Estatística
Aplicada
Prof. Daniel Ferrara
Estatística Aplicada(Aula 5)
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Até agora, utilizamos a distribuição normal padronizada (tabela Z) para encontrar a probabilidade de ocorrência de um determinado intervalo de valores.
Podemos inverter o raciocínio e, partindo de uma probabilidade, encontrar o valor Z correspondente.
Distribuição Normal de Probabilidade
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Exemplo: Dado que Z é uma variável aleatória normal padrão, encontre Z para cada uma das situações:
a) A área entre 0 e Z é 0,4750 (Resposta: 1,96)b) A área à direita de Z é 0,1314 (Resposta: 1,12)c) A área à esquerda de Z é 0,6700 (Resposta: 0,44)d) A área entre –Z e Z é 0,9030 (Resposta: 1,66)e) A área a direita de Z é 0,6915 (Resposta: -0,50)f) A área à esquerda de Z é 0,2119 (Resposta: -0,80)
Distribuição Normal de Probabilidade
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Inferência Estatística
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Deseja-se estimar a média populacional, μ de uma determinada variável, pela média amostral, X.
Qual a magnitude do erro que cometemos nesta estimação?
Erro Amostral
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Distribuição de médias amostrais
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Ao invés de determinar a proporção de médias amostrais que espera-se que caiam dentro de um certo intervalo, o gerente de operações está interessado em encontrar um intervalo simétrico em torno da média populacional que incluísse 95% das médias amostrais.
Deseja-se determinar uma distância acima e abaixo da média μ que contenha uma área especificada da curva normal
Intervalo de confiança
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Intervalo de confiança
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Conduziu-se um estudo visando analisar a relação entre o preço das ações preferenciais da Petrobrás (PETR4) e o preço do barril de petróleo (BRENT) no mercado internacional. Para tanto considerou-se o preço médio trimestral da cada variável de 2003 a 2007.
Associação e variáveis quantitativas
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Data PETR4 Petróleo Data PETR4 Petróleomar/03 9,22 27,18 set/05 32,55 63,48jun/03 10,11 28,33 dez/05 33,98 58,98set/03 12,05 27,61 mar/06 39,93 65,91dez/03 15,86 30,17 jun/06 40,54 73,51mar/04 18,24 31,51 set/06 38,11 62,48jun/04 16,49 34,5 dez/06 47,87 60,86set/04 20,02 46,38 mar/07 44,75 68,1dez/04 21,41 40,46 jun/07 50,48 71,41mar/05 22,73 54,29 set/07 58,5 79,17jun/05 24,04 55,58 dez/07 88,08 93,85
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Diagrama de dispersão: representação gráfica que permite a visualização do comportamento conjunto das duas variáveis;
Coeficiente de correlação linear: valor numérico que mede a intensidade da associação linear existente entre as duas variáveis;
Regressão: Desenvolvimento de modelos para a previsão de valores de uma variável resposta baseados em valores de pelo menos uma variável explicativa;
Regressão linear simples: apenas uma variável explicativa
Regressão linear múltipla: duas ou mais variáveis explicativas
Associação e variáveis quantitativas
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Diagrama de dispersão
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Coeficiente de correlação linear– Medindo a força da associação
Coeficiente de correlação
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Interpretando o valor de r
Coeficiente de correlação
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Coeficiente de correlação
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Uma vez verificada a existência de uma relação entre a cotação de PETR4 e o preço do petróleo, deseja-se desenvolver um modelo para estimar a cotação de PETR4 em função do preço do barril do petróleo
Modelos lineares
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Estimativa da cotação de PETR4
Modelos Lineares
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Equação estimada
Se o preço do Barril de petróleo for 86,00, qual será a projeção do preço da PETR4?
Modelos Lineares
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PETR4 = 0,9294 * (Barril Petróleo) + 23,761
PETR4 = 0,9294 * (86) + 23,761 = 103,69
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R2 = proporção da variabilidade de y em torno da média que é explicada pelo modelo (reta de regressão)
Significa que 86,61% da variação nos preços de PETR4 em torno da média de preços de PETR4, pode ser explicado pela variabilidade na cotação do petróleo através do modelo de regressão.
Somente 13,39% da variabilidade da amostra nos preços de PETR4 pode ser explicado por fatores diferentes daquele considerado no modelo de regressão linear.
Coeficiente de determinação
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Correlação não implica relação de causa e efeito. A análise de r deve vir acompanhada do diagrama de dispersão,
pois a associação pode não ser linear.
O modelo bem ajustada não garante previsibilidade Existência de valores aberrantes (outliers)
Correlação e regressão
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Cálculo do Beta Dada a equação da reta:
Y = a + bx Podemos calcular o parâmetro b ela relação:
b = COVxy / VARx
Calculo do Beta
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Métodos de avaliação de desempenho da carteira
Índices de Desempenho– Índice de Sharpe (IS)
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Métodos de avaliação de desempenho da carteira
Reta do Mercado de Capitais e modelo CAPM
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Retorno
Rf
Desv. Padrão dos retornos(Risco)
Reta do mercado de capitaisA Reta do Mercado de
Capitais representa as carteiras formadas por ativos com e sem risco disponíveis no mercado
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Métodos de avaliação de desempenho da carteira
O excesso de retorno de uma carteira em um dado período tem três componentes: – primeiro é o alfa, – segundo é o prêmio de risco igual ao excesso de retorno vezes
o beta da carteira – terceiro é o termo de erro randômico.
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Métodos de avaliação de desempenho da carteira
Índice de Sharpe (IS)– O Índice de Sharpe é determinado a partir da reta do mercado
de capitais– O IS representa a relação entre o prêmio pago pelo risco
assumido e o risco de investimento
– O IS revela o prêmio oferecido por um ativo para cada percentual adicional de risco assumido
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Retorno da carteira
Desvio Padrão
Ativo livre de risco
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Índice de Sharpe (IS)– Exercício de cálculo
• Para uma carteira formada de um ativo sem risco, com retorno esperado de 6%, e um ativo com risco, que apresenta um retorno esperado de 14% e desvio padrão de 10%, determinar?
– Retorno médio esperado da carteira– Risco da carteira– Índice de Sharpe
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Métodos de avaliação de desempenho da carteira Índice de Sharpe (IS)
– Exercício de interpretação• Admita três fundos de investimento com os seguintes
desempenhos:
• Calcule o índice de sharpe e análise os resultados– Qual é o fundo mais eficiente?– Qual fundo um investidor que aceita mais risco
escolheria?
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Fundo I Fundo II Fundo IIITaxa de Retorno (Rp - Rf) 13,50% 16,00% 18,70%
Desvio-Padrão 7,00% 12% 12%Índice de Sharpe
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Métodos de avaliação de desempenho da carteira
Índice de Sharpe (IS)– Pontos de atenção
• Seu uso é mais adequado quando o investidor ainda não possui nenhum investimento com risco, pois o IS não considera a correlação entre os ativos.
• Pode ser um indicador falso para fundos com baixa volatilidade.
– devido ao baixo denominador na formula, o IS fica enorme
• Utiliza-se de dados históricos
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Métodos de avaliação de desempenho da carteira
Assim como o IS, existem outros indicadores derivados do CAPM. Diversos indicadores de performance são contruidos a partir de
equação:
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Rj: retorno do fundo ou ativo com riscoRf: retorno do ativo livre de riscoRM: retorno do mercadoej: erro
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