EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Capítulo 4Capítulo 4
VIGAS-COLUNA
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Vigas-ColunaVigas-Coluna
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Viga-Coluna com Carga Lateral ConcentradaViga-Coluna com Carga Lateral Concentrada
20
2"
22
2
2 Lx
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EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.
Viga-Coluna com Carga Lateral ConcentradaViga-Coluna com Carga Lateral Concentrada
PQx
kxBkxAxw2
cossen)(
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2('
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uu
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Viga-Coluna com Carga Lateral ConcentradaViga-Coluna com Carga Lateral Concentrada
30
tan3u
uu
...31517
152
3tan 75
3
uuu
uu
...
10517
52
1 420 uu
crPPL
EIP
u 46.24 2
222
...1...998.0984.01
2
0
2
0crcrcrcr PP
PP
PP
PP
crPP
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QL48
3
0
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Viga-Coluna com Carga Lateral ConcentradaViga-Coluna com Carga Lateral Concentrada
Momento Fletor Máximo
crcr
max PPEIPLQL
PPEIPQLQL
PQL
M1
112
141
14844
23
crPP
LEIP
EIPL
82.01212
2
22
2
cr
crmax PP
PPQLM
118.01
4
cr
crmax PP
PPMM
118.01
0
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Viga-Coluna com Carga DistribuídaViga-Coluna com Carga Distribuída
dxdxdwP
dxwqdxdxwdEI
VULLL 2
00
2
02
2
22
Lx
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cos2
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22
4
24
2
42
4
42
0
22
42
00
24
42
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Viga-Coluna com Carga DistribuídaViga-Coluna com Carga Distribuída
224
4
3
140
222
24)
LPEIqL
LPqL
LEIVU
crPPEI
qL
EIPLEI
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EIEIqL
1
15
15363845
1
15
15363845
51536
3845
5
4
2
25
4
224
4
EIqL
3845 4
0 crPP
11
000386.15
15365
Deslocamento Máximo
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Viga-Coluna com Carga DistribuídaViga-Coluna com Carga Distribuída
cr
cr
crcr
crcrmax
PP
PPqLPPP
PqL
PPEIPLqL
PPEIPqLqL
PqL
M
1
03.01
811
03.118
11
485
181
13845
8822
22422
Momento Máximo
cr
crmax PP
PPMM
1
03.010
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P = carga axial agindo no membro no momento da falha quando ambas, a compressão axial e flexão, estão presentes;
Pu = carga última no membro quando somente a compressão axial está
presente, isto é, a carga de flambagem do membro;
M = momento primário máximo agindo no membro no instante da falha quando ambas, a compressão axial e flexão estão presentes; este momento exclui a amplificação devido à presença da carga axial, ou seja, é o momento devido ao carregamento transversal somente;
Mu = momento último do membro sob flexão somente; na condição final,
este momento é o momento plástico da seção; na condição limite, é o momento sob o qual a fibra extrema atinge a tensão de escoamento.
Viga-Coluna: Equação de Interação Viga-Coluna: Equação de Interação
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Viga-Coluna: Equação de InteraçãoViga-Coluna: Equação de Interação
1uu MM
PP
1
1
crPP
M
MPP
uu
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Análise de Vigas-Coluna de um Único VãoAnálise de Vigas-Coluna de um Único Vão
crPPMM
11
0
a) Calcule a Carga Crítica
b) Se P/Pcr < 0.6
c) Se P/Pcr > 0.6
)(cossen)( 221 xfj
jx
Cjx
CxM
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jC
jx
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sencos)( 221 PEI
j
PxVxV
xP
xMxMx
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)()()( 00 ;
C1, C2 e f(x) tabelados
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Análise de Vigas-Coluna de um Único VãoAnálise de Vigas-Coluna de um Único Vão
Exemplo
11
crcr PPM
MPP
u
Viga Projetada a partir de
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Análise de Vigas-Coluna - ExemploAnálise de Vigas-Coluna - Exemplo
Passo 1: Determine se P > Pcr , considere P agindo sozinho
kips ksi
in; in; A
crcrcr
minmin
153.8762.07.107.104.99
10700
'
4.99503.050'
50'503.0762.0193.0
2
2
2
2
AFPL
EF
LLL
I
Passo 2: Determine o nível de tensão devido à carga P atuando sozinho e a margem de segurança em relação à flambagem
165.01186.9
7.101..186.9
762.07
cc f
FSM
AP
f cr ; ksi
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Análise de Vigas-Coluna - ExemploAnálise de Vigas-Coluna - ExemploPasso 3: Determine as expressões para o momento ao longo da viga
M2
M1
PP
x
jL
jL
MM
sen
cos12
C1 C2 f(x)
1M 0
a b
x
W
P Pax
jLjWj
para sen
bsen
ax
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aWj para
tan
sen
ja
Wj sen
0 0
0
4100.34
03.2850
sen
03.2835
sen03.2875.003.28
50cos812
sen
sen
sen
cos12
1
jLjb
wj
JL
jL
MMC
ax para
03.287
514.010700
P
EIj y
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Análise de Vigas-Coluna - ExemploAnálise de Vigas-Coluna - Exemplo
, de modo que 8012 MC 000)( 2 jxf
axj
x
j
xxM ; cos8sen41.34)(
3265.16
03.2850
tan
03.2815
sen03.2875.0
03.2850
sen
03.2850
cos812
tan
sen
sen
cos12
1
jLjb
wj
JL
jL
MMC
7207.1803.28
15sen03.2875.08sen12
j
aWjMC
000)( 2 jxf
axj
x
j
xxM ; cos7207.18sen3265.16)(
ax para
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Análise de Vigas-Coluna - ExemploAnálise de Vigas-Coluna - Exemplo
Passo 4: Determine o momento máximo
in-kip
; in-kip ; in-kip
429.2403.28
15cos8
03.28
15sen41.34
128 21
C
BA
M
MMMM
O momento máximo se dará ou numa das extremidades A e B, ou no ponto C de aplicação da carga, ou em algum ponto entre A e C, ou em algum ponto entre C e B.
63.373424.13013.48
41.34tan0sen
8cos
41.34 x
j
x
j
x
j
x
jj
x
jdx
dM rad
in-kips
rad
max 839.2403.28
10.20cos7207.18
03.28
10.20sen3265.16
10.207172.08721.0tan0sen7207.18
cos3265.16
M
xj
x
j
x
j
x
jj
x
jdx
dM
Entre A e B ?
Entre B e C ?como x > a = 15, não há mínimo local no intervalo
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Análise de Vigas-Coluna - ExemploAnálise de Vigas-Coluna - Exemplo
Mmax = 24.840 kips-in
Passo 5: Calcule a tensão total e a margem de segurança do passo 2, tensão de compressão: fc = - 9.186 ksi
tensão normal máxima de flexão: fb = Mc / I = 24.840x0.97/0.514 = 46.877 ksi
tensão combinada: ftotal = | fc | + | fb| = 56.063 ksi
M.S. = Fy / ftotal – 1 = 70/56.063 – 1 = + 0.249
Como pode ser notado, o projeto da viga é mais crítico em relação à flambagem em torno do eixo z e a margem de segurança é + 0.165
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Vigas-Coluna ContínuasVigas-Coluna Contínuas
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Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 1Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 1
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Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 1Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 1
9171.071.32
307643.0
71.32
2571.32
5
5.010700
j
L
j
L
P
EIj RL ; ; in
0919.1
9171.0
29171.029171.0tan2422tan24
0610.10412.17643.0tan
1
7643.0
1
7643.0
3
tan
113
1076.10726.17643.0
1
7643.0sen
1
7643.0
61
sen
16
33
R
RL
RL
jL
jLjL
jLjLL
j
jLjLL
j
;
;
44 10346.95.010700
3010788.7
5.010700
25
6
R ; FF
EI
LF L
Passo 1: Inicie com os cálculos preliminares
Passo 2: Calcule o valor das funções de Berry
Passo 3: Calcule as funções F:
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Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 1Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 1
M2 = - 28.143 kips-in
233
3
10592.45.01070024
0919.1302.0
24
10774.725
5.12
7643.0sen
27643.0sen
5
1
sen
sen
EI
wLH
HL
b
jL
jb
P
WH
R
LL
143.2810605.3
101456.10103694.5107762.410605.3
10592.410774.71076.110346.930
0610.110346.90412.110788.720726.110788.720
3
2
222
23
234
442
4
MM
M
ou
Passo 4: Calcule as funções H:
Passo 5: Substitua na fórmula geral e resolva para M2
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Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 2Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 2
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Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 3Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 3
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Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 3Vigas-Coluna Contínuas – Exemplo 3
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Vigas com Carga Axial de TraçãoVigas com Carga Axial de Tração
EI
Pk , com )(" 2 xfwkw
)(coshsenh)( xwkxBkxAxw p
)(coshsenh)( 243̀ xfj
j
xC
j
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dx
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j
x
j
C
j
x
j
C
dx
dMxV
)(senhcosh)( 243
PEI
j
C3, C4 e f(x) tabelados
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