Elementos de Estatística
Segundo Semestre/2018
Probabilidade
� Sua origem está relacionada a jogos de azar;
� Exemplo:� Jogo de dados;
� Retirar uma carta de um baralho;
� Lançar uma moeda;
� ...
Probabilidade
� Normalmente é impossível identificar com certeza o resultado de um evento futuro:� Qual lado da moeda vai sair,
� A carta que vou puxar do baralho será de qual naipe,
� Com quantos anos determinada pessoa vai morrer,
� De qual sexo será o primeiro filho de determinado casal,
� Determinada pessoa vai desenvolver diabetes,...
� Usando a teoria da probabilidade, é possível quantificar a chance de um evento ocorrer.
Experimentos Aleatórios e Fenômenos
Aleatórios
� Experimento aleatório: � Experimentos que quando repetidos, nas mesmas condições,
produzem diferentes resultados:� Jogar um dado numa superfície plana;
� Retirar uma carta de um baralho;
� ...
� Fenômeno aleatório:� Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser
previstos com certeza:� Condições climáticas do próximo domingo;
� Taxa de inflação do próximo mês;
� ...
Espaço Amostral
� O conjunto de resultados possíveis, relacionado a um experimento, é denominado espaço amostral (representado pela letra Ω).
� Exemplos:� Lançamento de um dado (Existem 6 resultados possíveis)
� Ω: {1, 2, 3, 4, 5, 6};
� Retirar uma carta de um baralho (Existem 52 resultados possíveis - são 13 cartas de cada naipe e 4 naipes). � Ω: {Ás de Copas, Ás de Ouros, ..., Rei de Paus, Rei de Espadas}.
� Lançar uma moeda (Existem 2 resultados possíveis). � Ω: {Cara, Coroa}.
Eventos
� Um evento pode se referir a um único resultado, ou a um subconjunto de resultados, pertencente à um espaço amostral Ω (representado pelas letras �, �,…);� Lançamento de um dado:
� � : {sair 5};
� � : {sair um valor menor do que 3}.
� Retirar uma carta de um baralho: � � : {Sair um 3 de espadas};
� � : {Sair uma carta de paus}.
� Lançar uma moeda: � � : {sair cara};
� � : {sair coroa}.
Exercício 1
� Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios:� Num hospital, conta-se o número de pacientes atendidos num
intervalo de uma hora;
� Investigam-se famílias com três crianças, anotando-se a configuração segundo o sexo;
� Mede-se a duração de tubos de oxigênio, até que se esvaziem.
Exemplo: Evento Nulo e Evento Certo
� Lançamento de um dado: � � : {sair um número menor ou igual a 6} – Evento Certo;
� � : {sair um valor menor do que 1} – Evento Nulo.
� Retirar uma carta de um baralho: � � : {Sair uma carta de paus, ou de ouros ou de espadas ou de copas} –
Evento Certo;
� � : {Sair um 14 de paus} – Evento Nulo.
� Lançar uma moeda: � � : {sair cara ou coroa} – Evento Certo;
� � : {sair o número 13} – Evento Nulo.
Operações entre Eventos – Teoria dos
Conjuntos
� A reunião de dois eventos é denotada por: � ∪ �;
� A interseção entre dois eventos é dada por: � ∩ �;
� O complementar do evento �, denotado por � , é o evento que ocorre quando � não ocorre;
� � ∪ � ∩ � � ∩ ∪ � ∩ ;
� � ∩ � ∪ � � ∪ ∩ � ∪ ;
� � ∪ � � � ∩ �;
� � ∩ � � � ∪ � .
Operações entre Eventos – Teoria dos
Conjuntos
� ∪ � � ∩ ��
�
��
�
�
�
Eventos Mutuamente Exclusivos
� Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que jamais podem ocorrer ao mesmo tempo.
� Exemplo: � Lançamento de um dado: Evento A = sair 2; Evento B = sair um valor
maior do que 4.
� �
� ∩ � � ∅
Exercício 2
� Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral “traduza” para a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situações:� Pelo menos um dos eventos ocorre;
� O evento A ocorre, mas B não;
� Nenhum deles ocorre;
� Exatamente um dos eventos ocorre.
Exercício 3
� Considere os eventos �, � e (definidos abaixo) relativos ao espaço amostral Ω definido no Exercício 1.� � � � � � 100
� � � � 50 � � � 200
� � � � � 150
� Encontre os conjuntos: � ∪ �, � ∩ �, � ∩ � ∪ , � ∩ � ∩ , � ∪ .
Frequência Relativa
� Suponha que o experimento � tenha sido repetido �vezes;
� Sejam os eventos � e � associados ao experimento �;
� Considerando-se que os eventos � e � tenham ocorrido �� e �� vezes, respectivamente, dentro das � repetições de �.
Frequência Relativa
� Definição:
� �� ���
�é denominada frequência relativa do evento � nas �
repetições de �.
� Propriedades de ��:� 0 � �� � 1;
� �� � 1 se, e somente se, � ocorrer em todas as � repetições de �;
� �� � 0 se, e somente se, � nunca ocorrer nas � repetições de �;
� Se � e � forem eventos mutuamente excludentes, e se ��∪� for a frequência relativa associada ao evento � ∪ �, então, ��∪� � �� � ��;
� ��, com base em � repetições do experimento �, é considerada como uma função de �, que “converge” em certo sentido probabilístico para � � , quando � → ∞.
Noções Fundamentais de Probabilidade
� Definição:� Seja � um experimento. Seja Ω um espaço amostral associado a �. A cada evento � associaremos um número real representado por � � e denominado probabilidade de !, que satisfaça às seguintes propriedades:� 0 � � � � 1;
� � Ω � 1;
� Se � e � forem eventos mutuamente excludentes, então, � � ∪ � �
� � � � � ;
� Se �", �#, … , �� forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então, � ⋃ �%
�%&" � ∑ � �%
�%&" .
Espaço Amostral Finito
� A princípio, iremos considerar, apenas, experimentos cujos espaços amostrais sejam finitos.� ( � )", )#, … , )*
�
Espaço Amostral Finito
� Para encontrar � � nesses casos, é necessário, inicialmente, considerar o evento formado por um resultado simples –evento simples, ou elementar � � )% .� A cada evento simples )% será associado um valor +% , denominado
probabilidade de )% , que satisfaça as seguintes condições:� +% , 0, - � 1,2,… , .;
� +" � +# �⋯� +* � 1.
� Em seguida pode se considerar um evento �0 constituído por 1 resultados, com 1 � 1 � .. �0 � )02 , )03 , … , )04 , consequentemente:
� � �0 � +02 � +03 �⋯� +04 .
Exercício 4
� Suponha-se que somente três resultados sejam possíveis em um determinado experimento aleatório, a saber, )", )# e ) . Além disso, suponha-se que )" seja duas vezes mais provável de ocorrer que )#, e que )# seja duas vezes mais provável de ocorrer que ) . Quais as probabilidades de )", )# e ) , cada, ocorrerem?
Resultados Igualmente Verossímeis
� A hipótese mais comumente feita para espaços amostrais finitos é a de que todos os resultados sejam igualmente verossímeis.
� Essa hipótese não deve ser tomada como certa, mas sim justificada para cada caso.
� Se todos os . resultados forem igualmente verossímeis, segue-se que cada probabilidade será dada por +% � "
*⁄ . � +% , 0, - � 1,2,… , .;
� +% � +0 � + �"
*,paraquaisquer- e>,com, -, > � 1,2,… , .
� +" � +# �⋯� +* � .. + � .."
*� 1.
� Logo, para qualquer evento � formado por 1 resultados, tem-se:
� � � � C*⁄ .
� � � �DúFGHIJGKLMIMNLOIHáOGQML�RGSIMTULQMVRIJGIKIHHGH
DúFGHIWIWLSJGKLMIMRGSIMTULQMVRIJGIKIHHGH.
Exercício 5
� Em uma universidade, 2000 estudantes do curso de medicina, em determinado ano, foram classificados de acordo com o tipo de esporte que praticam. Futebol é praticado por 260 estudantes, natação por 185 estudantes e musculação por 210 estudantes, sendo que alguns estudantes praticam mais de um desses esportes. Assim, tem-se 42 estudantes que praticam natação e musculação, 12 futebol e musculação, 18 futebol e natação e 3 praticam as três modalidades. Se um desses estudantes é sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de:
� Praticar somente musculação;
� Praticar pelo menos um destes esportes;
� Praticar pelo menos dois destes esportes;
� Não praticar nenhum destes esportes.
Algumas Propriedades
� � � ∪ � � 1;
� � � ∩ � � 0;
� � � � 1 X � � .
Ω
�
�
� �
� �� 1 X
�
�
�
Algumas Propriedades
� � � ∪ � � � � � � � X � � ∩ � ;
= +
-
+� � �
�
� � �
�
Eventos Mutuamente Exclusivos
� � � ∪ � � � � � � � .
= +�
�
�
�
�
�
Exercício 6
� Sejam � e � dois eventos em um mesmo espaço amostral, tais que � � � 0,2, � � � +, � � ∪ � � 0,5
e � � ∩ � � 0,1.
� Determine o valor de +.
Probabilidade Condicional
� Muitas vezes existe o interesse em determinar a probabilidade de um evento �, dado que já se conhece o resultado de um outro evento A;
� A probabilidade de ocorrer o evento �, dado que ocorreu o evento A � �|� é dada pela seguinte expressão:
� � �|� �[ �∩�
[ �, desde que � � � 0.
� Para � � � 0, temos � �|� � �\�].
Exercício 7
� Em um estudo feito com 15 pessoas, foram coletadas informações sobre o estilo de vida de cada um (sedentário ou não) e sobre o peso de cada um (obeso ou não). Foi observado 5 pessoas obesas e 9 sedentárias; dentre as 5 pessoas obesas, 4 foram classificadas como sedentárias.
� Qual a probabilidade de:� Um indivíduo ser obeso e sedentário;
� Um indivíduo ser obeso ou sedentário;
� Um indivíduo ser obeso dado que ele é sedentário;
� Um indivíduo ser sedentário dado que ele é obeso;
Regra Multiplicativa
� Sai diretamente da probabilidade condicional:
� � � ∩ � � � �|� � � � � �|� � � .
� Essa regra é de grande utilidade na verificação de dependência entre os eventos envolvidos.
Eventos Independentes
� Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um não influencia na ocorrência ou não-ocorrência do outro;
� Logo, se dois eventos, � e �, são independentes tem-se:
� � �|� � � � e � �|� � � � ;
� Ou seja, � � ∩ � � � � ∙ � � .
� OBS: Os termos mutuamente exclusivos e independentes não são sinonimos; basta lembrar que eventos mutuamente exclusivos não possuem interseção.
Exercício 8
� Considere as situações dadas abaixo. Identifique se os eventos são mutuamente exclusivos ou independentes.� Evento A: O primeiro filho de um casal ser menina; Evento B: O
segundo filho de um casal ser menina.
� Evento A: Um indivíduo, de determinada população, ter o tipo sanguíneo A; Evento B: Um indivíduo, de determinada população, ter o tipo sanguíneo O.
� Considere dois eventos, A e B, dado que � � � 0,8, � � � 0,5 e � � ∩ � � 0,4.
Partição do Espaço Amostral
� Uma partição do espaço amostral é dada por um conjunto de eventos mutuamente exclusivos que quando unidos formam o espaço amostral:
� Ω � ⋃ �*a*&"
�"
�#
�
�b
�c�d
�e
�a
Exemplo
� Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda f", 30% de uma outra fazenda f# e 50% de f .
� Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido por f"estava adulterado por adição de água, enquanto que para f# e f , essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente.
� Na indústria de sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas.
� Para um galão escolhido ao acaso, vamos analisar o leite para decidir sobre sua adulteração ou não.
Exemplo
� Se denotarmos por � o evento “o leite está adulterado”, temos:� � f" � 0,20 e � �|f" � 0,20
� � f# � 0,30 e � �|f# � 0,05
� � f# � 0,50 e � �|f � 0,02
� Além disso, f", f# e f formam uma partição do espaço amostral, já que uma dada amostra de leite vem, necessariamente, de uma e apenas uma das três fazendas.
Teorema da Probabilidade Total
� Dado um evento � e uma partição do espaço amostra �", … , �* tem-se:
� � � � ∑ � � ∩ �*�*&" � ∑ � �|�* � �*
�*&"
�"
�#
�
�b
�c�d
�e
�a
�
Exemplo
� Temos as seguintes informações do enunciado:
� � f" � 0,20 e � �|f" � 0,20
� � f# � 0,30 e � �|f# � 0,05
� � f# � 0,50 e � �|f � 0,02
� Queremos saber a probabilidade do evento � “o leite está adulterado” ocorrer:� � � � � � ∩ f" � � � ∩ f# � � � ∩ f
� � � � � �|f" �\f"] � � �|f# �\f#] � � �|f �\f )
� � � � 0,20 ∙ 0,20 � 0,05 ∙ 0,30 � 0,02 ∙ 0,50
� � � � 0,04 � 0,015 � 0,01
� � � � 0,065
Teorema de Bayes
� Dado um evento � e uma partição do espaço amostra �", … , �* tem-se:
� � �*|� �[ �∩�i
[ ��
[ �|�i [ �i
∑ [ �|�i [ �ijik2
�"
�#
�
�b
�c�d
�e
�a
�
Exemplo
� Podemos, ainda, estar interessados em saber qual a probabilidade de que a amostra adulterada ter sido obtida do leite fornecido pela fazenda f", ou seja, �\f"|�]:
� � f"|� �[ �∩l2
[\�]
� � f"|� �[ �|l2 [\l2]
[ �|l2 [\l2]m[ �|l3 [\l3]m[ �|ln [\ln]
� � f"|� �o,#o∙o,#o
o,#o∙o,#omo,oc∙o, omo,o#∙o,co
� � f"|� �o,ob
o,odc� 0,615
Exercício 9
� Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o da esquerda 40%. Em sendo eleito, a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educação e Saúde é de 0,4; 0,6 e 0,9 para os candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente.� Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas
áreas no próximo governo?
� Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição?
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