Estabilidade segundo Lyapunov
ENGC65: Sistemas de controle III
Departamento de Engenharia Eletrica - DEE
Universidade Federal da Bahia - UFBA
07 de julho de 2014
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Definicoes
4 Funcao de Lyapunov
5 Comentarios Finais
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Definicoes
4 Funcao de Lyapunov
5 Comentarios Finais
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IntroducaoEstudo de sistemas nao-lineares de segunda ordem
Objetivos da aula de hoje:
Apresentar o conceito de estabilidade de Lyapunov para sistemasnao-lineares autonomos.
Apresentar conceitos como estabilidade local, estabilidade global eestabilidade assintotica.
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Definicoes
4 Funcao de Lyapunov
5 Comentarios Finais
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RevisaoAula passada
Avaliamos alguns comportamentos de sistemas nao-lineares como ciclolimite e bifurcacoes.
Estudamos as possıveis caracterısticas de um ponto de equilıbrio linear.
Discutimos a respeito da possibilidade de existencia de multiplos pontosde equilıbrio;
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Definicoes
4 Funcao de Lyapunov
5 Comentarios Finais
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DefinicoesEstabilidade do ponto de equilıbrio
Assuma sem perda de generalidade que o sistema a seguir
x = f (x), (1)
sendo f : D → Rn um mapa de Lipschitz contınuo e D → R
n um domınioem R
n, possui um ponto de equilıbrio na origem (0 = f (0)).
Definicao 1
O ponto de equilıbrio x = 0 do sistema (1) e:
estavel se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que
||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;
instavel se nao estavel;
assintoticamente estavel se e estavel e δ pode ser escolhido tal que
||x(0)|| < δ ⇒ limt→∞
x(t) = 0.
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DefinicoesEstabilidade do ponto de equilıbrio
Assuma sem perda de generalidade que o sistema a seguir
x = f (x), (1)
sendo f : D → Rn um mapa de Lipschitz contınuo e D → R
n um domınioem R
n, possui um ponto de equilıbrio na origem (0 = f (0)).
Definicao 1
O ponto de equilıbrio x = 0 do sistema (1) e:
estavel se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que
||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;
instavel se nao estavel;
assintoticamente estavel se e estavel e δ pode ser escolhido tal que
||x(0)|| < δ ⇒ limt→∞
x(t) = 0.
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DefinicoesEstabilidade do ponto de equilıbrio
Estavel se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que
||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;
Instavel se nao for estavel.
δ
ǫ
Globalmente estavel se δ = ∞.
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DefinicoesEstabilidade do ponto de equilıbrio
Estavel se, para cada ǫ > 0, existe um δ = δ(ǫ) > 0 tal que
||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0;
Instavel se nao for estavel.
δ
ǫ
Globalmente estavel se δ = ∞.
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DefinicoesEstabilidade do ponto de equilıbrio
Assintoticamente estavel se e estavel e δ pode ser escolhido tal que
• ||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ǫ, ∀t ≥ 0
• limt→∞
x(t) = 0
δ
ǫ
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DefinicoesPendulo simples
Exemplo - pendulo simples:
[
x1
x2
]
=
[
x2
− glsen(x1)−
bmsen(x1)
]
.
Para o caso sem amortecimento b = 0: sempre e possıvel achar umavizinhanca da origem de maneira que ||x(t)|| < δ, ∀t. (Nao eestabilidade assintotica).
Para o caso com amortecimento b 6= 0:
O ponto de equilıbrio x = 0 e assintoticamente estavel.O ponto de equilıbrio x = π e instavel.(Qualquer ǫ > 0, nao existe δ > 0 tal que ||x − x || < ǫ.)
Como estudar a estabilidade de forma mais ampla?
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DefinicoesPendulo simples
Exemplo - pendulo simples:
[
x1
x2
]
=
[
x2
− glsen(x1)−
bmsen(x1)
]
.
Para o caso sem amortecimento b = 0: sempre e possıvel achar umavizinhanca da origem de maneira que ||x(t)|| < δ, ∀t. (Nao eestabilidade assintotica).
Para o caso com amortecimento b 6= 0:
O ponto de equilıbrio x = 0 e assintoticamente estavel.O ponto de equilıbrio x = π e instavel.(Qualquer ǫ > 0, nao existe δ > 0 tal que ||x − x || < ǫ.)
Como estudar a estabilidade de forma mais ampla?
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DefinicoesPendulo simples
Exemplo - pendulo simples:
[
x1
x2
]
=
[
x2
− glsen(x1)−
bmsen(x1)
]
.
Para o caso sem amortecimento b = 0: sempre e possıvel achar umavizinhanca da origem de maneira que ||x(t)|| < δ, ∀t. (Nao eestabilidade assintotica).
Para o caso com amortecimento b 6= 0:
O ponto de equilıbrio x = 0 e assintoticamente estavel.O ponto de equilıbrio x = π e instavel.(Qualquer ǫ > 0, nao existe δ > 0 tal que ||x − x || < ǫ.)
Como estudar a estabilidade de forma mais ampla?
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DefinicoesPendulo simples
Exemplo - pendulo simples:
[
x1
x2
]
=
[
x2
− glsen(x1)−
bmsen(x1)
]
.
Para o caso sem amortecimento b = 0: sempre e possıvel achar umavizinhanca da origem de maneira que ||x(t)|| < δ, ∀t. (Nao eestabilidade assintotica).
Para o caso com amortecimento b 6= 0:
O ponto de equilıbrio x = 0 e assintoticamente estavel.O ponto de equilıbrio x = π e instavel.(Qualquer ǫ > 0, nao existe δ > 0 tal que ||x − x || < ǫ.)
Como estudar a estabilidade de forma mais ampla?
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Definicoes
4 Funcao de Lyapunov
5 Comentarios Finais
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Funcao de LyapunovDefinicoes de funcoes
Uma funcao V (x) e:
Definida positiva se V (x) > 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida positiva se V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Definida negativa se V (x) < 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida negativa se V (x) ≤ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Indefinida se V (x) ≤ 0, x 6= 0, V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Se vale para todo domınio Rn, diz-se que a funcao e globalmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
Se vale para um domınio D ⊂ Rn, diz-se que a funcao e localmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
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Funcao de LyapunovDefinicoes de funcoes
Uma funcao V (x) e:
Definida positiva se V (x) > 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida positiva se V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Definida negativa se V (x) < 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida negativa se V (x) ≤ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Indefinida se V (x) ≤ 0, x 6= 0, V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Se vale para todo domınio Rn, diz-se que a funcao e globalmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
Se vale para um domınio D ⊂ Rn, diz-se que a funcao e localmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
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Funcao de LyapunovDefinicoes de funcoes
Uma funcao V (x) e:
Definida positiva se V (x) > 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida positiva se V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Definida negativa se V (x) < 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Semi-definida negativa se V (x) ≤ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Indefinida se V (x) ≤ 0, x 6= 0, V (x) ≥ 0, x 6= 0 e V (0) = 0;
Se vale para todo domınio Rn, diz-se que a funcao e globalmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
Se vale para um domınio D ⊂ Rn, diz-se que a funcao e localmente
definida (semi-definida) positiva (negativa).
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Funcao de LyapunovDefinicoes de funcoes exemplos
Exemplos:
V (x1, x2) = 2x21 + 3x22 - GDP
V (x1, x2) = −2x21 − 3x22 - GDN
V (x1, x2) = (x1 − x2)2 - GSDP
V (x1, x2) = −(x1 − x2)2 - GSDN
V (x1, x2) = x21 - GSDP
V (x1, x2) = −x22 - GSDN
V (x1, x2) = 1− (x21 + x22 ) - LDP
V (x1, x2) = x1x2 - Indefinida
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Funcao de LyapunovFuncao candidata de Lyapunov
Seja V (x) uma funcao continuamente diferenciavel dos estados tal queV : D → R sendo D ⊂ R
n que contem a origem.
A derivada temporal de V (x) ao longo das trajetorias dos estados,representada por V (x), e dada por
V (x) =n∑
i=1
∂V (x)
∂xixi =
n∑
i=1
∂V (x)
∂xifi (x).
Seja φ(t, x0) a solucao de x = f (x) para uma condicao inicial x0, entaotemos que
V (x) =d
dtV (φ(t, x0)).
Notar que se V (x) e definida negativa, entao V (x) decresce ao longo dotempo.
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Funcao de LyapunovFuncao candidata de Lyapunov
Seja V (x) uma funcao continuamente diferenciavel dos estados tal queV : D → R sendo D ⊂ R
n que contem a origem.
A derivada temporal de V (x) ao longo das trajetorias dos estados,representada por V (x), e dada por
V (x) =n∑
i=1
∂V (x)
∂xixi =
n∑
i=1
∂V (x)
∂xifi (x).
Seja φ(t, x0) a solucao de x = f (x) para uma condicao inicial x0, entaotemos que
V (x) =d
dtV (φ(t, x0)).
Notar que se V (x) e definida negativa, entao V (x) decresce ao longo dotempo.
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Funcao de LyapunovFuncao candidata de Lyapunov
Seja V (x) uma funcao continuamente diferenciavel dos estados tal queV : D → R sendo D ⊂ R
n que contem a origem.
A derivada temporal de V (x) ao longo das trajetorias dos estados,representada por V (x), e dada por
V (x) =n∑
i=1
∂V (x)
∂xixi =
n∑
i=1
∂V (x)
∂xifi (x).
Seja φ(t, x0) a solucao de x = f (x) para uma condicao inicial x0, entaotemos que
V (x) =d
dtV (φ(t, x0)).
Notar que se V (x) e definida negativa, entao V (x) decresce ao longo dotempo.
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Funcao de LyapunovTeorema de Lyapunov
Teorema 1
Seja x = 0 um ponto de equilıbrio para o sistema x = f (x) e V (x) umafuncao continuamente diferenciavel nos estados tal que V : D → R , sendoD ⊂ R
n um domınio que contem a origem (x ∈ D).
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V (x) ≤ 0, ∀ x 6= 0, entao x = 0 eum ponto de equilıbrio estavel.
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V (x) < 0, ∀ x 6= 0, entao x = 0 eum ponto de equilıbrio assintoticamente estavel.
Condicao suficiente !!
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Funcao de LyapunovTeorema de Lyapunov
Teorema 1
Seja x = 0 um ponto de equilıbrio para o sistema x = f (x) e V (x) umafuncao continuamente diferenciavel nos estados tal que V : D → R , sendoD ⊂ R
n um domınio que contem a origem (x ∈ D).
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V (x) ≤ 0, ∀ x 6= 0, entao x = 0 eum ponto de equilıbrio estavel.
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V (x) < 0, ∀ x 6= 0, entao x = 0 eum ponto de equilıbrio assintoticamente estavel.
Condicao suficiente !!
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Funcao de LyapunovTeorema de Lyapunov
Exemplo - ponto de equilıbrio nao hiperbolico:
[
x1
x2
]
=
[
−x2 − x31
x1 − x32
]
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Funcao de LyapunovTeorema de Barbashin-Krasovskii
Teorema 1
Seja x = 0 um ponto de equilıbrio para o sistema x = f (x). SejaV : Rn → R uma funcao continuamente diferenciavel nos estados.
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0, V (x) ≤ 0, ∀ x 6= 0 e||x || → ∞ ⇒ V (x) → ∞ entao x = 0 e um ponto de equilıbrioglobalmente estavel.
Se V (0) = 0, V (x) > 0, ∀ x 6= 0 e V (x) < 0, ∀ x 6= 0||x || → ∞ ⇒ V (x) → ∞, entao x = 0 e um ponto de equilıbrioglobalmente assintoticamente estavel.
Nao e valido apenas para um domınio local.
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1 Introducao
2 Revisao
3 Definicoes
4 Funcao de Lyapunov
5 Comentarios Finais
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Comentarios Finais
Nesta aula apresentou-se o criterio de estabilidade de Lyapunov.
Na proxima aula discutiremos sobre:
Estabilidade de Lyapunov - particularizacao para o caso linear;Discussao sobre o princıpio da invariancia.
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