutelculo automaacutetico para
todos os paiacuteses deve ser introduzido na ceacutelula cinzenta da
coluna D
Nota Um processo raacutepido para obteres a configuraccedilatildeo dos
resultados em nuacutemeros decimais seraacute acrescentares o ponto a
um dos fatores (no nosso caso podes multiplicar por 100 )
indicando dessa forma que pretendes o resultado na forma
decimal
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Como ordenar dados num graacutefico
Depois de obteres o graacutefico de barras da figura podes ordenar
os dados
Depois de colocar o cursor sobre o graacutefico clica sobre b
3Ordenar e 2 Ordem por valores
Nota
1 Recorda que podes associar a cada barra a respetiva
etiqueta de forma a perceberes o valor da variaccedilatildeo para
cada paiacutes
2 Para alterares a cor de cada barra deves selecionar
primeiro a barra clicando sobre ela e em seguida clicar
sobre ~ 2Editar 7Cor e 2Cor de
preenchimento em seguida selecionar a cor
pretendida
() e () Os dados utilizados foram adaptados dos sites
httpenwikipediaorgwikiList_of_countries_by_carbon_dioxide_emissions
httpwwwgooglecompublicdatads=wb-diampmet=ny_gdp_mktp_cdampidim=countryPRTampdl=pt-PTamphl=pt-PTampq=pib
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Ratio entre o PIB e as Emissotildees de CO2
bull Como pudemos observar nas atividades anteriores as emissotildees de
CO2 apresentam diferenccedilas significativas de paiacutes para paiacutes
devido entre outros fatores agrave sua dimensatildeo e grau de
desenvolvimento
Vamos introduzir uma nova variaacutevel Produto Interno Bruto
(PIB) por emissotildees de CO2 que denominaremos de pib_p_co2 e
que utilizaremos para poder comparar a distribuiccedilatildeo de emissotildees
de CO2 e cuja unidade seraacute doacutelares por tonelada
bull Esta variaacutevel representa o ratio entre o PIB e as emissotildees de
dioacutexido de carbono e permite identificar os paiacuteses mais eficientes
em termos de emissotildees ie aqueles que produzem mais riqueza
por tonelada CO2 emitido
1 Determina os paracircmetros estatiacutesticos mais habituais (valor meacutedio
mediana desvio padratildeo e quartis) desta nova variaacutevel e
interpreta-os
2 Confirma graficamente se existe enviesamento da distribuiccedilatildeo
(no caso da meacutedia gt mediana - enviesamento para a direita )
Compara numa mesma paacutegina (alterando o esquema de paacutegina)
o histograma e o diagrama de extremos e quartis e analisa como
se reflete o enviesamento nos dois tipos de graacuteficos
3 Com base no histograma anterior agrupa os dados em classes em
que cada classe teraacute uma amplitude de 1 doacutelar por tonelada
Como introduzir uma coluna com dados calculados
No caso concreto a tabela com os dados do PIB e das
emissotildees de C02 em 2006 estaacute na paacutegina 31
Acrescenta uma nova variaacutevel na coluna D denominada
pib_p_co2 onde seratildeo calculados os ratios entre o PIB e
as emissotildees para cada um dos paiacuteses
Poderaacutes reduzir o nuacutemero de diacutegitos apresentados clicando
no canto superior direito da janela (iacutecone da esquerda) e
selecionando nas definiccedilotildees gerais a opccedilatildeo do nuacutemero de
diacutegitos significativos pretendidos
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Como utilizar os dados de uma tabela para anaacutelise estatiacutestica
Podes obter na proacutepria Folha de caacutelculo um resumo dos paracircmetros estatiacutesticos
associados a uma variaacutevel
Em b 4Estatiacutestica acede agrave opccedilatildeo 1Caacutelculos
estatiacutesticos 1 Estatiacutestica de uma variaacutevel
Nota
1 Poderaacutes calcular a estatiacutestica de mais do que uma
variaacutevel identificando o nuacutemero de listas sobre as quais
seratildeo efetuados os caacutelculos
2 Observa que podes definir em que coluna pretendes que comecem a aparecer
os resultados dessa anaacutelise
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Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
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2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
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2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
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I- EMISSOtildeES DE CO2 E O FUTURO DO MUNDO
Comeccedila por abrir o ficheiro TOP 20 CO2_PIB
Para aleacutem de uma paacutegina introdutoacuteria encontraraacutes na paacutegina 21 os
valores de emissatildeo de dioacutexido de carbono (CO2) em megatoneladas
(Mt) nos anos de 2006 e de 2008 dos 20 paiacuteses ldquomais poluidoresrdquo
Na paacutegina 31 estaacute registado o Produto Interno Bruto (PIB) desses
mesmos paiacuteses no ano 2006 em milhares de milhotildees de doacutelares (109
$USD) e os valores de emissatildeo de CO2 nesse mesmo ano em
megatoneladas com arredondamento agraves unidades
1 A partir dos dados da primeira tabela constroacutei um graacutefico com os
valores resumidos por paiacutes (2006 e 2008) de forma a
percecionares a ordem de grandeza das emissotildees realizadas por
cada um desses paiacuteses
2 Observa o seguinte graacutefico onde
se pretende comparar as
emissotildees de CO2 em 2008 dos
trecircs gigantes
Que comentaacuterio te sugere o
graacutefico representado No caso
de o achares pouco rigoroso
apresenta um graacutefico que transmita a informaccedilatildeo de uma forma
que te pareccedila mais correta
3 Identifica os cinco paiacuteses com maiores emissotildees de CO2 em 2008
Obteacutem um graacutefico circular em que surjam os valores de emissatildeo
em percentagem efetuados pelo conjunto desses cinco paiacuteses
comparados com os restantes quinze paiacuteses identificados na
tabela e ainda o resto do mundo
Nota foram emitidas no mundo em 2008 29 888 Mt de CO2
4 Com base nos dados de 2006 e de 2008 achas que houve um
esforccedilo global para controlar as emissotildees de CO2 ou apenas
alguns paiacuteses demonstraram essa preocupaccedilatildeo Calcula a
variaccedilatildeo percentual nas emissotildees efetuadas por cada um dos
paiacuteses e apresenta a informaccedilatildeo resumida na forma graacutefica e
ordenada
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Como adicionar a aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Comeccedila por te localizares na paacutegina 21 e abre uma paacutegina
22 de Dados e Estatiacutestica
Como criar graacuteficos - I
Aparece uma nova paacutegina no problema ativo (paacutegina 22) com
uma representaccedilatildeo graacutefica predefinida do conjunto de dados
Como selecionar na janela graacutefica as variaacuteveis pretendidas
Na janela graacutefica com o cursor no centro da imagem deves
clicar em b e selecionar a opccedilatildeo 3Adicionar
variaacutevel X com lista resumo
Em seguida podes selecionar a variaacutevel que te interessa
representar graficamente clicando sobre as zonas de legenda
Caso pretendas acrescentar uma nova variaacutevel deves clicar
em b e selecionar 2Propriedades do graacutefico
9Adicionar lista de resumo Y e escolher a nova variaacutevel
(neste caso as emissotildees de CO2 em 2008)
Repara que automaticamente surgem dois conjuntos de
barras com cores identificativas de cada uma das variaacuteveis
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Deslocando o cursor por cima de cada uma das barras surge-
te uma caixa com os dados especiacuteficos
Como criar listas
Apoacutes teres adicionado ao problema uma nova paacutegina 23
com a aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo introduz duas
listas identificando os ldquopaiacutesesrdquo representados no graacutefico da
paacutegina inicial e as respetivas emissotildees
1 Na primeira linha escreve o nome dos campos paiacuteses_grf2
e co2_2008_grf2
Nota precisas de definir novas variaacuteveis com os dados
resumidos para as poderes utilizar aquando da construccedilatildeo do
graacutefico
2 Para evitar teres que introduzir os dados poderaacutes copiaacute-los
da paacutegina inicial
21 na paacutegina 21 com recurso agrave tecla g e ao touchpad
seleciona os dados que deveratildeo ficar em destaque (uma
coluna de cada vez)
22 podes copiar os dados de uma forma semelhante agrave
utilizada noutras folhas de caacutelculo atraveacutes da combinaccedilatildeo de
teclas C
23 Na paacutegina 23 podes colar os dados mais uma vez
atraveacutes da combinaccedilatildeo de teclas V
No caso de pretenderes preencher agrave matildeo cada uma das
ceacutelulas podes encontrar os siacutembolos utilizados clicando nas
teclas k surgindo um cataacutelogo de siacutembolos
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Para introduzires caracteres acentuados deves apoacutes a
digitaccedilatildeo do caraacutecter pressionar sucessivamente a tecla
Como criar graacuteficos ndash II
Cria um novo graacutefico (paacutegina 24) com uma leitura mais
fidedigna dos dados apresentados Segue as instruccedilotildees
anteriores
Atenccedilatildeo com a correta identificaccedilatildeo das variaacuteveis
Nota Clicando sobre as setas associadas agraves caixas de ediccedilatildeo
aparece o conjunto de variaacuteveis definidas
Coacutepia de conjuntos de dados para uma nova folha de caacutelculo
Cria uma nova folha de caacutelculo (paacutegina 25) e copia dos dados
iniciais o conjunto de dados com a identificaccedilatildeo dos paiacuteses e
das respetivas emissotildees de CO2 em 2008
Copiar os dados para novas colunaslistas
Faz um clique duplo na ceacutelula a cinzento (linha de foacutermulas
para listas) de cada uma das colunas onde pretendes introduzir
os dados e pressionando a tecla h seleciona as variaacuteveis
paiacuteses e co2_2008 para cada uma das colunas
respetivamente
Ao clicares em middot satildeo inseridos todos os dados destas duas
variaacuteveis De seguida seleciona as duas ceacutelulas a cinzento e
apaga-as pressionando a tecla desta forma foi removida a
dependecircncia destes dados das variaacuteveis a eles associadas
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Como escrever uma foacutermula
Para natildeo interferir com os dados jaacute introduzidos calcula a
partir da coluna D o valor total das emissotildees de cada um dos
conjuntos de paiacuteses os primeiros cinco paiacuteses (Top_5)
Restantes 15 paiacuteses do Top (Rest_15) e o resto do Mundo
(Rest_Mundo) Natildeo te esqueccedilas de introduzir estes nomes
entre aspas
Nota mais uma vez para a construccedilatildeo do graacutefico temos que
criar novas variaacuteveis ndash top_paiacuteses e top_2008
Observa que para efetuar alguns tipos de caacutelculo podes utilizar
funccedilotildees preacute-definidas (por exemplo sum() cumsum() mean()
hellip) tal como acontece noutras folhas de caacutelculo
Compreender as referecircncias a ceacutelulas nas foacutermulas
Numa foacutermula podes incluir
bull a letra de uma coluna e o nuacutemero de uma linha para uma referecircncia relativa
bull o siacutembolo $ antes da letra da coluna eou do nuacutemero da linha para especificar
uma referecircncia absoluta
bull dois pontos () entre duas referecircncias de ceacutelulas para especificar um intervalo
de ceacutelulas
bull uma referecircncia a uma variaacutevel definida anteriormente
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Como trabalhar com linhas e colunas de dados
Selecionar uma coluna ou linha
1 Prime sem soltar pound para mover para aleacutem da ceacutelula superior
da coluna de modo anaacutelogo para selecionar a linha
2 Para alargar uma seleccedilatildeo agraves colunas ou linhas adjacentes
prime sem soltar g e simultaneamente em iexcl cent pound ou curren
3 Prime d para cancelar a seleccedilatildeo
Redimensionar uma linha ou coluna
1 Atraveacutes do menu de contexto b seleciona
8Redimensionar e 1Largura da coluna
2 Clica na seta de direccedilatildeo do Touchpad respetiva de forma a
ajustar manualmente ao tamanho pretendido
3 Termina pressionando middot
Nota Caso queiras anular a uacuteltima accedilatildeo realizada podes clicar no conjunto de
teclas d
Como criar graacuteficos de barras e graacuteficos circulares
Ainda no mesmo problema abre uma nova paacutegina de Dados e
Estatiacutestica
A partir do graacutefico de resumo identifica as variaacuteveis a
representar (utiliza os elevadores para selecionar as variaacuteveis
pretendidas)
Aparece por defeito um diagrama de barras Clicando em
b aparece a opccedilatildeo de construccedilatildeo de um graacutefico circular
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Podemos associar uma etiqueta a cada sector circular atraveacutes
de b opccedilatildeo 2Mostrar todas as etiquetas
Como efetuar um caacutelculo a partir de variaacuteveis jaacute definidas
Cria na paacutegina inicial 21 na coluna D (para natildeo interferir com
os dados introduzidos) uma nova variaacutevel associada ao caacutelculo
da variaccedilatildeo percentual das emissotildees por paiacutes entre 2006 e
2008 e que denominaremos var_perc
A foacutermula que nos permitiraacute efetuar o caacutelculo automaacutetico para
todos os paiacuteses deve ser introduzido na ceacutelula cinzenta da
coluna D
Nota Um processo raacutepido para obteres a configuraccedilatildeo dos
resultados em nuacutemeros decimais seraacute acrescentares o ponto a
um dos fatores (no nosso caso podes multiplicar por 100 )
indicando dessa forma que pretendes o resultado na forma
decimal
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Como ordenar dados num graacutefico
Depois de obteres o graacutefico de barras da figura podes ordenar
os dados
Depois de colocar o cursor sobre o graacutefico clica sobre b
3Ordenar e 2 Ordem por valores
Nota
1 Recorda que podes associar a cada barra a respetiva
etiqueta de forma a perceberes o valor da variaccedilatildeo para
cada paiacutes
2 Para alterares a cor de cada barra deves selecionar
primeiro a barra clicando sobre ela e em seguida clicar
sobre ~ 2Editar 7Cor e 2Cor de
preenchimento em seguida selecionar a cor
pretendida
() e () Os dados utilizados foram adaptados dos sites
httpenwikipediaorgwikiList_of_countries_by_carbon_dioxide_emissions
httpwwwgooglecompublicdatads=wb-diampmet=ny_gdp_mktp_cdampidim=countryPRTampdl=pt-PTamphl=pt-PTampq=pib
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Ratio entre o PIB e as Emissotildees de CO2
bull Como pudemos observar nas atividades anteriores as emissotildees de
CO2 apresentam diferenccedilas significativas de paiacutes para paiacutes
devido entre outros fatores agrave sua dimensatildeo e grau de
desenvolvimento
Vamos introduzir uma nova variaacutevel Produto Interno Bruto
(PIB) por emissotildees de CO2 que denominaremos de pib_p_co2 e
que utilizaremos para poder comparar a distribuiccedilatildeo de emissotildees
de CO2 e cuja unidade seraacute doacutelares por tonelada
bull Esta variaacutevel representa o ratio entre o PIB e as emissotildees de
dioacutexido de carbono e permite identificar os paiacuteses mais eficientes
em termos de emissotildees ie aqueles que produzem mais riqueza
por tonelada CO2 emitido
1 Determina os paracircmetros estatiacutesticos mais habituais (valor meacutedio
mediana desvio padratildeo e quartis) desta nova variaacutevel e
interpreta-os
2 Confirma graficamente se existe enviesamento da distribuiccedilatildeo
(no caso da meacutedia gt mediana - enviesamento para a direita )
Compara numa mesma paacutegina (alterando o esquema de paacutegina)
o histograma e o diagrama de extremos e quartis e analisa como
se reflete o enviesamento nos dois tipos de graacuteficos
3 Com base no histograma anterior agrupa os dados em classes em
que cada classe teraacute uma amplitude de 1 doacutelar por tonelada
Como introduzir uma coluna com dados calculados
No caso concreto a tabela com os dados do PIB e das
emissotildees de C02 em 2006 estaacute na paacutegina 31
Acrescenta uma nova variaacutevel na coluna D denominada
pib_p_co2 onde seratildeo calculados os ratios entre o PIB e
as emissotildees para cada um dos paiacuteses
Poderaacutes reduzir o nuacutemero de diacutegitos apresentados clicando
no canto superior direito da janela (iacutecone da esquerda) e
selecionando nas definiccedilotildees gerais a opccedilatildeo do nuacutemero de
diacutegitos significativos pretendidos
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Como utilizar os dados de uma tabela para anaacutelise estatiacutestica
Podes obter na proacutepria Folha de caacutelculo um resumo dos paracircmetros estatiacutesticos
associados a uma variaacutevel
Em b 4Estatiacutestica acede agrave opccedilatildeo 1Caacutelculos
estatiacutesticos 1 Estatiacutestica de uma variaacutevel
Nota
1 Poderaacutes calcular a estatiacutestica de mais do que uma
variaacutevel identificando o nuacutemero de listas sobre as quais
seratildeo efetuados os caacutelculos
2 Observa que podes definir em que coluna pretendes que comecem a aparecer
os resultados dessa anaacutelise
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Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
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2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
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2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
5
4
3
1
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
3
4
5
1
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
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Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 3
Como adicionar a aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Comeccedila por te localizares na paacutegina 21 e abre uma paacutegina
22 de Dados e Estatiacutestica
Como criar graacuteficos - I
Aparece uma nova paacutegina no problema ativo (paacutegina 22) com
uma representaccedilatildeo graacutefica predefinida do conjunto de dados
Como selecionar na janela graacutefica as variaacuteveis pretendidas
Na janela graacutefica com o cursor no centro da imagem deves
clicar em b e selecionar a opccedilatildeo 3Adicionar
variaacutevel X com lista resumo
Em seguida podes selecionar a variaacutevel que te interessa
representar graficamente clicando sobre as zonas de legenda
Caso pretendas acrescentar uma nova variaacutevel deves clicar
em b e selecionar 2Propriedades do graacutefico
9Adicionar lista de resumo Y e escolher a nova variaacutevel
(neste caso as emissotildees de CO2 em 2008)
Repara que automaticamente surgem dois conjuntos de
barras com cores identificativas de cada uma das variaacuteveis
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Deslocando o cursor por cima de cada uma das barras surge-
te uma caixa com os dados especiacuteficos
Como criar listas
Apoacutes teres adicionado ao problema uma nova paacutegina 23
com a aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo introduz duas
listas identificando os ldquopaiacutesesrdquo representados no graacutefico da
paacutegina inicial e as respetivas emissotildees
1 Na primeira linha escreve o nome dos campos paiacuteses_grf2
e co2_2008_grf2
Nota precisas de definir novas variaacuteveis com os dados
resumidos para as poderes utilizar aquando da construccedilatildeo do
graacutefico
2 Para evitar teres que introduzir os dados poderaacutes copiaacute-los
da paacutegina inicial
21 na paacutegina 21 com recurso agrave tecla g e ao touchpad
seleciona os dados que deveratildeo ficar em destaque (uma
coluna de cada vez)
22 podes copiar os dados de uma forma semelhante agrave
utilizada noutras folhas de caacutelculo atraveacutes da combinaccedilatildeo de
teclas C
23 Na paacutegina 23 podes colar os dados mais uma vez
atraveacutes da combinaccedilatildeo de teclas V
No caso de pretenderes preencher agrave matildeo cada uma das
ceacutelulas podes encontrar os siacutembolos utilizados clicando nas
teclas k surgindo um cataacutelogo de siacutembolos
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Para introduzires caracteres acentuados deves apoacutes a
digitaccedilatildeo do caraacutecter pressionar sucessivamente a tecla
Como criar graacuteficos ndash II
Cria um novo graacutefico (paacutegina 24) com uma leitura mais
fidedigna dos dados apresentados Segue as instruccedilotildees
anteriores
Atenccedilatildeo com a correta identificaccedilatildeo das variaacuteveis
Nota Clicando sobre as setas associadas agraves caixas de ediccedilatildeo
aparece o conjunto de variaacuteveis definidas
Coacutepia de conjuntos de dados para uma nova folha de caacutelculo
Cria uma nova folha de caacutelculo (paacutegina 25) e copia dos dados
iniciais o conjunto de dados com a identificaccedilatildeo dos paiacuteses e
das respetivas emissotildees de CO2 em 2008
Copiar os dados para novas colunaslistas
Faz um clique duplo na ceacutelula a cinzento (linha de foacutermulas
para listas) de cada uma das colunas onde pretendes introduzir
os dados e pressionando a tecla h seleciona as variaacuteveis
paiacuteses e co2_2008 para cada uma das colunas
respetivamente
Ao clicares em middot satildeo inseridos todos os dados destas duas
variaacuteveis De seguida seleciona as duas ceacutelulas a cinzento e
apaga-as pressionando a tecla desta forma foi removida a
dependecircncia destes dados das variaacuteveis a eles associadas
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Como escrever uma foacutermula
Para natildeo interferir com os dados jaacute introduzidos calcula a
partir da coluna D o valor total das emissotildees de cada um dos
conjuntos de paiacuteses os primeiros cinco paiacuteses (Top_5)
Restantes 15 paiacuteses do Top (Rest_15) e o resto do Mundo
(Rest_Mundo) Natildeo te esqueccedilas de introduzir estes nomes
entre aspas
Nota mais uma vez para a construccedilatildeo do graacutefico temos que
criar novas variaacuteveis ndash top_paiacuteses e top_2008
Observa que para efetuar alguns tipos de caacutelculo podes utilizar
funccedilotildees preacute-definidas (por exemplo sum() cumsum() mean()
hellip) tal como acontece noutras folhas de caacutelculo
Compreender as referecircncias a ceacutelulas nas foacutermulas
Numa foacutermula podes incluir
bull a letra de uma coluna e o nuacutemero de uma linha para uma referecircncia relativa
bull o siacutembolo $ antes da letra da coluna eou do nuacutemero da linha para especificar
uma referecircncia absoluta
bull dois pontos () entre duas referecircncias de ceacutelulas para especificar um intervalo
de ceacutelulas
bull uma referecircncia a uma variaacutevel definida anteriormente
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Como trabalhar com linhas e colunas de dados
Selecionar uma coluna ou linha
1 Prime sem soltar pound para mover para aleacutem da ceacutelula superior
da coluna de modo anaacutelogo para selecionar a linha
2 Para alargar uma seleccedilatildeo agraves colunas ou linhas adjacentes
prime sem soltar g e simultaneamente em iexcl cent pound ou curren
3 Prime d para cancelar a seleccedilatildeo
Redimensionar uma linha ou coluna
1 Atraveacutes do menu de contexto b seleciona
8Redimensionar e 1Largura da coluna
2 Clica na seta de direccedilatildeo do Touchpad respetiva de forma a
ajustar manualmente ao tamanho pretendido
3 Termina pressionando middot
Nota Caso queiras anular a uacuteltima accedilatildeo realizada podes clicar no conjunto de
teclas d
Como criar graacuteficos de barras e graacuteficos circulares
Ainda no mesmo problema abre uma nova paacutegina de Dados e
Estatiacutestica
A partir do graacutefico de resumo identifica as variaacuteveis a
representar (utiliza os elevadores para selecionar as variaacuteveis
pretendidas)
Aparece por defeito um diagrama de barras Clicando em
b aparece a opccedilatildeo de construccedilatildeo de um graacutefico circular
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Podemos associar uma etiqueta a cada sector circular atraveacutes
de b opccedilatildeo 2Mostrar todas as etiquetas
Como efetuar um caacutelculo a partir de variaacuteveis jaacute definidas
Cria na paacutegina inicial 21 na coluna D (para natildeo interferir com
os dados introduzidos) uma nova variaacutevel associada ao caacutelculo
da variaccedilatildeo percentual das emissotildees por paiacutes entre 2006 e
2008 e que denominaremos var_perc
A foacutermula que nos permitiraacute efetuar o caacutelculo automaacutetico para
todos os paiacuteses deve ser introduzido na ceacutelula cinzenta da
coluna D
Nota Um processo raacutepido para obteres a configuraccedilatildeo dos
resultados em nuacutemeros decimais seraacute acrescentares o ponto a
um dos fatores (no nosso caso podes multiplicar por 100 )
indicando dessa forma que pretendes o resultado na forma
decimal
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Como ordenar dados num graacutefico
Depois de obteres o graacutefico de barras da figura podes ordenar
os dados
Depois de colocar o cursor sobre o graacutefico clica sobre b
3Ordenar e 2 Ordem por valores
Nota
1 Recorda que podes associar a cada barra a respetiva
etiqueta de forma a perceberes o valor da variaccedilatildeo para
cada paiacutes
2 Para alterares a cor de cada barra deves selecionar
primeiro a barra clicando sobre ela e em seguida clicar
sobre ~ 2Editar 7Cor e 2Cor de
preenchimento em seguida selecionar a cor
pretendida
() e () Os dados utilizados foram adaptados dos sites
httpenwikipediaorgwikiList_of_countries_by_carbon_dioxide_emissions
httpwwwgooglecompublicdatads=wb-diampmet=ny_gdp_mktp_cdampidim=countryPRTampdl=pt-PTamphl=pt-PTampq=pib
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Ratio entre o PIB e as Emissotildees de CO2
bull Como pudemos observar nas atividades anteriores as emissotildees de
CO2 apresentam diferenccedilas significativas de paiacutes para paiacutes
devido entre outros fatores agrave sua dimensatildeo e grau de
desenvolvimento
Vamos introduzir uma nova variaacutevel Produto Interno Bruto
(PIB) por emissotildees de CO2 que denominaremos de pib_p_co2 e
que utilizaremos para poder comparar a distribuiccedilatildeo de emissotildees
de CO2 e cuja unidade seraacute doacutelares por tonelada
bull Esta variaacutevel representa o ratio entre o PIB e as emissotildees de
dioacutexido de carbono e permite identificar os paiacuteses mais eficientes
em termos de emissotildees ie aqueles que produzem mais riqueza
por tonelada CO2 emitido
1 Determina os paracircmetros estatiacutesticos mais habituais (valor meacutedio
mediana desvio padratildeo e quartis) desta nova variaacutevel e
interpreta-os
2 Confirma graficamente se existe enviesamento da distribuiccedilatildeo
(no caso da meacutedia gt mediana - enviesamento para a direita )
Compara numa mesma paacutegina (alterando o esquema de paacutegina)
o histograma e o diagrama de extremos e quartis e analisa como
se reflete o enviesamento nos dois tipos de graacuteficos
3 Com base no histograma anterior agrupa os dados em classes em
que cada classe teraacute uma amplitude de 1 doacutelar por tonelada
Como introduzir uma coluna com dados calculados
No caso concreto a tabela com os dados do PIB e das
emissotildees de C02 em 2006 estaacute na paacutegina 31
Acrescenta uma nova variaacutevel na coluna D denominada
pib_p_co2 onde seratildeo calculados os ratios entre o PIB e
as emissotildees para cada um dos paiacuteses
Poderaacutes reduzir o nuacutemero de diacutegitos apresentados clicando
no canto superior direito da janela (iacutecone da esquerda) e
selecionando nas definiccedilotildees gerais a opccedilatildeo do nuacutemero de
diacutegitos significativos pretendidos
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como utilizar os dados de uma tabela para anaacutelise estatiacutestica
Podes obter na proacutepria Folha de caacutelculo um resumo dos paracircmetros estatiacutesticos
associados a uma variaacutevel
Em b 4Estatiacutestica acede agrave opccedilatildeo 1Caacutelculos
estatiacutesticos 1 Estatiacutestica de uma variaacutevel
Nota
1 Poderaacutes calcular a estatiacutestica de mais do que uma
variaacutevel identificando o nuacutemero de listas sobre as quais
seratildeo efetuados os caacutelculos
2 Observa que podes definir em que coluna pretendes que comecem a aparecer
os resultados dessa anaacutelise
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Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 12
Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
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2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 21
2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
5
4
3
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
3
4
5
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 25
2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 4
Deslocando o cursor por cima de cada uma das barras surge-
te uma caixa com os dados especiacuteficos
Como criar listas
Apoacutes teres adicionado ao problema uma nova paacutegina 23
com a aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo introduz duas
listas identificando os ldquopaiacutesesrdquo representados no graacutefico da
paacutegina inicial e as respetivas emissotildees
1 Na primeira linha escreve o nome dos campos paiacuteses_grf2
e co2_2008_grf2
Nota precisas de definir novas variaacuteveis com os dados
resumidos para as poderes utilizar aquando da construccedilatildeo do
graacutefico
2 Para evitar teres que introduzir os dados poderaacutes copiaacute-los
da paacutegina inicial
21 na paacutegina 21 com recurso agrave tecla g e ao touchpad
seleciona os dados que deveratildeo ficar em destaque (uma
coluna de cada vez)
22 podes copiar os dados de uma forma semelhante agrave
utilizada noutras folhas de caacutelculo atraveacutes da combinaccedilatildeo de
teclas C
23 Na paacutegina 23 podes colar os dados mais uma vez
atraveacutes da combinaccedilatildeo de teclas V
No caso de pretenderes preencher agrave matildeo cada uma das
ceacutelulas podes encontrar os siacutembolos utilizados clicando nas
teclas k surgindo um cataacutelogo de siacutembolos
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Para introduzires caracteres acentuados deves apoacutes a
digitaccedilatildeo do caraacutecter pressionar sucessivamente a tecla
Como criar graacuteficos ndash II
Cria um novo graacutefico (paacutegina 24) com uma leitura mais
fidedigna dos dados apresentados Segue as instruccedilotildees
anteriores
Atenccedilatildeo com a correta identificaccedilatildeo das variaacuteveis
Nota Clicando sobre as setas associadas agraves caixas de ediccedilatildeo
aparece o conjunto de variaacuteveis definidas
Coacutepia de conjuntos de dados para uma nova folha de caacutelculo
Cria uma nova folha de caacutelculo (paacutegina 25) e copia dos dados
iniciais o conjunto de dados com a identificaccedilatildeo dos paiacuteses e
das respetivas emissotildees de CO2 em 2008
Copiar os dados para novas colunaslistas
Faz um clique duplo na ceacutelula a cinzento (linha de foacutermulas
para listas) de cada uma das colunas onde pretendes introduzir
os dados e pressionando a tecla h seleciona as variaacuteveis
paiacuteses e co2_2008 para cada uma das colunas
respetivamente
Ao clicares em middot satildeo inseridos todos os dados destas duas
variaacuteveis De seguida seleciona as duas ceacutelulas a cinzento e
apaga-as pressionando a tecla desta forma foi removida a
dependecircncia destes dados das variaacuteveis a eles associadas
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 6
Como escrever uma foacutermula
Para natildeo interferir com os dados jaacute introduzidos calcula a
partir da coluna D o valor total das emissotildees de cada um dos
conjuntos de paiacuteses os primeiros cinco paiacuteses (Top_5)
Restantes 15 paiacuteses do Top (Rest_15) e o resto do Mundo
(Rest_Mundo) Natildeo te esqueccedilas de introduzir estes nomes
entre aspas
Nota mais uma vez para a construccedilatildeo do graacutefico temos que
criar novas variaacuteveis ndash top_paiacuteses e top_2008
Observa que para efetuar alguns tipos de caacutelculo podes utilizar
funccedilotildees preacute-definidas (por exemplo sum() cumsum() mean()
hellip) tal como acontece noutras folhas de caacutelculo
Compreender as referecircncias a ceacutelulas nas foacutermulas
Numa foacutermula podes incluir
bull a letra de uma coluna e o nuacutemero de uma linha para uma referecircncia relativa
bull o siacutembolo $ antes da letra da coluna eou do nuacutemero da linha para especificar
uma referecircncia absoluta
bull dois pontos () entre duas referecircncias de ceacutelulas para especificar um intervalo
de ceacutelulas
bull uma referecircncia a uma variaacutevel definida anteriormente
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como trabalhar com linhas e colunas de dados
Selecionar uma coluna ou linha
1 Prime sem soltar pound para mover para aleacutem da ceacutelula superior
da coluna de modo anaacutelogo para selecionar a linha
2 Para alargar uma seleccedilatildeo agraves colunas ou linhas adjacentes
prime sem soltar g e simultaneamente em iexcl cent pound ou curren
3 Prime d para cancelar a seleccedilatildeo
Redimensionar uma linha ou coluna
1 Atraveacutes do menu de contexto b seleciona
8Redimensionar e 1Largura da coluna
2 Clica na seta de direccedilatildeo do Touchpad respetiva de forma a
ajustar manualmente ao tamanho pretendido
3 Termina pressionando middot
Nota Caso queiras anular a uacuteltima accedilatildeo realizada podes clicar no conjunto de
teclas d
Como criar graacuteficos de barras e graacuteficos circulares
Ainda no mesmo problema abre uma nova paacutegina de Dados e
Estatiacutestica
A partir do graacutefico de resumo identifica as variaacuteveis a
representar (utiliza os elevadores para selecionar as variaacuteveis
pretendidas)
Aparece por defeito um diagrama de barras Clicando em
b aparece a opccedilatildeo de construccedilatildeo de um graacutefico circular
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Podemos associar uma etiqueta a cada sector circular atraveacutes
de b opccedilatildeo 2Mostrar todas as etiquetas
Como efetuar um caacutelculo a partir de variaacuteveis jaacute definidas
Cria na paacutegina inicial 21 na coluna D (para natildeo interferir com
os dados introduzidos) uma nova variaacutevel associada ao caacutelculo
da variaccedilatildeo percentual das emissotildees por paiacutes entre 2006 e
2008 e que denominaremos var_perc
A foacutermula que nos permitiraacute efetuar o caacutelculo automaacutetico para
todos os paiacuteses deve ser introduzido na ceacutelula cinzenta da
coluna D
Nota Um processo raacutepido para obteres a configuraccedilatildeo dos
resultados em nuacutemeros decimais seraacute acrescentares o ponto a
um dos fatores (no nosso caso podes multiplicar por 100 )
indicando dessa forma que pretendes o resultado na forma
decimal
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Como ordenar dados num graacutefico
Depois de obteres o graacutefico de barras da figura podes ordenar
os dados
Depois de colocar o cursor sobre o graacutefico clica sobre b
3Ordenar e 2 Ordem por valores
Nota
1 Recorda que podes associar a cada barra a respetiva
etiqueta de forma a perceberes o valor da variaccedilatildeo para
cada paiacutes
2 Para alterares a cor de cada barra deves selecionar
primeiro a barra clicando sobre ela e em seguida clicar
sobre ~ 2Editar 7Cor e 2Cor de
preenchimento em seguida selecionar a cor
pretendida
() e () Os dados utilizados foram adaptados dos sites
httpenwikipediaorgwikiList_of_countries_by_carbon_dioxide_emissions
httpwwwgooglecompublicdatads=wb-diampmet=ny_gdp_mktp_cdampidim=countryPRTampdl=pt-PTamphl=pt-PTampq=pib
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Ratio entre o PIB e as Emissotildees de CO2
bull Como pudemos observar nas atividades anteriores as emissotildees de
CO2 apresentam diferenccedilas significativas de paiacutes para paiacutes
devido entre outros fatores agrave sua dimensatildeo e grau de
desenvolvimento
Vamos introduzir uma nova variaacutevel Produto Interno Bruto
(PIB) por emissotildees de CO2 que denominaremos de pib_p_co2 e
que utilizaremos para poder comparar a distribuiccedilatildeo de emissotildees
de CO2 e cuja unidade seraacute doacutelares por tonelada
bull Esta variaacutevel representa o ratio entre o PIB e as emissotildees de
dioacutexido de carbono e permite identificar os paiacuteses mais eficientes
em termos de emissotildees ie aqueles que produzem mais riqueza
por tonelada CO2 emitido
1 Determina os paracircmetros estatiacutesticos mais habituais (valor meacutedio
mediana desvio padratildeo e quartis) desta nova variaacutevel e
interpreta-os
2 Confirma graficamente se existe enviesamento da distribuiccedilatildeo
(no caso da meacutedia gt mediana - enviesamento para a direita )
Compara numa mesma paacutegina (alterando o esquema de paacutegina)
o histograma e o diagrama de extremos e quartis e analisa como
se reflete o enviesamento nos dois tipos de graacuteficos
3 Com base no histograma anterior agrupa os dados em classes em
que cada classe teraacute uma amplitude de 1 doacutelar por tonelada
Como introduzir uma coluna com dados calculados
No caso concreto a tabela com os dados do PIB e das
emissotildees de C02 em 2006 estaacute na paacutegina 31
Acrescenta uma nova variaacutevel na coluna D denominada
pib_p_co2 onde seratildeo calculados os ratios entre o PIB e
as emissotildees para cada um dos paiacuteses
Poderaacutes reduzir o nuacutemero de diacutegitos apresentados clicando
no canto superior direito da janela (iacutecone da esquerda) e
selecionando nas definiccedilotildees gerais a opccedilatildeo do nuacutemero de
diacutegitos significativos pretendidos
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Como utilizar os dados de uma tabela para anaacutelise estatiacutestica
Podes obter na proacutepria Folha de caacutelculo um resumo dos paracircmetros estatiacutesticos
associados a uma variaacutevel
Em b 4Estatiacutestica acede agrave opccedilatildeo 1Caacutelculos
estatiacutesticos 1 Estatiacutestica de uma variaacutevel
Nota
1 Poderaacutes calcular a estatiacutestica de mais do que uma
variaacutevel identificando o nuacutemero de listas sobre as quais
seratildeo efetuados os caacutelculos
2 Observa que podes definir em que coluna pretendes que comecem a aparecer
os resultados dessa anaacutelise
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Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
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2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 21
2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 22
IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
5
4
3
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 24
1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
3
4
5
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 25
2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 5
Para introduzires caracteres acentuados deves apoacutes a
digitaccedilatildeo do caraacutecter pressionar sucessivamente a tecla
Como criar graacuteficos ndash II
Cria um novo graacutefico (paacutegina 24) com uma leitura mais
fidedigna dos dados apresentados Segue as instruccedilotildees
anteriores
Atenccedilatildeo com a correta identificaccedilatildeo das variaacuteveis
Nota Clicando sobre as setas associadas agraves caixas de ediccedilatildeo
aparece o conjunto de variaacuteveis definidas
Coacutepia de conjuntos de dados para uma nova folha de caacutelculo
Cria uma nova folha de caacutelculo (paacutegina 25) e copia dos dados
iniciais o conjunto de dados com a identificaccedilatildeo dos paiacuteses e
das respetivas emissotildees de CO2 em 2008
Copiar os dados para novas colunaslistas
Faz um clique duplo na ceacutelula a cinzento (linha de foacutermulas
para listas) de cada uma das colunas onde pretendes introduzir
os dados e pressionando a tecla h seleciona as variaacuteveis
paiacuteses e co2_2008 para cada uma das colunas
respetivamente
Ao clicares em middot satildeo inseridos todos os dados destas duas
variaacuteveis De seguida seleciona as duas ceacutelulas a cinzento e
apaga-as pressionando a tecla desta forma foi removida a
dependecircncia destes dados das variaacuteveis a eles associadas
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Como escrever uma foacutermula
Para natildeo interferir com os dados jaacute introduzidos calcula a
partir da coluna D o valor total das emissotildees de cada um dos
conjuntos de paiacuteses os primeiros cinco paiacuteses (Top_5)
Restantes 15 paiacuteses do Top (Rest_15) e o resto do Mundo
(Rest_Mundo) Natildeo te esqueccedilas de introduzir estes nomes
entre aspas
Nota mais uma vez para a construccedilatildeo do graacutefico temos que
criar novas variaacuteveis ndash top_paiacuteses e top_2008
Observa que para efetuar alguns tipos de caacutelculo podes utilizar
funccedilotildees preacute-definidas (por exemplo sum() cumsum() mean()
hellip) tal como acontece noutras folhas de caacutelculo
Compreender as referecircncias a ceacutelulas nas foacutermulas
Numa foacutermula podes incluir
bull a letra de uma coluna e o nuacutemero de uma linha para uma referecircncia relativa
bull o siacutembolo $ antes da letra da coluna eou do nuacutemero da linha para especificar
uma referecircncia absoluta
bull dois pontos () entre duas referecircncias de ceacutelulas para especificar um intervalo
de ceacutelulas
bull uma referecircncia a uma variaacutevel definida anteriormente
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Como trabalhar com linhas e colunas de dados
Selecionar uma coluna ou linha
1 Prime sem soltar pound para mover para aleacutem da ceacutelula superior
da coluna de modo anaacutelogo para selecionar a linha
2 Para alargar uma seleccedilatildeo agraves colunas ou linhas adjacentes
prime sem soltar g e simultaneamente em iexcl cent pound ou curren
3 Prime d para cancelar a seleccedilatildeo
Redimensionar uma linha ou coluna
1 Atraveacutes do menu de contexto b seleciona
8Redimensionar e 1Largura da coluna
2 Clica na seta de direccedilatildeo do Touchpad respetiva de forma a
ajustar manualmente ao tamanho pretendido
3 Termina pressionando middot
Nota Caso queiras anular a uacuteltima accedilatildeo realizada podes clicar no conjunto de
teclas d
Como criar graacuteficos de barras e graacuteficos circulares
Ainda no mesmo problema abre uma nova paacutegina de Dados e
Estatiacutestica
A partir do graacutefico de resumo identifica as variaacuteveis a
representar (utiliza os elevadores para selecionar as variaacuteveis
pretendidas)
Aparece por defeito um diagrama de barras Clicando em
b aparece a opccedilatildeo de construccedilatildeo de um graacutefico circular
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Podemos associar uma etiqueta a cada sector circular atraveacutes
de b opccedilatildeo 2Mostrar todas as etiquetas
Como efetuar um caacutelculo a partir de variaacuteveis jaacute definidas
Cria na paacutegina inicial 21 na coluna D (para natildeo interferir com
os dados introduzidos) uma nova variaacutevel associada ao caacutelculo
da variaccedilatildeo percentual das emissotildees por paiacutes entre 2006 e
2008 e que denominaremos var_perc
A foacutermula que nos permitiraacute efetuar o caacutelculo automaacutetico para
todos os paiacuteses deve ser introduzido na ceacutelula cinzenta da
coluna D
Nota Um processo raacutepido para obteres a configuraccedilatildeo dos
resultados em nuacutemeros decimais seraacute acrescentares o ponto a
um dos fatores (no nosso caso podes multiplicar por 100 )
indicando dessa forma que pretendes o resultado na forma
decimal
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Como ordenar dados num graacutefico
Depois de obteres o graacutefico de barras da figura podes ordenar
os dados
Depois de colocar o cursor sobre o graacutefico clica sobre b
3Ordenar e 2 Ordem por valores
Nota
1 Recorda que podes associar a cada barra a respetiva
etiqueta de forma a perceberes o valor da variaccedilatildeo para
cada paiacutes
2 Para alterares a cor de cada barra deves selecionar
primeiro a barra clicando sobre ela e em seguida clicar
sobre ~ 2Editar 7Cor e 2Cor de
preenchimento em seguida selecionar a cor
pretendida
() e () Os dados utilizados foram adaptados dos sites
httpenwikipediaorgwikiList_of_countries_by_carbon_dioxide_emissions
httpwwwgooglecompublicdatads=wb-diampmet=ny_gdp_mktp_cdampidim=countryPRTampdl=pt-PTamphl=pt-PTampq=pib
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Ratio entre o PIB e as Emissotildees de CO2
bull Como pudemos observar nas atividades anteriores as emissotildees de
CO2 apresentam diferenccedilas significativas de paiacutes para paiacutes
devido entre outros fatores agrave sua dimensatildeo e grau de
desenvolvimento
Vamos introduzir uma nova variaacutevel Produto Interno Bruto
(PIB) por emissotildees de CO2 que denominaremos de pib_p_co2 e
que utilizaremos para poder comparar a distribuiccedilatildeo de emissotildees
de CO2 e cuja unidade seraacute doacutelares por tonelada
bull Esta variaacutevel representa o ratio entre o PIB e as emissotildees de
dioacutexido de carbono e permite identificar os paiacuteses mais eficientes
em termos de emissotildees ie aqueles que produzem mais riqueza
por tonelada CO2 emitido
1 Determina os paracircmetros estatiacutesticos mais habituais (valor meacutedio
mediana desvio padratildeo e quartis) desta nova variaacutevel e
interpreta-os
2 Confirma graficamente se existe enviesamento da distribuiccedilatildeo
(no caso da meacutedia gt mediana - enviesamento para a direita )
Compara numa mesma paacutegina (alterando o esquema de paacutegina)
o histograma e o diagrama de extremos e quartis e analisa como
se reflete o enviesamento nos dois tipos de graacuteficos
3 Com base no histograma anterior agrupa os dados em classes em
que cada classe teraacute uma amplitude de 1 doacutelar por tonelada
Como introduzir uma coluna com dados calculados
No caso concreto a tabela com os dados do PIB e das
emissotildees de C02 em 2006 estaacute na paacutegina 31
Acrescenta uma nova variaacutevel na coluna D denominada
pib_p_co2 onde seratildeo calculados os ratios entre o PIB e
as emissotildees para cada um dos paiacuteses
Poderaacutes reduzir o nuacutemero de diacutegitos apresentados clicando
no canto superior direito da janela (iacutecone da esquerda) e
selecionando nas definiccedilotildees gerais a opccedilatildeo do nuacutemero de
diacutegitos significativos pretendidos
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Como utilizar os dados de uma tabela para anaacutelise estatiacutestica
Podes obter na proacutepria Folha de caacutelculo um resumo dos paracircmetros estatiacutesticos
associados a uma variaacutevel
Em b 4Estatiacutestica acede agrave opccedilatildeo 1Caacutelculos
estatiacutesticos 1 Estatiacutestica de uma variaacutevel
Nota
1 Poderaacutes calcular a estatiacutestica de mais do que uma
variaacutevel identificando o nuacutemero de listas sobre as quais
seratildeo efetuados os caacutelculos
2 Observa que podes definir em que coluna pretendes que comecem a aparecer
os resultados dessa anaacutelise
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Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
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2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 21
2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
5
4
3
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
3
4
5
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como escrever uma foacutermula
Para natildeo interferir com os dados jaacute introduzidos calcula a
partir da coluna D o valor total das emissotildees de cada um dos
conjuntos de paiacuteses os primeiros cinco paiacuteses (Top_5)
Restantes 15 paiacuteses do Top (Rest_15) e o resto do Mundo
(Rest_Mundo) Natildeo te esqueccedilas de introduzir estes nomes
entre aspas
Nota mais uma vez para a construccedilatildeo do graacutefico temos que
criar novas variaacuteveis ndash top_paiacuteses e top_2008
Observa que para efetuar alguns tipos de caacutelculo podes utilizar
funccedilotildees preacute-definidas (por exemplo sum() cumsum() mean()
hellip) tal como acontece noutras folhas de caacutelculo
Compreender as referecircncias a ceacutelulas nas foacutermulas
Numa foacutermula podes incluir
bull a letra de uma coluna e o nuacutemero de uma linha para uma referecircncia relativa
bull o siacutembolo $ antes da letra da coluna eou do nuacutemero da linha para especificar
uma referecircncia absoluta
bull dois pontos () entre duas referecircncias de ceacutelulas para especificar um intervalo
de ceacutelulas
bull uma referecircncia a uma variaacutevel definida anteriormente
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Como trabalhar com linhas e colunas de dados
Selecionar uma coluna ou linha
1 Prime sem soltar pound para mover para aleacutem da ceacutelula superior
da coluna de modo anaacutelogo para selecionar a linha
2 Para alargar uma seleccedilatildeo agraves colunas ou linhas adjacentes
prime sem soltar g e simultaneamente em iexcl cent pound ou curren
3 Prime d para cancelar a seleccedilatildeo
Redimensionar uma linha ou coluna
1 Atraveacutes do menu de contexto b seleciona
8Redimensionar e 1Largura da coluna
2 Clica na seta de direccedilatildeo do Touchpad respetiva de forma a
ajustar manualmente ao tamanho pretendido
3 Termina pressionando middot
Nota Caso queiras anular a uacuteltima accedilatildeo realizada podes clicar no conjunto de
teclas d
Como criar graacuteficos de barras e graacuteficos circulares
Ainda no mesmo problema abre uma nova paacutegina de Dados e
Estatiacutestica
A partir do graacutefico de resumo identifica as variaacuteveis a
representar (utiliza os elevadores para selecionar as variaacuteveis
pretendidas)
Aparece por defeito um diagrama de barras Clicando em
b aparece a opccedilatildeo de construccedilatildeo de um graacutefico circular
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Podemos associar uma etiqueta a cada sector circular atraveacutes
de b opccedilatildeo 2Mostrar todas as etiquetas
Como efetuar um caacutelculo a partir de variaacuteveis jaacute definidas
Cria na paacutegina inicial 21 na coluna D (para natildeo interferir com
os dados introduzidos) uma nova variaacutevel associada ao caacutelculo
da variaccedilatildeo percentual das emissotildees por paiacutes entre 2006 e
2008 e que denominaremos var_perc
A foacutermula que nos permitiraacute efetuar o caacutelculo automaacutetico para
todos os paiacuteses deve ser introduzido na ceacutelula cinzenta da
coluna D
Nota Um processo raacutepido para obteres a configuraccedilatildeo dos
resultados em nuacutemeros decimais seraacute acrescentares o ponto a
um dos fatores (no nosso caso podes multiplicar por 100 )
indicando dessa forma que pretendes o resultado na forma
decimal
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Como ordenar dados num graacutefico
Depois de obteres o graacutefico de barras da figura podes ordenar
os dados
Depois de colocar o cursor sobre o graacutefico clica sobre b
3Ordenar e 2 Ordem por valores
Nota
1 Recorda que podes associar a cada barra a respetiva
etiqueta de forma a perceberes o valor da variaccedilatildeo para
cada paiacutes
2 Para alterares a cor de cada barra deves selecionar
primeiro a barra clicando sobre ela e em seguida clicar
sobre ~ 2Editar 7Cor e 2Cor de
preenchimento em seguida selecionar a cor
pretendida
() e () Os dados utilizados foram adaptados dos sites
httpenwikipediaorgwikiList_of_countries_by_carbon_dioxide_emissions
httpwwwgooglecompublicdatads=wb-diampmet=ny_gdp_mktp_cdampidim=countryPRTampdl=pt-PTamphl=pt-PTampq=pib
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Ratio entre o PIB e as Emissotildees de CO2
bull Como pudemos observar nas atividades anteriores as emissotildees de
CO2 apresentam diferenccedilas significativas de paiacutes para paiacutes
devido entre outros fatores agrave sua dimensatildeo e grau de
desenvolvimento
Vamos introduzir uma nova variaacutevel Produto Interno Bruto
(PIB) por emissotildees de CO2 que denominaremos de pib_p_co2 e
que utilizaremos para poder comparar a distribuiccedilatildeo de emissotildees
de CO2 e cuja unidade seraacute doacutelares por tonelada
bull Esta variaacutevel representa o ratio entre o PIB e as emissotildees de
dioacutexido de carbono e permite identificar os paiacuteses mais eficientes
em termos de emissotildees ie aqueles que produzem mais riqueza
por tonelada CO2 emitido
1 Determina os paracircmetros estatiacutesticos mais habituais (valor meacutedio
mediana desvio padratildeo e quartis) desta nova variaacutevel e
interpreta-os
2 Confirma graficamente se existe enviesamento da distribuiccedilatildeo
(no caso da meacutedia gt mediana - enviesamento para a direita )
Compara numa mesma paacutegina (alterando o esquema de paacutegina)
o histograma e o diagrama de extremos e quartis e analisa como
se reflete o enviesamento nos dois tipos de graacuteficos
3 Com base no histograma anterior agrupa os dados em classes em
que cada classe teraacute uma amplitude de 1 doacutelar por tonelada
Como introduzir uma coluna com dados calculados
No caso concreto a tabela com os dados do PIB e das
emissotildees de C02 em 2006 estaacute na paacutegina 31
Acrescenta uma nova variaacutevel na coluna D denominada
pib_p_co2 onde seratildeo calculados os ratios entre o PIB e
as emissotildees para cada um dos paiacuteses
Poderaacutes reduzir o nuacutemero de diacutegitos apresentados clicando
no canto superior direito da janela (iacutecone da esquerda) e
selecionando nas definiccedilotildees gerais a opccedilatildeo do nuacutemero de
diacutegitos significativos pretendidos
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Como utilizar os dados de uma tabela para anaacutelise estatiacutestica
Podes obter na proacutepria Folha de caacutelculo um resumo dos paracircmetros estatiacutesticos
associados a uma variaacutevel
Em b 4Estatiacutestica acede agrave opccedilatildeo 1Caacutelculos
estatiacutesticos 1 Estatiacutestica de uma variaacutevel
Nota
1 Poderaacutes calcular a estatiacutestica de mais do que uma
variaacutevel identificando o nuacutemero de listas sobre as quais
seratildeo efetuados os caacutelculos
2 Observa que podes definir em que coluna pretendes que comecem a aparecer
os resultados dessa anaacutelise
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Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
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2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 21
2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
5
4
3
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 24
1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
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1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 25
2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como trabalhar com linhas e colunas de dados
Selecionar uma coluna ou linha
1 Prime sem soltar pound para mover para aleacutem da ceacutelula superior
da coluna de modo anaacutelogo para selecionar a linha
2 Para alargar uma seleccedilatildeo agraves colunas ou linhas adjacentes
prime sem soltar g e simultaneamente em iexcl cent pound ou curren
3 Prime d para cancelar a seleccedilatildeo
Redimensionar uma linha ou coluna
1 Atraveacutes do menu de contexto b seleciona
8Redimensionar e 1Largura da coluna
2 Clica na seta de direccedilatildeo do Touchpad respetiva de forma a
ajustar manualmente ao tamanho pretendido
3 Termina pressionando middot
Nota Caso queiras anular a uacuteltima accedilatildeo realizada podes clicar no conjunto de
teclas d
Como criar graacuteficos de barras e graacuteficos circulares
Ainda no mesmo problema abre uma nova paacutegina de Dados e
Estatiacutestica
A partir do graacutefico de resumo identifica as variaacuteveis a
representar (utiliza os elevadores para selecionar as variaacuteveis
pretendidas)
Aparece por defeito um diagrama de barras Clicando em
b aparece a opccedilatildeo de construccedilatildeo de um graacutefico circular
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Podemos associar uma etiqueta a cada sector circular atraveacutes
de b opccedilatildeo 2Mostrar todas as etiquetas
Como efetuar um caacutelculo a partir de variaacuteveis jaacute definidas
Cria na paacutegina inicial 21 na coluna D (para natildeo interferir com
os dados introduzidos) uma nova variaacutevel associada ao caacutelculo
da variaccedilatildeo percentual das emissotildees por paiacutes entre 2006 e
2008 e que denominaremos var_perc
A foacutermula que nos permitiraacute efetuar o caacutelculo automaacutetico para
todos os paiacuteses deve ser introduzido na ceacutelula cinzenta da
coluna D
Nota Um processo raacutepido para obteres a configuraccedilatildeo dos
resultados em nuacutemeros decimais seraacute acrescentares o ponto a
um dos fatores (no nosso caso podes multiplicar por 100 )
indicando dessa forma que pretendes o resultado na forma
decimal
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 9
Como ordenar dados num graacutefico
Depois de obteres o graacutefico de barras da figura podes ordenar
os dados
Depois de colocar o cursor sobre o graacutefico clica sobre b
3Ordenar e 2 Ordem por valores
Nota
1 Recorda que podes associar a cada barra a respetiva
etiqueta de forma a perceberes o valor da variaccedilatildeo para
cada paiacutes
2 Para alterares a cor de cada barra deves selecionar
primeiro a barra clicando sobre ela e em seguida clicar
sobre ~ 2Editar 7Cor e 2Cor de
preenchimento em seguida selecionar a cor
pretendida
() e () Os dados utilizados foram adaptados dos sites
httpenwikipediaorgwikiList_of_countries_by_carbon_dioxide_emissions
httpwwwgooglecompublicdatads=wb-diampmet=ny_gdp_mktp_cdampidim=countryPRTampdl=pt-PTamphl=pt-PTampq=pib
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Ratio entre o PIB e as Emissotildees de CO2
bull Como pudemos observar nas atividades anteriores as emissotildees de
CO2 apresentam diferenccedilas significativas de paiacutes para paiacutes
devido entre outros fatores agrave sua dimensatildeo e grau de
desenvolvimento
Vamos introduzir uma nova variaacutevel Produto Interno Bruto
(PIB) por emissotildees de CO2 que denominaremos de pib_p_co2 e
que utilizaremos para poder comparar a distribuiccedilatildeo de emissotildees
de CO2 e cuja unidade seraacute doacutelares por tonelada
bull Esta variaacutevel representa o ratio entre o PIB e as emissotildees de
dioacutexido de carbono e permite identificar os paiacuteses mais eficientes
em termos de emissotildees ie aqueles que produzem mais riqueza
por tonelada CO2 emitido
1 Determina os paracircmetros estatiacutesticos mais habituais (valor meacutedio
mediana desvio padratildeo e quartis) desta nova variaacutevel e
interpreta-os
2 Confirma graficamente se existe enviesamento da distribuiccedilatildeo
(no caso da meacutedia gt mediana - enviesamento para a direita )
Compara numa mesma paacutegina (alterando o esquema de paacutegina)
o histograma e o diagrama de extremos e quartis e analisa como
se reflete o enviesamento nos dois tipos de graacuteficos
3 Com base no histograma anterior agrupa os dados em classes em
que cada classe teraacute uma amplitude de 1 doacutelar por tonelada
Como introduzir uma coluna com dados calculados
No caso concreto a tabela com os dados do PIB e das
emissotildees de C02 em 2006 estaacute na paacutegina 31
Acrescenta uma nova variaacutevel na coluna D denominada
pib_p_co2 onde seratildeo calculados os ratios entre o PIB e
as emissotildees para cada um dos paiacuteses
Poderaacutes reduzir o nuacutemero de diacutegitos apresentados clicando
no canto superior direito da janela (iacutecone da esquerda) e
selecionando nas definiccedilotildees gerais a opccedilatildeo do nuacutemero de
diacutegitos significativos pretendidos
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Como utilizar os dados de uma tabela para anaacutelise estatiacutestica
Podes obter na proacutepria Folha de caacutelculo um resumo dos paracircmetros estatiacutesticos
associados a uma variaacutevel
Em b 4Estatiacutestica acede agrave opccedilatildeo 1Caacutelculos
estatiacutesticos 1 Estatiacutestica de uma variaacutevel
Nota
1 Poderaacutes calcular a estatiacutestica de mais do que uma
variaacutevel identificando o nuacutemero de listas sobre as quais
seratildeo efetuados os caacutelculos
2 Observa que podes definir em que coluna pretendes que comecem a aparecer
os resultados dessa anaacutelise
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Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
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2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 21
2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
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Podemos associar uma etiqueta a cada sector circular atraveacutes
de b opccedilatildeo 2Mostrar todas as etiquetas
Como efetuar um caacutelculo a partir de variaacuteveis jaacute definidas
Cria na paacutegina inicial 21 na coluna D (para natildeo interferir com
os dados introduzidos) uma nova variaacutevel associada ao caacutelculo
da variaccedilatildeo percentual das emissotildees por paiacutes entre 2006 e
2008 e que denominaremos var_perc
A foacutermula que nos permitiraacute efetuar o caacutelculo automaacutetico para
todos os paiacuteses deve ser introduzido na ceacutelula cinzenta da
coluna D
Nota Um processo raacutepido para obteres a configuraccedilatildeo dos
resultados em nuacutemeros decimais seraacute acrescentares o ponto a
um dos fatores (no nosso caso podes multiplicar por 100 )
indicando dessa forma que pretendes o resultado na forma
decimal
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Como ordenar dados num graacutefico
Depois de obteres o graacutefico de barras da figura podes ordenar
os dados
Depois de colocar o cursor sobre o graacutefico clica sobre b
3Ordenar e 2 Ordem por valores
Nota
1 Recorda que podes associar a cada barra a respetiva
etiqueta de forma a perceberes o valor da variaccedilatildeo para
cada paiacutes
2 Para alterares a cor de cada barra deves selecionar
primeiro a barra clicando sobre ela e em seguida clicar
sobre ~ 2Editar 7Cor e 2Cor de
preenchimento em seguida selecionar a cor
pretendida
() e () Os dados utilizados foram adaptados dos sites
httpenwikipediaorgwikiList_of_countries_by_carbon_dioxide_emissions
httpwwwgooglecompublicdatads=wb-diampmet=ny_gdp_mktp_cdampidim=countryPRTampdl=pt-PTamphl=pt-PTampq=pib
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Ratio entre o PIB e as Emissotildees de CO2
bull Como pudemos observar nas atividades anteriores as emissotildees de
CO2 apresentam diferenccedilas significativas de paiacutes para paiacutes
devido entre outros fatores agrave sua dimensatildeo e grau de
desenvolvimento
Vamos introduzir uma nova variaacutevel Produto Interno Bruto
(PIB) por emissotildees de CO2 que denominaremos de pib_p_co2 e
que utilizaremos para poder comparar a distribuiccedilatildeo de emissotildees
de CO2 e cuja unidade seraacute doacutelares por tonelada
bull Esta variaacutevel representa o ratio entre o PIB e as emissotildees de
dioacutexido de carbono e permite identificar os paiacuteses mais eficientes
em termos de emissotildees ie aqueles que produzem mais riqueza
por tonelada CO2 emitido
1 Determina os paracircmetros estatiacutesticos mais habituais (valor meacutedio
mediana desvio padratildeo e quartis) desta nova variaacutevel e
interpreta-os
2 Confirma graficamente se existe enviesamento da distribuiccedilatildeo
(no caso da meacutedia gt mediana - enviesamento para a direita )
Compara numa mesma paacutegina (alterando o esquema de paacutegina)
o histograma e o diagrama de extremos e quartis e analisa como
se reflete o enviesamento nos dois tipos de graacuteficos
3 Com base no histograma anterior agrupa os dados em classes em
que cada classe teraacute uma amplitude de 1 doacutelar por tonelada
Como introduzir uma coluna com dados calculados
No caso concreto a tabela com os dados do PIB e das
emissotildees de C02 em 2006 estaacute na paacutegina 31
Acrescenta uma nova variaacutevel na coluna D denominada
pib_p_co2 onde seratildeo calculados os ratios entre o PIB e
as emissotildees para cada um dos paiacuteses
Poderaacutes reduzir o nuacutemero de diacutegitos apresentados clicando
no canto superior direito da janela (iacutecone da esquerda) e
selecionando nas definiccedilotildees gerais a opccedilatildeo do nuacutemero de
diacutegitos significativos pretendidos
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como utilizar os dados de uma tabela para anaacutelise estatiacutestica
Podes obter na proacutepria Folha de caacutelculo um resumo dos paracircmetros estatiacutesticos
associados a uma variaacutevel
Em b 4Estatiacutestica acede agrave opccedilatildeo 1Caacutelculos
estatiacutesticos 1 Estatiacutestica de uma variaacutevel
Nota
1 Poderaacutes calcular a estatiacutestica de mais do que uma
variaacutevel identificando o nuacutemero de listas sobre as quais
seratildeo efetuados os caacutelculos
2 Observa que podes definir em que coluna pretendes que comecem a aparecer
os resultados dessa anaacutelise
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Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
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2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
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2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 24
1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 25
2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como ordenar dados num graacutefico
Depois de obteres o graacutefico de barras da figura podes ordenar
os dados
Depois de colocar o cursor sobre o graacutefico clica sobre b
3Ordenar e 2 Ordem por valores
Nota
1 Recorda que podes associar a cada barra a respetiva
etiqueta de forma a perceberes o valor da variaccedilatildeo para
cada paiacutes
2 Para alterares a cor de cada barra deves selecionar
primeiro a barra clicando sobre ela e em seguida clicar
sobre ~ 2Editar 7Cor e 2Cor de
preenchimento em seguida selecionar a cor
pretendida
() e () Os dados utilizados foram adaptados dos sites
httpenwikipediaorgwikiList_of_countries_by_carbon_dioxide_emissions
httpwwwgooglecompublicdatads=wb-diampmet=ny_gdp_mktp_cdampidim=countryPRTampdl=pt-PTamphl=pt-PTampq=pib
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 10
Ratio entre o PIB e as Emissotildees de CO2
bull Como pudemos observar nas atividades anteriores as emissotildees de
CO2 apresentam diferenccedilas significativas de paiacutes para paiacutes
devido entre outros fatores agrave sua dimensatildeo e grau de
desenvolvimento
Vamos introduzir uma nova variaacutevel Produto Interno Bruto
(PIB) por emissotildees de CO2 que denominaremos de pib_p_co2 e
que utilizaremos para poder comparar a distribuiccedilatildeo de emissotildees
de CO2 e cuja unidade seraacute doacutelares por tonelada
bull Esta variaacutevel representa o ratio entre o PIB e as emissotildees de
dioacutexido de carbono e permite identificar os paiacuteses mais eficientes
em termos de emissotildees ie aqueles que produzem mais riqueza
por tonelada CO2 emitido
1 Determina os paracircmetros estatiacutesticos mais habituais (valor meacutedio
mediana desvio padratildeo e quartis) desta nova variaacutevel e
interpreta-os
2 Confirma graficamente se existe enviesamento da distribuiccedilatildeo
(no caso da meacutedia gt mediana - enviesamento para a direita )
Compara numa mesma paacutegina (alterando o esquema de paacutegina)
o histograma e o diagrama de extremos e quartis e analisa como
se reflete o enviesamento nos dois tipos de graacuteficos
3 Com base no histograma anterior agrupa os dados em classes em
que cada classe teraacute uma amplitude de 1 doacutelar por tonelada
Como introduzir uma coluna com dados calculados
No caso concreto a tabela com os dados do PIB e das
emissotildees de C02 em 2006 estaacute na paacutegina 31
Acrescenta uma nova variaacutevel na coluna D denominada
pib_p_co2 onde seratildeo calculados os ratios entre o PIB e
as emissotildees para cada um dos paiacuteses
Poderaacutes reduzir o nuacutemero de diacutegitos apresentados clicando
no canto superior direito da janela (iacutecone da esquerda) e
selecionando nas definiccedilotildees gerais a opccedilatildeo do nuacutemero de
diacutegitos significativos pretendidos
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 11
Como utilizar os dados de uma tabela para anaacutelise estatiacutestica
Podes obter na proacutepria Folha de caacutelculo um resumo dos paracircmetros estatiacutesticos
associados a uma variaacutevel
Em b 4Estatiacutestica acede agrave opccedilatildeo 1Caacutelculos
estatiacutesticos 1 Estatiacutestica de uma variaacutevel
Nota
1 Poderaacutes calcular a estatiacutestica de mais do que uma
variaacutevel identificando o nuacutemero de listas sobre as quais
seratildeo efetuados os caacutelculos
2 Observa que podes definir em que coluna pretendes que comecem a aparecer
os resultados dessa anaacutelise
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
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Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 14
2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
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Ratio entre o PIB e as Emissotildees de CO2
bull Como pudemos observar nas atividades anteriores as emissotildees de
CO2 apresentam diferenccedilas significativas de paiacutes para paiacutes
devido entre outros fatores agrave sua dimensatildeo e grau de
desenvolvimento
Vamos introduzir uma nova variaacutevel Produto Interno Bruto
(PIB) por emissotildees de CO2 que denominaremos de pib_p_co2 e
que utilizaremos para poder comparar a distribuiccedilatildeo de emissotildees
de CO2 e cuja unidade seraacute doacutelares por tonelada
bull Esta variaacutevel representa o ratio entre o PIB e as emissotildees de
dioacutexido de carbono e permite identificar os paiacuteses mais eficientes
em termos de emissotildees ie aqueles que produzem mais riqueza
por tonelada CO2 emitido
1 Determina os paracircmetros estatiacutesticos mais habituais (valor meacutedio
mediana desvio padratildeo e quartis) desta nova variaacutevel e
interpreta-os
2 Confirma graficamente se existe enviesamento da distribuiccedilatildeo
(no caso da meacutedia gt mediana - enviesamento para a direita )
Compara numa mesma paacutegina (alterando o esquema de paacutegina)
o histograma e o diagrama de extremos e quartis e analisa como
se reflete o enviesamento nos dois tipos de graacuteficos
3 Com base no histograma anterior agrupa os dados em classes em
que cada classe teraacute uma amplitude de 1 doacutelar por tonelada
Como introduzir uma coluna com dados calculados
No caso concreto a tabela com os dados do PIB e das
emissotildees de C02 em 2006 estaacute na paacutegina 31
Acrescenta uma nova variaacutevel na coluna D denominada
pib_p_co2 onde seratildeo calculados os ratios entre o PIB e
as emissotildees para cada um dos paiacuteses
Poderaacutes reduzir o nuacutemero de diacutegitos apresentados clicando
no canto superior direito da janela (iacutecone da esquerda) e
selecionando nas definiccedilotildees gerais a opccedilatildeo do nuacutemero de
diacutegitos significativos pretendidos
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Como utilizar os dados de uma tabela para anaacutelise estatiacutestica
Podes obter na proacutepria Folha de caacutelculo um resumo dos paracircmetros estatiacutesticos
associados a uma variaacutevel
Em b 4Estatiacutestica acede agrave opccedilatildeo 1Caacutelculos
estatiacutesticos 1 Estatiacutestica de uma variaacutevel
Nota
1 Poderaacutes calcular a estatiacutestica de mais do que uma
variaacutevel identificando o nuacutemero de listas sobre as quais
seratildeo efetuados os caacutelculos
2 Observa que podes definir em que coluna pretendes que comecem a aparecer
os resultados dessa anaacutelise
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Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
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2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
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2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como utilizar os dados de uma tabela para anaacutelise estatiacutestica
Podes obter na proacutepria Folha de caacutelculo um resumo dos paracircmetros estatiacutesticos
associados a uma variaacutevel
Em b 4Estatiacutestica acede agrave opccedilatildeo 1Caacutelculos
estatiacutesticos 1 Estatiacutestica de uma variaacutevel
Nota
1 Poderaacutes calcular a estatiacutestica de mais do que uma
variaacutevel identificando o nuacutemero de listas sobre as quais
seratildeo efetuados os caacutelculos
2 Observa que podes definir em que coluna pretendes que comecem a aparecer
os resultados dessa anaacutelise
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 12
Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
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2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
5
4
3
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
3
4
5
1
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
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Como construir Histogramas
1 Insere uma nova paacutegina de Dados e Estatiacutestica
2 Seleciona a variaacutevel que pretendes ver representada
atraveacutes de um histograma
3 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 3Histograma
O nuacutemero de barras apresentadas no graacutefico depende do
nuacutemero de dados e da distribuiccedilatildeo dos respetivos pontos
Mais agrave frente veraacutes como podes alterar essas definiccedilotildees
Como alterar esquema de paacutegina para visualizaccedilatildeo simultacircnea de mais
do que uma aplicaccedilatildeo
1 Clica em ~ 5Esquema de paacutegina 2Selecionar
esquema e no caso presente seleciona 3esquema 3
2 Clica na aacuterea vazia e seleciona 5Adicionar Dados e
Estatiacutesitica
3 Seleciona mais uma vez a variaacutevel pib_p_co2
4 Clica em b 1Tipo de graacutefico e 2Diagrama de
extremos e quartis
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 14
2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 18
II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 19
2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 20
III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 21
2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
5
4
3
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
3
4
5
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 13
Notas
1 Para poder realizar uma leitura comparativa dos dois
graacuteficos deves colocar a mesma escala nos eixos dos xx
Para isso podes arrastar o cursor apoacutes o colocares sobre
uma das origens observares a sua alteraccedilatildeo para o iacutecone ocirc
realizando um clique longo e arrastando Efetua o mesmo
tipo de accedilatildeo na outra extremidade de forma a ficares com a
mesma escala nos dois graacuteficos
2 Explora os dados nas barras do histograma ou no
diagrama de extremos e quartis passando o cursor sobre
cada uma das barras para ver as informaccedilotildees respetivas
Como representar graficamente um determinado valor (por exemplo a
meacutedia)
Podes representar num graacutefico jaacute existente um
determinado valor por exemplo o valor meacutedio num
histograma Este valor apareceraacute como uma reta vertical na
aacuterea de trabalho
Clica sobre o histograma da paacutegina 32 para ficar ativo
No b 4Analisar seleciona 8Traccedilar valor
Aparece uma caixa de texto com uma expressatildeo predefinida
na aacuterea de trabalho
Escreve o valor que pretendes representar graficamente e
prime middot No exemplo seria a meacutedia do PIB por
megatonelada de emissotildees de CO2 e ficaria v1=
mean(pib_p_co2)
Se necessaacuterio clica na reta para ver o respetivo valor
Notas
1 Podes observar todas as variaacuteveis disponiacuteveis clicando na
tecla h
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 14
2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 16
Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 17
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 18
II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
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2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
5
4
3
1
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
3
4
5
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
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2 Para remover a reta desenhada seleciona-a e no menu
contexto b clica sobre 1Remover valor
desenhado
Como agrupar dados num histograma
Podes agrupar os dados modificando as definiccedilotildees das
barras do histograma
Abre uma nova folha de Dados e Estatiacutestica e comeccedila por
representar o histograma anterior
Agrupa os dados em classes em que cada classe teraacute uma
amplitude de 1 unidade ($USDt)
Para modificar as barras do histograma
Clica em b2Propriedades do graacutefico 2Propriedades
do histograma e seleciona 2Definiccedilotildees das barras
Surge uma caixa de diaacutelogo
1 Escreve os valores para definir a largura e o alinhamento
(valor para iniacutecio da construccedilatildeo das barras que representam
os dados do histograma)
2 Clica em OK
3 Poderaacute ser necessaacuterio efetuar um reajuste da janela Para
isso a maneira mais raacutepida eacute atraveacutes do menu de contexto
b 4Zoom e 2Zoom-Dados
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 21
2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
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Emissatildeo de CO2 vs PIB - Distribuiccedilatildeo bidimensional
1 Abre uma folha de caacutelculo num novo problema e copia os dados
do PIB e das emissotildees de CO2 de cada um dos paiacuteses em 2006
para esta nova folha
2 Representa atraveacutes de um diagrama de dispersatildeo a relaccedilatildeo
entre o PIB e a emissatildeo de CO2 Que comentaacuterio te sugere a
observaccedilatildeo do diagrama
3 Calcula na tua folha de caacutelculo a equaccedilatildeo da reta de regressatildeo
que relaciona CO2 com o PIB e classifica o tipo de correlaccedilatildeo
existente com base no valor do coeficiente de correlaccedilatildeo linear
4 A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum outlier
(valor com grande resiacuteduo) Para isso representa
graficamente os quadrados dos resiacuteduos e verifica se algum
ponto tem claramente um quadrado do resiacuteduo
substancialmente maior que os restantes pontos
5 Recorre a uma paacutegina da Calculadora para estimar a emissatildeo
de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica (o PIB de Portugal em 2006 foi
de 201 milhares de milhotildees de doacutelares)
Nota o valor das emissotildees de CO2 na Peniacutensula Ibeacuterica em 2006 foi
de 412 kt
Como abrir um novo problema
Clica em ~ 4Inserir 1Problema e seleciona a
aplicaccedilatildeo desejada (neste caso uma folha de caacutelculo)
Nota ao inserires um problema todas as variaacuteveis ateacute aiacute
definidas natildeo ficam associadas ao novo problema
Copia os valores do PIB e das emissotildees de CO2 da paacutegina
31 para a folha de caacutelculo do novo problema (paacutegina 41)
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
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Como criar um graacutefico de dispersatildeo
Insere uma paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 e constroacutei o
graacutefico de dispersatildeo Seleciona em cada um dos eixos a
variaacutevel que pretendes ver representada
Como obter uma regressatildeo linear
Para calcular a equaccedilatildeo de uma qualquer regressatildeo e os respetivos paracircmetros
precisas que os dados estejam inseridos numa folha de caacutelculo Volta por isso agrave
paacutegina 41
Regressatildeo Linear
Prime b e seleciona 4Estatiacutestica 1Caacutelculos
estatiacutesticos e 3Regressatildeo linear (mx+b)
Surgiraacute uma nova janela onde deveraacutes indicar a variaacutevel
independente e a variaacutevel dependente em que funccedilatildeo
deveraacute ser guardada a expressatildeo analiacutetica da regressatildeo e
ainda em que colunas da folha de caacutelculo devem ser
inseridos os resultados da regressatildeo
Por defeito a equaccedilatildeo da regressatildeo ficaraacute guardada na
primeira funccedilatildeo vazia neste caso em f1
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 19
2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
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2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
5
4
3
1
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
3
4
5
1
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
3
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Como obter a representaccedilatildeo graacutefica da reta de regressatildeo
A representaccedilatildeo pretendida pode ser obtida em duas das aplicaccedilotildees da TI-
nspire na aplicaccedilatildeo Graacuteficos e na aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Vamos optar
pela aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica
Voltando agrave paacutegina de Dados e Estatiacutestica 42 prime b e
seleciona 4Analisar 6Regressatildeo e 1Mostrar linear
(mx+b)
Surgiraacute a representaccedilatildeo graacutefica da regressatildeo linear das
variaacuteveis PIB e CO2 bem como a respetiva equaccedilatildeo
Como obter a representaccedilatildeo graacutefica dos quadrados dos resiacuteduos
A partir do graacutefico de dispersatildeo observa se existe algum
outlier (valor com grande resiacuteduo) Para isso constroacutei nesse
mesmo graacutefico os quadrados dos resiacuteduos comeccedilando por
clicar em b e selecionando a opccedilatildeo 4Analisar
7Resiacuteduos e 1Mostrar quadrados dos resiacuteduos
Desta forma visualizas facilmente se existem ou natildeo
outliers na distribuiccedilatildeo em estudo
Como estimar valores a partir da regressatildeo
A partir do momento em que se calculou uma dada
regressatildeo e esta foi guardada como funccedilatildeo suponhamos
em f1 pode-se fazer todos os caacutelculos possiacuteveis com
funccedilotildees caacutelculo de imagens ou objetos extremos zeros hellip
Alguns destes caacutelculos podem ser feitos em vaacuterias das
aplicaccedilotildees da TI-nspire desde que no mesmo problema
Por exemplo na aplicaccedilatildeo calculadora basta escreveres na
linha de comando f1(1233+201) e pressionares a tecla
middot obtendo a estimativa para o valor total de emissotildees
de CO2 (em Mt) na Peniacutensula Ibeacuterica Podem tambeacutem
utilizar-se as funcionalidades de uma paacutegina de Graacuteficos
para obter valores de interesse desde que a representaccedilatildeo
esteja feita numa paacutegina de Graacuteficos
Nota
PIB de Espanha(2006) 1233
milhares de milhotildees de $USD
PIB de Portugal(2006) 201
milhares de milhotildees de $USD
Emissotildees de CO2(2006) na
Peniacutensula Ibeacuterica 412 kt
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
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II - O RAPA E A LEI DOS GRANDES NUacuteMEROS NA CX
Iremos simular uma experiecircncia vulgar quando se inicia o estudo das
probabilidades
Lanccedilar um rapa muitas vezes e verificar a frequecircncia de saiacuteda de cada uma das
faces Rapa Tira Potildee e Deixa
Pretende-se gerar os resultados da experiecircncia aleatoacuteria e obter um
graacutefico da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo
Na primeira coluna que designamos por d satildeo gerados os nuacutemeros inteiros
aleatoacuterios entre um e quatro a que associamos cada uma das faces do rapa
A instruccedilatildeo a escrever na linha das foacutermulas para a simulaccedilatildeo de 300
lanccedilamentos eacute
seq(randint(14)x1300)
As colunas seguintes registam os valores de uma vulgar tabela de frequecircncias
absolutas e relativas
Na ceacutelula C1 contamos o nuacutemero de vezes que saiu a face Rapa countif(d1)
De igual modo procedemos para as outras faces
Para gerar uma nova simulaccedilatildeo teclamos R
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 19
2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 20
III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 21
2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 22
IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 23
3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
5
4
3
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 24
1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
2
3
4
5
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 25
2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
1
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2 Constroacutei um graacutefico de barras da frequecircncia relativa da saiacuteda de cada face
A partir da tecla b acede depois aos sucessivos menus
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
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2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
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3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
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1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
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onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
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III-MEacuteDIA E MEDIANA DA PARTE PARA O TODO
A meacutedia e a mediana satildeo duas das medidas estatiacutesticas mais conhecidas e
utilizadas pelos nossos alunos No entanto a ecircnfase eacute normalmente dada ao
caacutelculo das medidas em detrimento de um trabalho mais aprofundado ao niacutevel
da interpretaccedilatildeo das propriedades e do conhecimento da relaccedilatildeo entre elas
Esta tarefa consiste numa pequena investigaccedilatildeo em torno da meacutedia e da
mediana O trabalho em grupo enriqueceraacute a natureza investigativa e reflexiva
desta tarefa pelo que todos os elementos do grupo teratildeo uma participaccedilatildeo
importante e deveratildeo ter em consideraccedilatildeo as indicaccedilotildees que se seguem
1 Abre um novo documento com uma paacutegina de Listas e Folha de Caacutelculo e
coloca 3 dados quantitativos discretos (nuacutemeros naturais) diferentes dos
apresentados nas figuras abaixo tais que a sua meacutedia seja superior agrave sua
mediana
Natildeo partilhes para jaacute estes dados no grupo
Nota Embora a obtenccedilatildeo destas medidas com 3 dados seja simples utiliza
as funcionalidades que podes observar nas figuras abaixo como forma de
automaticamente verificares se a condiccedilatildeo eacute satisfeita
Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 21
2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
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IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
2
1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 23
3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
2
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1
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 24
1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 25
2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
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Dias T3 ndash 20112012 Estatiacutestica e Folha de Caacutelculo
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 21
2 Considera que todos os elementos do teu grupo tecircm um conjunto de 3 dados
cuja meacutedia eacute superior agrave mediana
Sem conheceres esses dados podes afirmar que no conjunto de todos os
dados do teu grupo a meacutedia continuaraacute superior agrave mediana
Nota Nesta fase cada elemento do grupo deve formular a sua resposta
Posteriormente ainda sem partilhar os dados de cada um devem discutir as
respostas surgidas no grupo
3 Na tua folha de caacutelculo e na coluna dos
teus dados acrescenta os dados dos
restantes elementos do teu grupo
Verifica se neste novo conjunto de dados
a meacutedia se manteacutem superior agrave mediana
4 Indica dois conjuntos de 3 dados discretos de modo que em cada um deles a
meacutedia seja superior agrave mediana mas no total dos 6 dados tal natildeo acontece
Nota Utiliza as ferramentas da tua
unidade portaacutetil para fazeres
experimentaccedilotildees conforme figura ao
lado Observa que o exemplo da figura
natildeo satisfaz o solicitado
5 Considera agora 3 dados quantitativos discretos na forma
Investiga o que acontece relativamente agrave relaccedilatildeo entre a meacutedia e a mediana
quando se associam dois grupos de dados desta forma
6 Continua
Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 22
IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 23
3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 24
1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 25
2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 22
IV-RESSALTOS DE UMA BOLA - Modelaccedilatildeo com recolha de dados
Num jogo de basquetebol entre o Benfica e o FC Porto um jogador larga a bola no momento em que o treinador pede um tempo de desconto Um professor de ciecircncias que estaacute a assistir ao jogo fixa os olhos na bola que ressalta sucessivamente e observa que em cada ressalto esta sobe cada vez menos Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Vem-lhe entatildeo agrave cabeccedila um turbilhatildeo de ideias para explorar o MOVIMENTO com os seus alunos e pensa nalgumas questotildees a colocar
1 Afinal qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola 2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento 3 Seraacute que ocorrem transformaccedilotildees ou transferecircncias de energia durante este movimento
Para percebermos melhor o fenoacutemeno vamos estudar o movimento fazendo uma experiecircncia concreta usando os instrumentos de recolha de dados aplicaccedilatildeo Dataquest da TI_Nspire e um sensor de movimento que mede a posiccedilatildeo da bola ao longo do tempo
Materiais
Unidade portaacutetil TI-Nspire com SO 30
Sensor de movimento ou CBR2
Lab Cradle ou cabo com USB
Bola de futebol basquete ou outras
Recolha de dados 1 Ligar a unidade portaacutetil no botatildeo ON e em documentos escolher 1 NOVO a) Nas aplicaccedilotildees escolher 7 ADICIONAR VERNIER DATAQUEST b) Deslocar o cursor ateacute ao cimo do ecratilde onde diz ldquoNAtildeO GUARDADOrdquo c) Selecionar 1FICHEIRO e de seguida 5 GUARDAR COMO d) Selecionar a PASTA e escrever em NOME DO FICHEIRO o nome pretendido para a atividade experimental e clicar em GUARDAR 2- Configurar os paracircmetros da recolha
a) Em MENU selecionar 1EXPERIEcircNCIA b) Selecionar 8 CONFIGURACcedilAtildeO DE RECOLHA c) Digitar em TAXAS (AMOSTRASSEGUNDO) 20 e em DURACcedilAtildeO(SEGUNDOS) 5 d) Pressionar em OK
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 23
3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 24
1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 25
2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
2
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 23
3 ndash Montagem experimental
a) Ligar o CBR2 (ou sensor do movimento) agrave unidade portaacutetil atraveacutes dum cabo mini USB
b) Se ouvir um sinal sonoro intermitente no sensor este estaraacute pronto a funcionar caso contraacuterio premir TRIGGER no CBR2
c) Posicionar o sensor (ou preso num suporte) de modo a que fique aproximadamente a 15 m do solo e colocar a bola a cerca de 05 m do mesmo
d) Colocar o cursor da maacutequina no iacutecone que aparece no canto inferior esquerdo e pressionar para iniciar a recolha De imediato deixar cair a bola de maneira a que o seu movimento se processe por baixo do CBR Recuar quando largar a bola
e) Os graacuteficos deveratildeo ser como os da figura 2 4- Como o graacutefico mostra a posiccedilatildeo da bola em relaccedilatildeo ao sensor temos de realizar uma operaccedilatildeo para mostrar a posiccedilatildeo em relaccedilatildeo ao solo
a) Em b selecionar 4ANALISAR 5
ESTATIacuteSTICA1BOLA VOLEIPOSICcedilAtildeO e ENTER e obter o valor maacuteximo (ver figura 3)
b) Em b selecionar 2DADOS 3NOVA COLUNA CALCULADA
c) Dar o nome agrave coluna registar as unidades e na caixa EXPRESSAtildeO escrever o valor maacuteximo obtido em a) menos a coluna Posiccedilatildeo (ver figura 4) e pressionar OK
d) Proceder do mesmo modo para termos o graacutefico simeacutetrico da velocidade (na caixa de expressatildeo digitar (-1)Velocidade)
e) Os graacuteficos deveratildeo ter agora o aspeto da figura 5 Para isso posicionar cursor em cima da variaacutevel dependente pressionar b e selecionar a nova coluna calculada
Nota Antes de realizar nova recolha de dados natildeo esquecer de guardar a atual (se interessar) pressionando o iacutecone da direita no canto inferior esquerdo
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 24
1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
de velocidade
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 25
2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
afast
V
Ve
onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 24
1Qual seraacute o modelo matemaacutetico que melhor descreve o movimento desta bola Para escolher o modelo que melhor se ajusta agrave curva pode optar-se pelo ajuste automaacutetico ou pelo manual cujos processos se exemplificam em seguida 11 Modelaccedilatildeo ndash ajuste automaacutetico Podemos analisar agora qualquer zona do graacutefico correspondente a zona de movimento ascendente descendente ou movimento de um ressalto na totalidade
a) Para selecionar um zona do graacutefico posicionar o cursor na posiccedilatildeo inicial desejada pressionar a e arrastar ateacute agrave posiccedilatildeo final A zona selecionada fica de cor cinzenta (ver figura 1)
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 6AJUSTE
DA CURVA escolher a variaacutevel e de seguida a funccedilatildeo de ajuste (ver figura 2) c) Na caixa de detalhes satildeo mostrados os valores dos paracircmetros da regressatildeo (ver figura 3) Podemos realizar muacuteltiplas regressotildees (nos dois graacuteficos) e na caixa de detalhes satildeo diferenciados como Ajustar1 Ajustar2 hellip em cores diferentes para cada graacutefico
12 Modelaccedilatildeo ndash ajuste manual a) Registar as coordenadas do veacutertice da paraacutebola a modelar Para isso posicionar o cursor no veacutertice e registar os valores visiacuteveis na janela de detalhes
b) Em b selecionar 4 ANALISAR 7MODELO escolher o graacutefico e de seguida introduzir o modelo a(x-b)2+c (ver figura 4) c) Introduzir os valores das coordenadas do veacutertice em b e c Escolher um valor para o paracircmetro a e pressionar OK Na caixa de detalhes satildeo mostrados controlos de cursores para ajustar esses paracircmetros (ver figura 5) Atribuir valores a a de modo a encontrar uma paraacutebola que se ajuste agrave paraacutebola obtida na recolha de dados
Nota Poderemos realizar as regressotildees na aplicaccedilatildeo Dados
e Estatiacutestica pois o DataQuest cria variaacuteveis lista relativas
agraves colunas de dados
13 Questotildees
1Qual o significado fiacutesico do paracircmetro a
2 Que relaccedilotildees existem entre os graacuteficos de posiccedilatildeo e
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 25
2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
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onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
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Dias T3 ndash 20112012 A aplicaccedilatildeo DataQuest
Grupo de Trabalho T3 da Associaccedilatildeo de Professores de Matemaacutetica 25
2 Haveraacute alguma relaccedilatildeo entre a altura da queda da bola e a altura do respetivo ressalto no movimento E entre a velocidade de aproximaccedilatildeo da bola no instante do impacto no solo e da velocidade de afastamento Descrevem-se em seguida alguns procedimentos para recolha das alturas e das velocidades que permitam a anaacutelise pretendida
a) Registar os valores dos maacuteximos de cada uma das paraacutebolas Para isso deslocar o cursor para o maacuteximo da primeira paraacutebola Registar a altura da bola correspondente a esse ponto Repetir o processo para os maacuteximos das outras paraacutebolas b) Registar os valores das velocidades da bola imediatamente antes de colidir com o solo (vaproximaccedilatildeo) e imediatamente apoacutes (vafastamento) Para isso no graacutefico de velocidade deslocar convenientemente o cursor e registar o valor da velocidade de aproximaccedilatildeo (o maacuteximo da velocidade no sentido negativo) e da velocidade de afastamento (o maacuteximo da velocidade no sentido positivo do ressalto seguinte) c) Abrir uma aplicaccedilatildeo Listas e Folha de Caacutelculo e introduzir os valores registados nas aliacuteneas anteriores
(1) da altura do queda Qh e da altura do ressalto Rh e
(2) da vaproximaccedilatildeo vaprox e da vafastamento vafast(na figura 1 paacuteg 4 estatildeo as 4 listas da experiecircncia efetuada) d) Divida cada altura do ressalto pela respetiva altura da queda O que verifica e) Divida cada valor da vafastamento pelo valor respetivo da vaproximaccedilatildeo O que verifica f) Abra uma aplicaccedilatildeo Dados e Estatiacutestica Construa
os graacuteficos da ressaltoh em funccedilatildeo da quedah e da
vafastamento em funccedilatildeo da vaproximaccedilatildeo
g) Em b selecionar 4ANALISAR 6 REGRESSAtildeO e escolher as curvas de ajuste h) Que relaccedilatildeo parece existir entre os dois declives m e e das retas de ajuste
Nota Durante o movimento da bola ocorrem transformaccedilotildees e transferecircncias de energia Como a energia total do sistema (bola) natildeo se conserva a bola natildeo sobe ateacute agrave altura de que caiu Se a bola fosse idealmente elaacutestica subiria ateacute agrave altura da queda Se natildeo tivesse nenhuma elasticidade natildeo subiria A dissipaccedilatildeo de energia (e a elasticidade) pode estimar-se quando se relaciona com o valor do coeficiente de restituiccedilatildeo que eacute definido por
aprox
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onde Vafast eacute a velocidade de afastamento e Vaprox a velocidade de aproximaccedilatildeo (na colisatildeo com o solo) O valores de e estatildeo compreendidos entre 0 (quando a bola natildeo sobe Vafast= 0 ms) e 1 (quando a bola atinge a altura da queda Vafast= Vaprox )
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