Distribuicoes amostraisTeorema do Limite Central (TLC)Distribuicao amostral das medias
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Distribuicoes Amostrais
Prof. Eduardo Bezerra
Inferencia Estatıstica
15 de setembro de 2017
Eduardo Bezerra (CEFET/RJ) Distribuicoes Amostrais 1 / 28
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Distribuicoes amostrais
Considere uma AAS de uma populacao para produzir uma amostrade n elementos.
Uma afirmacao eventualmente feita sobre essa populacao serabaseada em alguma estatıstica T , que e uma funcao daamostra (X1, X2, . . ., Xn).
Colhida essa amostra, teremos observado um valor particularde T .
A validade dessa afirmacao seria melhor compreendida sesoubessemos o que acontece quando produzimos todas asamostras da populacao.
Isto e, qual e a distribuicao de T quando (X1, X2, . . ., Xn)assume todos os valores possıveis.
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Distribuicoes amostrais (cont.)
A distribuicao obtida considerando todas as possıveis amostras deuma populacao e denominada distribuicao amostral (samplingdistribution) da estatıstica T . O procedimento geral para obtencaodessa distribuicao envolve os seguintes componentes:
(a) uma populacao X , com determinado parametro de interesse θ;
(b) todas as amostras retiradas da populacao, de acordo comcerto plano amostral;
Para cada amostra, calculamos o valor t da estatıstica T . Osvalores t formam uma nova populacao, cuja distribuicao recebe onome de distribuicao amostral de T .
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Distribuicoes amostrais - exemplo 01
Para estudar a proporcao de eleitores que votariam em umcandidato, sao recolhidas amostras, cada uma de 300 eleitores.
Na primeira, 175 responderam sim, o que gera uma estimativapontual de 0,58 para a proporcao.
Na segunda, suponha que o valor obtido tenha sido 181, oque corresponde ao valor 0,60 para a estimativa da estatıstica.
A repeticao desse processo n vezes resulta em n valores para aestatıstica em questao, a proporcao amostral), cada um deles euma estimativa do valor do parametro sob estudo (i.e., aproporcao populacional). Esses n valores definem a distribuicaoamostral da proporcao.
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Distribuicoes amostrais - exemplo 01
Para estudar a proporcao de eleitores que votariam em umcandidato, sao recolhidas amostras, cada uma de 300 eleitores.
Na primeira, 175 responderam sim, o que gera uma estimativapontual de 0,58 para a proporcao.
Na segunda, suponha que o valor obtido tenha sido 181, oque corresponde ao valor 0,60 para a estimativa da estatıstica.
A repeticao desse processo n vezes resulta em n valores para aestatıstica em questao, a proporcao amostral), cada um deles euma estimativa do valor do parametro sob estudo (i.e., aproporcao populacional). Esses n valores definem a distribuicaoamostral da proporcao.
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Distribuicoes amostrais - exemplo 01
Para estudar a proporcao de eleitores que votariam em umcandidato, sao recolhidas amostras, cada uma de 300 eleitores.
Na primeira, 175 responderam sim, o que gera uma estimativapontual de 0,58 para a proporcao.
Na segunda, suponha que o valor obtido tenha sido 181, oque corresponde ao valor 0,60 para a estimativa da estatıstica.
A repeticao desse processo n vezes resulta em n valores para aestatıstica em questao, a proporcao amostral), cada um deles euma estimativa do valor do parametro sob estudo (i.e., aproporcao populacional). Esses n valores definem a distribuicaoamostral da proporcao.
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Teorema do Limite Central (TLC)
Teorema do limite central
Para amostras aleatorias simples (X1, X2, . . ., Xn), retiradas deuma populacao com media µ e variancia σ2 finita, a distribuicaoamostral da media, X , aproxima-se, conforme n cresce, de umadistribuicao normal, com media µ e variancia σ2/n.
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Teorema do limite central (TLC)
Se a amostra for extraıda de uma populacao cuja distribuicao e
bastante assimetrica, sera necessario um n relativamentegrande.
aproximadamente simetrica, a aproximacao do TLC pode serboa ate para valores pequenos de n.
Evidencias empıricas mostram que, para a maioria das populacoes,se o tamanho da amostra for maior do que 30, a aproximacao doTLC e boa.
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Teorema do limite central (TLC)
O TLC afirma que a distribuicao de X aproxima-se de uma normalquando n tende a infinito, e a rapidez dessa convergencia dependeda distribuicao da qual a amostra e retirada. Nas ilustracoes aseguir,
mais a esquerda, temos uma funcao de distribuicao de umav.a. que representa alguma populacao;
as duas figuras a direita de cada ilustracao sao as distribuicoesamostrais (linha solida) para amostras de tamanhos 5 e 30,respectivamente, com a curva normal (linha tracejada)sobreposta;
note-se que duas das distribuicoes originais sao contınuas, euma e discreta. O TLC vale para distribuicoes contınuas ediscretas.
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Teorema do limite central (TLC) - ilustracao (a)
Uma vez que a distribuicao da populacao e quase simetrica, aaproximacao normal e boa, mesmo para um tamanho de amostratao pequeno como 5.
Fonte da figura: Navidi, pagina 292
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Teorema do limite central (TLC) - ilustracao (b)
Aqui, a distribuicao da populacao e um pouco distorcida. Mesmoassim, a aproximacao normal esta razoavelmente aproximada,mesmo para n = 5; a aproximacao e muito boa para n = 30.
Fonte da figura: Navidi, pagina 292
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Teorema do limite central (TLC) - ilustracao (c)
Aqui, a distribuicao da populacao e altamente assimetrica. Aaproximacao normal nao e boa para n = 5, e razoavelmente boapara n = 30.
Fonte da figura: Navidi, pagina 292
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Teorema do limite central (TLC) - corolarios
Ha dois corolarios importantes do TCL, enunciados a seguir.
Corolario 1
Se (X1, X2, . . ., Xn) for uma AAS de uma populacao com media µe variancia finita σ2, e X=(X1 + X2 + . . . + Xn)/n, entao
Z =X − µσ/√n∼ N(0,1).
Nesse corolario, note que se fez a transformacao de X para anormal padrao. Observe tambem que a expressao acima pode serescrita como
Z =
√n(X − µ)
σ∼ N(0,1).
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Teorema do limite central (TLC) - corolarios (cont.)
Chamemos de e a v.a. que mede a diferenca entre a estatıstica Xe o parametro µ, i.e., e = X − µ; e e o chamado erro amostral damedia. O segundo corolario faz mencao a essa variavel.
Corolario 2
A distribuicao de e aproxima-se de uma distribuicao normal commedia 0 e variancia σ2/n, isto e,
e√n
σ∼ N(0,1).
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Distribuicao amostral das medias
Suponha que uma amostra aleatoria de tamanho n seja retirada deuma populacao normal com media µ e variancia σ2.
Cada observacao Xi da amostra aleatoria tera, portanto, amesma distribuicao normal sendo amostrada.
Pela propriedade reprodutiva da distribuicao normal, a mediaamostral
X =1
n(X1 + X2 + . . .+ Xn)
tem uma distribuicao normal com media
µX =1
n(µ+ µ+ . . .+ µ) = µ
e variancia
σ2X
=1
n2(σ2 + σ2 + . . .+ σ2) =
σ2
n.
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Distribuicao amostral das medias
Surpreendentemente, o que foi declarado na pagina anterior everdadeira nao somente para populacao de distribuicao normal:
Se a amostragem for feita de uma populacao de distribuicaodesconhecida qualquer, finita ou infinita, a distribuicao amostralde X ainda sera aproximadamente normal, com media µ evariancia σ2/n, se o tamanho da amostra for grande.
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Exemplo 01
Uma industria eletrica fabrica lampadas que tem vida util quesegue N(800, 402). Determine a probabilidade de que uma amostraaleatoria de 16 lampadas tera vida util media menor que 775.
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Exemplo 01 (cont.)
Solucao. De acordo com o TLC, a distribuicao amostral de X , av.a. que representa a vida util media, sera aproximadamentenormal, com
µX = 800 e
σX = 40/√
16 = 10.
Para x = 775, descobrimos que
z =775− 800
10= −2,5
e, portanto,
Pr(X < 775) = Pr(Z < −2,5) = 0,0062.
Possıvel interpretacao: se a maquina produziu as lampadas dessaamostra, e provavel que esteja desregulada.
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Exemplo 02
Considere uma maquina de preencher pacotes cujos pesos emgramas seguem a distribuicao N(500,100). Colhe-se uma amostrade tamanho n = 100 pacotes. Qual a probabilidade de que a mediadesses pacotes da amostra difira mais de 2 gramas da mediapopulacional?
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Exemplo 02 (cont.)
Solucao. De acordo com o TLC, X tera uma distribuicao normalcom
µX = 500 e
σX2 = 100/100 = 1.
Logo, a probabilidade de a media dos 100 pacotes da amostradiferir de menos de 2g sera
Pr(|X − 500| < 2) = Pr(498 < X < 502)= Pr(−2 < Z < 2)≈ 95%
Possıvel interpretacao: dificilmente 100 pacotes terao media forado intervalo [498, 502]. Caso isso ocorra, seria razoavel supor quea maquina esta desregulada.
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Exemplo 03
Seja X a v.a. que representa o numero de falhas no comprimentode 1 pol. de um condutor de cobre, e cuja fmp de X e apresentadaa seguir.
Foi colhida uma amostra de 100 condutores dessa populacao. Quala probabilidade de o numero medio de falhas por condutor sermenor do que 0,5?
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Exemplo 03 (cont.)
Solucao. O numero medio de falhas na populacao e µ = 0,66 e avariancia populacional e σ2 = 0,5244. Sejam X1, X2, . . . X100 asquantidades de falhas em cada uma das 100 observacoes daamostra. O que precisamos determinar e Pr(X < 0,5). Segue doTLC que X ∼ N(0,66; 0,005244). Portanto,
Pr(X < 0,5) = Pr(Z < (0,5− 0,66)/√
0,005244)= Pr(Z < −2,21) = 0,0136
Interpretacao do resultado: apenas 1,36% das amostras detamanho 100 tem menos do que 0,5 falhas por condutor.
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Exemplo 04
Em uma universidade, a media da idade dos estudantes e 22,3anos, e o desvio padrao e 4 anos. Uma amostra aleatoria de 64estudantes e extraıda. Qual a probabilidade de a media da idadedesses estudantes ser maior do que 23 anos?
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Exemplo 04 (cont.)
Solucao. Sejam X1, X2, . . . X64 as idades dos 64 estudantes daamostra. Queremos determinar Pr(X > 23). A populacao temmedia µ = 22,3 e variancia σ2 = 16. O tamanho da amostra en = 64. Segue do TLC que X ∼ N(22,3; 0,25). Logo,
Pr(X > 23) = Pr(Z > (23− 22,3)/√
0,25)= Pr(Z > 1,40) = 0,0808.
Portanto Pr(X > 23) = 0,0808.
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Exercıcio
Suponha que se saiba que para uma grande populacao de pessoaso comprimento craniano seja distribuıdo de uma formaaproximadamente normal com media igual a 185,6 mm e desviopadrao igual a 12,7 mm. Qual a probabilidade de que uma amostraaleatoria de 10 pessoas da populacao tenha comprimento cranianomedio acima de 190 mm?
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