João Marcos Ferreira
Equação do SEgundo grau
Coeficientes
Equação Completa e incompleta
Raízes: o que significa; como se calcula; condições para a sua existência.
Soluções particulares de uma equação do 2º Grau
Relação entre os coeficientes e as raízes
Processo do completamento de quadrados
Objetivos• Reconhecer uma equação do 2º Grau• Identificar os seus coeficientes a, b, c• Reconher uma equação completa e uma
incompleta, e as condições de existência das raízes
• Obter as raízes da equação do 2º usando, os diferentes processo aqui abordados
• Solucionar problemas que envolvam, equação do 2º Grau
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• Uma equação do tipo ax²+bx+c=0 é • denominada equação completa do 2º GRAU
• Onde :• a, b,c a, b,c são coeficientes e são coeficientes e xx a variável ou raiz a variável ou raiz
• e a ≠ 0• O que determina o grau é o expoente da• Variável x
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• Completa• x² - 4x – 3 = 0, onde a = 1, b = - 4 e c = - 3• Incompletas• x² - 9 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = - 9• 6x² = 0, onde a = 6, b = 0 e c = 0
• - 4x² + 2x, onde a = - 4, b = 2 e c = 0
São exemplos de equação do 2º grau:São exemplos de equação do 2º grau:
RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
• Seja a Equação:• x² - 9 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = - 9• x² = 9 assim, x = ± √9 • X´=3 ou x´´= -3 substituindo-se na equação,
têm-se que:• (3) ² – 9 = 0 ou (-3) ² – 9 = 0
• As raízes, são valores de x que satisfazem a igualdade ou seja: são os zeros da equação
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A Fórmula de Báscara
Essa fórmula, que permite obter as raízes da equação do 2° grau é conhecida como fórmula de Báscara(1114-1185, nascido na Índia, o mais importante matemático do séc. XII
O Nº DE RAIZES ESTÁ ASSOCIADO AO GRAU DA EQ.
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Existência de Raízes ReaisDenominamos discriminante da equação do 2° grau ax²+bx+c = 0a expressão b² -4ac, que representamos pela letra grega ∆
Observando a dedução da fórmula de Báscara, podemos concluir A equação do 2° grau tem raízes reais se, e somente
se, ∆≥ 0.As raízes são dadas por:
Temos ainda: ∆>0 as duas raízes são números reais distintos.∆=0 as duas raízes são números reais iguais.∆<0 não existem raízes reais.
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Exemplo 1
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Exemplo 2Na equação 9x² + 12x + 4 = 0
Temos: a= 9 b= 12 c= 4
∆=b² -4ac=
∆= 12² - 4.9.4 =
∆=144 – 144=
∆= 0
Como ∆= 0, a equação possui duas raízes reais iguais.
As raízes são:
x’ = -12+ 0 = -2
x= -12 ± √0 = 18 3
2.9 x’’ = -12 – 0 = -2
18 3
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Exemplo 3
Na equação 2x² + 5x + 9 =0
Temos: a= 2 b=5 c= 9
∆=b² -4ac=
∆=5² - 4 .2. 9=
∆= 25 – 72 =
∆= - 47
Como ∆< 0, a equação não possui raízes reais. O conjunto solução em R é S =Ø.
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Exemplo 04
1- Na equação 054² =−− xx
)5.(1.4)²4(
4²
−−−=∆−=∆ acb
362016 =+=∆Como ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Assim:
a
bx
2
∆±−=
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Calculemos agora seus zeros:
1.2
36)4( ±−−=x
−=−=−=
==+=⇒±=
12
2
2
64''
52
10
2
64'
2
64
x
xx
Logo, os zeros da função são – 1 e 5
SOLUÇÕES PARTICULARES
• ax²+bx=0 portanto, c=0• têm-se fatorando que: x(ax+b)=0• Ou seja: x=0 ou ax+b=0, donde se conclui• Que ax=-b e x= -b/a• Logo as raizes são: x´=0 ou x´´=-b/a• Seja: 3x² -5x=0 fatorando x: x(3x-5)=0• Assim: x´=0 ou 3x-5=0 logo 3x=5 e x´´=5/3
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Relações entre coeficientes e raízes
Se em ax²+bx+c=0, a=1
Temos então que x²+bx+c=0.
Pode-se demonstrar que as raízes da equação, nesse caso, serão tais que:
x´+x´´= -b e x´.x´´=c ,
logo em x²-5x+6=0 temos
Mentalmente que: x´=2 e x´´=3
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Processo do completamento de quadrados
• Baseado na interpretação geométrica dada pelos gregos a (a + b)2
• Al-Khowarizmi, século IX, estabeleceu um processo geométrico para resolução de Equação do 2o Grau Completa.
Representação Geométrica
a2
ab
ab
b2
x2 + 6x
x2
3x
3x
32
Resolução da equação x2 + 6x + 8 = 0
• Passa 8 para o 2o membrox2 + 6x = - 8
• Como na representação geométrica acrescentamos 32
x2 + 6x + 32 = - 8 + 32
(x + 3)2 = - 8 + 9(x + 3)2 = 1
• Tira-se então, a raiz quadrada de ambos os membros
(x + 3) = ± 1x + 3 = 1 x = 1 – 3 x´ = - 2
x + 3 = - 1 x = - 1 – 3 x´´ = - 4
S = {- 4, -2}
Seja Equação: x2 – 2x – 8 = 0
• Teremos então x2 – 2x = 8, passando 8 • como na representação geométrica
acrescentamos 12 aos dois membros teremos• x2 – 2x + 12 = 12 + 8 logo (x – 1)2 = 9 • Extraimos a raiz quadrada : (x – 1) = ± 3 • Calculemos 1º raiz x – 1 = 3, x´ = 4• Calculemos a 2ª raiz : x – 1 = - 3 e X´´ = - 2 • o conjunto das raizes será S = {- 2, 4}
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Passemos agora para a resolução de alguns exercicios
• Espero que todos tenham aproveitado esta • rápida aula. As anotações são importantes • para o caso de precisarem rever o assunto
• Obrigado pela audiência.
• Prof. Demerval Dias Miranda
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