P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S
EQUAÇÕES DE M
AXWELL
AU
L A 1
3
1
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S
INDUTÂNCIA
2
Consideremos dois circuitos em repouso. Pela lei de Biot-Savart o campo criado pela corrente que flui no circuito 1 é dado por:
B1
i1
C2
C1
dl2
dl1
r
i2
1
0 11 1 24
r
C
ir
dl e
B
O fluxo através de uma superfície fechada S, limitada pelo circuito 2 é dado por:
2 1 2.S
B da
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S3
Como o campo produzido pela espira 1 é proporcional a i1 o fluxo na superfície limitada pela espira 2 também deve ser proporcional a i1:
2 21 1M i Indutância mútua entre os dois circuitos
Vamos expressar agora o campo criado pela espira 1 em termos do potencial vetor e usar esse resultado para escrever o fluxo através da espira 2:
2
2 1 2 1
2 1 2 2 1 2
0 01 12 2 1 21 2
. . .
. .4 4
S S C
C C C C
i Mr r
B da A da A dl
dl dldl dl
Fórmula de Neumann
INDUTÂNCIA II
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S
INDUTÂNCIA III
4
Propriedades da indutância:
1. É uma quantidade puramente geométrica;
2. M21 = M12 = M : temos simetria.
O que acontece se a corrente no circuito 1 variar? O fluxo no circuito 2 também vai variar e consequentemente teremos uma força eletromotriz agindo no circuito 2:
2 12
d diM
dt dt
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 5
A variação de corrente no circuito 1 também induz uma variação de fluxo no próprio circuito 1 => auto-indutância (L):
11 1 1 1 1 ; Henri (H)
diL i L L
dt
- Com a indutância mútua, a auto-indutância (ou simplesmente indutância) depende apenas de fatores geométricos e é uma constante.
- Do mesmo modo, o fato de variar a corrente no circuito 1 faz com que apareça uma força eletromotriz que tende a fazer com que a corrente no circuito volte a seu valor anterior: chamamos esta fem de contra fem;
- A indutância faz então o papel da massa em problemas da Mecânica.
INDUTÂNCIA IV
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S
ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS
6
Qual o trabalho que deve ser realizado para estabelecer uma certa corrente em um circuito?
Esse trabalho é realizado contra a força eletromotriz contrária.
212
dW dii L i W Li
dt dt
Trabalho por unidade de carga (ao longo do
circuito)
Valor final da corrente
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 7
Lembrando que:
1. .. . . 2
C Cs S C
Li
Li W i
A dl A dlBda A da A dl
Escrevendo a corrente vetorialmente:
3
1 1. .
2 2
1.
2
C C
V
W i i
W d r
A dl A i i dl
A J
ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS II
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 8
ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS IIIO volume V é o volume onde estão as correntes. Usando agora a lei de Ampére para eliminar J desta equação:
3 3
0
1 1. .
2 2
Usando:V V
W d r d r
A J A B
A B B A A B
Podemos escrever que:
2 3 3
0
2 3
0
1W=
2
1W=
2
V V
V S
B d r d r
B d r
A B
A B da
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 9
ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS IV
Podemos estender, já que as correntes são nulas fora dos circuito, a integral para todo o espaço. No infinito, a integral se superfície se anula e então:
2 3 2 30m e
0
1W = W =
2 2V V
B d r E d r
A energia fica armazenada no
campo!
Caso eletrostático
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S
EQUAÇÕES DE MAXWELL
10
Quando olhamos para as equações que temos agora, observamos uma inconsistência na lei de Ampére:
00 0 B J
Sempre! Em geral
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 11
Para resolver esse problema vamos olhar para a equação da continuidade:
0t t
J E
Se somarmos esse termo à lei de Ampére, recuperamos a igualdade sempre. Logo a forma correta da Lei de Ampére será dada por:
0 0 0 0t
E
B J B
Lei de Ampére com a correção devida a
Maxwell
Corrente de deslocamento
EQUAÇÕES DE MAXWELL II
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S
EQUAÇÕES DE MAXWELL III
12
Um problema interessante
Se analisarmos esse problema com a velha formulação da lei de Ampére seremos levados a uma contradição. Se aplicarmos a lei de Ampére considerando a superfície arbitrária 1:
0. 0enc
C
i Bdl
i
+
Circuito amperiano
_
Superfície arbitrária 2
Superfície arbitrária 1
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 13
Por outro lado, se usarmos a superfície arbitrária 2:
0. 0enc
C
i BdlVamos agora analisar o mesmo problema, usando a formulação correta da lei de Ampére. O caso da superfície arbitrária 1 continua o mesmo, mas o que acontece agora coma superfície arbitrária 2?
Por simplicidade, vamos supor que as placas do capacitor estejam suficientemente próximas:
0 0 0 0
1 1 dqE iE q
A t A dt A
EQUAÇÕES DE MAXWELL IV
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 14
EQUAÇÕES DE MAXWELL V
Portanto, agora, se calcularmos usando a superfície 2 e a forma correta da lei de Ampére:
0 0 0 0 0 00
. 0encenc enc
C S
ii i
t
E
Bdl da
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 15
EQUAÇÕES DE MAXWELL VI
Podemos agora escrever as equações de Maxwell na sua forma final (no vácuo):
0
0 0 0
1)
2) 0
3)
4)
t
t
E
B
BE
EB J
Lei de Gauss
Lei de Gauss
Lei de Faraday
Lei de Ampére (com a correção devida a Maxwell)
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 16
Estas equações nos fornecem os campos criados por cargas e correntes. A ação dos campos sobre as cargas e correntes é dada pela força de Lorentz:
q F E v BObs.: a equação da continuidade da carga é uma conseqüência destas equações. Em meios materiais:
1)
2) 0
3)
4)
l
l
t
t
D
B
BE
DH J
0
0
1
D E P
H B MNecessitamos saber:
EQUAÇÕES DE MAXWELL VII
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S
COMO FICA O POTENCIAL AGORA?
17
Vamos usar a definição do campo magnético em função do potencial vetorial na Lei de Faraday:
0
t t
t
t t
BE A
AE
A AE E
Um novo potencial!
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL
18
Leis de ConservaçãoEnergia
Momento
Momento angular
Carga
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S
1. Carga3( ) ( , )
V
q t t d r r
Por outro lado o fluxo de carga através da superfície que limita o volume S é dado por:
.S
dq
dt J da
3 3( , )
( , )0
V V
td r d r
t
t
t
r
J
rJ
Conservação da carga
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA
19
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 20
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
P R O F PA U L O R O S A
D F I / C C E T / U F M S20
Teorema de Poynting
No caso da eletrostática e da magnetostática a energia total armazenada nos campos elétrico e magnético é dada pela soma:
22 3
00
12 2em
BU E d r
Como fica no caso dinâmico?
Qual a quantidade de trabalho (dW) executada pelos campos elétrico e magnético em um intervalo de tempo dt? Pela força de Lorentz:
i
i
E
B3
3
. ( ).
.V
q dt
q d r
dWd r
dt
Fdl E v B v
v J
E J
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 21
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA II
Vamos agora usar a lei de Ampére para eliminar a densidade de corrente da expressão anterior (e ficar com uma expressão que depende apenas dos campos):
00
1. . .
t
EE J E B E
Vamos usar agora a identidade vetorial:
( ) . . E B B E E B
Podemos reescrever:
00
00
1. . .
1. . .
t
t
EE J E B E
EE J B E E B E
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 22
Usando agora a lei de Faraday e a identidade:
21
.2
A
t t
A
A
2 20
0 0
2 2 30
0 0
1 1 1.
2
1 1 12
V
E Bt
dWE B d r
dt t
EJ E B
E B
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA III
Podemos reescrever a expressão acima como:
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 23
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA IV
P R O F PA U L O R O S A
D F I / C C E T / U F M S
Após aplicar o teorema da divergência ao último termo obtemos:
2 2 30
0 0
1 1 1.
2V S
dW dE B d r
dt dt
E B da Teorema de Poynting.
Vetor de Poynting (S)
Uem
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 24
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA VUsando uma notação mais compacta:
3 .em
V S
dW dU d r
dt dt Sda
Por outro lado, esse trabalho aparece como variação na energia mecânica do sistema de partículas:
3mec
V
dW dU d r
dt dt Portanto:
3 3.
0
em mec
V S V
em mec
dU U d r d r
dt
U Ut
Sda S
S
Equação da continuidade
para a energia
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 25
q1
q2
y
x
z
B1Fe
Fm
B2Fe
Fm
v
v
As forças magnéticas não obedecem à terceira lei de Newton - > Temos que rediscutir a conservação do momento.
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO
Os campos são portadores de momento!
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 26
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO IITensor Stress de Maxwell
Uma pequena questão: qual a força total exercida pelos campos sobre as cargas presentes em um dado volume?
3
3
( )
( )
V
V
d r
d r
F E v B
F E J B f E J B
Força por unidade de
volume.
Vamos usar agora as leis de Ampére e de Gauss para eliminar a densidade de carga e a densidade de corrente:
0 00
1t
Ef E J B E E B B
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 27
Podemos reescrever o último termo na forma:
t t t
t t
E BB E B E
EB E B E E
Logo:
0 00
1t
f E E E E B B E B
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO III
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 28
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO IV
Como o divergente de B é nulo podemos soma-lo a esta última expressão. Além disso, podemos fazer uso da identidade vetorial:
2 2 E.E E E E E
Com isso, a força por unidade de volume será dada por:
00
2 20 0
0
1
1 12
E Bt
f E E E E B B B B
E B
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 29
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO V
Podemos simplificar esta expressão, introduzindo o tensor Stress de Maxwell:
\]
2 20
0
1 1 12 2
.
ij i j ij i j ij
i ij j
T E E E BB B
aTaT
A i-ésima componente do divergente deste tensor é dada por:
20
2
0
12
1 12
j j jj
j j j
E E E
B B B
T E E
B B
\]
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 30
Em termos do tensor Stress de Maxwell, a força por unidade de volume pode ser escrita como:
0 0 t
S
f T\]
E a força no volume V será dada por:3 3
0 0
30 0
V V
S V
d r d rt
dd r
dt
SF f T
F T da S
\]
\]
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO VI
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 31
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO VII
Qual a interpretação dessas quantidades?
• Tij : força na direção i exercida sobre um elemento de área da superfície S, orientado na direção j
• Os elementos da diagonal representam pressões;
• Os elementos fora da diagonal representam shears (cisalhamento).
xj
xi
Tij (ij)
Tjj
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 32
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO VIII
Podemos agora obter a expressão para a conservação do momento:
30 0
3 30 0
3 3 3
0
mec
V S
mecem
V S V S
mecem
V V V
mec em
d dd r
dt dt
d d dd r d r
dt dt dt
d r d r d rt t
t
PF S T da
PS T da p T da
pp T
p pT
\]
\]\]
\]
\]]]]]]]]]]]]] ]
Densidade de fluxo de momento para fora do elemento de volume
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S 33
Da definição de momento angular, o momento angular por unidade de volume (l) será dado por:
0em em l r p r E B
Desde que tenhamos o produto vetorial de E por B não nulo, este termo deve ser levado em conta na conservação do momento angular.
E o momento angular total (L) em um volume V:
30em
V
d r L r E B
LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
P R O F PA U L O R O S A I N F I / U F M S
FIM D
A AULA
13
Fim
do
Curso
de El
etro
mag
netis
mo
I
34
Top Related