7/22/2019 ELEMENTOS DE MQUINAS I-Ernani Sales Palma
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- ELEMENTOS DE MQUINAS I -Notas de Aula
Engenharia Mecnica
Prof. Dr. Ing. Ernani Sales Palma
PUC MinasPPUUCCMMiinnaass
2. Edio - Agosto 2005
7/22/2019 ELEMENTOS DE MQUINAS I-Ernani Sales Palma
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Fatores de Segurana 2
NDICE
Assunto Pgina
1. Fatores de Segurana................................................................................01
2. Concentraes de Tenses .........................................................................06
3. Carregamento Cclico - Fadiga.....................................................................08
4. Eixos e rvores ..........................................................................................16
5. Engrenagens Conceitos Bsicos ................................................................34
6. Engrenagens - Dimensionamento................................................................55
7. Mancais de Rolamento ...............................................................................81
8. Mancais de Deslizamento............................................................................91
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Fatores de Segurana 3
1. FATORES DE SEGURANA
No dimensionamento de componentes mecnicos e peas a tenso atuante () deveser inferior tenso admissvel (ADM), ou seja:
ADM (1.1)
A tenso atuante deve ser determinada em cada caso, baseando-se nos clculos de
resistncia dos materiais (Disciplinas: Mecnica dos Slidos I e II).
A tenso admissvel o mximo valor de tenso que o componente suporta sem quehaja a falha, considerando-se uma certa margem de segurana. A tenso admissvel
definida dividindo-se a tenso limite de falha pelo fator de segurana (FS):
FS
FalhaADM
= (1.2)
Sabe-se que a tenso limite de falha em materiais dcteis submetidos a esforos
constantes o limite de escoamento (0,2). Em materiais frgeis como ferro fundido,
cermicos e concretos, a tenso limite de falha o limite de resistncia trao ou
tenso ltima (R). Em componentes mecnicos submetidos a esforos cclicos, ou
fadiga, a tenso limite de falha o limite de resistncia fadiga (SN), para a vida (N)
desejada.
O Fator de Segurana (FS)deve ser determinado atravs de normas, com base em
projetos existentes, em indicaes tabeladas em livros e/ou revistas especializadas e,
principalmente, na experincia do projetista. Os seguintes fatores tm grande
influncia no valor do FS:
Material da Pea Dctil, frgil, homogneo, especificaes bem conhecidas, etc. Esforos atuantes na pea Constante, varivel, modo de aplicao, bem
conhecida, sobrecargas possveis, etc.
Perigo de vida. Risco de dano do equipamento
O fator de segurana expressa a incerteza existente no projeto. Ele deve refletir as
incertezas dos modelos utilizados, das teorias de falhas usadas, das propriedades
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Fatores de Segurana 4
mecnicas dos materiais, etc....O Fator de segurana expresso como uma razo
entre grandezas de mesma natureza, sendo portanto adimensional. O fator de
segurana ser sempre maior ou igual unidade. Fator de segurana inferior a umsignifica a existncia da falha!
A determinao do FS pode ser auxiliada atravs da utilizao de sub-fatores a, b,c d,
ou seja:
abcdFS = (1.3)a: Relao de elasticidade - a R/0,2 .......... a 1,5 a 2,0 para aos;
b: Fator que considera o esforo atuante:
b = 1,0 Carga constante;
b = 1,5 a 2,0 Carga varivel sem reverso;
b = 2,0 a 3,0 Carga varivel com reverso.
c: Fator que considera o modo de aplicao da carga:
c = 1,0 Carga constante, gradualmente aplicada;
c = 2,0 Carga constante, subitamente aplicada;
c > 2,0 Choque.
d: Margem de segurana
d 1,5 a 2,0 - Materiais dcteis;
d 2,0 a 3,0 - Materiais frgeis.
Exemplos de Fatores de Segurana:
CORRENTES:...................FS 1,1 a 1,5
CORREIAS:.......................FS 1,1 a 1,8
CABOS DE AO
Ps, Guindastes, Escavadeiras e Guinchos:.............. FS 5,0
Pontes Rolantes:......................................................... FS 6,0 a 8,0
Elevadores de baixas velocidades (Carga):................ FS 8,0 a 10,0
Elevadores de altas velocidades (Passageiros):......... FS 10,0 a 12,0
AVIAO COMERCIAL:... FS 1,1 a 1,3.
AVIAO MILITAR:.......... FS 1,1
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Fatores de Segurana 5
Pode-se usar o Fator de Segurana de duas maneiras distintas no dimensionamento
de componentes:
a) Estimar o FS no incio e determinar a tenso ou fora admissvel.Exemplo: Um cabo de ao 6x37 (plow steel), dimetro , tem uma carga deruptura mnima efetiva igual a 104100 N. Este cabo ser usado em uma ponte
rolante. Ser usado FS = 7,0. A fora admissvel ser: Fadm= 104100/7,0 =14871,4 N.
b) Determinar o FS no final e verificar se est adequado.Exemplo: A tenso atuante em um cabo de ao de um elevador depassageiros de 1550 MPa. O limite de resistncia do cabo de ao (retiradode catlogo do fabricante) igual a 3880 MPa. FS = 3880/1550 = 2,50. UmFS=2,50 adequado para esta aplicao?
EXEMPLO FINAL DE DETERMINAO DO FS: Uma barra cilndrica de uma
roldana que atuar em uma ponte rolante deve ser fabricada com ao ABNT 1055 (R
= 725 MPa; 0,2=485 MPa). A roldana eleva uma carga de aproximadamente 20 kN,
gradualmente aplicada. Estimativa do fator de segurana: FS=a.b.c.d
a R/0,2 = 725/485 = 1,49b 2,0 Carga variando de zero at um mximo.c 1,5 Carga gradualmente aplicada.
d
1,5 Condies de funcionamento conhecidas; material dctil.FS = 1,49.2,0.1,5.1,5 = 6,7
Cdigos de Projetos e Associaes tcnicas:Algumas associaes de engenharia
e/ou agncias governamentais desenvolveram cdigos de projetos e/ou normas de
aplicaes especficas. Alguns destes cdigos so recomendaes, outras tm valor
legal. Exemplos destes organismos:
Associao Brasileira de Normas Tcnicas - ABNT American Gear Manufacturers Association AGMA Normaliza dimensionamento
de engrenagens.
American Iron and Steel Institut AISI Normaliza aos. American Society of Testing and Materials ASTM Normaliza propriedades
mecnicas e ensaios de materiais.
American Welding Society AWS Normaliza procedimentos e propriedades dejuntas soldadas.
International Standard Organization ISO Normas tcnicas variadas. American Society of Mechanical Engineers ASME Vrios cdigos de projetos,
principalmente vasos de presso.
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Elementos de Mquinas I Concentrao de Tenses 6
2. CONCENTRAES DE TENSES
Atravs da resistncia dos materiais pode-se calcular as tenses atuantes em um
determinado componente mecnico. A tenso atuante na pea da Figura (2.1)
=FA, onde F a fora atuante na seo transversal de rea A. Pode-se considerar
que a tenso atuante a mesma em toda a seco transversal.
F
Fig. 2.1: Tenso atuante em uma barra de seco quadrada
Normalmente as peas e componentes mecnicos possuem descontinuidades ou
mudanas na sua forma. Em conseqncia surgem picos de tenses com valores
superiores tenso mdia calculada anteriormente. Nestes casos diz-se que houve
concentrao de tenses. Qualquer tipo de descontinuidade provoca esta
concentrao de tenses: Furos, rasgos de chavetas, montagens com interferncia,
rugosidade superficial, rebaixos, mudana de forma, etc...Na Figura (2.2) aparece
uma concentrao de tenses devido mudana da forma da pea. A tenso nominal
(NOM)continua tendo o mesmo valor da fora calculada na Fig. (2.1), j que a menor
rea continua sendo A. Entretanto, devido descontinuidade provocada pela
mudana de forma, aparece nesta regio picos de tenses com um valor (MX),
cujo valor bem maior que o valor calculado anteriormente.
F
Fig. 2.2: Concentrao de tenso em uma barra de seco quadrada
A tenso mxima calculada usando-se o fator de concentraes de tenses Kt,
ou seja:
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Elementos de Mquinas I Concentrao de Tenses 7
nomtMX K = (2.1)
O fator de concentraes de tenses Kt determinado usando-se figuras e/ou
equaes. Hoje em dia os valores dos fatores de concentrao de tenses esto
disponveis em vrios livros. Recomenda-se especialmente o livro Stress
Concentration Design Factors, R. E. Peterson, Editora John Wiley.
Os fatores de concentrao de tenses dependem apenas da geometria da pea e do
tipo de carregamento. A Figura 2.3 mostra um exemplo de determinao do fator K t
para uma pea submetida ao momento fletor M (Figura A) e fora axial P (Figura B).
Fig. 2.3 A
Fig. 2.3 B
Fig. 2.3: Exemplo de figuras para determinao do fatores de concentrao de tenso
Existem vrios livros que tm figuras para determinao dos fatores de concentrao
de tenses. Os livros indicados na bibliografia da disciplina tm timas figuras:
Shigley e Norton.
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Elementos de Mquinas I Carregamento Cclcio - FADIGA 8
3. CARREGAMENTO CCLICO - FADIGA
3.1 Introduo
Em geral, os componentes mecnicos esto submetidos a esforos que variam com otempo. Estes esforos podem provocar a falha atravs da fadiga no material. A falha
por fadiga consiste na nucleao e posterior propagao de trincas. Geralmente esta
falha ocorre com tenses atuantes inferiores ao limite de resistncia ao escoamento
do material.
Existem basicamente trs metodologias distintas para o dimensionamento fadiga de
um componente: Fadiga controlada por tenso (ou fadiga de alto ciclo), fadigacontrolada por deformao (ou fadiga de baixo ciclo) e mecnica de fratura aplicada
fadiga. Neste curso ser visto apenas a primeira metodologia.
A metodologia de fadiga controlada por tenso baseia-se nas curvas S-N (ou curvas
de Whler) do componente. Esta metodologia bastante adequada quando as
seguintes condies so verificadas:
A tenso atuante inferior ao limite de resistncia ao escoamento do material, ouseja, EXT
< 0,2.
A vida prevista longa. Em geral N>103ciclos; A amplitude dos Esforos previsvel;Exemplos de componentes onde se aplica esta metodologia: Eixos, engrenagens,molas;
A vida necessria ao componente deve ser calculada ou avaliada. Segue abaixo umexemplo de determinao de vida de um virabrequim de automvel:Vida esperada do carro 150.000 km;
Raio do Pneu 290 mm;Comprimento =.580= 1822,12mm = 1822X10-6km;1 Rotao pneu 1822X10-6 kmn Rotaes pneu 1 kmn = 549 rpm/km. Para N=150.000 km n= 549 x150.000 = 8,2x107RotaesRelao tpica: nENT/nSAIDA=3x1 nVIRABREQUIM= 2,5x10
8Rotaes
A vida necessria ao virabrequim ser de aproximadamente 250 milhes de
ciclos. Isto significa vida infinita.
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Elementos de Mquinas I Carregamento Cclcio - FADIGA 9
Mecanismo de falhas por fadiga: As trincas de fadiga iniciam na grande maioria dos
casos na superfcie do componente. Estas trincas podem ser nucleadas durante o
servio ou podem estar presentes no material usado na fabricao.
As trincas iniciam em imperfeies ou descontinuidades do material, ou seja, emlocais onde haja concentraes de tenses. Existem trs estgios bsicos:
nucleao, propagao estvel da trinca e fratura brusca devido propagao
instvel da trinca. Um eixo que falhou por fadiga est mostrado na Fig. 3.1. A trinca
foi nucleada no rasgo da chaveta.
Fig. 3.1: Eixo rompido por fadiga
3.2 Foras e Tenses Cclicas
A fadiga causada por foras atuantes em componentes mecnicos que variam com
o tempo. Existem vrias possibilidades distintas de variao da fora ou tenso
atuante com o tempo, como est mostrado na Fig. 3.2.
a
Tenso(MPa)
MN
MX
t (s)
t (s) = 0
a
Tenso(MPa)
MX
Fig. 3.2: Tenses variveis com o tempo: Tenso mdia nula e tenso mdia distintade zero.
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Elementos de Mquinas I Carregamento Cclcio - FADIGA 10
Equaes Bsicas:
2
MNMX
a
=
2
MNMX
m
+= (3.1)
m= Tenso mdia; a= Tenso alternada;
3.3 Curva S-N
Esta curva relaciona a tenso alternada aplicada com a vida co componente em
nmeros de ciclos. Geralmente estas curvas so produzidas para tenses mdias
nulas. A curva S-N de um ao AISI 8620 est mostrada na Fig. 3.3
1E+3 1E+4 1E+5 1E+6 1E+7Number of Cycles (N)
100
150
200
250
300
350
400
AlternatingStress(MPa) P = 1%
Fig. 3.3: Curva S-N de uma ao AISI 8620 (Dissertao de Mestrado PUC Minas
lvaro Alvarenga Jr. e Ernani S. Palma)
A resistncia fadiga diminui com o aumento da vida ou do nmero de ciclos. Em
alguns materiais como aos e ferro fundidos ocorre a formao de um cotovelo entreaproximadamente 106e 107ciclos. Este ponto define o limite de resistncia fadiga
do material para vida infinita. Tenses alternadas inferiores a este limite no provoca
dano por fadiga e o material poder ser submetido a um nmero infinito de ciclos sem
que ocorra a falha.
Porm, nem todos os materiais apresentam um limite de resistncia fadiga bem
definido. Alumnio e suas ligas so exemplos deste grupo de materiais. Neste caso
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Elementos de Mquinas I Carregamento Cclcio - FADIGA 11
define-se a resistncia fadiga como sendo o valor de tenso alternada
correspondente vida de 108ciclos.
A curva S-N pode ser modelada pela equao:
b
n aNS =
(3.2)
bSa m 3= )log()log(
=
e
m
S
Sb log
3
1 Sm= 0,9Rou Sm= 0,75R
A resistncia fadiga torcional (SfS) ser aproximadamente 58% do valor da
resistncia fadiga flexo (Sf), ou seja, SfS= 0,577Sf.
3.4 Influncia da Tenso mdia na Resistncia Fadiga
A influncia da tenso mdia na resistncia fadiga est mostrada na Fig. 3.4.
Tenses mdias positivas (de trao) diminuem a resistncia fadiga. Ao contrrio,
tenses mdias de compresso tendem a aumentar a resistncia fadiga. Existem
vrios modelos que determinam a influncia da tenso mdia. Os mais usados so:
Goodman: FSSS ut
m
n
a 1=+
(3.3a)
Gerber: FSSS ut
m
n
a 122
=
+
(3.3b)
Nesta disciplina ser usado apenas o modelo de Goodman, mostrado na Fig. 3.5.
Goodman
Gerber
a
m
Sn
R
a
m
Para m = 0 a = SnPara m > 0 a Sn
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Elementos de Mquinas I Carregamento Cclcio - FADIGA 12
Fig. 3.5: Diagrama de vida constante
Exemplo: Um ao tem um limite de resistncia fadiga Se=400 MPa, Limite deresistncia trao = 1200 MPa. Qual o maior valor da tenso alternada que ele
suportaria, para ter a mesma vida e com FS=1, se estivesse atuando a tenso m=80 MPa?
FSSS ut
m
n
a 1=+
1
1
1200
80
400=+a
a 133,33 MPa
Limite de Resistncia Fadiga Terico (Se)
O limite de resistncia fadiga terico (Se) pode ser aproximado atravs dosseguintes valores:
AOS:
Se0,5R R< 1400 MpaSe700 MPa R1400 Mpa
FERRO FUNDIDO:Se0,4R R< 400 MpaSe160 MPa R400 Mpa
O limite de resistncia fadiga terico (Se) deve ser corrigido por diversos fatores de
correo, obtendo-se o limite de resistncia fadiga (Se).
RTSGLe CCCCCSSe ...'= (3.4)
Fator de carregamento (CL)
Flexo alternada e Toro CL= 1,0Foras Axiais CL= 0,7
Fator de Tamanho (CG)
d 8 mm - CG = 1,0
8 d 250 mm - CG = 1,189.(d-0,097
) (d) em milmetros (mm).d > 250 mm - CG = 0,6
Seces distintas da circular: Calcular o dimetro equivalente - dequiv
07660
95
,
Adequiv = A95= tabelada para vrias seces transversais
Exemplo: Retngulo com lado (b) e altura (h) - A95= 0,005.b.h
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Elementos de Mquinas I Carregamento Cclcio - FADIGA 13
Fator de Acabamento Superficial (CS)
Determinado pelo processo de fabricao
( )bRS AC = R= Limite de resistncia trao (3.5)
Acabamento superficial: Esmerilhado Usinado ou Laminado ForjadoEstampado a Quente
A (MPa) 1,58 4,51 57,7 272
b -0,085 -0,265 -0,718 -0,995
Fator de Correo da Temperatura (CT)
CT = 1,0 Para T 4500C
CT = 1 0,0058(T-450) Para 450 T 5500
C
Fator de Correo da Confiabilidade (CR)
Confiabilidade (%) 50 90 99 99,9 99,99
CR 1,0 0,897 0,814 0,753 0,702
3.5 Efeito de Entalhes
1
1
=
t
fKKq Kf= Fator de concentrao de tenses em fadiga
Kt= Fator de concentrao de tenses geomtrico
r
aq
+
=
1
1
r = raio do entalhe (mm)
Parmetro (a):
R(MPa) 345 380 414 483 552 620 685
a (mm) 0,655 0,595 0,544 0,469 0,403 0,352 0,312
R(MPa) 758 896 1103 1379 1655
a (mm) 0,277 0,222 0,156 0,091 0,045
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Elementos de Mquinas I Carregamento Cclcio - FADIGA 14
3.6 Tenses multiaxiais
Calcular as tenses equivalentes alternadas (eqa) e mdias (eqm) atravs da
equao de von Mises:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+++++=
+++++=
222222
222222
62
1
62
1
yzmxzmxymeqm
yzaxzaxyaeqa
zmymzmxmymxm
zayazaxayaxa
PROPRIEDADES MECNICAS DE ALGUNS MATERIAIS
SAE/AISI Condio 0,2[Mpa] R[Mpa]AOS (E = 206,8 GPa, = 7,8 Mg/m3)
1020 Laminado a quente 207 379Laminado a Frio 393 469
1040 Laminado a quente 290 524Normalizado (900 0C) 372 593Laminado a Frio 490 586Temper. e Reven. (650 0C) 434 634Temper. E Reven. (200 0C) 593 779
4130 Normalizado (900 0C) 434 669
Temper. e Reven. (650 0C) 703 814Temper. e Reven. (450 0C 1193 1282
4340 Temper. e Reven. (650 0C) 855 965Temper. e Reven. (450 0C) 1365 1469Temper. e Reven. (320 0C) 1586 1724
ALUMNIO (E = 71,7 GPa, = 2,8 Mg/m3)2024 Chapa recozida 76 179
Tratada Termicamente 290 4416061 Chapa recozida 55 124
Tratada Termicamente 276 310
7075 Barra recozida 103 228Tratada Termicamente 503 572A132 FundidoTratatamento
Trmico -(170 0C)296 324
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Elementos de Mquinas I Carregamento Cclcio - FADIGA 15
EXERCCIOS1 Considere uma pea de seco transversal quadrada de lado = a. Esta pea est
submetida s foras axiais que variam de 2 kN at 12 kN. O material desta peafoi fabricado com um ao com:Limite de escoamento 0,2= 600 MPa;Limite de resistncia trao R= 920 MPa;
Estime o valor da resistncia fadiga desta pea. Explique o valor de cada fatorde correo utilizado para esta estimativa.
1.1) Determine o lado (a) desta pea para que ela tenha vida infinita.Considere fator de segurana S = 1,5.1.2) Considere o lado (a) igual a 90% do valor calculado no item anterior.Determine a vida da pea com este novo lado. Considere fator de segurana S= 1,5.
2. Considere o eixo da Figura abaixo, o qual est submetido a uma fora de 6.800 N.Este eixo ter uma rotao de 850 rpm.
- Selecione um material para este eixo. Estime o limite de resistncia fadiga paravida infinita (Se).- Determine os esforos atuantes. Faa o diagrama de momentos fletores.- Determine os valores dos momentos atuantes nos pontos: B C E;- Determine as tenses atuantes nestes pontos. Determine o ponto crtico, ou seja,aquele em que atua o valor mximo da tenso.- Determine se o eixo ter vida infinita. Justifique! Se no tiver, determine a vida doeixo.
38 3532
10075 125 mm250 mm
6,8 kN
DCEB
A
3. Considere a viga de seco transversal quadrada ou retangular da figura abaixo.Sobre a extremidade desta viga atuar uma massa (M). Esta massa poder variar
ciclicamente entre zero e 100 kg. Selecione um material para esta viga. Estime olimite de resistncia fadiga para vida infinita (Se).Determine as dimenses destaviga para que ela tenha vida infinita. Quais seriam as dimenses, se a vida fosseigual a 4x104ciclos?
0,7 m
M2,0 m
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Elementos de Mquinas I Eixos, rvores e Acessrios 16
4. EIXOS, RVORES E ACESSRIOS
4.1 Introduo
Eixos so elementos de mquinas que tm funo de suporte de outros componentes
mecnicos e no transmitem potncia. As rvores, alm de suporte, transmitem
potncia. Geralmente, na prtica, usa-se apenas o termo eixo para denominar estes
componentes.
Os materiais mais utilizados na fabricao de eixos e rvores so (DIN 1611 e
DIN17210):
Aos-carbono: ABNT 1025 (St42,11) 1035 (St50,11)
ABNT 1045 (St60,11) 1060 (St70,11)
Ao-liga: ABNT 4120 (20 Mn Cr4) 4130 (25 Mo Cr4) 6150 (50 Cr V4)
Os esforos atuantes em eixos e rvores so: Momento fletor, momento toror, fora
cortante e fora axial (estticos e/ou cclicos).
Caso mais comum: rvore transmitindo potncia em regime.
Torque constante: Tenso cisalhante mdia (m)
Flexo alternada: Tenso normal alternada (a) com m=0.
Caso mais geral: rvore transmitindo potncia com esforos variveis.
Momento fletor: Tenso normal - ae m0.
Momento toror (T): Tenso cisalhante- ae m0.
Fora axial: Tenso normal - ae m0.
Os critrios de dimensionamento dos eixos e rvores so:
Resistncia - Deflexo lateral e angular - velocidade crtica
4.2 Anlise de tenses atuantes em eixos e rvores
Potncia (P) transmitida pela rvore: P = T.w [W] = [N.m][rad/s]
P = F.v [W] = [N]. [m/s]w = velocidade angular - v = Velocidade tangencial
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Elementos de Mquinas I Eixos, rvores e Acessrios 17
Converso de unidades de potncia:
1 HP = 745,7 W = 0,745 kW
1 CV = 735,5 W = 0,7355 kW
Tenses atuantes em eixos e rvores com seo transversal circular e com dimetro
(d).
Flexo Momento fletor (Ma e Mm) Provocam tenso normal ae m
332
d
Mk afa
=
(4.1)
332
d
Mk mtm
=
Toro - Momento toror (Ta e Tm) Provocam tenso cisalhante aem
316
d
Tk afa
S
= (4.2)
316
d
Tk mfm
m
=
Fora Axial
2
4
d
FKmfm
= (4.3)
4.3 Dimensionamento de rvores baseando-se na resistncia
O objetivo deste dimensionamento consiste em determinar o dimetro mnimo
necessrio rvore para que ela suporte os esforos atuantes.
4.3.1) Caso I: Flexo alternada simtrica e toro constantervore transmitindo potncia em regime:
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Elementos de Mquinas I Eixos, rvores e Acessrios 18
Torque constante - Tm0 - Tenso cisalhante mdia distinta de zero (m 0 e a=0).Flexo alternada - Ma0 -Tenso normal alternada distinta de zero (a0 e m=0).
Clculo do dimetro (d) da rvore:
31
212
20
2
4
332
+
=
,
.
mmF
e
aF
TK
S
MK
FSd (4.4)
4.3.2) Caso II: Flexo e toro flutuantes
rvore transmitindo potncia com variaes no momento fletor e no torque, alm dapresena de foras axiais:Torque varivel - Tenses cisalhantes distintas de zero (m 0 e a0).Flexo alternada - Tenses normais distintas de zero (a0 e m0).Fora Axial Tenses normais distintas de zero (caso mais comum somente acomponente mdia distinta de zero).
Determinao do dimetro (d) da rvore:i) Determinar separadamente todos os valores de tenses mdias e de
tenses alternadas.
ii) Calcular as tenses equivalentes de von Mises (ae m).
222 3 xyayaxayaxaa ++= (4.5)
222 3 xymymxmymxmm ++=
iii) Usar as tenses as tenses equivalentes de von Mises (a e m) nodiagrama de Goodman (Equao 3.5a pgina 18).
iv) Para os casos onde a fora axial nula e relao entre tenso alternada
e tenso mdia for constante (am = CTE),o dimetro (d) pode serdeduzido da Equao de Goodman:
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( ) ( ) ( ) ( )3
1
2222
4
3
4
332
+
++
=R
mfsmmfm
e
afsaf TKMK
S
TKMKFS
d
.
Eq. (4.6)
4.4 Dimensionamento de rvores baseando-se na deflexo
A rvore uma viga de seco transversal circular que sofre deflexo transversal.
A rvore tambm uma barra de toro que sofre deflexo angular.
Ambos os modos de deflexo devem ser analisados!
4.4.1) Deflexo Transversal de rvores ()
Deve-se determinar a equao da linha elstica do eixo/rvore: I = Momento de
inrcia da seo transversal, C1 e C2 so constantes de integrao. Estas constantes
so determinadas em funo das condies de contorno do problema. d a
declividade.
EI
M
dx
yd=
2
2
21 CxCdxEI
M++= (4.7)
1CdxEIMd +=
Em livros de resistncia dos materiais existem vrios casos resolvidos, com os
valores da deflexo transversal () e da declividade (d) calculados. Exemplo:Resistncia dos Materiais, F. P. Beer, E. Russel and Johston, Editora Makron, 3.Edio Pg 1198, apndice D:
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Elementos de Mquinas I Eixos, rvores e Acessrios 21
4.4.2) Deflexo Angular de rvores ()
A deflexo angular em rvores ocorre devido ao torque aplicado (T). L o
comprimento da rvore, G o mdulo de elasticidade transversal e J o momento
polar de inrcia da seo transversal
GJ
TL=
(4.8)
A constante elstica torsional (Kt) pode ser obtida atravs da Eq. (4.8):
L
GJTKt == (4.9)
Em rvores escalonadas com vrias sees transversais, tem-se:
++=++=
n
nn
J
L
J
L
J
L
G
T
2
2
1
121
(4.10)
4.5 Dimensionamento de rvores baseando-se na velocidade crtica
Todos os sistemas mecnicos apresentam uma srie de freqncias naturais, nas
quais eles vibram com amplitudes elevadas. Os eixos e rvores rotativos giram com
velocidades angulares e em conseqncia apresentam deflexes laterais e
angulares, como visto anteriormente.
Os eixos e rvores submetidos a carregamentos externos iro vibrar nesta freqncia
externa de excitao. Ao contrrio, se um eixo for submetido a uma pancada
(carregamento transiente) ele ir vibrar em sua freqncia natural, caracterizando
uma vibrao livre. Esta vibrao livre tende a se anular com o tempo devido ao
amortecimento do sistema. Se a excitao externa (carregamento externo, rotaes,
etc) for mantido, o eixo e/ou rvores vibraro nesta freqncia forada.
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Elementos de Mquinas I Eixos, rvores e Acessrios 22
Se a freqncia forada coincidir com uma das freqncias naturais do sistema (ou
do eixo), a amplitude de vibrao poder atingir valores muito elevados e poder
provocar a sua falha. Diz-se que o sistema entrou em ressonncia.
As freqncias naturais (n, fnou nc) podem ser calculadas pelas expresses:
mxn
g
m
k
== [rad/s]
mxn
g
m
kf
2
1
2
1== [Hz] (4.11)
mxc
g
m
kn
3030== [rpm]
K = Constante de elasticidade ou de rigidez do sistema; (K = W/ mx); W = m.g;
m = massa;
g = Acelerao da gravidade (9,81 m/s2);
mx= flecha provocada pelo peso (W). Veja figura abaixo
mx
Peso W
As freqncias naturais so propriedades fsicas do sistema mecnico (eixo, rvore),
que uma vez construdo, manter sempre as mesmas, a no ser que sua massa ou
sua constante de elasticidade mude ao longo de sua vida til. As equaes (4.11)
definem as freqncias naturais de sistemas no amortecidos. Os amortecimentos
reduzem estes valores de freqncias naturais. Eixos, rvores, engrenagens
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Elementos de Mquinas I Eixos, rvores e Acessrios 23
possuem amortecimentos caractersticos. Porm, os valores de freqncias naturais
no amortecidas podem ser usados com uma pequena margem de erro.
As freqncias das excitaes externas de eixos e rvores devem ser mantidas
abaixo da primeira freqncia natural, com uma margem de segurana. Em outras
palavras, a rotao mxima de uma rvore deve ser de 3 a 4 vezes inferior sua
freqncia natural
Vibrao Lateral de Eixos e rvores Mtodo de Rayleigh: Este mtodo permite uma
determinao aproximada do valor real das freqncias naturais de eixos e rvores.
Como exemplo considere uma rvore com vrias massas (mi - engrenagens, polias,
etc.), cada uma provocando uma deflexo (i), como mostrado na figura abaixo.
W3W1
31
W2
2
As freqncias naturais podem ser calculadas pelas Equaes (4.12)
=
=
=
= ==n
i ii
n
i ii
n
i ii
n
i iin
W
Wg
m
mg
12
1
12
1
(4.12)
=
=
=
= ==n
i ii
n
i ii
n
i ii
n
i iic
W
Wg
m
mgn
12
1
12
130
Velocidade Crtica para eixos e rvores somente com peso prprio:
mx
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mxc
gn
4
5= (4.13)
4.6 Chavetas
As normas ASME e DIN definem chavetas como uma pea desmontvel, que quandoassentada a um rasgo produz a transmisso de potncia (ou torque) entre a rvore eo elemento associado por esta conexo. As chavetas so normalizadas para diversosperfis e tamanhos.
Tipos de Chavetas:Retas ou Planas: So as mais comuns. Possuem seco transversal retangular.
Dimenses so constantes ao longo do perfil.Mais usual em aplicaes com torque em um sentido nico.
Norma DIN 6885Inclinadas: Possuem seco transversal retangular.
Largura constante ao longo do perfil.Altura varia linearmente com o comprimentoMais usual em aplicaes com torque em um sentido nico.
Norma DIN 6886
Inclinada com cabea:
Norma DIN 6887
Woodruff Apresentam seco transversal circular.ou Meia lua: Tem menores fatores de concentrao de tenses.
Usadas em mquinas ferramentas e indstria automotiva.
Usadas em rvores com d 60 mm (2 ).Podem ser retas ou inclinadas.Normalizao ANSI XXYY YY=Dimetro nominal em 1/8;XX= Largura nominal em 1/32. Exemplos: Chaveta 806:Dimetro nominal = 6/8; Largura= 8/32. Chaveta No 1208 dimetro nominal = 8/8; Larg. Nominal = 12/32.
Norma DIN 6888 Reta
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Chaveta Woodruff na rvore:
Tr
FT
FTb
h4.6.1) Dimensionamento de chavetas
A fora externa atuante a fora tangencial (FT).
Esta fora provoca uma tenso de cisalhamento
na superfcie (b.l) da chaveta.
bl
F
A
F T
cis
T == (4.14)
rFTT
.=
blr
T=
Torque (T) que a chaveta suporta:
blrT =
A presso de contato entre o cubo e a chaveta provoca uma tenso deesmagamento Eq. (4.15):
( )11 thlrT
thl
F
A
F T
esm
Td
=
==)(
l
(4.15)
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Elementos de Mquinas I Eixos, rvores e Acessrios 26
O dimensionamento consiste em determinar o comprimento (l) ou o nmero
necessrio de chavetas.
- Materiais usados em chavetas: Aos ABNT 1050 e ABNT 1060 ( st60 ou st80).
Tenso de esmagamento 100 MPa;
Tenso admissvel ao cisalhamento 60 MPa;
- Os comprimentos das chavetas devem ser inferiores a 1,5 vezes o dimetro da
rvore (l 1,5d). Caso o comprimento necessrio seja superior a este limite: Usar
duas ou mais chavetas, defasadas de 900entre si.
As tabelas abaixo servem como referncia para determinao das dimenses das
seces transversais de chavetas:
Tab. 4.1: Chavetas com seces quadradas ou retangulares (rgo de Mquinas,Carvalho e Moraes, LTC)
Dimetro da rvore (mm) Seco (bxh) (mm) Torque (kg.cm/mm)
10-12 4x4 10-12
12-17 5x5 13-22
17-22 6x6 26-33
22-30 8x7 38-52
30-38 10x8 60-76
38-44 12x8 76-88
44-50 14x9 100-115
50-58 16x10 130-150
58-65 18x11 160-180
65-75 20x12 200-230
75-85 22x14 260-300
85-95 25x14 300-330
95-110 28x16 380-440
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Tab. 4.2: Chavetas Woodruff (rgo de Mquinas, Carvalho e Moraes, LTC)
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CONCLUSO
REGRAS GERAIS PARA PROJETO DE EIXOS E RVORES
Dimensionar a rvore baseando-se na sua resistncia. Determinar o dimetro (d).
Determinar a deflexo transversal. Existem limites mximos para os valores de
deflexes transversais. Fixao de Engrenagens - 0,13mm.
Determinar a deflexo angular. Existem limites mximos para os valores de
deflexes angulares. Exemplos: Fixao de Engrenagens - 0,030. Mancais
de Rolamentos NO auto-compensadores - 0,040.
Determinar a freqncia natural da rvore. fNAT> 3-4 fMAX EXCITAO. Se possvel, evitar colocar concentradores de tenses (rasgos de chavetas,
mudanas de sees, etc.) prximo dos locais onde o momento fletor mximo.
Se a deflexo transversal essencial, ou seja, o critrio de dimensionamento da
rvore, devem ser usados aos de baixo carbono. Eles so mais baratos que os
aos ligados e possuem mdulo de elasticidade (E) de valores semelhantes.
Dimensionar as chavetas e acoplamentos necessrios.
Selecionar o Acoplamento necessrio.
ExerccioDimensionamento de uma rvore
A rvore da figura abaixo para ser dimensionada levando-se emconsiderao a resistncia, rigidez e velocidade crtica. A potncia transmitida a rvore atravs de correias chatas na Polia P. A engrenagem G
acoplada a um sistema de levantamento de carga (no mostrado na figura). Arvore sustentada por dois mancais de rolamentos . Os seguintes dados soconhecidos:Potncia: 7,5 kW (condio de carga constante, choques moderados);Velocidade da rvore: 900 rpm.Dimetro da polia P = 250 mm.Dimetro primitivo da Engrenagem G = 250 mm.Peso prprio da polia P = 120 N.Peso prprio da engrenagem G = 120 N.Relao das foras atuantes na polia P: T1=2,5T2. As foras soperpendiculares ao papel.As foras atuantes na engrenagem so a fora tangencial (FT) e Fora Radial(FR).
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ngulo de ao da Engrenagem G: 200.Dimenses A=B=C=150mm.
Dimensione a chaveta usada na engrenagem.
As seguintes restries devem ser obedecidas na determinao do dimetro D:a) A flecha da rvore na engrenagem deve ser menor que 0,025mm.b) A declividade (inclinao) da rvore nos dois mancais no pode exceder
10(UM GRAU).c) A rotao mxima no pode exceder 60% da primeira velocidade crtica
da rvore.
Ft
T1PG
T1Fr
CBA
D
2D
D
Consideraes:1. Os fatores de segurana e fatores de concentrao de tenses na rvore
devem ser determinados.2. Especifique o material a ser utilizado na rvore e suas propriedades
mecnicas. Mostre claramente os fatores utilizados no clculo da
resistncia fadiga
Na Pgina seguinte tem um exemplo completo de dimensionamento de eixos.
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Elementos de Mquinas I Eixos, rvores e Acessrios 30
Plano Vertical: Foras Atuantes e diagramas deforas cortantes e Momentos Fletores
DIMENSIONAMENTO DE RVORES EEIXOS
A fora resultante na engrenagem FA =2700 N, atua fazendo um ngulo de 200 com oeixo Y da rvore mostrada na Figura abaixo. Arvore uma barra de seo circular, de ao
trabalhado a frio SAE1040. O fator de seguranadeve ser 2,60. Determine o dimetro destarvore para vida infinita. Determine os valoresda velocidade crtica, da rigidez lateral etorcional.
CLCULO DO TORQUE TTA = Fa.cos20
0.rA = 2700.cos 200.300
TA = 761151,02 N.mm.CLCULO DE Fc:Fc.Cos20
0.rc= TAFc = 6480 N
CLCULO DOS ESFOROSFORAS VERTICAIS (Plano xy)FAV= FA.cos20 = 2537,17NFCV= FC.sen20 = 221,63NMO= 0 RBV= 1126,35 NV = 0 ROV= 1189,15 NFORAS HORIZONTAIS (Plano xz)FAH= FA.sen20 = 923,45NFCH= FC.cos20 =6089,21NMO= 0 RBH= 7267,63 NV = 0 ROH= 2101,87 NMOMENTOS RESULTANTES:
MAR= [594597,52+10509352]1/2 = 1207,481,1 N.mmMBR= [55407,5
2+15223022]1/2 = 1523310,01 N.mmDIMETRO d baseado na resistncia:
31
21
2
2,0
2
4
3.32
+
=
maF
F T
Se
MK
Nd
Tm=TA= 761151,02 N.mm; Ma = 1523310,01 N.mmSe = 156,57 MPa; R= 586 MPa; 0,2= 489,2 MPa
Assim: d = 63,8 mm
MBV = 55407,5N.mm
MAV= 594597,5N.mm
A= 55047,5A= 539190,0
A= 594597,5
221,631347,98
CB
AO
1189,19
FCV=221,63
FAV=2537,17
RBV =1126,35
CB
AO
RoV =1189,19
Plano Horizontal: Foras Atuantes e diagramas:
Foras cortantes e Mom.Fletores
A= 471366,8A= 1050,945
2101,87
A
B C
6089,20
A=1522302
MBV =1522302N.mm
MAV= 1050935.mm
O
1178,42
FCH=6089,21
FAH = 923,45
RBH =7267,63
CBAO
RoH =2101,87
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Dimensionamento baseado na Rigidez2VEI = Z4EI - Z2EI = 65,23-24,8 = 40,43 Nm
3Plano vertical (xy)2V= 40,43/(EI) = 40,43/ (170,1x10
3Nm2);
A1= 146,65 m2; A2 = 22,16 m
2;A3= 107,84 m2;A4= 6,93 m2a) Z1EI = Q1+ Q2+ Q3(em relao ao eixo quepassa pelo ponto B)Z1EI=[148,65(0,5/3+0,4)]+[22,16.0,2]+[107,84.2/3.0,4]Z1EI = 84,2 + 4,43 + 28,76;Z1EI = 117,42 Nm
3b) Z2EI = Q1(em relao ao eixo que passa pelopto. A)Z2EI=[148,65.(0,5/3)]Z2EI = 24,8 Nm
3
c) Z3EI = Q1+ Q2+ Q3+ Q4 (eixo que passapelo pto C)
Z3EI=[148,65(0,5/3+0,65)]+[22,16.0,45]++[107,84.(2/3.0,4+0,25)] + [6,93.2/3.0,25)}Z3EI = 121,4 + 9,97 + 55,7 + 1,16;Z3EI =188,24 Nm
3d) Semelhana de tringulo:Z4/Z1= 0,5/0,9 ;Z4EI = 65,23 Nm
3Z5/Z1= 1,15/0,9 ;Z5EI = 150,04 Nm
3Ao AISI 1040 E = 210 GPa
I=(d4)/64 = 0,81x10-6m4;EI = 170,1x103Nm2;1VEI = Z3EI - Z5EI = 188,24-150,04 = 38,20Nm3
1V= 38,20/(EI) = 38,20/ (170,1x103Nm2);1V= 0,22 mm
2V= 0,24 mm
Plano horizontal (xz)
A1= 262,74 m2; A2 = 100,27 m
2;A3= 420,38 m
2;A4= 190,29 m2
a) Z1EI = Q1+ Q2+ Q3(em relao ao eixoque passa pelo ponto B)Z1EI=[262,74(0,5/3+0,4)]+[100,27.0,4/3]+[42
0,4.0,24]
Z4
2V
1V
Z6
Z4
Z2
2
Z1
1
Z3
MBV= 55,4Nm
MAV= 594,6Nm
BAO
A4
A3
A1 A2
C
O
Z2
2Z4
1H2H
Z6 Z1
Z3
1
Z5
A4A3
A2
A1B CA
Z1EI = 148,9 + 13,4 +84,08;Z1EI = 246,34 Nm3
b) Z2EI = Q1(em relao ao eixo que passa pelopto. A)Z2EI=[262,74.(0,5/3)}Z2EI =434,8 Nm
3
c) Z3EI = Q1+ Q2+ Q3+ Q4 (eixo que passapelo pto C)Z3EI=[262,74(0,5/3+0,65)]+[100,27.(0,4/3+0,25)]+[420,38.0,45] + [190,29.2/3.0,25)]Z3EI = 214,6 + 38,4 + 189,2 + 31,7;Z3EI =473,89 Nm
3
d) Semelhana de tringulo:Z4/Z1= 0,5/0,9 ;Z4EI = 136,86 Nm3
Z5/Z1= 1,15/0,9 ;Z5EI = 314,87 Nm3
1HEI = Z3EI - Z5EI =473,89-314,77=159,1Nm3
1H= 159,12/(EI) = 159,12/ (170,1x103Nm2);
1H= 0,94 mm2HEI = Z4EI - Z2EI = 136,86-43,79= 93,07Nm
32H= 93,07 /(EI) = 93,07 / (170,1x10
3Nm2);2H= 0,55 mm
Flechas Resultantes1 = (0,22
2+0,942)1/2 1 = 0,97 mm2= (0,24
2+0,552)1/2 2 = 0,60 mmFlecha Mxima 2 = 0,97 mm
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DECLIVIDADE NGULOS NOSMANCAIS
Calcular as flechas 1e 2: De maneirasemelhante aos clculos realizados nadeterminao de 1H e 2Hna figura da direita dapgina 15.
Plano Vertical (Fig. Pg. 15 esquerda)Z6EI = Q1+ Q2+Q3 (eixo que passa pelo pto O)Z6EI=[148,7(0,5.2/3)]+[22,16.0,7]+[107,8.(0,4/3+0,5)]
a) Z1EI = Q1+ Q2+ Q3(eixo que passa pelo pto B)Z1EI =10,04 Nm
3Z6EI = 49,55 + 15,51 + 68,29;Z6EI =133,36Nm
3b) Z2EI = Q1(eixo que passa pelo pto. A)Z2EI =2,0 Nm
3
Z6=0,78x10-3
m c) Z3EI = Q1+ Q2+ Q3+ Q4(eixo passa pelo pto C)
Z3EI =17,22 Nm31V= Z1/ (EI.0,9) = 117,42/(170,1x10
3.0,9)d) Semelhana de tringulo:1V= 0,00077 rad = 0,044
0Z4EI = 5,58 Nm
32V= Z6/0,9 = 0,00078/0,9Z5EI = 12,83 Nm
32V= 0,00087 rad = 0,049
01 = 0,0258 mm 2 = 0,021 mmPlano Horizontal (Fig. Pg.15 direita)
Z6EI = Q1+ Q2+ Q3 (eixo que passa pelo pto O)
( )
( ) ( )2323
33
10025010010020150
100250100100210150819
+
+=
xx
xxWC
,,
,.,., Z6EI=[262,7(0,5.2/3)]+[100,3.(2.0,4/3+0,5)]+[420,4.0,7
Z6EI = 87,58 + 76,9 + 299,3 Z6EI =458,72 Nm3
Z6=2,7x10-3
m
sradx
WC /,,
,4656
10291
05507 ==
1H= Z1/ (EI.0,9) = 246,34/(170,1x103.0,9)
1H= 0,0016 rad = 0,090
W=2n nC = 656,4/2= 104,5 Hz;2H= Z6/ 0,9 = 0,0027/0,9 nC = 6267,9 rpm2H= 0,0029 rad = 0,17
0nMx 60% nC= 3760 rpm
Declividades ResultantesDEFLEXO ANGULAR
1 = (0,0442+0,092)1/2 1 = 0,10
02 = (0,049
2+0,172)1/2 2 = 0,180 T = 761.15 Nm
0,25m0,4m
0,50mVELOCIDADE CRTICADeve ser determinado devido s flechasprovocadas pelos pesos prprios:
G=80 GPa; 4644
1063132
0640
32mx
d === ,,.
J Engrenagem A Peso prprio Ppa = 150N;Engrenagem B Peso prprio Ppb = 100 N;
oradxxGJ
TL2200040
106311080
6501576169
,,,
,.,====
Clculos de Reaes, Diagramas de foras
cortantes e momentos fletores:
Z42
Z2Z1
Z5
Z3
MB= 25.Nm
MA= 48,06.Nm
RB =153,89
BC
FC=100A
FA= 150
O
Ro =96,11
1
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Elementos de Mquinas I Eixos, rvores e Acessrios 33
RESUMO
Critrio ValorResistncia d 63,8 mmRigidez transversal -Flecha
Mx = 0,60 mm
Declividade nosMancais
1 = 0,100 (Mancal O)2 = 0,18
0 (Mancal B)Velocidade Mxima nC = 6267,9 rpm
nMx= 3760 rpmRigidez Torcional = 0,220
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 34
5. ENGRENAGENS Conceitos Bsicos
5.1 Tipos de Engrenagens
Engrenagens Cilndricas Retas: Possuem dentes paralelos ao eixo de rotao da
engrenagem. Transmitem rotao entre eixos paralelos. Um exemplo mostrado na
Fig. 5.1.
Fig. 5.1: Engrenagens Cilndricas Retas
Engrenagens Cilndricas Helicoidais: Possuem dentes inclinados em relao ao eixo
de rotao da engrenagem. Podem transmitir rotao entre eixos paralelos e eixos
concorrentes (dentes hipoidais). Podem ser utilizadas nas mesmas aplicaes das
E.C.R.. Neste caso so mais silenciosas. A inclinao dos dentes induz o
aparecimento de foras axiais. Um exemplo mostrado na fig. 5.2.
(a) (b)
Fig. 5.2: Engrenagens Cilndricas Helicioidais a: Eixos paralelos; b: Eixos
concorrentes
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 35
Engrenagens Cnicas: Possuem a forma de tronco de cones. So utilizadas
principalmente em aplicaes que exigem eixos que se cruzam (concorrentes). Os
dentes podem ser retos ou inclinados em relao ao eixo de rotao da engrenagem.
Exemplos deste tipo de engrenagens esto mostrados na Fig. 5.3.
Fig. 5.3: Engrenagens Cilndricas Cnicas
Parafuso sem fim Engrenagem coroa (Sem fim-coroa): O sem fim um parafuso
acoplado com uma engrenagem coroa, geralmente do tipo helicoidal. Este tipo de
engrenagem bastante usado quando a relao de transmisso de velocidades
bastante elevada (Fig. 5.4).
Fig. 5.4: Parafuso Sem fim - Coroa
Pinho-Cremalheira: Neste sistema, a coroa tem um dimetro infinito, tornando-se
reta. Os dentes podem ser retos ou inclinados. O dimensionamento semelhante sengrenagens cilndricas retas ou helicoidais. Na Fig. 5.5 est mostrado um exemplo
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 36
destas engrenagens. Consegue-se atravs deste sistema transformar movimento de
rotao em translao.
Fig. 5.5: Engrenagens Pinho-cremalheira
5.1 Nomenclatura
A nomenclatura de engrenagens est mostrada na fig. 5.6.
Fig. 5.6: Nomenclatura Engrenagens Cilndricas Retas
Circunferncia Primitiva: uma circunferncia terica sobre a qual todos os clculos
so realizados. As circunferncias primitivas de duas engrenagens acopladas sotangentes. O dimetro da circunferncia primitiva o dimetro primitivo (d).
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 37
Passo frontal (p): a distncia entre dois pontos homlogos medida ao longo da
circunferncia primitiva.
Mdulo (m): a relao entre o dimetro primitivo e o nmero de dentes de uma
engrenagem. O mdulo a base do dimensionamento de engrenagens no sistema
internacional. Duas engrenagens acopladas possuem o mesmo mdulo. A figura 5.7
mostra a relao entre o mdulo e o tamanho do dente. O mdulo deve ser expresso
em milmetros.
Passo Diametral (P): a grandeza correspondente ao mdulo no sistema ingls. o
nmero de dentes por polegada.
2,75
2,5
6,0
5,0
4,03,5
3,0
2,25
Fig. 5.7: Relao entre Mdulo (mm) e tamanho de dente
Altura da Cabea do Dente ou Salincia (a): a distncia radial entre a circunferncia
primitiva e a circunferncia da cabea.Altura do p ou Profundidade (b): a distncia radial entre a circunferncia primitiva e
a circunferncia do p.
Altura total do dente (ht): a soma da altura do p com a altura da cabea, ou seja,
ht=a+ b.
ngulo de ao ou de presso (): o ngulo que define a direo da fora que a
engrenagem motora exerce sobre a engrenagem movida. A figura 5.8 mostra que o
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 38
pinho exerce uma fora na coroa, formando um ngulo () com a tangente comum
s circunferncias primitivas (tracejadas na figura).
Circunferncia deBase do Pinho
Circunferncia deBase da Coroa
Fig. 5.8: ngulo de ao de duas engrenagens acopladas
Circunferncia de base: a circunferncia em torno da qual so gerados os dentes.
Equaes Bsicas:
N
d
m= (5.1)N o nmero de dentes da engrenagem.
mN
dp
==
(5.2)
md
NP
425,==
(5.3)
O dimetro da circunferncia de base (db) calculado pela Equao:
cosddb = (5.4)
Um par de engrenagens onde o pinho gira com rotao de np rpm e a coroa com
rotao de ncrpm apresenta a seguinte relao cinemtica:
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p
c
p
c
c
p
d
d
N
N
n
n==
(5.5)
5.2 Sistemas de Dentes
Um sistema de dentes um padro, normalizado, onde todas as dimenses de uma
engrenagem so fixadas em funo do mdulo. A Tab. 5.1 mostra as dimenses
para ngulos de ao de 20, 22 e 250.
Tab. 5.1: Padres de dentes E.C.R m = mdulo
Sistema ngulo de ao(0) Altura da cabeado dente Altura do p dodente20 1.m 1,25.m22 1.m 1,25.mNormal25 1.m 1,25.m
Rebaixado 20 0,8.m 1.m
Mdulos padronizados (mm):
0,2 m 1,0 Variao: 0,1 mm 16,0 m 24,0 Variao: 2,0 mm1,0 m 4,0 Variao : 0,25 mm 24,0 m 45,0 Variao: 3,0 mm4,0 m 7,0 Variao: 0,5 mm 45,0 m 75,0 Variao: 5,0 mm7,0 m 16,0 Variao : 1,0 mm
Mdulos mais usados: 1 1,25 1,5 2 2,5 3 4 5 6 7 8 10 1216 20 25 32 - 40 50 mm.
Segunda Escolha: 1,125 1,375 1,75 2,25 2,75 3,5 4,5 5,5 7 9 11 14 - 18 22 28 36 45 mm.
5.3 Anlise de Foras
Nomenclatura a ser utilizada: Eixos e rvores: a, b, c,... Engrenagens: 1, 2, 3....
Exemplos: F23= Fora que a engrenagem 2 exerce sobre a engrenagem 3.
F4a= Fora que a engrenagem 4 exerce sobre a rvore (a).
A direo e tipo de foras atuantes sero indicados pelas letras em
superescritos: x, y, z = Direo; t = tangencial; r = radial; a = axial.
Exemplo: Ft23 = Fora tangencial que a engrenagem 2 exerce sobre a engrenagem 3.
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 40
5.3.1 Engrenagens Cilndricas Retas
As foras atuantes em um par de engrenagens cilndricas retas esto mostradas na
Fig. 5.9. As engrenagens transmitem fora ao longo da linha de ao, que forma o
ngulo () mostrado.
Ta2
F32F23
Fa2
Tb3
Fb3n3
n2a
b
2Pinho
3
Coroa
Fig 5.9: Foras em Engrenagens Cilndricas Retas
As foras atuantes nas engrenagens podem ser decompostas nas direes radiais
(Fr32) e tangenciais (Ft32), como mostrado na Fig. 5.9a.
Ft32
Fr32 F32
Fig 5.9a: Foras tangencial e radial em Engrenagens Cilndricas Retas
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 41
Somente a componente tangencial transmite potncia (Fora til). A componente
radial tende a separar as rvores. Fazendo Ft = Wt, o torque transmitido (T) pelas
engrenagens pode ser calculado por:
2dWT t.= (5.6)
A potncia transmitida (H) pode ser calculada pela equao:
.. TVWH t == (5.7)v = velocidade tangencial da engrenagem v = dn
= Velocidade angular da engrenagem
Interferncia entre engrenagens cilndricas retas
Interferncia entre duas engrenagens existe quando o contato entre os dentes ocorre
fora do perfil gerado. A interferncia deve ser evitada no dimensionamento de
engrenagens. Para evitar interferncia devem ser determinados os nmeros mnimos
de dentes:
O nmero mnimo de dentes que um pinho pode ter (NP) para evitar interferncia :
( )
+++
+=
22
221
21
2sen
sen)(GGG
G
p mmmm
kN (5.8)
k = 1 para engrenagens normais e k = 0,8 para engrenagens rebaixadas;
mG= NC/NP= Relao do nmero de dentes do pinho e da coroa.
Exemplo: mG= 4; k = 1; = 200. O nmero mnimo de dentes NP= 15,4 = 16 dentes.
Assim, um pinho de 16 dentes poder se acoplar com uma coroa de 64 dentes semque haja interferncia.
O nmero mximo de dentes (NC) que uma coroa pode se acoplar com um pinho
com nmero de dentes igual a NPsem que haja interferncia :
2
222
24
4
sen
sen
P
PC
Nk
kNN
= (5.9)
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 43
tgtg n .cos= (5.11)
n
Fig 5.11: Nomenclatura e definies em
engrenagens cilndricas helicoidais
Uma outra maneira de mostrar os cortes dos dentes de uma engrenagem helicoidal
est mostrada na Fig. 5.12.
Fig 5.12: corte em engrenagens
cilndricas helicoidais
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 44
Interferncia entre engrenagens helicoidais
Semelhante equao (5.8), usada para E.C.R., o nmero mnimo de dentes que um
pinho com dentes helicoidais pode ter (NP) para evitar interferncia :
( )
+++
+=
222
2121
2sen
sen)(
cos.GGG
G
p mmmm
kN (5.12)
O nmero mximo de dentes (NC) que uma coroa pode se acoplar com um pinho
com nmero de dentes igual a NPsem que haja interferncia :
2
222
24
4
sencos
cossen
P
PC
Nk
kN
N
= (5.13)
As foras atuantes em um par de engrenagens helicoidais esto mostradas na Fig.
5.13.
CilindroPrimitivo
Fig 5.13: Foras atuantes em engrenagens cilndricas helicoidais
As foras radiais (Wr), tangenciais (Wt) e axiais (Wa) so calculadas atravs das
equaes:
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 45
tgWWW tnr == sen
coscos nt WW = (5.14)
tgWWW tna == sencos
coscos n
tWW =
5.3.3 Engrenagens Cnicas
A terminologia das engrenagens cnicas est mostrada na Fig. 5.14. O passo e o
mdulo so medidos no dimetro primitivo da engrenagem.
ConeComplementar
Dimetro Primitivo DC
Fig. 5.14: Nomenclatura de engrenagens cnicas
- ngulo primitivo do pinho; dp= Dimetro primitivo do pinho;
- ngulo primitivo da coroa; DC= Dimetro primitivo da coroa;
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 46
C
p
N
Ntg =
p
C
N
Ntg = (5.15)
O nmero virtual de dentes de uma engrenagem cnica (N) :
p
rN b
2=' (5.16)
rb o raio do cone complementar.
As foras atuantes em uma engrenagem cnica esto mostradas na Fig. 5.15.
Considera-se que as foras esto atuando no ponto central do dente.
Fig 5.15: Foras atuantes em engrenagens cnicas
s foras radiais (Wr), tangenciais (Wt) e axiais (Wa) so calculadas atravs dasA
equaes:
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 47
avt
r
TW =
costgWWtr
= (5.17)
sentgWW ta =
rav o raio primitivo (metade do dimetro primitivo).
5.3.4 Parafuso Sem fim - Coroa
O par sem fim coroa consiste do acoplamento de um parafuso com uma engrenagem
(a coroa). Consegue-se atravs deste par grandes redues (i 100:1). Na Fig. 5.16
est mostrada uma representao esquemtica de um sem fim coroa.
dc
dS
px
Px= Passo axial do sem fim
dS= Dimetro primitivo do sem fimdc= Dimetro primitivo da coroa
Fig. 5.16: Representao esquemtica de um par sem fim - coroa
Para que haja engrenamento, o passo axial do sem fim deve ser igual ao passo
normal da coroa (engrenagem helicoidal), ou seja: px= pN. O ngulo de avano do
parafuso () dado por
Sd
Ltg
=
e SxNpL= (5.18)
L o avano do parafuso. NS o nmero de entradas do parafuso.
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 48
A fig. 5.17 mostra o ngulo de avano do parafuso.
Fig. 5.17
: ngulo de avano do parafuso sem fim
parafuso sem fim (dS), deve obedecer relao, onde C a distncia
entre centros:
O dimetro do
87508750 ,, Cd
Cs
613 , (5.19)
nomenclatura do par sem fim-coroa est mostrada na Fig. 5.18.
Fig. 5.18
A
: Nomenclatura de um par sem fim - coroa
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 49
As foras atuantes em um par sem fim coroa esto mostradas na Fig. 5.19.
Fig. 5.19a
Z
X
Y
WStaWSWSr
WCrWCt WCa
WY
WX
W
W
n
: Foras atuantes no par sem fim coroa
Fig. 5.19b
: Foras atuantes no sem fim coroa
ras atuantes em par sem fim coroa podem ser
determinadas pelas equaes:
Desprezando-se o atrito, as fo
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 50
Sen
ny WSenW =
WCosW nx =
(5.20)
A foras nas direes X, Y e Z so:
(5.21)
Em um par sem fim coroa existe uma fora de atrito que NO
CosWCosW n= z
xCaSt WWW ==
yCrSr WWW ==
WWW ==
z
CtSa pode ser desprezada.
Considerando-se o atrito, com coeficiente atrito (f), as foras atuantes so:
(5.22)
A relao entre as foras tangenciais no parafuso (WSt) e na coroa (WCt) pode ser
determinada pela equao:
de
( CosWW nx = ) fCosSen +
ny WSenW =
( ) fSenCosCosWWz
= n
CosCosfSen
fCosSenCosW
n
nCtSt
+=W (5.23)
O rendimento do par sem fim coroa ( ) :
CotgfCos
tgfCos
n
n
.
.
+
= (5.24)
O coeficiente de atrito (f) em um par sem fim coroa depende da velocidade de
escorregamento (Vd) e do parafuso sem fim (VS). A Fig. 20 mostra as velocidadesatuantes.
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 51
VC
Vd
VS
Fig. 5.20: Velocidades atuantes no par sem fim coroa
A equao abaixo mostra a relao entre as velocidades de escorregamento e do
parafuso sem fim.
Cos
VV Sd = (5.25)
Uma estimativa do valor do coeficiente de atrito (f) pode ser feita utilizando-se a Fig.
5.21. A curva B deve ser usada quando os materiais usados forem de excelente
qualidade.
Velocidade de escorregamento (Vd) [m/min]
610488366244122
Fig. 5.21: Coeficiente de atrito no par sem fim coroa
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 52
5.4 Consideraes Finais
Razo de contato: Define o nmero de pares de dentes que esto simultaneamente
em contato. Em geral as engrenagens possuem uma razo de contato maior que um.
Uma razo de contato igual unidade significa que haver apenas um par de dentes
em contato. Somente quando o contato deste par termina, inicia-se o seguinte. Isto
provoca choques nas engrenagens. Para evitar estes choques utiliza-se um maior
nmero de pares de engrenagens em contato simultneo.
EXERCCIOS
1. A engrenagem A, com 25 dentes, est acoplada a um motor quetransmite 3 kW a 600 rpm no sentido horrio. As engrenagens B e Ctm 65 e 55 dentes, respectivamente. O mdulo destas engrenagens igual a 6 mm. Todas as engrenagens so cilndricas retas. Determine:
- O torque que cada rvore transmite.- As foras atuantes em cada engrenagem. Faa um desenho
esquemtico mostrando estas foras.- Qual a influncia existente nos clculos acima, se a engrenagem
B fosse retirada?
C
B
A
1.1) Determine o nmero mnimo de dentes que o pinho A dafigura acima poder ter para que no haja interferncia.
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 53
2. Uma engrenagem cilndrica helicoidal tem 85 dentes, ngulo de ao
normal de 200, ngulo de inclinao da hlice de 300 e mdulo normalde 5 mm. Esta engrenagem dever ser acoplada a um pinho quetransmite 5 kW a 1150 rpm. O nmero de dentes do pinho o mnimo
necessrio par que no haja interferncia. Determine:- O nmero de dentes do pinho.- As foras atuantes nas engrenagens.- Faa um desenho esquemtico destas foras atuantes no dente.- Se esta engrenagem fosse transformada em uma engrenagem
cilndrica reta, com todas as caractersticas idnticas engrenagem helicoidal anterior, exceto o ngulo da hlice, quaisseriam as foras atuantes? Faa uma comparao entre estasengrenagens.
3. Uma par de engrenagens cnicas tem relao de transmisso de 4/3. O
dimetro primitivo do pinho de 150 mm. O pinho gira com 240rpm. O mdulo das engrenagens de 5 mm, ngulo de ao de 200.Determine as foras atuantes nos dentes das engrenagens, se umapotncia de 6 kW transmitida.
4. Um parafuso sem fim transmite 6 kW a 1200 rpm a uma engrenagemhelicoidal de mdulo normal igual a 20 mm. O dimetro primitivo doparafuso sem fim de 71,26 mm e tem trs entradas. A engrenagemhelicoidal tem 60 dentes e ngulo de ao normal de 200. O coeficiente
de atrito f = 0,10. Determine as foras atuantes no sem fim e naengrenagem. Faa um desenho mostrando estas foras.
nM= 1200 rpm
5. A figura abaixo mostra um trem de engrenagens constitudo por um parde engrenagens cnicas com 16 dentes cada uma, um parafuso sem fimcom 4 entradas, coeficiente de atrito f = 0,12 e uma engrenagemhelicoidal com 40 dentes. Um motor acoplado ao eixo da engrenagem 2transmite 5,5 kW com 250 rpm (sentido horrio).
So conhecidos: ngulo de ao = 250. ngulo de inclinao da hlice=300.Mdulos=3,0 mm. Determine:
- As foras atuantes em todas as engrenagens.
- A velocidade de sada (na engrenagem 5).- O sentido de rotao na engrenagem 5.- A potncia disponvel na rvore da engrenagem 5
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Conceitos Bsicos 54
N2= 16N3= 16N4= 4N5 = 40
5
43
2
6. Uma mquina necessita de uma potncia de no mnimo 7,8 kW e
velocidade de 210 rpm. Proponha um redutor constitudo por engrenagenscilndricas retas que sero acopladas entre a mquina e um motor. Orendimento de cada par de engrenagens de 99%. O motor a ser acopladogira com 1200 rpm. Determine a potncia do motor.
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 55
6. ENGRENAGENS DIMENSIONAMENTO
As engrenagens podem falhar por duas maneiras distintas: Fadiga por flexo e
desgaste (fadiga de contato). Ambos os modos de falhas devem ser verificados!!
Dimensionamento deEngrenagens
- Fadiga por Flexo
- Desgaste
O dimensionamento sempre consiste em comparar a tenso atuantecom a resistncia, ou seja:
ATUANTE
ADMISSVEL
O dimensionamento pode ser feito de vrias maneiras distintas, como:
a) Determinar o mdulo (m) e a largura do dente (F) necessrio para transmitir
uma certa potncia: Determinar o mdulo e a largura pela fadiga por flexo.
Posteriormente verificar se estes valores calculados so suficientes para
resistir ao desgaste. (Pode tambm iniciar pelo desgaste e verificar flexo).
b) Determinar a mxima potncia que um par de engrenagens conhecido pode
transmitir, ou seja, sua capacidade de transmisso. Neste caso o mdulo e alargura so conhecidos previamente. Determinar a capacidade de transmisso
para a fadiga por flexo e para a o desgaste. O menor valor ser a capacidade
do par de engrenagens.
c) Se o material do pinho for idntico ao da coroa, dimensionar apenas o pinho
(j que tem um nmero menor de dentes). Se as engrenagens forem
fabricadas com materiais distintos (com durezas distintas), dimensionar ambos:
pinho e coroa.d) Critrio de aceite: 3p F 5p p = passo da engrenagem.
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 56
6.1 ENGRENAGENS CILNDRICAS RETAS E HELICOIDAIS
6.1.1 Dimensionamento de Engrenagens Baseando-se na Flexo
Tenso atuante na Flexo ():A tenso atuante nas engrenagens cilndricas retas e helicoidais provocada pela
flexo calculada usando-se a Eq. (6.1):
J
KK
FmKKKW BHsVO
t 1'= (6.1)
Wt
= Fora tangencial; KO= Fator de sobrecarga;KV= Fator dinmico (velocidade); KS= Efeito do tamanhom = mdulo da engrenagem F = Largura do dente;KH= Fator de distribuio de carga; KB= Fator de correo da espessura;J = Fator geomtrico
Tenso Admissvel - Resistncia Flexo (adm):A resistncia fadiga por flexo pode ser determinada usando-se as equaes
fornecidas pela AGMA. Existem inmeras equaes como estas, para inmeros
materiais, que possibilitam a determinao da resistncia fadiga por flexo de
maneira detalhada e precisa.
Para determinao da tenso mxima que o material suporta, ou seja, a tenso de
resistncia flexo (FP),sero usadas nesta disciplina apenas as equaes (6.2) e
(6.3).
AOS TOTALMENTE ENDURECIDOS (Comum ao Carbono):
MPaHBFP 3885330 ,, += Grau 1ou (6.2)
MPaHBFP 1137030 += , Grau 2
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 57
AOS LIGADOS E/OU ENDURECVEIS POR TRATAMENTOS
TERMOQUMICOS (AISI 4140, 4340, 8620, etc..)
MPaHBFP 8835680 ,, += Grau 1ou (6.3)
MPaHBFP 1107490 += , Grau 2
A tenso admissvel flexo (adm) pode ser determinada usando-se a equao
(6.4). Alm da tenso mxima que o material suporta, vrios fatores de correo so
usados no clculo da tenso admissvel:
RT
N
F
FPadm
KK
Y
S
=
(6.4)
SF= Fator de Segurana da AGMA;YN= Fator de correo de tenses vida distinta de 10
7ciclos;KT= Fator de Temperatura;KR= Fator de Confiabilidade.
DIMENSIONAMENTO:
Tenso atuante Tenso Admissvel adm
6.1.2 Dimensionamento de Engrenagens Baseando-se no Desgaste
Tenso atuante no Desgaste (c):A tenso atuante nas engrenagens cilndricas retas e helicoidais provocada pelodesgaste calculada usando-se a Eq. (6.5):
I
RHsVO
tpc
Z
Z
dF
KKKKWC '=
(6.5)
CP= Coeficiente Elstico [MPa]1/2. d = Dimetro primitivo da engrenagem;
ZR= Coeficiente de acabamento superficial; ZI= Fator de Geometria.
Os demais fatores tm o mesmo significado da Eq. (6.1).
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 58
Tenso Admissvel - Resistncia ao Desgaste (C,adm):A resistncia fadiga por contato superficial (ou desgaste) pode ser determinada
usando-se equaes baseadas na dureza do material. Estas equaes so retiradasdas normas ANSI/AGMA. Existem inmeras equaes como estas, para inmeros
materiais, que possibilitam a determinao da resistncia fadiga por flexo.
Para determinao da tenso mxima que o material suporta, ou seja, a tenso de
resistncia ao desgaste (HP),sero usadas nesta disciplina apenas as equaes
(6.6). Estas equaes foram desenvolvidas para:
- Vida de 107ciclos
- Fora externa unidirecional (FM0) Engrenagens em extremidades;
- Se FM = 0 (Caso de engrenagens intermedirias), o valor da tenso
(HP) calculado deve ser multiplicado por 0,7;
- Confiabilidade de 99%.
MPaHBHP 200222 += , Grau 1
ou (6.6)
MPaHBHP 237412 += , Grau 2
A tenso admissvel ao desgaste (C,adm) pode ser determinada usando-se a
equao:
RTHN
HHPadmC
KKCZ
S =, (6.7)
SH= Fator de Segurana da AGMA; CH= Fator de razo de dureza;KT= Fator de Temperatura; KR= Fator de ConfiabilidadeZN=YN= Fator de correo de tenses vida distinta de 10
7ciclos;
CC,admDIMENSIONAMENTO:
Tenso atuante Tenso Admissvel
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 59
6.1.3 Fatores de Correo
Os fatores de correo utilizados nas Equaes (6.1), (6.4), (6.5) e (6.7) So
determinados atravs de tabelas e grficos, retirados da AGMA.
FLEXO
Fator Geomtrico (J)
Engrenagens Cilndricas Retas
Fig. 6.1: Fator geomtrico (J) - Engrenagens Cilndricas Retas - ngulo de ao
=200
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 60
Tab. 6.1: Fator geomtrico (J) - Engrenagens Cilndricas Retas com ngulo de ao= 250
Nmero de Dentes do Pinho - NPNC
12 14 17 21 26 35 55 135
P C P C P C P C P C P C P C P C12
14 0,28 0,28
17 0,28 0,30 0,30 0,30
21 0,28 0,31 0,30 0,31 0,31 0,31
26 0,28 0,33 0,30 0,33 0,31 0,33 0,33 0,33
35 0,28 0,34 0,30 0,34 0,31 0,34 0,31 0,34 0,34 0,34
55 0,28 0,36 0,30 0,36 0,31 0,36 0,31 0,36 0,34 0,36 0,36 0,36
135 0,28 0,38 0,30 0,38 0,31 0,38 0,31 0,38 0,34 0,38 0,36 0,38 0,38 0,38
- Machine Design R.L. Norton pg. 737
Engrenagens Cilndricas Helicoidais
Coroa com N = 75 dentes
Fig. 6.2: Fator geomtrico (J) - Engrenagens Cilndricas Helicoidais - ngulo de ao
normal N= 200e N = 75 Dentes
Correo do Fator Geomtrico (J) para Coroa com Nmero de dentes N
75 dentes. J = J (Fig. 6.2) X Correo (Fig. 6.3).
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 61
Fig. 6.3: Correo do Fator geomtrico (J) para N 75 dentes -Engrenagens
Cilndricas Helicoidais - ngulo de ao normal N= 200
Fator de correo da espessura - KB
Algumas vezes a espessura do aro da engrenagem no suficientemente grandepara suportar o esforo aplicado. Em conseqncia pode ocorrer a falha por fadiga no
aro e no no dente. Este fator usado para corrigir esta distoro. O clculo do fator
de correo da espessura (KB) pode ser feito atravs da Equao (6.8) ou Fig. 6.4.
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 62
tg
ht
mB=tg/ht
Fig. 6.4: fator de correo da espessura (KB)
FLEXO E DESGASTE
Fator dinmico - velocidade (KV)
O fator de correo de velocidades, ou fator dinmico, procura considerar os efeitos
dinmicos atuantes nas engrenagens, os quais podem provocar erros detransmisso. Vibraes, desalinhamento, desbalanceamento, atrito, entre outros
fatores, provocam estes erros. Assim, as tenses atuantes devem ser corrigidas pelo
fator dinmico (KV).
B
V
A
VAK
+=
200'
(6.9)
( )
( ) 3212250
15650
VQB
BA
=
+=
,
V = Velocidade tangencial em (m/s);
QVdefine a qualidade da engrenagem. QV= 3,4,5,6...11. As engrenagens comerciais
mais usadas possuem QVvariando de 3 at 9. Os clculos das constantes A e B da
Eq. (6.9) so limitados pelo valor mximo da velocidade para cada qualidade daengrenagem (nmero QV). A velocidade mxima pode ser calculada pela Equao
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 63
( ) ( )[ ]2
200
3+= Vmxt
QAV (6.9a)
Fator de sobrecarga KOOs valores de sobrecarga esto mostrados na Tab. 6.2.
Tab. 6.2: Fatores de Sobrecarga
Mquina ConduzidaMotor
Uniforme Choque Mdio Choque Pesado
Uniforme 1,00 1,25 1,75
Choque Leve 1,25 1,50 2,00
Choque mdio 1,50 1,75 2,25
Efeito do tamanho - KS
m < 5,0mm KS= 1,0m 5,0mm KS= 1,25
Fator de distribuio de carga - KH
Este fator procura corrigir o fato da fora tangencial no se distribuir uniformemente
ao longo da largura (F) do dente. Esta distribuio no uniforme da fora pode ser
provocada por desalinhamento da rvore e/ou imperfeies da forma do dente. Os
valores de KHesto mostrados na Tab. 6.3.
Tab. 6.3: Fator de distribuio de carga - KH
Largura daFace F (mm) KH< 50 1,6
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 64
Fator de correo de tenses para vida distinta de 107ciclos (ZN=
YN)
Todos os clculos da AGMA so realizados para uma vida de 10 milhes de ciclos(107). Se a vida desejada for diferente deste valor, as tenses calculadas devero ser
corrigidas atravs dos fatores de correo de tenses para vida distinta de 107ciclos
(ZN= YN). Estes valores podem ser determinados atravs das Figuras 6.5 e 6.6.
Fig. 6.5: Fator de correo de vida YN
Fig. 6.6: Fator de correo de vida ZN
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 65
Fator de Confiabilidade - KR
Tab. 6.4: Fator de Confiabilidade - KR
Confiabilidade KR
0,9999 1,50
0,999 1,25
0,99 1,00
0,90 0,85
0,50 0,70
Fator de Temperatura - KT
Para T 120 oC KT= 1,0
Para T > 120 oC KT> 1,0
DESGASTE
Fator Geomtrico (ZI)
12 =
G
G
N
ttI
m
m
m
SenCosZ
(6.10)
mG= razo de velocidades -P
C
P
CG
d
d
N
N==m
mG+1 = Engrenagens externas; mG-1 = Engrenagens internas.
mN= 1,0 para Engrenagens Cilndricas Retas;
Engrenagens cilndricas Helicoidais:
( )[ ] ( )[ ] ( ) tCPbCCbPPNN rrrarrarZZp
m sen,
++++== 21
2221
22
950
rP; rC= Raios das circunferncias primitivas do Pinho e da Coroa;
rbP; rC= Raios das circunferncias de base do Pinho e da coroa.
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 66
rb = r.cos
a = altura da cabea do dente
Coeficiente Elstico CP[MPa]1/2
O coeficiente elstico depende dos materiais em contato. Ele pode ser determinado
pela equao (6.11) ou atravs da Tab. (6.5).
21
22 11
1
+
=
C
C
P
PP
EE
C
(6.11)
P, C= Coeficientes de Poisson do Pinho e da Coroa
EP, EC = Mdulos de Elasticidade do Pinho e da Coroa.
Tab. 6.5: Valores do coeficiente elstico CP(MPa)1/2
Material da CoroaMaterial Pinho
Ao Ferrofundido
Bronze comalumnio
Bronze comEstanho
Ao 191 181 162 158
Ferro fundido 181 174 158 154
Bronze com alumnio 162 158 145 141
Bronze com Estanho 158 154 141 137
Coeficiente de acabamento superficial - ZR
O uso do coeficiente de acabamento superficial (ZR) procura quantificar o efeito do
acabamento superficial das engrenagens. Os valores de ZRainda no foram definidos
pela AGMA.
USAR ZR= 1,0
Engrenagens extremamente grosseiras - USAR ZR> 1,0
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 67
Fator de razo de dureza - CH
O pinho tem um nmero de dentes menor que a coroa. Em conseqncia, os dentes
do pinho sero submetidos a um nmero de ciclos maior que a coroa. Para que haja
um desgaste uniforme entre ambas as engrenagens, o pinho deve ter uma dureza
maior que a coroa. O fator de dureza (CH) procura ajustar as resistncias superficiais
para que haja um desgaste uniforme. Ele deve ser calculado para a coroa, usando-se
a equao
( 11 += GH mAC' ) (6.12)
( ) ( )
71006980
210
7121102981098833
,,
,
,,,,
'
'
'
>=
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 68
EXERCCIOS
1. Um par de engrenagens cilndricas retas deve transmitir 15 CV a 1150 rpm.Especifique tudo que for necessrio (necessidades do projeto) e dimensione asengrenagens. Explique detalhadamente cada deciso tomada.
2. A engrenagem A, com 25 dentes, est acoplada a um motor que transmite 3kW a 600 rpm no sentido horrio. As engrenagens B e C tm 65 e 55 dentes,respectivamente. Todas as engrenagens so cilndricas retas. Utilizecoeficiente de segurana igual a 1,6. O material do pinho um ao comum aocarbono, Grau 1. Determine:
- O mdulo e a largura do dente destas engrenagens baseado na flexo.- Especifique as durezas necessrias s engrenagens para que os
valores calculados anteriormente sejam adequados ao desgaste.- Faa todas as anlises necessrias especificao das engrenagens.
C
B
A
3. Uma engrenagem cilndrica helicoidal tem 85 dentes, ngulo de ao normalde 200, ngulo de inclinao da hlice de 300. Esta engrenagem dever seracoplada a um pinho que transmite 5 kW a 1150 rpm. O nmero de dentes dopinho o mnimo necessrio par que no haja interferncia. Especifique osmateriais para ambas engrenagens. Especifique e Determine todas asdimenses destas engrenagens. Tome as decises que forem necessrias aodimensionamento.
4. Considere o sistema de elevao de cargas abaixo. O motor est acoplado aoredutor. Deseja-se uma reduo de 10:1 na velocidade de rotao do motor.Deseja-se que uma massa M = 150 kg suba (ou desa) com uma velocidademxima de 0,8 m/s. A massa est presa em um cabo de ao que se enrola emuma polia com dimetro dPOLIA. Proponha o trem de engrenagens para oredutor.Determine a rotao e a potncia do motor.Considere o efeito da inrcia.
Dimensione rvore AB. Proponha comprimentos para esta rvore.Especifique um material para esta rvore. Explique detalhadamente todo o
dimensionamento. dPOLIA. = 12 a 16 vezes o dimetro da rvore AB.
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Elementos de Mquinas I Engrenagens Dimensionamento 69
Faa um dimensionamento completo das engrenagens do redutor. Explique asdecises tomadas. Selecione um dos seguintes parmetros, em cada opo:Confiabilidade:95% ou 90,0% de confiabilidade.Sobrecarga: O motor trabalha com Choques moderados;Montagem: Preciso
Vida- Deseja-se que este redutor trabalhe durante: 7 anos, funcionando 18 horas pordia, 26 dias/ms ou 10 anos funcionando 8 horas/dia, 20 dias/ms.Selecione o materiale as demais condies de trabalho, se necessrio.
Faa uma tabela, mostrando claramente os parmetros acima selecionados.
M
POLIA
A B
REDU
TOR
MOTOR
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Elementos de Mquinas I Engrenagens - Dimensionamento 70
6.2 ENGRENAGENS CNICAS
Classificao:
Engrenagens Cnicas de Dentes Retos (Fig. 5.3, pg. 55); Velocidades v 5 m/s.
Engrenagens Cnicas Espirais (Fig. 5.3, pg. 55); Velocidades v 40 m/s.
Engrenagens Cnicas Zerol. Possuem dentes espiralados com inclinao zero.
Engrenagens Hipides Possuem os dentes espiralados. Usada em diferenciais
de automveis. H um deslocamento entre os eixos.
Na figura 6.7 mostrada a classificao do engrenamento cnico tipo espiral. Pode-
se observar que a engrenagem hipide tem um deslocamento do eixo relativamentepequeno. Para maiores deslocamentos, o pinho comea a assumir a forma de um
sem fim.
Fig. 6.7: Comparao de interseco e deslocamentos de engrenagens cnicas
6.2.1 Dimensionamento de Engrenagens Baseando-se na Flexo
Tenso atuante na Flexo ():A tenso atuante nas engrenagens cnicas, provocada pela flexo calculada
usando-se a Eq. (6.13):
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Elementos de Mquinas I Engrenagens - Dimensionamento 71
x
H
eesVO
t
JK
K
dFmKKKW
11000
'= (6.13)
Wt
= Fora tangencial; KO= Fator de sobrecarga;KV= Fator dinmico (velocidade); KS= Fator de tamanhome= mdulo externo F = Largura do dente;de= Dimetro externo J = Fator geomtricoKH= Fator de distribuio de carga; KX= Fator de correo da curvatura;
Tenso Admissvel - Resistncia Flexo (adm):
A resistncia flexo (FP) das engrenagens cnicas pode ser determinada pelasequaes (6.14).
AOS TOTALMENTE ENDURECIDOS (Comum ao Carbono):
MPaHBFP 4814300 ,, += Grau 1ou (6.14)
MPaHBFP 2441330 ,, += Grau 2
A tenso admissvel flexo (adm) pode ser determinada usando-se a equao
(6.15):
RT
N
F
FPadm
KK
Y
S
=
(6.15)
SF= Fator de Segurana da AGMA;Y
N= Fator de correo de vida;
KT= Fator de Temperatura;KR= Fator de Confiabilidade.
admDIMENSIONAMENTO:
Tenso atuante Tenso Admissvel
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Elementos de Mquinas I Engrenagens - Dimensionamento 72
6.2.2 Dimensionamento de Engrenagens Baseando-se no Desgaste
Tenso atuante no Desgaste (c):A tenso atuante nas engrenagens cilndricas retas e helicoidais provocada pelodesgaste calculada usando-se a Eq. (6.16):
I
XCXHVO
tpc
Z
Z
dF
ZKKKWC '100=
(6.16)
CP= Coeficiente Elstico [MPa]1/2. d = Dimetro primitivo da engrenagem
ZX= Fator de Tamanho; ZXC= Fator de Correo do tamanho;ZI= Fator Geomtrico; KH= Fator de distribuio de cargaOs demais fatores tm o mesmo significado da Eq. (6.13).
Tenso Admissvel - Resistncia ao Desgaste (C,adm):A resistncia ao desgaste (HP) das engrenagens cnicas pode ser determinada
pelas equaes (6.17).
AOS TOTALMENTE ENDURECIDOS (Comum ao Carbono):
MPaHBHP 89162352 ,, += Grau 1ou (6.17)
MPaHBHP 86203512 ,, += Grau 2
A tenso admissvel ao desgaste (C,adm)pode ser determinada usando-se a equao:
RT
HN
H
HPadmC
KK
CZ
S
=, (6.18)
SH= Fator de Segurana da AGMA; ZN= Fator de correo de vida;
CH= Fator de razo de dureza; KT= Fator de Temperatura;KR= Fator de Confiabilidade
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Elementos de Mquinas I Engrenagens - Dimensionamento 73
CC,admDIMENSIONAMENTO:
Tenso atuante Tenso Admissvel
OBS.: A AGMA recomenda usar 70% do valor calculado pelas equaes (6.15) e(6.18), ou seja, 70% da resistncia da engrenagem, para engrenagenssubmetidas foras completamente reversas.
6.2.2 Fatores de Correo
FLEXO
Fator de tamanho para flexo (KS)
+
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Elementos de Mquinas I Engrenagens - Dimensionamento 74
Fator de correo da curvatura (KX)
KX= 1,0 Para engrenagens cnicas de Dentes Retos
Fator de correo de Vida para flexo (YN)
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Elementos de Mquinas I Engrenagens - Dimensionamento 75
Fator de sobrecarga (Ko )
Tabela 6.2 Pgina 81.
Fator de Confiabilidade (KR)
Tabela 6.4 Pgina 83.
Fator de Temperatura (KT)
( )
>+
=
CTT
CTK
o
o
T
120393273
1201
Fator de distribuio de carga (KH)
261065 FKK mbH +=
, (6.20)
onde Kmb= 1,00 Ambas as engrenagens so bi-apoiadas.
1,10 - Uma engrenagem bi-apoiada.1,25 - Nenhuma das engrenagens bi-apoiada.
DESGASTE
Coeficiente Elstico (CP)
Equao (6.11) ou Tabela 6.5 Pgina 84.
Fator de tamanho para Desgaste (ZX)
>
+
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Elementos de Mquinas I Engrenagens - Dimensionamento 76
Fator de Correo do tamanho (ZXC)
ZXC= 1,5 Dentes corrigidos2,0 Dentes no corrigidos
Fator Geomtrico (ZI)
Fig. 6.9: Fator de Correo de geometria para o desgaste
ngulo de Ao = 200 ngulo entre eixos = 900.
Fator de correo de Vida para desgaste (ZN)
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Elementos de Mquinas I Engrenagens - Dimensionamento 77
Se a razo de dureza entre o pinho e a coroa estiver compreendida entre 1,2 e 1,7, ou
seja, 1,2 HBP/HBC 1,7: Usar a Eq. (6.21) ou a figura 6.10
008290008980
11
1
1
,,
=
+=
C
P
C
PH
HB
HBB
NNBC
(6.21)
Fig. 6.10: Fator de razo de dureza para o desgaste
HBP/HBC
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Elementos de Mquinas I Engrenagens - Dimensionamento 78
6.3 Sem fim Coroa
Ser dimensionada apenas a engrenagem coroa. AGMA relaciona a fora tangencial (Wt)
com as dimenses da engrenagem coroa.
( ) VmCemSt CCFDCW 80,= (6.23)CS= Fator de material; Dm= Dimetro mdio da coroa
Cm= Fator de correo da relao de dimetros; CV= Fator de Velocidade;
Fe= Largura do dente da coroa(Fe0,67dmS).
Fora de Atrito (Wf):
n
t
fCosCos
fWW
= (6.24)
f = Coeficiente de atrito; = ngulo de avano do parafuso;
n= ngulo de ao normal da engrenagem.
Velocidade de Escorregamento do sem fim (VS):
Cos
dnV mSS
12= (6.25)
nS= Rotao do sem fim; dm= Dimetro mdio do sem fim;
FATORES DE CORREO (resumo)
Fator de material - CS
CS= 270+10,37C3, se C 3 in (6.26)
>>
=
indinCd
indC
cc
cS
5234771190
521000
,log
,
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Elementos de Mquinas I Engrenagens - Dimensionamento 79
Fator de correo da relao de dimetros - Cm
>
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Elementos de Mquinas I Engrenagens - Dimensionamento 80
EXERCCIO
A figura abaixo mostra um sistema de elevao de cargas. Aps o
acoplamento, tem um sistema constitudo por uma engrenagem helicoidal
(worm gear) e por um parafuso sem fim (worm). Um tambor (drum) estfixado no mesmo eixo da coroa. Este sistema deve ser capaz de elevar pesos
de at 3500 N (356,7 kg) Veja figura abaixo. O tambor, no qual se enrola o
cabo de ao, tem um dimetro de no mximo 510 mm. Foi exigida uma
reduo no sem fim-coroa de 75:1, 50:1 ou 40:1. O motor deve ter uma
rotao de 1200, 1500 ou 2000 rpm. Determinar todas as dimenses do sem
fim coroa, a potncia necessria ao motor, o rendimento do sistema e a
velocidade mxima de subida da carga. Faa todas as estimativasnecessrias. Justifique-as! Dimensione o parafuso sem fim. Faa uma tabela
resumo contendo todos os dados obtidos.
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Elementos de Mquinas I Mancais - Rolamento 81
7. MANCAIS DE ROLAMENTOS
Os tipos de Mancais so definidos pela resistncia oferecida ao movimento: Rolamento e
deslizamento.
7.1 Introduo
O dimensionamento, seleo, especificao e classificao de rolamentos devem seguir
prefe
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