Espalhamento Raman
Dinâmica de átomos em cristais: fônons
prop. físicaselétrons
mov. dos átomos
veloc. do som, prop. térmicas
calor específico, dilatação térmica, condutividade térmica(semicond. e isolantes)
Aproximação adiabática (Born & Oppenheimer):
mov. elétrons = mov. caroço(+ rápidos) (+ lentos)
x (0,0,0)
n-ésima célula unitária
átomo
r
rn=n1a1+n2a2+n3a3
rn=rn+r
un
O potencial
Energia total do cristal depende da posição do caroço
O potencial
Expansão em série de Taylor:
Termos lineares 0 (em torno da posição de equil.)
Eq. acima generaliza o pot. de oscilador harmônico para várias partículas
Aproximação harmônica
O potencial
(const. de acoplamento)
Força no at. na célula n e direção i, quando at. na célula m e direção j se move de umj
Num cristal, a invariância de translação implica em:
As equações de movimento
Força total = 0
N cel. unitáriasr at. na célula 3rN eq. dif. acopladas
Para sist. periódicos desacoplamento
uni onda plana
(Ansatz)
(só é definida nos ptos da rede rn)
As equações de movimento
Substituindo na eq. anterior:
(matriz dinâmica)
Então:
(sist. linear homogêneo de ordem 3r)
As equações de movimento
Rede primitiva: r=1 (1 átomo), i. e., para cada q temos 3 eq. para resolver, graças a simetria translacional
Só tem solução se:
Para cada q: 3r soluções diferentes para (q)
(q) relação de dispersão (3r ramos)
A cadeia linear diatômica
Modelo:
n nn-1 n+1 n+1
a
f f f f
Lembrando:
, : 1 ou 2i : só um valor (linear), podemos desprezarm: n+1, n ou n-1 (Só interação 1os. vizinhos)
A cadeia linear diatômica
Então neste caso:
Onde as constantes de acoplamento são:
A cadeia linear diatômica
Então:
Ansatz (ondas planas):
A cadeia linear diatômica
Substituindo nas eq. anteriores:
A cadeia linear diatômica
A matriz dinâmica fica:
E o determinante secular fica:
A cadeia linear diatômica
Fazendo Det=0 obtemos a relação de dispersão:
A qual é periódica para:
Para uma rede qualquer vale:
Portanto:
e
Curvas de dispersão
http://www.personal.psu.edu/pce3/images/phonon_dispersion.gif
/a /a
(2f / M1)1/2
(2f / M2)1/2
(2f /)1/2
1a. Zona de Brilluoin
ramo óptico
ramo acústico
Modos acústicos e ópticos
acústico
óptico
Rede bidimensional quadrada
Interações até 2os. vizinhos
Matriz dinâmica:
f2 f112
3 5
84
7
6
0
Rede quadrada:
i, j x, y, só 1 átomo podemos desprezarm 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (1os. e 2os. vizinhos)
Em nosso caso:
f2 f112
3 5
84
7
6
0
fn
0
n
ê
u(n)
u(0)
Fn = -fn{ê.[u(0) - u(n)]} ê
Supondo a força como:
As const. de acoplamento
Lembrando:
Força no at. na célula n e direção i, quando at. na célula m e direção j se move de umj
Voltando:
Então:
f2 f112
3 5
84
7
6
0
Lembrando também que:
Temos:
Da mesma maneira podemos calcular os outros termos !
E o determinante secular fica:
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Brillouin_zone.svg
zona de Brillouin
1a. zona de Brillouin
Alguns pontos e direções de alta simetria
XX
RR
qy
qx
2/a
Pontos e direções de alta simetria
Ao longo da linha , onde :
Em soluções para iguais a zero, em R iguais a (4f1/M)1/2
XX
RR
qy
qx
2/a
Pontos e direções de alta simetria
Ao longo da linha , onde qx = q e qy = 0 :
Em soluções para iguais a zero, em X iguais a [4(f1+f2)/M]1/2
e (4 f2 /M)1/2
XX
RR
qy
qx
2/a
Dispersão rede quadrada
XX
RR
qy
qx
2/a
(4f1/M)1/2
X
T
q
freqüênci
a
L
[4(f1+f
2)/M]1/2
(4f2/M)1/2
T
L
freqüênci
a
q
max. se f1<4f2
1a. zona de Brillouin - FCC
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Fcc_brillouin.png
Dispersão de fônons para o BN cúbico
http://wolf.ifj.edu.pl/phonon/Public/refer/bn.gif
Dispersão de fônons para o Si
http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/Si/Figs/tubino721_Si.gif
Si
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