03/05/2011
1
6.2. O critrio de Estabilidade de Routh-Hurwitz
A. Hurwitz e E.J. Routh publicaram independentemente um mtodo de investigar a
estabilidade de um sistema linear (vide Ogata).
O critrio de estabilidade de Routh-Hurwitz verifica se todos os plos de uma funo de
transferncia pertence ao semi-plano esquerdo do plano-s.
Suponha que a funo de transferncia da forma:
00
1
1
10
1
1
10
++++
++++=
aasasasa
bsbsbsbsG
nnnn
mmmm
,...
...)(
1passo: identifique apenas o denominador de G(s):
nnnn asasasasD ++++=
1
1
10...)(
2passo: verifique se qualquer destas constantes (ai) igual a zero ou, negativa na
presena de pela menos uma constante positiva. Se isto ocorrer, conclua que o
sistema instvel e no necessrio executar os prximos passos.
Do contrrio, nada pode-se concluir, v para o 3 passo.
(1)
1
3passo: construa a seguinte tabela:
Os elementos a0, a1, ...,an so os coeficientes do denominador D(s) da equao (1).
2
03/05/2011
2
Os elementos b1, b2, b3, ..., c1, c2, ... e todos os demais so calculados com as
seguintes expresses:
3
4passo: aplique o seguinte critrio de estabilidade de Routh-Hurwitz:
O nmero de razes de D(s) (plos de G(s)) com parte real maior que zero (positivo)
igual ao nmero de mudanas de sinal dos coeficientes da primeira coluna da
tabela construda no 3passo.
Obs.: se pelo menos um elemento da 1. coluna for nulo ou se uma linha toda for
nula, deve-se observar o caso especial que mostraremos mais adiante.
Exemplo: Seja estude sua estabilidade.5432
12
234++++
+=
ssss
ssG )(
Sol.:
1 passo: 5432234
++++= sssssD )(
2passo: todos coeficientes de D(s) so positivos portanto nada pode-se concluir.
4
03/05/2011
3
3passo:
Neste caso, os elementos da 1coluna so:
5
Exemplo: Determine se o sistema estvel ou instvel:
53
1
23
2
++
+=
sss
sssG )(
Sol.: 1 passo: 5323
++= ssssD )(
2passo: existe um coeficiente negativo na presena de outro positivo, logo
o sistema instvel e no precisa ir ao passo seguinte.
Exerccio: O piloto automtico de um avio tem a seguinte F.T.M.F.:
verifique se o sistema estvel ou instvel.
9244166761303524015
900165900150
2345
23
+++++
+++=
sssss
sss
s
s
r ,,,)(
)(
>>den=[1 3 -1 5];
>>roots(den) 6
03/05/2011
4
>>den=[1 3 -1 5];
>>roots(den)
Aparentemente o mtodo de Routh-Hurwitz seria desnecessrio, porm ele
extramente til para projetar controladores, o exemplo a seguir ilustra este fato.
O clculo dos plos de um sistema (razes de um polinmio) so fceis para os usurios
do MATLAB ou das calculadoras cientficas atuais. Por exemplo, os plos do exemplo
acima so calculados pelo MATLAB com o comando:
Exemplo: Determine o intervalo de k, ganho do controlador, para o qual o sistema
realimentado seja estvel.
7
sol.: A F.T.M.F. dada por:
)())((
)(
))((
)())((
)(
)(161
1
61
11
61
1
+++
+=
+
++
+
+
=sksss
sk
sss
sk
sss
sk
sH
Note que no possvel obter os plos de H(s) usando a calculadora.
Usemos o mtodo de Routh-Hurwitz:
1passo: D(s)=s3+5s2+(k-6)s+k
2passo: Para que todos os coeficientes sejam positivos:
k-6>0 k>6
e
k>0
k>6 satisfaz (I)
8
03/05/2011
5
3passo:
Para que elementos da 1 coluna sejam todos positivos, necessrio que:
574
30030403050
5
65,
)(>>>>>
kkkkk
kk (II)
e
k>0 (III)
Logo, para k>7,5 o sistema ser estvel.
Como j foi dito, se tiver um zero (0) na primeira coluna de tabela ou se
uma linha for nula, ento deve-se usar o caso especial a seguir. 9
Exerccio: Estude a estabilidade do sistema.
Exerccio: Estude a estabilidade do sistema.
10
03/05/2011
6
CASO ESPECIAL
Se o primeiro elemento de uma linha zero, e pelo menos um elemento na
mesma linha diferente de zero, ento substituiu-se o primeiro elemento de
linha, que zero, por um pequeno nmero , que poder ser negativo ou
positivo, e continua-se o clculo das prximas linhas da tabela. O exemplo
abaixo ilustra este caso.
Exemplo: Estude a estabilidade de
1011422
5
2345+++++
=sssss
sG )(
1passo: D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10
Sol.:
2passo: todos os coeficientes so positivos, nada pode-se concluir.
3passo: construo da tabela:
11
neste caso aparece um 0 na 1 coluna e outros elementos
desta linha so diferentes de 0. Mostre que no possvel
calcular os elementos da linha s2 pois seria necessrio
dividir por 0. Substitua o 0 por e continue:
12
03/05/2011
7
para pequeno, 0, tem-se a seguinte tabela:
se 0 temos 6
13
Se 0 pela esquerda, ou seja 0, temos tambm 2 trocas de sinais na
primeira coluna.
Assim, o sistema instvel.
14
03/05/2011
8
Exerccio: Estude a estabilidade de:
96623
7
2345+++++
=sssss
SG )(
Exerccio: Encontre a faixa de K tal que o sistema abaixo seja estvel:
Exerccio: Determinar a faixa de valores de K para a qual o sistema a seguir
estvel:
15
Estabilidade de sistema com projeto de controlador dependente de dois
parmetros
Um controlador industrial muito utilizado o controlador P.I. (proporcional e
integral).
Neste caso a estabilidade fica dependente de dois parmetros. Um exemplo
de projeto ilustra o uso do critrio de estabilidade de Routh-Hurwitz para este
caso, e est mostrado a seguir.
Exemplo: Para o sistema controlado por um controlador P.I. dado abaixo,
encontre as faixas de kp e ki do controlador tal que o sistema abaixo seja
estvel:
16
03/05/2011
9
Sol.: A F.T.M.F.
ip
ip
ip
ip
ksksss
ksk
sss
ksksss
ksk
sR
sY
++++
+=
++
++
++
+
=))((
))((.)(
))((.
)(
)(
21
21
11
21
1
ip
ip
kskss
ksk
sR
sY
++++
+=
)()(
)(
2323
1passo: D(s)=s3+3s2+(2+kp)s+ki
2passo: para estabilidade necessrio que:
0>ike: 202 >>+ pp kk (I)
17
3passo:
1 coluna:
23>
ip
kk (II)
(III)e 0>ik
023 >+ ip kk )(
De (I), (II) e (III) tem-se a regio:
18
03/05/2011
10
Exerccio: Encontre a faixa de kp e ki do controlador abaixo tal que o sistema
seja estvel.
19
Matlab (Simulink):
6.3. Estabilidade Relativa
A estabilidade estudada at agora neste curso conhecida como
estabilidade absoluta pois tem-se como referncia o lado esquerdo do plano-
s. Um outro conceito o conceito de estabilidade relativa.
Pode-se determinar a margem de segurana que um sistema apresenta no
tocante sua estabilidade. Por exemplo, no plano-s abaixo, pode-se dizer
que os plos z1 e z1 tem menor margem de estabilidade que os plos z2 e z3:
20
03/05/2011
11
Pode-se usar o critrio de Routh para estudar a margem de estabilidade
relativa de um sistema, neste caso necessrio usar uma translao de
eixo imaginrio.
Os eixos acima so relacionados atravs da
seguinte equao de translao de eixos:
ou ainda+= ss '
= 'ss
21
Exemplo: Verifique se o sistema abaixo tem todos os plos esquerda de s=-1:
24269
1
23+++
=sss
sG )(
Sol.: Neste caso, deve-se realizar a translao de eixos abaixo:
logo, s=s-1 em G(s):
A translao do eixo imaginrio feita substituindo s=s-1 em G(s):
24126191
1
23+++
=)'()'()'(
)'(sss
sG
22
03/05/2011
12
242626129121
1
22+++++
=')''()'')('(
)'(ssssss
sG
ento,
6116
1
23+++
='''
)'(sss
sG
logo,
este sistema estvel, sua estabilidade relativa engloba o eixo s=-1.
Portanto sua margem de estabilidade >1.
Obs.: Para determinar a margem de estabilidade (total) de um sistema
necessrio ir transladando o eixo s (imaginrio) at o surgimento de um zero
na 1 coluna da tabela de Routh-Hurwitz, indicando que existe plo sobre o
eixo imaginrio s. 23
Este trabalho pode ser evitado, utilizando-se as calculadoras cientficas para
obter todos os plos do sistema (ou o MATLAB), a margem de estabilidade
ser igual ao mdulo da parte real do plo mais prximo ao eixo imaginrio,
supondo-se que todos os plos so de sistema estvel.
Exerccio: Use o MATLAB/SciLab ou a calculadora para determinar a
margem de estabilidade do sistema.
46423
+++=
sss
ssG )(
Exerccio: Verifique, usando o critrio de Routh-Hurwitz se o sistema abaixo
tem todos seus plos esquerda de s=-2.
423
10
234++++
+=
ssss
ssG
,)(
Exerccio: Projete K tal que o sistema abaixo tenha margem de estabilidade
maior que 4.
24
03/05/2011
13
25
Exerccio: Use o MATLAB/SciLab ou a calculadora para determinar a
margem de estabilidade do sistema.
46423
+++=
sss
ssG )(
Soluo:
-->s=poly(0,"s")
s =
s
-->p=s^3+4*s^2+6*s+4
p =
2 3
4 + 6s + 4s + s
-->roots(p)
ans =
- 1. + i
- 1. - i
- 2.
-->s=poly(1,"s")
s =
- 1 + s
-->p=s^3+4*s^2+6*s+4
p =
2 3
1 + s + s + s
-->roots(p)
ans =
- 1.145D-17 + i
- 1.145D-17 - i
- 1.
-->s=poly(2,"s")
s =
- 2 + s
-->p=s^3+4*s^2+6*s+4
p =
2 3
2s - 2s + s
-->roots(p)
ans =
0
1. + i
1. - i
-->n=s
n =
- 2 + s
-->d=p
d =
2 3
2s - 2s + s
-->h=syslin('c',n./d);
-->plzr(h)
No SciLab:
26
03/05/2011
14
27
4122232
102
234++++
+=
)'()'()'()'(
,)'()'(
ssss
ssG
4275
91
234++
=
''''
,')'(
ssss
ssG
Usemos o mtodo de Routh-Hurwitz:
4275234
++= '''')'( sssssD2passo: existe um coeficiente negativo na presena de outro positivo, logo
o sistema instvel e no precisa ir ao passo seguinte.
Exerccio: Verifique, usando o critrio de Routh-Hurwitz se o sistema abaixo
tem todos seus plos esquerda de s=-2.
423
10
234++++
+=
ssss
ssG
,)(
Soluo:
1passo:
28
-->s=poly(2,"s")
s =
- 2 + s
-->n=s+0.1
n =
- 1.9 + s
-->d=s^4+3*s^3+s^2+2*s+4
d =
2 3 4
- 4 + 2s + 7s - 5s + s
-->real(roots(d))
ans =
0.8124973
- 0.7009008
2.4442018
2.4442018
-->h=syslin('c',n./d);
-->plzr(h)
No SciLab:
03/05/2011
15
29
Exerccio: Projete K tal que o sistema abaixo tenha margem de estabilidade
maior que 4.
Soluo: A F.T.M.F. dada por:
Kss
K
ss
Kssss
K
ssK
ssK
sH+++
=
++
+++
++=
+++
++=
4022
4022
4022
4022
4022
11
4022
1
2
2
2
2
2
2
.
.)(
Para que o sistema tenha margem de estabilidade maior que 4, s=-5, temos:
Kss
K
Kss
KsH
++=
+++=
451240522522 '')'()'(
)(
Usando o mtodo de Routh-Hurwitz:
1passo: KsssD ++= 45122 '')(
30
3passo: As razes de D(s) so dadas abaixo, para K=46, pelo SciLab:
2passo: para estabilidade necessrio que:
045 >+ K 45> K
-->s=poly(0,"s")
s =
s
-->K=46
K =
46.
-->p=s^2+12*s+45+K
p =
2
1 + 12s + s
-->roots(p)
ans =
- 0.0839202
- 11.91608
-->n=K
n =
46.
-->d=p
d =
2
1 + 12s + s
-->h=syslin('c',n./d);
-->plzr(h)
No SciLab:
Top Related