Estacas sob acções horizontais estáticas
Fundações de Estruturas
Jaime A. Santos (IST)
Mestrado em Engenharia de Estruturas
Estacas sob acções horizontais
Mecanismos de rotura
Fenda de tracçãona zona posterior
da estaca
Cunha de roturana zona frontal
da estaca
Estacas sob acções horizontaisMecanismos de rotura
Mecanismos de rotura
RotaçãoL L
H He
Estacas curtas – rotura por insuficiente resistência do terreno
Fractura Fractura
L L
H He
Mecanismos de rotura
Estacas longas – rotura por flexão da estaca
L L
Hu
P
3B LKpγ 3B LKpγ
He
Mmáx
MmáxB
Método de Broms
Estacas curtas em solos incoerentes (areias)
topo livre topo restringido (rotação nula)
Reacçãodo solo DMF
Método de Broms
Estacas curtas em solos incoerentes (areias)
0
40
80
120
160
200
0 4 8 12 16 20L/B
H/K
Bu
p3
γ
topo livretopo restringido
e/L=0
0.20.40.60.81.01.52.03.0
LeBL0.5K
H3
pu +
γ=
2pu BL1.5KH γ=
Método de Broms
Estacas longas em solos incoerentes (areias)
topo livre topo restringido (rotação nula)
L L
e
f f
Mu
MuMuHu HuReacção
do solo DMF
Método de Broms
Estacas longas em solos incoerentes (areias)
1
10
100
1000
0.1 1 10 100 1000 10000
topo livre
topo restringido
H/K
Bu
p3
γ
M /K Bu p4γ
e/B=01 2 4 8 16 32
+= f
32eHM uu
p
u
BK1.5Hfγ
=
3fHM uu =
Método de Broms
• estacas curtas em solos coesivos• estacas longas em solos coesivos
Foram também desenvolvidas equações simples e ábacos para:
M
1/r
p
y
p
y
Modelo meio contínuo versus modelo meio discreto
Modelos meio contínuo/meio discreto
Soluções algébricas para casos particulares simples• meio discreto (meio de Winkler) • meio contínuo (soluções de Randolph e do EC7)
Comparação das soluções e aferição da relação k-(Es,νs)
Estacas sob acções horizontais
Meio de “Winkler”
Fundação em meio de WinklerA análise do problema de interacção solo-fundação é feita habitualmente recorrendo ao conceito do coeficiente de reacção originalmente proposto por Winkler em 1867. Neste modelo o solo é assimilado por uma série de molas independentes com comportamento elástico e linear. A rigidez dessas molas é assim caracterizada por uma constante de proporcionalidade entre a pressão aplicada (q) e o deslocamento do solo (y), constante essa designada por coeficiente de reacção k’.
q
y
O k’ é assim definido como sendo a pressão necessária para provocar um deslocamento unitário e, portanto com as dimensões de [FL-3]. Define-se ainda, habitualmente, uma outra grandeza designada por módulo dereacção do solo k que é igual ao produto do coeficiente de reacção k’ pela dimensão transversal da fundação B. O módulo de reacção tem assim as dimensões de [FL-2] tal como o módulo de deformabilidade de um solo.
Este modelo pode ser utilizado para a análise de fundações superficiais ou de estacas sob acções laterais.
O modelo de cálculo consiste em assimilar a fundação a uma peça linear (viga) apoiada num meio elástico “discreto” constituído por molas infinitamente próximas, mas sem ligação entre elas.
Se analisar o equilíbrio de um troço elementar da viga tem-se:
V – (V + dV) + p dx – q dx = 0, ou seja,dV/dx = k y – q ou d2M/dx2 = k y – q
q
p
x
y
N q
pdxV V+dV
M M+dM
Admitindo válida a hipótese dos pequenos deslocamentos vem:M = - EI d2y/dx2
que substituindo na equação de equilíbrio conduz a:
A solução geral desta equação diferencial de 4ª ordem para q=0 é da forma:
EI d4y/dx4 + k y = q
y = eλx (C1 sin λx + C2 cos λx) + e-λx (C3 sin λx + C4 cos λx)
λ = (k / 4EI)1/4
com
As constantes C1, C2, C3 e C4 são obtidas tendo em conta as condições de fronteira do problema.
O parâmetro λ com dimensões de [L-1] caracteriza a rigidez relativa solo-fundação. O produto de λ pelo comprimento L da fundação define uma grandeza adimensional que permite classificar a fundação quanto ao seu comportamento:De acordo com Vesic:
λL ≤ 0.8 (≈1) – rígida0.8 (≈1) < λL < 3.0 – semi-flexível
λL ≥3.0 – flexível
Fundações superficiais
A solução geral válida para qualquer valor de λL é bastante trabalhosa (solução correspondente ao comportamento semi-flexível):
Para as situações de comportamento rígido ou flexível as equações anteriores transformam-se em equações mais simples.
a b
xL
N
Fundações superficiais
Factores que afectam o coeficiente de reacção:a) O comportamento não linear do solob) Efeito da profundidade e da dimensão transversal da fundaçãoc) Forma da fundaçãod) Efeito de escala – ensaio de placa vs fundação (terreno
estratificado)
Fundações superficiais
q q
bolb
o de
tens
ões:
z % B
B
Solo 1
Solo 2
Bp
Num meio elástico e homogéneo caracterizado pelas constantes elásticas E e ν, o assentamento da fundação y induzido pela carga q é dado por:
y qBE
If= −( )1 2ν
em que If é um factor que depende dos dados geométricos do problema.
Assim, k’ = q/y % 1/B ou sejaO coeficiente de reacção é inversamente proporcional à largura Benquanto que o módulo de reacção (k=k’B) não depende de B.
q
bolb
o de
tens
ões:
z % B
y % B
BFundações superficiais
Existem na bibliografia diversas propostas para a obtenção do valor de k’.Quando se utilizam correlações deduzidas dos ensaios de placa há que ter em atenção o efeito de escala.• Ensaio de placa (circular ou quadrangular) com dimensão Bp
Terzaghi (1955):Fundação com forma circular ou quadrangular (dimensão B)k’/k’p = Bp/B (em solos argilosos)k’/k’p= [(B+Bp)/2B]2 (em solos arenosos)
Fundação com forma rectangular (BxL)k’/k’p = (m+0.5)/1.5m , m = L/Bk’ e k’p – coeficientes de reacção solo-fundação e solo-placa, respectivamente
Fundações superficiais
k EBEI
Ef
=−
0 651
412
2.( ) ν
• Relação k-(E,ν)Comparando a solução teórica da viga em meio de Winkler com a da vigaem meio elástico contínuo, Vesic (1961) propôs a seguinte correlação:
em que:k – módulo de reacçãoE – módulo de elasticidade do soloν – coeficiente de Poisson do solo(EI)f – módulo de flexão da viga (fundação)B – largura da viga (fundação)
Fundações superficiais
Valores típicos de k’p em MN/m3 propostos por Terzaghi para ensaios de placa com Bp=0.3m (1 pé) em areias
k’0.3 (MN/m3)CompacidadeTerreno
6 a 18SoltaAreia seca ou húmida
18 a 90Medianamente compacta
90 a 300Compacta
7.5SoltaAreia submersa
24Medianamente compacta
90Compacta
Fundações superficiais
Valores típicos de k’p em MN/m3 propostos por Terzaghi para ensaios de placa com Bp=0.3m (1 pé) em argilas duras
k’0.3 (MN/m3)ConsistênciaTerreno
15 a 30Dura - qu=100 a 200kPaArgila
30 a 60Muito dura - qu=200 a 400 kPa
> 60Rija – qu > 400 kPa
Fundações superficiais
Para o caso das estacas solicitadas lateralmente o procedimento de análise com base no modelo de Winkler é em tudo análogo à das fundações superficiais.
Para o caso de um meio homogéneo, isto é, com módulo de reacção constante em profundidade, define-se o mesmo parâmetro λ que caracteriza a rigidez relativa solo-estaca. O produto de λ pelo comprimento L da estaca define uma grandeza adimensional que permite classificar a estaca quanto ao seu comportamento:De acordo com Santos e Gomes Correia (1992):
λL ≤ 1 – rígida ; 1 < λL < 3 – semi-flexível ; λL ≥3 – flexível
Estacas sob acções laterais
Comportamento flexível e rígido das estacas
As soluções podem ser equacionadas sob a forma adimensional em função de três parâmetros:λ – parâmetro de rigidez relativa solo-estacaL – comprimento da estacaK – módulo de reacção (meio homogéneo)
Estas soluções simplificam-se para os casos de comportamento flexível e rígido:• flexível (λL → ∝) λ , k• semi-flexível λ , k, L• rígido (λL → 0) k , L
Estacas sob acções laterais
Soluções analíticas (existentes):
Meio com rigidez constante em profundidade – k constanteMeio cuja rigidez aumenta linearmente em profundidade – k=nh x
Força horizontal no topo da estacaMomento no topo da estaca
Topo livreTopo com rotação impedida
Estacas sob acções laterais
Indicam-se, a título de exemplo, as soluções em termos dos deslocamentos laterais para um meio com r. Para as situações de comportamento flexível ou rígido as equações tornam-se mais simples:
Estaca semi-flexível 1< λL <3:
Estaca rígida λL ≤ 1:
y '2Voλ
ksenhλL cosλx coshλx ) & senλL coshλx cosλx )
senh 2λL & sen 2λL
y '2Voλ
k(e &λx cosλx)
y '2Vo
Lk(2&3 x
L)
VoEstaca flexível λL ≥ 3:
Estacas sob acções laterais
Comportamento flexível e rígido
Meio com k constante
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6
Mm á x λ Vo
yo k λVo
y o
k λV o
Mm
áx λ
V o
λL
estacaflexível
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0
4
8
12
16
0 1 2 3 4 5 6
Mm á x V Lo
yo k L Vo
λL
Mm
áx
V
Lo
y o
k L
V oestaca
rígida
Estaca semi-flexível 1< λL <3:
Estaca rígida λL ≤ 1:Estaca flexível λL ≥ 3:
o
máx
VM λ
λoo
Vky
LVMo
máx
o
o
VLky
Limites propostos com basenos esforços máximos e nos deslocamentos
λ = (k / 4EI)1/4
η = (nh / EI)1/5
ηL ≤ 1,5λL ≤ 1Rígida1,5 ≤ ηL ≤ 41 ≤ λL ≤ 3Semi-flexível
ηL ≥ 4λL ≥ 3Flexívelk = nhxk = cte
MeioComportamento da estaca
Comportamento flexível
L
lc
Vo
Mo
Deformada
x
Exemplo:k=20000kPa (solo)E=29GPa (estaca)φ=1.0m
para ser flexível:L ≥ 12.3m (≈3/λ)
Estacas flexíveis – Influência dos parâmetrosMeio com k constante
Estaca sujeita à força Vo
681212 44
2
1
1
2
2
2
1
1
02
01 ,kk
kk
k
kyy ===λ
λ
=
19121
14
1
2
2
1
2
1 ,MM
máx
máx ==λλ=
λ
λ=
0y
máxM
Vo
21 21 kk =
1100018000Compacta
45006800Média
13002300Solta
SubmersaSeca ou húmida
Compacidadeda areia
nh (kN/m3)
Areias:módulo de reacção k=nh x (em que x = profundidade)
Proposta de Terzaghi (1955)
Estacas sob acções laterais
Argilas normalmente consolidadasmódulo de reacção k=nh x (em que x = profundidade)
Argila mole (NC)nh = 160 a 3450 kN/m3 , Reese e Matlock (1956)nh = 270 a 540 kN/m3 , Davisson e Prakash (1963)
Argila orgânica (NC)nh = 110 a 270 kN/m3 , Peck e Davisson (1962)nh = 110 a 810 kN/m3 , Davisson (1970)
Argilas sobreconsolidadasmódulo de reacção k constante em profundidade
k = 67cu , Davisson (1970)
Estacas sob acções laterais
Estacas sob acções horizontais
Influência do comportamento não linear
Influência do comportamento não linearCaso de estudo – Fundações da Ponte de Alcácer do Sal
Comportamento não linear devido à:L Plastificação do solo (próximo do topo da estaca)L Fendilhação (estacas de betão)
Descrição do modelo:
1) SoloL DiscretoL Elástico perfeitamente plástico
pu
y[L]
k1
p[FL ]-1
k=nh xnh em função da compacidade relativa (Reese et al.)
Areias
pu = Nc cu BEu/Cu=200 a 400(Poulos e Davis)
Eu, νu → kArgilas
pukSolo
Parâmetros do solo:
N min 3c B
9Cu
= + +
γ x x05.;
p 3 tgu2= +
′
′45
2º
φγ x B
(Broms)
(Matlock)
Descrição do modelo:
2) EstacaL Elemento de barra sujeito a flexão (simples ou composta) L Comportamento não linear
Expressão de Branson:
I I M MefI
cr= <( )
I I I IMM
M M MefII I II cr
cr ced= + −
< <( ) ( )
Interacção solo-estaca – equação diferencial de equilíbrio:
∂∂
∂∂x
EIyx
k yef2
2
2 0
+ =
x.profdafunçãoéI)M(fI efef ⇒=
02 2
2
2
2
3
3
4
4
=+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
Eyk
xy
xI
xy
xI
xyI efef
ef
Critério de convergência
Em cada iteração i verificar em todos os pontos nodais e nos elementos se:
upp≤
( ) ( )( ) 010
1
1 .III
ief
iefief ≤−
−
−
1)
2)
Bransonderessãoexpdaatravés)M(fIef =
Fundações da Pontede Alcácer do Sal
Ensaio 1estaca 1
B=1.00m
B=1.20m B=1.20m
6.40m
6.40m
2.00m
2.00m 2.00m
2.00
m2.
00m
5.00m
3.00m
B=1.00m
estaca 4 estaca 5
estacas 2 e 3
Ensaio 2
2 ensaios estáticosde carga horizontal
Caso de estudo
Terreno de fundação
Ensaio 1
Lodos
Argilas
Turfas, cascalhose areias
Lodos
Areias
Bed-rock
14.0
17.0
0.0
3.0
5.0
27.0
31.0
40.0
0.0
3.5
7.0
Lodos Lodos
AreiasAreias
Bed-rock
Ensaio 2
Vale fóssil:aluviões sobre
substrato Miocénico
Não linearElástico perfeitamente plásticoModelo 2Elástico e linearElástico e linearModelo 1
EstacaSoloModelos
Modelos numéricos utilizados
0
200
400
600
Forç
a ho
rizon
tal (
kN)
0 10 20 30 40 50 60 Deslocamento horizontal (mm)
Ensaio Modelo 1 Modelo 2
Diagrama força-deslocamento na estaca 1
0
200
400
600
Forç
a ho
rizon
tal (
kN)
0 500 1000 1500 Momento flector máximo (kNm)
Ensaio Modelo 1 Modelo 2
Mcr=267 kNm
Diagrama força-momento máximo na estaca 1
Caso de estudo – Fundações da Ponte de Alcácer do Sal
1) Para estimar esforços máximos:o modelo elástico e linear é aceitável
2) Para estimar deslocamentos:é necessário recorrer a modelos não lineares
A confrontação dos modelos numéricos com os resultados dos ensaios de carga permite concluir o seguinte:
Estacas sob acções horizontais
Efeito de grupo
Efeito de grupo
O efeito de interacção estaca-solo-estaca num grupo de estacas é vulgarmente designado por efeito de grupo. Estando as estacas
inseridas num meio contínuo, elas interactuam entre si através do meio envolvente, pelo que o deslocamento de uma determinada estaca contribui para o deslocamento das restantes.
Assim, a rigidez transversal do conjunto maciço-solo-estacas é inferior ao somatório das rigidezes considerando as estacas a funcionar isoladamente. Este efeito de grupo pode ser simulado de forma artificial considerando uma redução do módulo de reacção k.
Estacas sob acções laterais
0.25 k3D
D é o diâmetro da estaca
4D
6D
8D
Espaçamento na direcção da carga
0.40 k
0.70 k
1.00 k
kgrupo
Redução artificial da rigidez do solopara ter em conta o efeito de grupo
Estacas sob acções laterais
Canadian Foundation Engineering Manual
Efeito de interacção num grupo de estacas
Modelo do meio contínuo - análises 3-D
Efeito de interacção num grupo de estacas
Análise elástica 3-D (M.E.F.)
Concentração de tensões na
proximidade das estacas periféricas(efeito de “sombra” na estaca central)
Estaca isolada flexível em meio elástico contínuoRandolph(1981) desenvolveu soluções algébricas simples (yo, Mmáx)em função dos parâmetros Gc, ρc e Ep:
Gc – módulo de distorção representativo do terreno; considera-se o valor médio de G* ao longo do comprimento crítico (“activo”) Lc
ρc – grau de homogeneidade
G*=G (1+3/4ν) Lc=B(Ep/Gc)2/7
ρc=G*(x=Lc/4)/G*(x=Lc/2)
Ep – módulo de elasticidade da estaca
x - profundidade
+
ρ=
−− 2c
1c
cc
7/1cp
o 2LM3.0
2LH27.0
G)G/(E
yDeslocamento do topo da estaca:
Obs:Estaca flexível com L ≥ Lc
Meio homogéneo – G*=cte ; ρc=1Meio cuja rigidez cresce linearmente em prof. – G*/x=cte ; ρc=0.5
L
Lc
Vo
Mo
DeformadaLc/4
Lc/2
G*
x
y
x
Estaca isolada flexível em meio elástico contínuo
αij = factor de influência entre a estaca i e a estaca j(Nota: αii = 1)
m = número de estacasHj = carga aplicada na estaca j
Kt = rigidez transversal da estaca isolada
Grupo de Estacas
Coeficiente/Factor de influência α
∑=
α=m
1jjij
ti H
K1y
Método simplificado – Hipóteses de cálculo:L Maciço de encabeçamento rígidoL Igualdade de deslocamentos ao nível da cabeça das estacasL Equilíbrio de forças horizontais
=
∀=
∑=
m
1japlicadaj
ji,ji
FH
,yy
∑=
ρα=m
1jjijF,
ti H
K1y
Efeito de interacção maciço-solo-estacas
)cos(10.6)cos(1sr
GE
0.6ρ 22o
1/7
c
pcF ψ+ζ=ψ+
=αρ
1FF )4(1valorosetoma5.0Se −
ρρ α−−>α
Factores (coeficientes) de influência
Valores típicos de 1/ζ
1/ζTipo de solo
4GE
:ilaarg1/7
c
p ≈
1c =ρ 5.0c =ρ
3GE
:areia1/7
c
p ≈
L Ep = 29GPa, s/ro=6 (3 diâmetros)L Valores correntes de G e de ν para areias e argilas
5.1 0.3
0.2 0.4
Tipologias analisadas
1x2 e 1x3 estacas(força segundo o alinhamento das estacas)
2x2, 3x3, 4x4, 5x5 estacas(em malha quadrada)
Variação de β em função de 1/ζ
Variação de Hmáx/Hméd em função de 1/ζ
Redução “artificial” do módulo k
Redução “artificial” do módulo nh
Aumento dos esforços nas estacas mais solicitadas
L O estudo do comportamento de grupos de estacas sob acções horizontais requer análises 3-D (habitualmente através do M.E.F). Estas análises exigem potentes recursos informáticos, o que inviabiliza a sua utilização a nível de projecto para a grande maioria das situações práticas.
L O efeito de interacção pode ser analisado, de uma forma mais expedita, recorrendo ao conceito dos factores de influência (Ex:solução de Randolphpara estacas flexíveis em meio elástico contínuo).
Efeito de grupo
Efeito de grupo
A aplicação dos factores de influência para analisar o efeito de interacção num grupo de estacas permite concluir o seguinte:L A interacção entre estacas conduz a uma redução
da rigidez do conjunto maciço-solo-estacas, e este efeito é mais notório quando o número de estacas é superior a 4.
L A concentração de carga nas estacas periféricas pode ser significativa num grupo numeroso de estacas (aspecto importante no dimensionamento).
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