UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Aplicação da Álgebra Geométrica do Espaço-Tempo
de Minkowski à Óptica Relativista
Romeu Correia Amado
Dissertação Para a Obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Júri
Presidente: Professor Doutor José Bioucas Dias
Orientador: Professor Doutor Carlos Paiva
Co-Orientador: Professor Doutor António Topa
Vogal: Professora Doutora Maria Hermínia Marcal
Novembro 2009
II
III
Agradecimentos
A dissertação de mestrado representa o terminus de uma longa caminhada, marcada por
um constante desenvolvimento pessoal, científico e social. Ao longo deste percurso, em
particular a dissertação de mestrado, muitas foram as pessoas que tornaram este
objectivo possível, como tal, desejo expressar os meus sinceros agradecimentos:
À minha família, em especial aos meus pais, que tudo fizeram em prol do meu bem-
estar e sempre me apoiaram ao longo dos anos.
Ao professor Carlos Paiva e António Topa pela amizade e preocupação mostrada ao
longo da dissertação, assim como, todo o conhecimento transmitido, quer a nível
académico quer a nível pessoal.
Por fim, agradeço a todos os meus amigos e colegas de trabalho pelo seu
companheirismo, amizade e motivação dada no decorrer deste percurso académico.
A todos eles, obrigado.
IV
V
Resumo
O estudo dos meios em movimento na óptica relativista é um ponto importante do
electromagnetismo. Como em quatro dimensões o produto externo não é valido, esse
estudo é feito, em geral, com recurso à manipulação algébrica com tensores. Nesta
dissertação introduz-se uma nova linguagem matemática, a álgebra geométrica ou de
Clifford, que dispensa o uso do complexo cálculo tensorial. Este novo tratamento
matemático foi descoberto no final do século XIX, mas só tomou notoriedade a partir do
final do século XX. A álgebra geométrica vem uniformizar a linguagem matemática.
Vamos aplicá-la ao espaço tridimensional e ao espaço quadrimensional – o espaço-
tempo de Minkowski. O seu estudo torna-se menos complexo graças a ferramentas
como o boost ou a redução à forma do vácuo. O boost ou transformação de Lorentz
activa é uma ferramenta utilizada na demonstração, com clareza, de aspectos da óptica
relativista como a adição de velocidades ou o efeito Doppler. Na álgebra do espaço-
tempo reescreve-se as equações de Maxwell em apenas duas, a homogénea e a não
homogénea, no vácuo cinge-se a uma única. No vácuo e num meio isotrópico a relação
constitutiva do espaço-tempo, em termos dos seus bivectores, é a mesma no referencial
próprio e no de laboratório, devido ao bivector de Faraday e de Maxwell serem não
relativos. A redução à forma do vácuo no estudo da propagação de ondas planas num
meio isotrópico simples torna a relação constitutiva análoga à do vácuo. Por
conseguinte, temos também uma única equação de Maxwell como no vácuo. Diminui-se
assim a complexidade do estudo destes aspectos ligados ao electromagnetismo. Os
resultados demonstrados pela álgebra geométrica vão de encontro aos estudos já
realizados por outras análises.
Palavras-chave
Álgebra geométrica; Bivector; Produto geométrico; Boost; Álgebra espaço-tempo;
Óptica relativista; Meios em movimento; Bivector Faraday; Bivector Maxwell; Redução
à forma do vácuo.
VI
Abstract
The study of relativistic optic in moving media is an important topic in
electromagnetism. As in four dimensions the cross product is not valid, this study is
done, in general, using algebraic manipulation with tensors. This dissertation introduces
a new mathematics language, the geometric algebra or Clifford algebra, which is free
from the use of the complex tensors. This new mathematic treatment has been
discovered in the late of XIX century, but only took well known from the end of the XX
century. The geometric algebra became a unify element of mathematical language. We
apply it to three dimensional space and four dimensional spacetime – the Minkowski
spacetime. The study becomes less complex due to tools such as boost or vacuum form
reduction. The boost or active Lorentz transformation allows to showing aspects of
relativistic optic such as the composition of velocities or the Doppler effect. In
spacetime algebra we reduces the Maxwell equation’s to only two, the homogeneous
and the inhomogeneous, and in vacuum it can be written as a single Maxwell equation.
In vacuum and in an isotropic medium the spacetime constitutive relation, in terms of
their bivectors, is the same in lab frame as in proper frame, due to bivector of Faraday
and bivector of Maxwell are not relative. The vacuum form reduction applied to the
study of plane wave propagation in moving isotropic media makes the spacetime
constitutive relation as in real vacuum. Therefore, we also have a single Maxwell
equation as in vacuum. It reduces the complexity of the study of issues related to
electromagnetism. The results derived by geometric algebra are in agreement with
previous studies by different analysis.
Keywords
Geometric algebra; Bivector; Geometric product; Boost; Relativistic optic; Moving
media; Faraday bivector; Maxwell bivector; Vacuum form reduction; Spacetime
algebra.
VII
Índice
Lista de Figuras .............................................................................................................. IX
Lista de Símbolos ........................................................................................................... XI
1. Introdução ..................................................................................................................... 1
1.1 Enquadramento e motivação ................................................................................... 2
1.2 Objectivos ............................................................................................................... 4
1.3 Organização e estrutura .......................................................................................... 5
1.4 Contribuições .......................................................................................................... 7
2. Álgebra Geométrica do Espaço .................................................................................... 9
2.1 Produto Geométrico ou de Clifford ...................................................................... 10
2.2 Estrutura da Álgebra Geométrica 3C .................................................................. 14
2.3 Contracções ........................................................................................................... 17
2.4 Rotor ..................................................................................................................... 21
2.5 Rotação no Plano .................................................................................................. 23
2.6 Conclusões ............................................................................................................ 25
3. Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço-Tempo de Minkowski ............................... 27
3.1 Contradições da Métrica Euclidiana ..................................................................... 28
3.2 Estrutura da Álgebra Geométrica 1,3C ................................................................ 32
3.3 Transformações de Lorentz .................................................................................. 36
3.3.1 Transformação activa ou Boost ...................................................................... 36
3.3.2 Transformação passiva ................................................................................... 40
3.3.3 Adição de velocidades .................................................................................... 43
VIII
3.3.4 Contracção do Espaço .................................................................................... 45
3.3.4 Dilatação do tempo......................................................................................... 46
3.4 Efeito Doppler ....................................................................................................... 48
3.5 Conclusões ............................................................................................................ 51
4. Electrodinâmica Relativista ........................................................................................ 53
4.1 Equações de Maxwell em 3C ............................................................................. 54
4.2 Equações de Maxwell no espaço-tempo de Minkowski ....................................... 57
4.3 Meios em movimento ........................................................................................ 61
4.3.1 Redução à Forma do Vácuo ........................................................................... 65
4.4 Conclusões ............................................................................................................ 72
5. Conclusões .................................................................................................................. 73
Referências ..................................................................................................................... 80
Apêndice A - Factor “k” de Bondi ................................................................................. 81
A.1 – Dilatação do tempo ........................................................................................... 82
A.2 – Transformação de Lorentz passiva ................................................................... 83
A.3 – Efeito Doppler longitudinal .............................................................................. 85
A.4 – Adição de velocidades ...................................................................................... 86
Apêndice B - Paradoxo dos gémeos ............................................................................... 89
Apêndice C ..................................................................................................................... 95
Apêndice C1 ............................................................................................................... 96
Apêndice C2 ............................................................................................................... 98
Apêndice C3 ............................................................................................................. 105
IX
Lista de Figuras
Figura 1.1 - William Kingdom Clifford (1845-1879)[1]
. .................................................. 2
Figura 2.1 – Base ortonormada em 3C . ....................................................................... 10
Figura 2.3 – Representação do produto exterior entre dois vectores.............................. 13
Figura 2.4 – Representação do trivector unitário 123 1 2 3ˆ i V e e e e . .................. 15
Figura 2.5 – Interpretação geométrica da contracção a B . .......................................... 20
Figura 2.6 – Acção de um rotor sobre vector a. ............................................................. 22
Figura 3.1 – Representação de 1vs para
2 0.5 . ............................................ 31
Figura 3.2 – Cone de luz………………………………………………………………..35
Figura 3.3 – Representações paramétricas do vector u. ................................................. 38
Figura 3.4 – Representações paramétricas do vector u. ................................................. 38
Figura 3.5 – Diagrama de Minkowski. ........................................................................... 42
Figura 3.6 – Diagrama de Minkowski, a contracção do espaço. .................................... 45
Figura 3.7 – Diagrama de Minkowski, a contracção do espaço. .................................... 46
Figura 3.8 – Diagrama de Minkowski, a dilatação do tempo. ........................................ 46
Figura 3.9 – Diagrama de Minkowski, a dilatação do tempo. ........................................ 47
Figura 3.8 – Esquema representativo da passagem do emissor para o receptor. ............ 49
Figura 4.1 – Relação constitutiva de um meio isotrópico visto de diferentes referencais…....64
Figura 4.2 – Velocidade de fase normalizada para 0 4, 0.n ................................. 69
Figura 4.3 – Velocidade de fase normalizada para 0 4, 1.n .................................. 70
Figura 4.4 – Velocidade de fase normalizada para 0
0
14, n
n ................................ 70
X
Figura 4.5 – Velocidade de fase normalizada para 0
10.75 .
n ................................ 71
Figura A.1 – Esquema de emissão de um sinal de radar reflectido em S . .................... 82
Figura A.2 – Esquema de emissão de um sinal de radar reflectido em P. ...................... 83
Figura A.3 – Esquema de emissão de um sinal em intervalos de tempo T. ................... 85
Figura A.4 – Esquema de emissão de um sinal em intervalos de tempo T. ................... 86
Figura B.1 – Esquema do diagrama de Minkowski para o paradoxo dos gémeos. ........ 90
Figura B.2 – Esquema representativo da linha do universo do observador A e B. ........ 91
Figura C1.1 – Representação paramétrica elipse para b a e 2 1u . .......................... 97
Figura C1.2 – Representação paramétrica elipse para b a e 2 1u . .......................... 97
Figura C1.3 – Representação paramétrica elipse para b a e 2 1u ............................ 97
XI
Lista de Símbolos
0e vector unitário da álgebra geométrica associado à componente temporal;
1e vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial;
2e vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial;
3e vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial;
ij delta de Kronecker;
base ortonormada;
F bivector unitário;
F bivector;
produto interno;
produto externo;
produto exterior;
produto geométrico;
, ,a b c vector espacial;
u elemento genérico da álgebra – multivector;
nu projecção de u em relação ao grau n ;
u involução de grau;
u dual de Clifford;
u conjugação de Clifford;
⋀2 3 bivectores no espaço tridimensional;
⋀3 3 trivectores no espaço tridimensional;
⋀2 1,3 bivectores no espaço-tempo de Minkowski;
XII
⋀3 1,3 trivectores no espaço-tempo de Minkowski;
⋀4 1,3 quadrivectores no espaço-tempo de Minkowski;
espaço unidimensional;
2 espaço bidimensional;
3 espaço tridimensional;
4 espaço quadrimensional;
1,1 espaço-tempo de Minkowski com componente espacial unidimensional;
1,3 espaço-tempo de Minkowski;
V pseudo-escalar da álgebra;
V pseudo-escalar unitário da álgebra;
2C álgebra de Clifford do plano;
3C álgebra de Clifford do espaço;
4C álgebra de Clifford do espaço euclidiano;
1,3C álgebra de Clifford do espaço-tempo de Minkowski;
1,1C álgebra de Clifford do espaço-tempo de Minkowski no espaço unidimensional;
C parte par de uma álgebra de Clifford;
C parte ímpar de uma álgebra de Clifford;
Cen() centro de uma álgebra;
contracção à esquerda;
contracção à direita;
R rotor;
,n m vectores unitários;
0R componente de grau zero do rotor;
2R componente de grau dois do rotor;
ângulo entre dois vectores;
XIII
B bivector unitário do espaço tridimensional;
componente paralela de um vector;
componente perpendicular de um vector;
v ângulo associado ao vector v;
u ângulo associado ao vector u;
u comprimento do vector u;
v comprimento do vector v;
ângulo entre dois vectores;
factor das transformações de Lorentz;
r acontecimento no espaço-tempo de Minkowski;
r componente espacial do acontecimento r;
0x ct coeficiente do versor temporal no referencial próprio;
1x coeficiente do primeiro versor espacial no referencial próprio;
2x coeficiente do segundo versor espacial no referencial próprio;
3x coeficiente do terceiro versor espacial no referencial próprio;
0U bivector;
0x ct coeficiente do versor temporal no referencial relativo;
1x coeficiente do primeiro versor espacial no referencial relativo;
2x coeficiente do segundo versor espacial no referencial relativo;
3x coeficiente do terceiro versor espacial no referencial relativo;
c velocidade da luz no vácuo;
u vector no espaço-tempo de Minkowski;
1u vector no espaço-tempo de Minkowski;
XIV
2u vector no espaço-tempo de Minkowski;
u componente espacial do vector u;
1u componente espacial do vector 1u ;
2u componente espacial do vector 2u ;
1 ângulo do vector 1u ;
2 ângulo do vector 2u ;
componente do tensor correspondente à métrica do espaço quadrático;
escalar;
T trivector;
S referencial próprio;
S referencial relativo;
I pseudo-escalar no espaço-tempo de Minkowski;
e bivector unitário e e ;
intensidade de um boost;
1 intensidade de um boost;
2 intensidade de um boost;
ângulo associado a um vector;
L distância no referencial próprio;
0L distância no referencial relativo;
T tempo decorrido no referencial próprio;
0T tempo decorrido no referencial relativo;
k vector de onda no espaço-tempo de Minkowski;
0k componente temporal associada ao vector de onda;
k componente espacial associada ao vector de onda;
XV
n índice de refracção do meio de propagação;
w frequência angular;
0n índice refracção no vácuo;
ew frequência do emissor;
rw frequência do receptor;
rs componente espacial do fotão no receptor;
es componente espacial do fotão no emissor;
s componente espacial do fotão na transmissão;
ˆeB bivector unitário do emissor;
ˆrB bivector unitário do receptor;
E intensidade do campo eléctrico;
B intensidade do campo magnético;
P vector polarização eléctrica;
M vector polarização magnética;
t densidade total de carga eléctrica;
densidade de carga eléctrica;
p densidade de carga associada à polarização;
tJ densidade total de corrente;
pJ densidade de corrente associada à polarização;
mJ densidade de corrente associada à magnetização;
J densidade de corrente;
D excitação eléctrica;
H excitação magnética;
permitividade eléctrica;
XVI
0 permitividade eléctrica no vácuo;
r permitividade eléctrica relativa;
permiabilidade magnética;
0 permiabilidade magnética no vácuo;
r permiabilidade magnética relativa;
0 impedância no vácuo;
0E intensidade do campo eléctrico numa região sem fontes;
0H excitação magnética numa região sem fontes;
0D excitação eléctrica numa região sem fontes;
0B intensidade do campo magnético numa região sem fontes;
operador de Dirac;
E intensidade do campo eléctrico no espaço quadrático 0,3 ;
B intensidade do campo magnético no espaço quadrático 0,3 ;
D excitação eléctrica no espaço quadrático 0,3 ;
H excitação magnética no espaço quadrático 0,3 ;
F bivector de Faraday;
G bivector de Maxwell;
vr operador do espaço-tempo de Minkowski;
ur operador do espaço-tempo de Minkowski;
0F bivector de Faraday numa região sem fontes;
0G bivector de Maxwell numa região sem fontes;
pv velocidade de fase.
Capítulo 1
Introdução
Neste capítulo é apresentado um enquadramento geral à álgebra geométrica: a sua
evolução histórica, uma breve apresentação dos conteúdos deste trabalho e a
especificação dos objectivos desta dissertação.
2
1.1 Enquadramento e motivação
A álgebra geométrica é uma linguagem matemática nova que tem vindo a ganhar
importância no meio científico. A sua elegância de escrita e facilidade com que expõe e
trata os problemas é notória. É uma ferramenta cuja utilidade é inegável quando se tenta
compreender as mais diversas matérias, desde o estudo da relatividade de Einstein até
ao processamento de sinais. Esta álgebra surge no século XIX e costuma designar-se por
álgebra geométrica de Clifford, devido a incluir o produto geométrico ou de Clifford. A
álgebra de Clifford surge, essencialmente, na base de duas descobertas.
A primeira descoberta foi os quaterniões de Hamilton, obtida pelo matemático William
Rowan Hamilton (1805-1865) em 1843, esta visava estender o conceito de números
complexos a outras dimensões, conseguindo-o ao tentar para quatro dimensões.
A segunda foi o produto exterior ou de Grassmann, descoberto em 1844 pelo alemão
Herman Gunther Grassmann (1809-1877) e publicado na sua primeira edição dos seus
cálculos geométricos. Grassmann mostra que uma vez relacionada a geometria com a
álgebra, esta não tem de se restringir ao número 3 de dimensão espacial. Apelidou-se
essa álgebra de álgebra exterior. Note-se que nessa altura Grassmann ainda não
conhecia além da geometria euclidiana, não tendo, de facto, uma intenção deliberada
quanto à aplicação do seu produto numa outra métrica, como a de Lorentz.
Figura 1.1 - William Kingdom Clifford (1845-1879)[1]
.
3
É então que o matemático e filósofo William Kingdom Clifford, em 1878, liga estas
duas descobertas colmatando numa nova álgebra, a álgebra geométrica ou de Clifford,
caracterizada por um produto entre vectores a que se designa produto geométrico ou de
Clifford. Em 1886 Lipschitz generaliza o conceito de Clifford para os quaterniões e
aplica-os à geometria das rotações em n-dimensões.
Estas descobertas foram subordinadas durante um longo período de tempo pelo produto
externo de Gibbs, que teve grande notoriedade face ao produto exterior. Contudo o
produto externo está confinado a três dimensões e, portanto, é limitado. O produto
externo de Gibbs só existe em três dimensões, dado que em duas dimensões não é
possível sair do plano para definir um vector perpendicular ao mesmo e em quatro
dimensões não existe uma forma de determinar uma direcção unívoca ortogonal ao
plano. Só a necessidade de ruptura na passagem do espaço tridimensional para o espaço
quadrimensional levou a questionar o produto externo de Gibbs, que obrigava ao uso do
complexo cálculo tensorial. É aqui que são reconhecidas as vantagens da álgebra
geométrica, pois não obriga ao uso desse cálculo tensorial.
Dados estes acontecimentos, desde o final do século XIX até meados do século XX,
viveu-se um período pouco fértil no avanço desta álgebra. Os estudos sobre esta matéria
começaram a surgir com mais frequência e aplicados a vários temas a partir do final do
século XX, essencialmente a partir de 1970 pelo matemático David Hestenes.
O produto geométrico é o resultado da soma do produto interno com o produto exterior,
a sua aplicação estende-se a várias métricas, logo passar de uma métrica euclidiana a
três dimensões para a métrica de Lorentz no espaço quadrimensional não apresenta
quaisquer problemas para esta álgebra. Deste modo, a álgebra geométrica de Clifford
desempenha um papel fulcral para a uniformização da linguagem matemática.
Com esta uniformização o interesse em estudar a álgebra geométrica tem sido crescente
ao longo dos anos e é, sem dúvida, tentador poder perceber as suas vantagens e as suas
consequências no universo científico. Desde já salienta-se a forma simples e elegante na
apresentação dos resultados, desde a mecânica clássica até ao electromagnetismo, onde
as equações de Maxwell se representam numa simples equação, assim como a sua
aplicação na mecânica quântica, robótica, processamento de sinal, mecânica relativista,
cristalografia, relatividade restrita, relatividade geral e até ao entendimento de imagens.
4
Todas estas áreas de aplicabilidade fazem da álgebra geométrica algo mais do que um
mero formalismo matemático. É por isso um objecto de estudo aliciante que sustenta
avanços importantes para os desenvolvimentos científicos futuros. É para o autor um
grande desafio desenvolver esta tese, onde tem como objectivos perceber a génese da
álgebra geométrica e aplicar esses conhecimentos a problemas físicos conhecidos
mostrando as vantagens trazidas por esta álgebra.
A aplicação da álgebra geométrica a estas áreas ainda se encontra em fase inicial, pelo
que os estudos realizados e as aplicações que a usam ainda não são suficientes para
fazer dela uma grande referência. Dadas as suas visíveis vantagens é necessário
continuar os estudos efectuados de forma a consolidar a sua posição. Nos últimos anos
as publicações sobre o tema têm sido diversas. Destaca-se o estudo da álgebra
geométrica por David Hestenes, Pertti Lounesto, Chris Doran and Anthony Lasenby,
Leo Dorst, Daniel Fontijne e Stephen Mann [2-5]
.
O uso de álgebra geométrica para o caso mais particular da relatividade restrita e do
electromagnetismo já tem sido alvo de estudo por parte de alguns autores. O estudo dos
meios anisotrópicos e bianisotrópicos[6-7]
, das leis de Maxwell e da aplicação da óptica
relativista nos meios em movimento [8-12]
utilizando esta álgebra são exemplos de
matérias já abordadas.
1.2 Objectivos
Como vimos a álgebra geométrica de Clifford tem diversas aplicações em problemas
científicos e de engenharia. Os estudos feitos sobre essas aplicações são relativamente
recentes e a própria álgebra geométrica ainda é, para alguns, uma ciência desconhecida.
Dado isto, falar de álgebra geométrica significa ter um vasto leque de temas passíveis de
explorar.
A realização desta dissertação de mestrado tem como objectivo inicial explicar os
princípios matemáticos base da álgebra geométrica, focando-se na álgebra do espaço e
na do espaço-tempo de Minkowski. Esses princípios básicos vão ser usados para estudar
algumas aplicações em que a álgebra geométrica é útil. Sendo esta dissertação a via para
a obtenção do grau de mestrado em engenharia electrotécnica e de computadores e
5
sendo o ramo de especialização telecomunicações surge, de modo natural, o objectivo
de compreender como é que a álgebra geométrica pode ser usada no estudo de matérias
como o electromagnetismo, a óptica relativista e a sua aplicação aos meios em
movimento. Como tal serão focados aspectos como o efeito Doppler relativista, a adição
de velocidades relativista, as leis de Maxwell e os meios em movimento, entre outros. O
estudo destes temas pode ser feito sem recurso à álgebra geométrica, utilizando para
isso as abordagens tradicionais e mais referenciadas[13-17]
.
Com este estudo esperamos contribuir para mostrar a utilidade da álgebra geométrica
como ferramenta matemática e que esta perspectiva ajude a clarificar e compreender as
equações de Maxwell e a óptica relativista dando uma nova visão sobre o tema,
complementando deste modo os conhecimentos anteriormente adquiridos.
1.3 Organização e estrutura
Tendo os objectivos definidos, a dissertação assenta em três temas principais: a
compreensão da álgebra geométrica propriamente dita no espaço e no espaço-tempo de
Minkowski; o estudo das leis de Maxwell com álgebra geométrica e o estudo da óptica
relativista em meios em movimento também com álgebra geométrica.
Este trabalho divide-se em cinco capítulos, onde o primeiro é a introdução e o quinto é a
conclusão. O corpo principal é, deste modo, constituído pelos capítulos 2, 3 e 4. No
segundo capítulo começa-se por estudar a álgebra geométrica do espaço onde é
caracterizado o produto geométrico ou de Clifford assim como o produto exterior ou de
Grassmann. Aqui surge um novo conceito muito importante, o bivector. Como tal é
necessário compreender e caracterizar este objecto geométrico. Ainda em três
dimensões estuda-se o rotor ou spinor, este operador, tem um papel preponderante na
nesta álgebra. O operador rotor permite realizar rotações em 3D de forma eficaz.
No terceiro capítulo, a passagem da métrica euclidiana para uma métrica de Lorentz é
uma das passos mais marcante desta álgebra, que vem uniformizar a linguagem
matemática. É então importante compreender e caracterizar a álgebra geométrica a
quatro dimensões, também conhecida como álgebra geométrica do espaço-tempo de
6
Minkowski. Neste espaço os rotores podem originar transformações espaciais e
transformações de Lorentz activas ou boosts.
O boost é um operador cujo estudo é fundamental na álgebra de Minkowski, pois é
desta transformação que surge o diagrama de Minkowski. Este operador é usado para
demonstrar, de forma simples e elegante, aspectos da óptica relativista como a adição de
velocidades, contracção do espaço, dilatação do tempo e efeito Doppler relativista, entre
outros.
Compreendidas as bases essenciais da álgebra geométrica do espaço e da álgebra
geométrica de Minkowski, o quarto capítulo tem como objectivo estudar as equações de
Maxwell no espaço tridimensional e no espaço-tempo de Minkowski. Em 3C
apresentam-se, com recurso à álgebra geométrica, as equações de Maxwell e as
equações de Maxwell-Boffi. Estas últimas desprezam a existência dos vectores de
excitação electromagnética, resultantes de uma abordagem reducionista que graças à
álgebra de Clifford se apresentam como uma única equação.
Já na álgebra do espaço-tempo, onde a componente temporal se relaciona com a
espacial, surgem os bivectores relativos , , , E B D H . Estes bivectores relativos tomam
um papel secundário com o aparecimento de dois novos bivectores (não relativos): o
bivector de Maxwell e o bivector de Faraday. Com estes novos bivectores as equações
de Maxwell reescrevem-se em apenas duas, a homogénea e a não homogénea.
Finalmente vamos particularizar para o vácuo onde será apenas uma.
Um último tópico, que colmata este trabalho, é o estudo dos meios em movimento em
meios isotrópicos onde, graças à redução à forma do vácuo, a relação constitutiva entre
os bivectores F e G se reduz a uma análoga à do vácuo. É assim possível descrever as
quatro equações de Maxwell numa só. A análise destes resultados é importante para
poder perceber quais as vantagens em usar álgebra geométrica e para ter uma nova
percepção sobre as leis do electromagnetismo.
Em suma, compreender a génese da álgebra geométrica a três e quatro dimensões,
aplicar esses conhecimentos à relatividade restrita de Einstein, às equações de Maxwell
e ao estudo dos meios em movimento, onde é necessário relacionar todos estes
elementos, completa os objectivos gerais desta tese.
7
1.4 Contribuições
Dentro dos objectivos aqui propostos existem estudos que abordam alguns desses
temas, sendo que o estudo da álgebra geométrica enquanto ferramenta matemática[2,3,5]
é
aquele que encontra mais análises. Quanto ao uso desta ferramenta no estudo das
equações de Maxwell e dos meios em movimento na óptica relativista[7-11]
podemos
afirmar que está agora a dar os primeiros passos. Deste modo, neste trabalho ao juntar o
estudo das equações de Maxwell com estudo de meios em movimento na óptica
relativista estamos a contribuir de forma positiva para a divulgação da álgebra
geométrica. Além da demonstração da dilatação do tempo, contracção do espaço, efeito
Doppler relativista e adição relativista de velocidades, destaca-se o aspecto geométrico
atribuído ao electromagnetismo, essencialmente o seu tratamento geométrico no espaço-
tempo de Minkowski que possibilita ter apenas uma equação de Maxwell no vácuo.
Ainda de forma mais notória, esse mesmo tratamento permite chegar à forma local da
relação constitutiva universal para um meio isotrópico e com o uso da redução à forma
de vácuo, escrever essa relação constitutiva de forma análoga à do vácuo. Deste modo,
estudar aspectos dos meios isotrópicos em movimento, como a velocidade de fase ou o
índice de refracção, torna-se uma tarefa mais simples, como a que é tida no caso
particular do vácuo.
8
9
Capítulo 2
Álgebra Geométrica do Espaço
Este capítulo faz uma introdução à álgebra geométrica do espaço, 3C , assim como
algumas analogias com a álgebra geométrica do plano, 2C . Nesta álgebra, Clifford
encontrou uma forma de unir o produto exterior ou de Grassmann com o produto
interno, ao qual se designa de produto geométrico ou de Clifford em honra do mesmo.
Introduz-se o produto geométrico, o produto exterior e a contracção assim como um
novo objecto geométrico, o bivector. Faz-se uma análise destes conceitos e caracteriza-
se a respectiva estrutura algébrica. Por fim, define-se o operador rotor, que permite
realizar rotações no plano, 2C , e rotações no espaço, 3C .
10
2.1 Produto Geométrico ou de Clifford
Para definir uma álgebra é necessário definir o produto entre vectores, neste caso, é o
produto geométrico. Considere-se a álgebra geométrica euclidiana do espaço, 3C ,
onde 1 2 3| | | | | | 1 e e e e a sua base ortonormada é 1 2 3{ , , } e e e onde
j
1,, {1, 2, 3}
0,k j k
j kj k
j k
e e . (2.1)
Figura 2.1 – Base ortonormada em 3C .
Um vector desta álgebra é 1 2 3x y z r e e e ℝ3. O seu comprimento é dado por
(2.2)
Define-se o axioma fundamental de 3C como o produto entre vectores (produto
geométrico), tal que, a multiplicação do vector r por ele próprio origina o quadrado do
seu comprimento, ou seja,
2 2| |r r . (2.3)
O produto geométrico é associativo
( ) ( )ab c a bc , onde cba ,, ℝ3, (2.4)
no entanto, não goza da propriedade comutativa, para o demonstrar basta considerar um
vector 1 2 3x y z r e e e e aplicar-lhe o axioma fundamental da álgebra 3C , pelo que,
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3| | ( ) ( )x y z x y z x y z r r e e e e e e (2.5)
2 2 2 2
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2| | ( ) ( ) ( )x y z x y x z y z r e e e e e e e e e e e e (2.6)
2 2 2| | 0.x y z r r r
11
2 1 1 2
2 2
3 1 1 3
3 2 2 3
| |
e e e e
r r e e e e
e e e e
. (2.7)
Conclui-se que para verificar o axioma fundamental da álgebra o produto geométrico
não é, no caso geral, comutativo. Esta propriedade vem trazer consequências
importantes na álgebra geométrica:
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1. e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e (2.8)
2
1 2( ) 1. e e (2.9)
A análise deste resultado indica-nos que o objecto geométrico 1 2e e não pode ser nem
um escalar nem um vector, pois, o seu quadrado é um número negativo. Este novo
objecto geométrico designa-se de bivector. Um bivector define-se como sendo um
segmento de plano orientado. Na figura 2.2 representa-se o bivector unitário
12 1 2ˆ F e e e , onde o sentido é de
1 2 para e e .
12 1 2ˆ F e e e
2e
1e
Figura 2.2 – Representação do bivector unitário F .
Nota: O segmento de plano orientado representativo de um bivector unitário não é
necessariamente um quadrado, este apenas tem de ser um plano com área unitária.
Finalmente o produto geométrico entre dois vectores a, b ℝ3 é
. ab a b a b (2.10)
12
Onde,
1 1 2 2 3 3
23 31 12
1 2 3
1 2 3
produto interno
produto exterior ou de Grassmann
a b a b a b
a a a
b b b
a b
e e e
F a b
. (2.11)
O produto interno é conhecido da álgebra tradicional, no entanto, o produto exterior
surge como um novo produto e é usado para definir o produto geométrico.
O produto exterior é anti-simétrico, associativo e gera um bivector .baF
2 3 3 2 23 3 1 1 3 31 1 2 2 1 12( ) ( ) ( ) a b a b a b a b a b a b F a b e e e ⋀2 ℝ3. (2.12)
Nota: O produto exterior não deve ser confundido com o produto externo de Gibbs pois,
o produto externo de Gibbs é válido apenas em ℝ3, o que não acontece com o produto
exterior. O produto externo depende da métrica enquanto o exterior não. No espaço
euclidiano é possível relacioná-los em ℝ3 como
(2.13)
Conclui-se que o produto geométrico será a soma directa de um escalar com um
bivector, i.e.,
ab a b a b ℝ ⨁ ⋀2ℝ3. (2.14)
Considerando a propriedade de simetria do produto interno e de anti-simetria do
produto exterior tem-se
a b b a
a b b a, (2.15)
e pode escrever-se
2 2 2 2
1( )
2( ) ( )
1( )
2
a b ab baab a b a b
a b a b a bba a b a b
a b ab ba
. (2.16)
123( ) . a b a b e
13
Sendo ( , ) a b , escreve-se o produto interno como | || | cos a b a b e conclui-se
que
2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) cos sin a b a b a b a b (2.17)
| | | | | | sin . a b a b (2.18)
Figura 2.3 – Representação do produto exterior entre dois vectores.
Assim como o produto exterior entre dois vectores dá um segmento de plano orientado,
o produto exterior de 3 vectores origina um trivector ou volume orientado.
Uma característica importante do produto geométrico é ser invertível, ao contrário do
produto exterior. Depende assim de uma métrica:2 2| | a aa a a a .
11
1
1 1 1 1
Invertibilidade
u
u u
u
2
2
aa ba
aab b a
bb b a
b
(2.19)
A Invertibilidade é uma propriedade que não está presente no produto interno nem no
produto externo pois, para ambos não é possível uma caracterização unívoca, isto é, não
é possível determinar apenas uma única solução, apenas podemos determinar um
conjunto de soluções, no caso de ℝ 3 um plano e uma linha, respectivamente.
O produto geométrico é uma soma graduada do produto interno e do produto
exterior, o que resulta na possibilidade de invertibilidade. Por exemplo, no caso de ℝ 3 o
plano de soluções da inversão do produto interno cruza-se com a linha do produto
exterior originando um único ponto, unívoco, que caracteriza a inversão do produto
geométrico. Logo o produto geométrico é invertível.
14
2.2 Estrutura da Álgebra Geométrica 3C
A álgebra geométrica 3C está definida no espaço tridimensional euclidiano ℝ3. Esta
álgebra compreende quatro subespaços. Esses subespaços formam a chamada soma
graduada, são eles:
Escalares ℝ;
Vectores ℝ3; Cl3 = ℝ ⨁ ℝ3 ⨁ ⋀2ℝ3 ⨁ ⋀3ℝ3
.
Bivectores ⋀2ℝ3;
Trivectores ⋀3ℝ3.
Pelo triângulo de pascal conclui-se que esta álgebra tem uma dimensão de 8.
dim( 3C ) = 1 3 1 1 8
1 escalar
3 vectores
3 bivectores
1 trivector
.
Base 1 2 3 12 23 31 123{1, , , , , , , }. e e e e e e e
Multivector – Dá-se o nome de multivector a um elemento genérico u da
álgebra. É habitual chamar-se pseudoescalar a qualquer multivector homogéneo
da álgebra com o maior grau possível.
0
13
2
3
escalar
vectormultivector: .
bivector
trivector
u
uu C
u
u
aa F V
F
V
(2.20)
Dualidade – Dado um multivector genérico 3u C define-se o correspondente
dual de Clifford como sendo o novo multivector 123 3v u C e tal que
123 123 123 123 123 .u v u a be e e b ae e (2.21)
15
Reverso ⇒ 123 123 3 2 1 1 3 2 1 2 3 123
.u u
e e e e e e e e e e e e
ab ba (2.22)
2 2 2 2 2
123 123 123 123 123 1 2 3 3 2 1 1 2 3( )( ) 1. i e e e e e e e e e e e e e e (2.23)
Trivector ou pseudoescalar
1 2 3
1 2 3 123
1 2 3
ˆ
a a a
b b b
c c c
V a b c e V i ⋀3ℝ3.
Figura 2.4 – Representação do trivector unitário 123 1 2 3ˆ i V e e e e .
2 2 2 2 2( ) ( ) . V a b c i (2.24)
Lâmina- k : Uma lâmina-k da álgebra de Clifford é um elemento ku tal que
k k ku u , onde k ku é um elemento homogéneo de grau k e resulta do
produto exterior de um ou mais vectores.
Grau máximo: Em 3C não podem existir lâminas-4, ou seja, dados quatro vectores
a, b, c, d 3 tem-se necessariamente 0. a b c d Significa que só três
vectores é que podem ser linearmente independentes, se existir um quarto vector
este é necessariamente uma combinação linear dos outros três. O grau máximo de
uma lâmina em 3C é, portanto, 3.
Involução de grau ⇒ 0 1 2 3
u u u u u .
Conjugação de Clifford ⇒ 0 1 2 3
u u u u u .
16
Dadas as considerações tomadas na caracterização da estrutura algébrica de 3C ,
associa-se a esta estrutura uma parte par, uma ímpar e um centro da álgebra.
Parte par 2 3
3C ;
Parte ímpar 3 3 3
3C ;
Centro da álgebra Cen( 3C ) = 3 3 .
A parte par resulta do produto geométrico de um número par de vectores, enquanto a
ímpar resulta do produto geométrico de um número ímpar. O centro de uma álgebra é o
conjunto dos seus elementos que comutam com todos os elementos dessa álgebra.
A parte par e o centro da álgebra constituem duas subálgebras, a parte ímpar como não
é fechada em relação ao seu produto geométrico não constitui. Sem o demonstrar, é
importante referir a existência de um isomorfismo da parte par e do centro da álgebra
com o anel de divisão dos quaterniões de Hamilton e com o corpo dos complexos,
respectivamente.
Define-se spinor ou rotor a um elemento u da parte par da álgebra, tal que:
Spin (3 ) ↦ u 3C : 1uu . (2.25)
Na álgebra geométrica do plano temos
Parte par: 2C
= 2 2 ;
Parte ímpar: 2C
= 2 ;
Centro da álgebra: Cen( 2C ) = .
Spin( 2 ) ↦ u 2C : 1uu . (2.26)
Os elementos spin (2) e spin (3) são os responsáveis pelas rotações no plano e no
espaço, respectivamente.
17
2.3 Contracções
A contracção é uma operação importante na álgebra geométrica, pode aplicar-se a
contracção à esquerda ou a contracção à direita. A operação contracção de um vector
com um bivector faz com que o grau dois do bivector se reduza ao grau do vector.
Para chegar à forma da contracção à esquerda começa-se por determinar o resultado do
produto geométrico do vector a por um bivector cbB .
3( ) .u C aB a b c (2.27)
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
a b c a bc cb ab c ac b (2.28)
1 1
[2( ) ] [2( ) ]2 2
a b ba c a c ca b (2.29)
1
( ) ( ) ( ).2
a b c a c b bac cab (2.30)
Como
1
( ) ( ) ( ) ( ) ,2
bac cab a c b a b c b c a (2.31)
pode-se escrever
( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ] a b c a b c a c b a c b a b c b c a (2.32)
( ) ( ) 2( ) 2( ) . a b c b c a a b c a c b (2.33)
Conclui-se
2( ) 2( ) aB Ba a b c a c b ℝ3. (2.34)
Podemos então definir a contracção à esquerda como:
1
( ).2
a B aB Ba (2.35)
18
Define-se a regra fundamental da contracção à esquerda:
( ) ( ) ( ) . a b c a b c a c b (2.36)
Como referido esta operação faz baixar um grau ao bivector B, reduzindo-se assim ao
grau do vector a. Analogamente temos a contracção à direita:
1
( )2
B a Ba aB . (2.37)
A contracção à esquerda relaciona-se com a contracção à direita de forma anti-
simétrica, i.e.,
a B B a . (2.38)
Representa-se abaixo alguns casos particulares de contracções:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c d a d b c a c b d
a b c d a b c d a c b d a d b c (2.39)
Pode chegar-se a outras conclusões relativas ao produto geométrico entre um vector e
um bivector e uma contracção. Para isso escreve-se o produto geométrico de um vector
por um bivector como resultado da soma da parte ímpar com a parte par
1 1( ) ( )
2 2u aB aB Ba aB Ba . (2.40)
Ao decompor a a a , em que, a está definido no plano B, e sendo b um vector
perpendicular a / /a também contido no plano B, temos que
0 a b (2.41)
B a b a b (2.42)
2 É um vector. a B a b (2.43)
Por outro lado
( ) É um trivector a B a a b a a b . (2.44)
19
2( ) aB a a B a b a a b 3 3 3 . (2.45)
Concluí-se, deste modo, que o produto geométrico de um vector por um bivector origina
a soma graduada de um vector com um trivector.
Como vimos
1 1
( ) ( ).2 2
u aB aB Ba aB Ba (2.46)
pelo que, podemos concluir
3
3 3
1( ) Parte ímpar é um vector
2.
1( ) Parte par é um trivector
2
aB Ba a B
aB Ba a B
(2.47)
É de notar que o produto exterior entre um vector e um bivector é simétrico,isto é,
( ) ( ) ( ) ( ) a B a b c a b c b a c b c a B a (2.48)
aBBa . (2.49)
.
aB a B a B
Ba B a B a (2.50)
Para interpretar geometricamente a operação contracção considere-se
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) . a a B B aB B a B B a B B (2.51)
1
1
ˆ ˆ( ) ( ).ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )
ˆ ˆ
a B a B
a B a Ba a B B a B B
a B a Ba a B B a B B
a B a B
(2.52)
20
Representa-se agora o vector a 3 e as suas componentes paralelas e perpendiculares.
Sendo que a componente paralela esta contida no plano B e a perpendicular é
perpendicular a esse mesmo plano. O vector b a é a contracção à esquerda de
a B a B , que é diametralmente oposta à contracção à direita.
Figura 2.5 – Interpretação geométrica da contracção a B .
21
2.4 Rotor
Os rotores são operadores da álgebra geométrica que permitem gerar rotações. Estas
rotações podem ser rotações espaciais no caso de uma álgebra euclidiana 3C ou
rotações espaciais e transformações de Lorentz para a álgebra do espaço-tempo de
Minkowski, 1,3C . De seguida foca-se os rotores em 3C .
Considere-se um rotor como sendo o produto geométrico R nm . Sendo que
n, m 3 são dois vectores unitários, i.e., tais que 122 mn .
O grupo de spin que gera rotações espaciais é escrito como 3spin (3) { : 1}R C R R
e o rotor R verifica: 2 2( )( ) 1 1.RR RR nm mn n m (2.53)
Pode escrever-se, também, 20
RRR , ou seja, a soma de um escalar com um
bivector, onde , 2n m .
0
2
cos 2.
ˆ sin 2
R
R
n m
n m m n B (2.54)
Como nesta álgebra o quadrado do bivector unitário é negativo, 1ˆ 2 B , obtém-se a
generalização da forma de Euler para a álgebra geométrica:
ˆ ˆexp( ) cos sin2 2 2
B B (2.55)
3ˆrotor em exp( ).
2C R
nm B (2.56)
Demonstração:
2
12ˆ 1 B 2ˆ 1k k B 2 1ˆ ˆ1 .
kk B B
2 2 1
0 0 0
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆexp( )! ( 2 )! (2 1)!
k k k
k k kk k k
B B B
B (2.57)
2 2 1
2
0 0
ˆ ˆ ˆexp( ) 1 1 cos sin .(2 )! (2 1)!
k kkk
k kk k
B B B (2.58)
22
É importante compreender a acção de um rotor sobre um vector, para isso, faz-se
ˆ sin2
m n B e considera-se
θ θˆ( , ) cos sin
2 2 2
θR n m nm n m m n B (2.59)
3 3 ˆ: : , exp( ).2
R R R
a b a a BR R (2.60)
É de notar que a aplicação de um rotor é o mesmo que uma simples rotação no plano
apenas na álgebra euclidiana do plano.
Podemos escrever
( )R R R R R R a a a a b a a a a . (2.61)
Como
2 ˆexp( ) ˆexp( ) .R R R
R R
b a a B ab b b B a a
b a a (2.62)
Podemos concluir que a componente perpendicular do vector a se mantém enquanto a
componente perpendicular sofre uma rotação θ no plano do bivector B , como nos
mostra a figura abaixo representada. 123 u Be
a b
Figura 2.6 – Acção de um rotor sobre vector a.
a b
B m n
23
2.5 Rotação no Plano
Uma rotação resulta da aplicação de um rotor R a um vector. A álgebra euclidiana 2C
é o caso mais simples de se estudar, pois, visto ser uma álgebra do plano a aplicação do
rotor equivale a uma rotação nesse mesmo plano. Neste caso uma rotação pode
escrever-se sem recorrer à definição de rotor, como
12exp( )θu v e u (2.63)
em que
1 1 2 2
1 1 2 2
.u u
v v
u e e
v e e (2.64)
Numa álgebra euclidiana Cl2 temos
2 2
1 2 1 e e 1 2 12{1, , , } e e e 2
12 1. e (2.65)
Considera-se que o vector u é um vector unitário, logo,
1 1
2 2
sintan .
cos
u
u
u
u u
u u
(2.66)
Dado que a métrica é euclidiana, ℝ2,0, o quadrado do comprimento do vector u é
2 2 2
1 2| | .ul u u (2.67)
Numa rotação o vector unitário u, no âmbito de uma transformação passiva, é descrito
segundo elipsóides. No apêndice C1 estão as seguintes representações paramétricas
1
2
c a cos
bsin
u t
u x
(2.68)
1
2
c a cos
bsin
u t
u x
(2.69)
24
Pela fórmula de Euler temos
12 1 2
12 12
12 2 1
exp( ) cos sin ,
e e ee e
e e e. (2.70)
Aplicando a transformação
12exp( )u v e u , (2.71)
obtém-se
1 1
2 2
cos sin
sin cos
v u
v u
. (2.72)
Conclui-se:
1
2
tan tantan .
1 tan
uv
v
v
(2.73)
O comprimento do vector u mantém-se após a rotação.
2 2 2 2
1 2| | | | | | .u vu u v u (2.74)
Infere-se que o ângulo do vector v é a soma do ângulo do vector u com o ângulo de
rotação θ, para isso considere-se que
| || | cos u v u v (2.75)
por outro lado
2 2
1 2( )cosu u u v (2.76)
.v u (2.77)
Mostra-se através do “produto externo” que a rotação se efectua no sentido directo, ou
seja, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
01221 vuvuvu ⇒ Sentido directo. (2.78)
1 1 2
2 1 2
cos sin
sin cos
v u u
v u u
25
Como exemplo representa-se no Apêndice C2 os gráficos para rotações de diversas
intensidades sobre um vector u com u =30º.
2.6 Conclusões
Neste capítulo estudaram-se os fundamentos base da álgebra geométrica do espaço
3.C Definiu-se e estudou-se o produto que caracteriza esta álgebra, o produto
geométrico ou de Clifford. Este produto geométrico resulta da soma do produto interno
com o produto exterior. Tal como o produto geométrico o produto exterior é um
elemento novo, diferente do produto externo. Concluiu-se que o uso destes novos
elementos origina um novo objecto geométrico, o bivector. Mostrou-se que os
bivectores quadram negativamente e geram rotações espaciais em 3C . A estrutura
graduada dos subespaços da álgebra geométrica é um aspecto muito particular desta
álgebra. Ao contrário do produto exterior e do produto interno, o produto geométrico é
invertível.
Este capítulo sobre a álgebra geométrica do espaço forneceu-nos ferramentas
importantes para aplicar nos capítulos seguintes.
26
27
Capítulo 3
Álgebra Geométrica aplicada
ao Espaço-Tempo de Minkowski
Este capítulo faz a passagem da álgebra geométrica do espaço a três dimensões para a
álgebra do espaço-tempo a quatro dimensões – a álgebra geométrica do espaço-tempo
de Minkowski. Esta corresponde à passagem de uma métrica euclidiana para uma não-
euclidiana, a métrica de Lorentz.
No início do capítulo mostram-se algumas das contradições da métrica euclidiana a
quatro dimensões, de seguida caracteriza-se a nova estrutura algébrica do espaço-tempo
com a métrica de Lorentz onde surgem conceitos importantes como o quadrivector,
vectores do tipo luz, espaço e tempo assim como bivectores hiperbólicos, elípticos e
parabólicos. Por fim analisam-se as transformações de Lorentz na forma activa (boost) e
na sua forma passiva. Analisa-se a acção do operador boost sobre um vector e
demonstra-se a adição de velocidades, a contracção do espaço e dilatação do tempo e
finalmente, o efeito Doppler relativista.
28
3.1 Contradições da Métrica Euclidiana
As leis de Newton consideram que tempo e espaço são os mesmos para os diferentes
observadores dum mesmo fenómeno físico, no entanto, Lorentz e outros verificaram
que as leis do electromagnetismo não respeitavam esses princípios. Lorentz surge com a
teoria do éter onde afirmava que objectos e observadores estariam imersos num fluído
imaginário, o éter, dando-se assim um encurtamento físico e mudanças na duração do
tempo: a contracção de Lorentz e a dilatação do tempo respectivamente. Esta teoria
permitia manter intactas as leis de Newton, no entanto, foi muito criticada inclusive pelo
próprio Lorentz, sendo mais tarde descartada.
Surge, então, Einstein com a relatividade restrita que troca a ideia de espaço e tempo
independentes pela ideia de uma interdependência entre eles, passam a ser vistos como
uma entidade geométrica. Einstein assenta a sua teoria da relatividade em dois
postulados:
i. Todos os referenciais de inércia são equivalentes;
ii. A velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais de inércia.
A esta interdependência entre espaço e tempo designa-se espaço-tempo de Minkowski e
é assim que se consegue superar a aparente contradição entre a mecânica newtoniana e
as leis do electromagnetismo.
A álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski necessita assim de um espaço
linear de quatros dimensões, ℝ4, sendo três para as componentes espaciais e uma para a
componente temporal.
A primeira ideia para definir um espaço linear para esta álgebra seria continuar com a
álgebra geométrica com métrica euclidiana, 4C , tendo como base 0 1 2 3{ , , , } e e e e
em que, 2 2 2 2
0 1 2 3 1 e e e e . Veremos que esta métrica euclidiana conduz a problemas
físicos inaceitáveis, logo, a utilização de uma relatividade euclidiana não é válida.
29
Para perceber os problemas da relatividade euclidiana começa-se por considerar uma
trajectória como sendo
0
1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
t k t r t
r t x t y t z t
r e
e e eℝ4
, (3.1)
onde k tem dimensões de velocidade e é uma constante universal, caso contrário,
haveria diferentes factores de conversão consoante o referencial de inércia. Uma
partícula pode ser descrita no seu referencial próprio, 0( ) ( )t kr f , ou por outro
referencial, 0( ) ( ) ( ).t k t r t r e
Sendo
Velocidade
Própria
d d dt
d dt d
r ru . (3.2)
Fazendo
0 0
( )
( ) ( )
dtt
dt k u k
d ru
dt
u e f , (3.3)
temos u em função de cada um dos referenciais, de laboratório e próprio. Como
2 2 2 2 2( )k u k u , onde | |u u e v
k conclui-se que:
2
1
1
. (3.4)
Escolhe-se a raiz positiva de modo a que quando 0 se tenha 1. Ao fazer
cos
tansin
(3.5)
0
02
0
cos sin ( ).
( ) 1
u k uk u
u
u v (3.6)
30
Sendo U0 um bivector, tal que, 0 0 0 0 0u u U e e facilmente se conclui que numa
álgebra euclidiana a velocidade de uma partícula vista de um dado referencial resulta da
aplicação de uma rotação 0exp( ) U à velocidade própria dessa mesma partícula, i.e,
0 0cos sin ( ) (cos sin )U u v U v v (3.7)
0 exp( ) . u U v (3.8)
Portanto se considerarmos duas velocidades
1 1 0
2 2 0 1 0 0
2 2 0 1 0
exp( ) exp( )exp( ) exp( )
exp( ) exp( )
u U vu U U v U v
u U u U v,(3.9)
podemos afirmar que a velocidade vista do referencial de laboratório, 2u , é o resultado
da aplicação de duas rotações sucessivas a uma partícula com velocidade própria v.
1 2 0 0exp[( ) ] exp( ) U U (3.10)
1 2 . (3.11)
Então, sendo k
u , 1 1 1| |u k u , 2 2 2| |u k u e | |u k u conclui-se que
1 2 1 2 1 21 2
1 21 2 1 22
tan tan utan( ) u .
1 tan tan 11
u
u u
k
(3.12)
Para compreender melhor estas expressões representa-se na figura 3.1 a variação de β
com 1 para 2 1/ 2 .
31
Figura 3.1 – Representação de 1vs para
2 0.5 .
Pode concluir-se que a aplicação de uma relatividade euclidiana não é aplicável, esta
não apresenta limite máximo para a velocidade. No exemplo vemos β → quando
1 21 . Outra conclusão fisicamente inadmissível pode ser observada quando duas
velocidades positivas, 1 0 e 2 0 , dão origem a uma velocidade negativa, 0 ,
para 1 21 .
São estes resultados que levam à impossibilidade de aplicar uma métrica euclidiana no
espaço-tempo de Minkowski, sendo portanto necessário entrar com uma métrica não
euclidiana que estabeleça um limite máximo para a velocidade, limite esse igual ao da
velocidade da luz. Esta imposição de o limite máximo ser o da velocidade da luz não é,
necessariamente, uma conclusão imposta pelo electromagnetismo, podendo também
advir pelas outras interacções fundamentais da física.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
1
32
3.2 Estrutura da Álgebra Geométrica 1,3C
Concluímos que o uso de uma relatividade euclidiana conduz a problemas físicos
inadmissíveis, outras métricas como a definida positiva e definida negativa iriam
também levar a contradições físicas. Os modelos físicos que nos vão levar a obter
conclusões físicas aceitáveis são os espaços quadráticos com métricas semi-definidas
positivas e negativas. Com estas métricas podemos aplicar a física da relatividade
restrita de Einstein sem quaisquer problemas.
Métrica semi-definida positiva ↦ ℝ3,1 →
3,1C → 2 2 2 2
0 1 2 31, 1 e e e e ; (3.13)
Métrica semi-definida negativa ↦ ℝ1,3 →
1,3C → 2 2 2 2
0 1 2 31, 1 e e e e . (3.14)
Como convenção usa-se a métrica semi-definida negativa como modelo matemático
para a relatividade restrita de Einstein, ou seja, para o espaço-tempo Minkowski. A
álgebra 1,3C está definida no espaço quadrático ℝ1,3
e a sua métrica corresponde ao
tensor cujas componentes são onde }3 ,2 ,1 ,0{, .
0 1 2 3
Base{ , , , }
ortonormada e e e e ee ⇒
1000
0100
0010
0001
Esta álgebra compreende cinco subespaços que originam entre si uma soma graduada.
escalares – α ℝ
vectores – a ℝ1,3
Subespaços bivectores – F ⋀2ℝ1,3 ⇒ 1,3u C a F T V . (3.15)
trivectores – T ⋀3ℝ1,3
quadrivectores – V ⋀4ℝ1,3
33
0 1 2 3 01 02 03 12 13 23 012 013 023 123 0123{1, , , , , , , , , , , , , , , } e e e e e e e e e e e e e e e ; (3.16)
Esta álgebra é composta por 1 escalar, 4 vectores, 6
bivectores, 4 trivectores e 1 quadrivector ou pseudoescalar,
num total de 16 elementos como podemos ver pelo triângulo
de pascal.
dim(1,3C ) = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2
4 = 16 (3.17)
É usual representar-se o pseudoescalar pela letra 0123I e . É importante ter presente
algumas definições e cálculos que ajudam a caracterizar esta álgebra:
Reverso: 123 3 2 1 1 2 3 123 e e e e e e e e ; (3.18)
3 2 1 0 0 3 2 1 0 1 3 2 0 1 2 3 I e e e e e e e e e e e e e e e e I ; (3.19)
.u u a F bI I a F bI I (3.20)
Quadrado: 2 2 2 2 2
0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3( )( ) 1 I I I I I e e e e e e e e e e e e ; (3.21)
Produto geométrico:
0 0 e I Ie 10 10e I Ie 123 123 e I Ie ; (3.22)
Dualidade: Dado um multivector genérico 1,3u C define-se o dual de Clifford como
sendo o novo multivector 0123 1,3v u u C e I .
u v u a F bI I I b FI aI I . (3.23)
Involução de grau: 0 1 2 3 4
u u u u u u .
Conjugação de Clifford: 0 1 2 3 4
u u u u u u .
34
À estrutura algébrica do espaço-tempo de Minkowski também se associa uma parte par
e outra ímpar.
Parte par: 2 1,3 4 1,3
1,3C
Parte ímpar: 1,3 3 1,3
1,3C
Dentro desta álgebra é importante realçar o spin 1,3 . Este grupo de Lorentz especial
ortócrono preserva a orientação do espaço-tempo e é o responsável pelos rotores em
1,3C , à semelhança do spin ( 3 ) em 3C .
1,3Spin (1,3) { : 1}u C u u
(3.24)
Spin (1,3) Rotor.u (3.25)
Um acontecimento no espaço-tempo de Minkowski vai ter características diferentes das
que tinha na álgebra euclidiana devido à métrica semi-definida negativa. Escreve-se um
acontecimento no espaço-tempo Minkowski como
0 1 2 3 0 0 1 1 2 2 3 3( , , , )x x x x x x x x r e e e e ℝ1,3; (3.26)
e sabendo que 0 cx t representa a componente temporal enquanto que
1 1 2 2 3 3r x x x e e e representa a componente espacial, podemos escrever
0(c )t r r e . (3.27)
Temos que
2 22
2 2
c
r | |
t r
r
r. (3.28)
Deste modo o quadrado dos vectores no espaço-tempo de Minkowski pode ser positivo,
zero ou negativo, sendo classificados como
2 2 20 (c ) ( )t r r ↦ vector parabólico ou do tipo luz;
2 2 20 (c ) ( )t r r ↦ vector hiperbólico ou do tipo tempo; (3.29)
2 2 20 ( ) ( )ct r r ↦ vector elíptico ou do tipo espaço;
35
Se desprezarmos uma coordenada espacial
ficamos num espaço tridimensional, podemos
assim representar o conhecido cone de luz que
ajuda a descrever a evolução temporal de uma
partícula no espaço-tempo de Minkowski. A
origem é o ponto onde se encontra o
observador – o presente. Os pontos exteriores
ao cone designam-se de algures absoluto, para
serem atingidos seria necessário uma
velocidade superior a c. Em quatro dimensões
este cone designa-se de hipercone. Figura 3.2 – Cone de luz.
Ao contrário da álgebra euclidiana do espaço onde todos os bivectores são simples com
quadrado negativo, na álgebra do espaço-tempo de Minkowski isso não acontece.
Consideremos, por exemplo, o bivector
0 1 2 3 F e e e e (3.30)
2 2 2 2
01 23 01 0123 2301 23( ) 1 1 F e e e e e e I I (3.31)
⇒ 2 4 1,32 F I ⇒ bivector não simples. (3.32)
Dentro dos bivectores simples, estes podem ser classificados como
Parabólicos ↦ ;02 F
Elípticos ↦ geram rotações → 23 23exp( ) cos sin . e e (3.33)
Hiperbólicos ↦ geram boosts → 10 10exp( ) cosh sinh . e e
As rotações já são conhecidas da álgebra euclidiana do espaço. Surge uma nova
ferramenta muito importante na álgebra do espaço-tempo de Minkowski, o boost, que
vai ser estudado com pormenor no capítulo 3.3.1.
36
3.3 Transformações de Lorentz
3.3.1 Transformação activa ou Boost
Na álgebra do espaço-tempo de Minkowski os bivectores simples podem ser
parabólicos, elípticos ou hiperbólicos, estes dois últimos vão gerar rotações e boosts,
respectivamente. A acção de um rotor sobre um vector já foi estudada na álgebra
euclidiana 3C . A acção de um boost ou transformação activa de Lorentz sobre um
vector é agora analisada.
Perceber a acção de um boost em 1,3C é equivalente a fazê-lo na álgebra
1,1C .
Considera-se duas das componentes espaciais nulas, de modo a tornar a análise mais
intuitiva.
Em 1,1C tem-se
0 1 10{1, , , } e e e
2
0
2
1
1
1
e
e 2
10 1e (3.34)
Sendo u e v dois vectores tais que
0 0 1 1
0 0 1 1
.u u
v v
u e e
v e e (3.35)
Vamos analisar o boost
10exp( )δu v e u (3.36)
onde 0 c u t é a componente temporal e 1 xu é a componente espacial.
Nesta análise considera-se que o vector u é unitário, i.e.,
2 2 2
0 1| | 1u u u . (3.37)
37
Como esta métrica é indefinida do tipo 111,1 é necessário normalizar as
componentes do vector u, de modo a ser sempre unitário. Faz-se
02 2
0
11
2 2
sin
| sin cos |tan
cos
| sin cos |
uu
uu
. (3.38)
Como o bivector é tal que, 2
10 1e , estamos perante uma geometria hiperbólica, logo
2 2cosh sinh 1. (3.39)
Pode assim descrever-se o vector unitário u, no âmbito de uma transformação passiva,
usando as seguintes representações paramétricas, quando , ,
0 2 2 2 2
1
c coshc 1
sinh
u tt x
u x
u (3.40)
0 2 2 2 2
1
c coshc 1
sinh
u tt x
u x
u (3.41)
0 2 2 2 2
1
c sinhc 1
cosh
u tt x
u x
u (3.42)
0 2 2 2 2
1
c sinhc 1
cosh
u tt x
u x
u . (3.43)
38
Figura 3.3 – Representações paramétricas do vector u.
Figura 3.4 – Representações paramétricas do vector u.
As representações paramétricas das figuras 3.3 e 3.4 mostram que, ao contrário da
métrica euclidiana, estas não geram circunferências de raio unitário mas sim parábolas.
Este facto deve-se à métrica semi-definida negativa, esta obriga ao uso de
parametrizações hiperbólicas, enquanto na métrica euclidiana essas parametrizações são
elípticas. No espaço quadrimensional teríamos os chamados hipercones.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
ct
u2 = - 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
ct
u2 = 1
39
É de notar que o comprimento do vector u é unitário entre a origem e qualquer ponto da
parábola.
A aplicação do boost
10 10exp( ) cosh sinh e e (3.44)
origina um vector v, tal que
0 0 0 10
1 1 0 11
cosh sinh cosh sinh.
sinh cosh sinh cosh
v v u uu
v v u uu
(3.45)
Demonstração:
2
10 1e 2
10 1k e 2 1
10 10
k e e
2 2 1
10 10 10
10
0 0 0
( ) ( ) ( )exp( )
! ( 2 !) ( 2 1)!
k k k
k k kk k k
e e e
e (3.46)
2 2 1
10 10 10
0 0
exp( ) cosh sinh(2 !) (2 1)!
k k
k kk k
e e e (3.47)
Sendo o ângulo do vector v, tem-se
0
1
v tan tanh ζtan .
v 1 tanh ζ tan
(3.48)
Em resumo, aplicar um boost de intensidade a um vector unitário u com um ângulo
origina um novo vector unitário v com um ângulo .
O comprimento do vector v é igual ao do vector u, pelo que, é unitário.
2 2 2 2
0 1 0 1| | | | 1.v uv v u u (3.49)
Apenas para 4/ o comprimento não se mantém unitário, tendo-se 0u , logo,
não é possível definir a direcção de um vector nulo. É de notar que se considera
, e 0, . Quando 0 tem-se a transformação identidade e quanto
temos 4/ .
40
Um caso particular é quando 0eu , ou seja, 2/ , ou quando 1u e onde 0 ,
aplicando sobre estes vectores o boost 10exp( ) e obtém-se
0 0 1 0
1 0 1 1
cosh sinh .
sinh cosh
u e v e e f
u e v e e f (3.50)
Podemos ainda escrever
0 0 0 0
1 1 1 1
cosh sinh cosh sinh
sinh cosh sinh cosh
f e e f
f e e f (3.51)
0 0
0 1 0 1
1 1
cosh sinh
sinh coshv v v v
e fv
e f (3.52)
0
0 1 0 0 1 1
1
u u u u
fv v f f
f (3.53)
Em Apêndice C3 representa-se a aplicação de um boost de intensidade 2/1 a um
vector unitário u com ângulos: (i) º180 ; (ii) º150 ; (iii) º120 ; (iv)
º90 ; (v) º60 ; (vi) º30 ; (vii) º0 ; (viii) º30 ; (ix) º60 ; (x)
º90 ; (xi) º120 ; (xii) º150 ; (xiii) º180 .
3.3.2 Transformação passiva
Para compreender a transformação de Lorentz segundo a sua interpretação passiva usa-
se o primeiro postulado de Einstein, o princípio da relatividade e prescinde-se do
segundo sobre as velocidades.
1º Postulado – Princípio da relatividade restrita – As leis da física são equivalentes em
todos os referenciais de inércia. Referenciais de inércia são aqueles que não se
encontram sujeitos a qualquer tipo de aceleração.
Para simplificar consideramos y = z = 0. Escreve-se
0 1
0 1
(c ) Referencial S
(c ) Referencial S
t x
t x
r e e
r f f. (3.54)
41
Pela acção de um boost, R, temos
2
0 0 0 10 0 10 0exp( ) (cosh sinh ) .R R R f e e e e e e (3.55)
Logo
0 0
1 1
1 cosh, onde
1 tanh
β γ δγ
β β δ
f e
f e. (3.56)
Pelo que
0 1 0 1 0 1 1 0( ) (c ) (c )( ) ( )ct x t x γ t β γ x β e e f f e e e e (3.57)
0 1 0 1(c ) γ (c ) (c )t x t β x γ x β t e e e e . (3.58)
Conclui-se que a transformação passiva de Lorentz é
c (c ) c (c )
(c ) (c )
t γ t β x t γ t β x
x γ x β t x γ x β t
. (3.59)
A transformação passiva permite analisar a construção dos eixos c t e x de forma
simples. Basta ver que estar sobre o eixo c t corresponde a ter-se 0x , logo:
0 0 [ ( )] ( )x x ct x ct . (3.60)
Pelo que
eixo tan .x
c tct
(3.61)
Do mesmo modo, sobre o eixo x corresponde a ter 0ct , logo:
0 0 [( ) ]ct ct x ct x . (3.62)
Pelo que
eixo tanct
xx
. (3.63)
42
De uma forma esquemática representar-se os resultados mostrados pelas transformações
de Lorentz. Essa interpretação origina o diagrama de Minkowski.
Figura 3.5 – Diagrama de Minkowski.
Com as transformações passivas e activas de Lorentz é possível chegar a algumas
conclusões importantes na álgebra do espaço-tempo. É o caso da adição de velocidades,
da contracção do espaço e da dilatação do tempo. Antes é importante concluir sobre as
consequências relativas ao diagrama de Minkowski (Figura 3.5):
O conceito de simultaneidade passa a ser um conceito relativo, ou seja, depende
do observador. Por exemplo, se considerarmos dois pontos
1 1 1 2A( , ), B( , )ct x ct x , onde 2 1x x , simultâneos em S, do ponto de vista do
referencial S o acontecimento B vai ser anterior ao acontecimento A.
Devido à nova métrica não euclidiana, surge uma inclinação entre os eixos
como se observa no diagrama de Minkowski, no entanto, os referenciais
continuam ortogonais. Apenas não são rectangulares, no sentido em que os seus
eixos formam um ângulo de 90º. Dois casos particulares são:
o 0 - Acontece quando a velocidade relativa entre os referenciais é
nula, ou seja, 0.
o 4
- Acontece quando a velocidade relativa entre os referenciais se
aproxima de c, ou seja, 1 .
43
3.3.3 Adição de velocidades
Um acontecimento pode ser descrito no seu referencial próprio como 0( )c r f , ou
noutro referencial, de laboratório, como 0(c ) rt r e composto pela soma da
componente temporal com a espacial. A velocidade própria dos referenciais é 0cv e
para o de laboratório e 0cu f para o referencial próprio, sendo que, neste caso
coincide com a velocidade própria da partícula. Podemos escrever:
0 0( ) , onde
d d dt dt dc u c u
d dt d d dt
r r ru e f . (3.64)
Onde
2
2 2 2 2( )dt
c u cd
u . (3.65)
Conclui-se que
2
1, onde
1
dt v
d c
. (3.66)
Logo a velocidade da partícula vista de um referencial de laboratório é
0( )u c u v f (3.67)
0 0 0( 1 )( )u c u e e (3.68)
0 0 0 0 0(1 ) , onde .c u u f U v U e (3.69)
Como 2
0 0exp ( ) (1 )R U U , conclui-se que a passagem do referencial
próprio para o de laboratório faz-se através de um boost.
Considera-se, agora, duas velocidades
1 1 0 1 1 10
2 2 0 2 2 10 1
(c ) exp( )
( ) exp( )
u
c u
u e e v
u e e u. (3.70)
44
Por outro lado
2 0 10(c ) exp( ) .u u e e v (3.71)
Tem-se portanto
2 2 10 1 10 10exp( ) exp( ) exp ( ) u e e v e v (3.72)
2 1 2 10 10exp ( ) exp ( ) u e v e v (3.73)
21 . (3.74)
Este resultado mostra-nos que aplicar um boost com intensidade 1 seguido de outro
com intensidade 2 é equivalente a aplicar um boost com intensidade 21 .
Nota: estes resultados são válidos considerando que as velocidades estão segundo a
mesma direcção, ou seja, que os dois boosts são colineares. Quando se aplicam
sucessivamente dois boosts não colineares obtemos uma transformação que combina
uma rotação com um único boost, a chamada rotação de Thomas[11]
.
Como
tanh ( )
v
c , (3.75)
pode escrever-se
1 21 2
1 2
tanh tanhtanh tanh ( )
1 tanh tanh
. (3.76)
Sendo 1 1 1 2
2 2 1 2
tanh.
tanh 1
(3.77)
1 2
1 2
2
.
1
v vv
v v
c
(3.78)
Obtém-se a fórmula da adição relativista de velocidades. Esta deixa de ser uma simples
soma vectorial e caracteriza-se por definir um limite superior de velocidade, a
velocidade da luz.
45
3.3.4 Contracção do Espaço
A interdependência entre espaço e tempo e consequentemente a existência de um limite
superior de velocidade resulta em conclusões que não são expectáveis do ponto de vista
do senso comum. Duas delas são a contracção do espaço e a dilatação do tempo, na
álgebra geométrica do espaço-tempo são simples de demonstrar, basta recorrer a um
diagrama de Minkowski.
Figura 3.6 – Diagrama de Minkowski, a contracção do espaço.
Por um lado sabe-se que
0 0
1 1
1
1
β
β
f e
f e
0 0
0 1
1 0
1 1
f e
f e
f e
f e
. (3.79)
Consideremos o ponto B representado no diagrama de Minkowski, este é visto do
referencial 0 0S B( , )L L e do referencial S B(0, )L . Assim, podemos escrever
0 1 0 0 1 ( ) ( ) ( )OC CB OB L L L e e f . (3.80)
Ao fazer o produto interno de ambos os membros pelo vector de base 1e , obtemos a
conhecida forma da contracção do espaço.
0 1 1 0 0 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )( )L L L e e e e f e (3.81)
0L
L . (3.82)
46
Do mesmo modo, pode considerar-se que a fotografia é tirada no referencial S , tendo
em 0ct um comprimento L. Temos assim: C (0, )S L e 0 0C ( , )S L L .
Figura 3.7 – Diagrama de Minkowski, a contracção do espaço.
Pela análise do diagrama de Minkowski escreve-se
0 1 0 0 1 ( ) ( ) ( )OC CB OB L L L e e f (3.83)
0 1 1 0 0 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )( )L L L e e e e f e (3.84)
0 / .L L (3.85)
3.3.4 Dilatação do tempo
Analogamente à contracção do espaço recorre-se ao diagrama de Minkowski para
chegar à dilatação do tempo.
Figura 3.8 – Diagrama de Minkowski, a dilatação do tempo.
47
O ponto B pode ser escrito visto do referencial S B ( , )cT vT e do referencial
0S B ( ,0)CT , isto significa que o ponto B está em repouso no referencial S .
0 1 0 0 ( ) ( ) ( )OC CB OB cT vT cT e e f (3.86)
Ao fazer o produto interno de ambos os membros pelo vector de base 0e , obtemos a
conhecida forma da contracção do espaço:
0 0 1 0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )cT v T c T e e e e f e (3.87)
0T T (3.88)
Do mesmo modo, pode considerar-se que o ponto que se encontra em repouso é o ponto
C no referencial S . Temos assim: 0C ( T , 0)S c e C ( T, T)S c .
Figura 3.9 – Diagrama de Minkowski, a dilatação do tempo.
Pela análise do diagrama de Minkowski escreve-se
0 0 1 0 ( ) ( ) ( )OC CB OB cT vT cT e f f (3.89)
0 0 0 1 0 0 0( )( ) ( )( ) ( )( )cT vT cT e f f f f f (3.90)
0.T T
Portanto se existir velocidade relativa entre dois quaisquer referenciais, ao passar de um
para outro é necessário ter em conta a dilatação do tempo. Estes conceitos conduziram,
durante algumas décadas, a contradições face ao senso comum. No anexo B analisa-se
um caso muito conhecido, o paradoxo dos gémeos.
48
3.4 Efeito Doppler
A álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski na óptica relativista evita o uso
de uma matemática tensorial bastante complexa. Apesar de ser uma ciência recente já
demonstrou trazer grandes vantagens e simplicidade para a matemática, esta álgebra
permite, por exemplo, demonstrar o efeito Doppler. Definindo um novo objecto
geométrico: o quadrivector 1,3k , que representa o vector de onda correspondente a
uma harmónica temporal de uma onda electromagnética. O objecto geométrico k pode
ser descrito como 0 0k k k e , onde 0k
c
é a componente temporal e k k s a
componente espacial. Pode escrever-se 0k nk , onde n é o índice de refracção do meio
onde a onda se propaga.
Dado o espaço tempo de Minkowski ter uma métrica semi-definida negativa temos
2 2 2 2 2
0 0 0( ) ( )k k k nk k . (3.91)
No vácuo 0kk pelo que o vector 02 k é o vector nulo, ou seja, reside no cone de
luz.
O efeito Doppler relativista surge naturalmente utilizando a álgebra do espaço-tempo,
para isso consideremos um acontecimento em 1,3C como 0( )ct r r e ℝ1,3 e que o
vector de onda é
0( )c k k e ℝ1,3
. (3.92)
Considera-se a propagação de ondas planas com a forma:
exp[ ( )]i k r , onde t k r k r . (3.93)
Se estivermos perante um meio estacionário caracterizado por um índice de refracção
0n em que 0 0 0 0 0( / )k k s n k s n c s temos
0 0 0( / ) ( )c n s k e . (3.94)
Note-se que 0s ℝ0,3 é um vector unitário, tal que,
2
0( ) 1s .
49
Para chegar ao efeito Doppler consideramos a emissão de uma onda plana entre dois
observadores aos quais designamos de receptor e de emissor. Os vectores de onda
associados a cada referencial são:
Emissor → 0( )c
e
es
k e , (3.95)
Receptor → 0( )c
r
rs
k f . (3.96)
O emissor é caracterizado por uma base 0 1 2 3{ , , , } e e e e enquanto o receptor tem
uma base '
0 1 2 3{ , , , } f f f f .
O vector k é igual visto de ambos os referenciais e a frequência do emissor é e k v
e a do receptor é r k u , onde 0cv e e
0cu f . Esta situação pode ser descrita de
um modo esquemático:
Emissor Receptor
U L
Figura 3.8 – Esquema que representa a relação entre o emissor e receptor, através de uma rotação e um
boost.
A relação entre os dois referencias surge aplicando um boost simples, tal que
0 0 0 0 0ˆ ˆexp( ) cosh sinh ( )r r e f B e e B e , (3.97)
onde o bivector 0 0ˆ
r s s B e e é um bivector hiperbólico, i.e., 2ˆ 1r B .
No entanto, sendo a velocidade relativa da partícula que vai do emissor para o receptor
.u c s (3.98)
0cv e
0ˆ
e esB e
e k v
0cv e
0ˆ
r sB e
coses s
0cu f
0ˆ
r rsB f
r k u
50
É necessário considerar que podemos ter es s , logo define-se que c o ses s .
Apenas para 0 temos es s . A aplicação de um simples boost não é suficiente, é
também necessário aplicar uma rotação. Logo, para relacionar com e rw w realizamos a
operação rotação e de seguida a operação boost.
2
0
2
2
2
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆRotação:
ˆ ˆcos sin exp( )
ˆ ˆ ˆ ( ) ( )
e e r e e
e e e e e
e e e
e r e e e
s U U U
s s s s s U s U U s
U s s s s s s
U s s s s
B e B B B
B B
B B B e e
(3.99)
2
0 0 0 0 0 0 0 0
2
0 0
0 0 0 0
0 0
Boost : ( )
ˆ ˆcosh sinh exp( )
ˆ ˆ ( ) ( ) ( )
ˆ
r r
r r r
r r
L L L
L
s L s L L L L s L s
s s
e f f e e e e e
f e B B
B f B e e e
B f e
L
(3.100)
Em suma a rotação espacial transforma o bivector ˆeB no bivector ˆ
rB . O boost
transforma 0 0e f e o bivector ˆ
rB fica inalterado.
Deste modo, podemos escrever
0 0c c ( ).s u f u e (3.101)
Portanto
0 0[c ( ) ] [ ( ) ] (1 cos )
c
ee es s
k u e e (3.102)
e como r k u conclui-se que a relação entre as frequências é
2
1 cos(1 cos )
1
r
e
. (3.103)
No caso particular de termos 0 , ou seja, os vectores são colineares, ess
, temos a
conhecida forma do efeito Doppler longitudinal:
51
1
1
r
e
. (3.104)
No caso do efeito longitudinal quando r e obtém-se um desvio para o azul, quando
r e temos um desvio para o vermelho. Quando as bases não são colineares é
necessário utilizar a transformação de Thomas[11]
.
3.5 Conclusões
Foi com distinção que álgebra geométrica com o uso da métrica de Lorentz superou os
problemas da métrica euclidiana. Concluímos que não é necessário um “corte” entre o
espaço tridimensional e o espaço-tempo de Minkowski. O uso dos complexos tensores é
desnecessário no estudo deste espaço-tempo e consequentemente no estudo da
relatividade restrita de Einstein. Tal como em 3C , 1,3C é caracterizado pela soma
graduada dos seus subespaços. Devido à métrica não euclidiana vimos que os vectores
podem ser do tipo espaço, tipo tempo e tipo luz, e que os bivectores além das rotações
permitem gerar os boosts ou transformações activas de Lorentz.
Verificou-se que a álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski é uma
ferramenta que trata os problemas de forma simples e concisa. O diagrama de
Minkowski, o boost e a rotação foram ferramentas que permitiram mostrar a dilatação
do tempo, contracção do espaço, efeito Doppler e adição de velocidades de um modo
bastante intuitivo.
52
53
Capítulo 4
Electrodinâmica Relativista
Neste capítulo aplicam-se as bases da álgebra geométrica do plano, espaço e espaço-
tempo compreendidas nos capítulos anteriores às leis do electromagnetismo, mais
especificamente às equações de Maxwell.
Para começar reescreve-se as equações de Maxwell em 3C e em 1,3C . Define-se os
dois bivectores fundamentais do campo electromagnético, o bivector de Maxwell e o
bivector de Faraday. Graças a eles, pode reescreve-se as quatro equações iniciais de
Maxwell a apenas duas equações, a homogénea e a não homogénea, onde, no vácuo, é
apenas uma equação. Estudam-se as relações constitutivas dos meios vistas de
diferentes referenciais. Por fim usa-se a ferramenta da redução à forma do vácuo nesse
estudo de modo a facilitar a análise dos meios em movimento, como o caso dos meios
isotrópicos.
54
4.1 Equações de Maxwell em 3C
As equações de Maxwell, assim chamadas em honra de James Clark Maxwell,
descrevem o comportamento dos campos eléctricos e magnéticos assim como as suas
interacções com a matéria. Antes de as escrever é necessário ter em conta algumas
considerações matemáticas. Duas das operações matemáticas usadas nessas
representações são a divergência e o rotacional. Estas operações sobre um dado vector
3F escrevem-se como
Rotacional →
ˆ ˆ ˆ
.
x y z
x y z
F F F
x y z
F (4.1)
Divergência → yx z
FF F
x y z
F . (4.2)
É importante ter presente que
Eℝ3 – representa a intensidade do campo eléctrico;
Bℝ3 – representa a intensidade do campo magnético;
Pℝ3 – representa o vector polarização eléctrica;
Mℝ3 – representa o vector polarização magnética;
A densidade total de carga eléctrica é t p , e a densidade total de corrente é
t p m J J J J ℝ3, onde
p
p
m
t
P
PJ
J M
. (4.3)
55
Os vectores D e H representam a excitação eléctrica e a excitação magnética,
respectivamente, onde
0 . D E P (4.4)
MBH 0
1
. (4.5)
Pode finalmente escrever-se as equações de Maxwell:
lei de Gauss
lei de Gauss Magnética 0
equação de Maxwell-Faraday
equação de Maxwell-Ampère
t
t
D
B
BE
EH J
. (4.6)
Estas podem ser escritas como as equações de Maxwell-Boffi. Estas equações não usam
os campos D e H, ou seja, ignoram a existência de meios materiais. Portanto, é dada
uma perspectiva reducionista onde o único meio a ter em conta é o vácuo. Para a
perspectiva reducionista o meio não varia, o que varia é a quantidade de cargas que lá
existem.
0
0 2
lei de Gaus
0 lei de Gauss Magnética
equação de Maxwell-Faraday
1equação de Maxwell-Ampère
t
t
t
c t
E
B
BE
EB J
. (4.7)
Com o recurso à álgebra geométrica é possível apresentar uma escrita mais “elegante”
na medida em que reescrevem as quatro equações de Maxwell-Boffi numa única
equação. Para o fazer na álgebra geométrica do plano consideramos que estamos no
vácuo e que:
0 0
1c
1 2 3x y z
e e e
(4.8)
56
123( ) E E e 123( ) . B e B
Aplicando estas equações às equações de Maxwell de imediato obtemos as chamadas
equações de Maxwell-Boffi em 3C :
0
123 0
123
123
10
1 11
1 12 0
3 0
t
t
c
Jc t c
c t c
E
E B e
B e E
B e
(4.9)
É de notar que cada uma das quatro equações de Maxwell-Boffi em 3C apresenta um
grau distinto, de zero a três, ou seja, escalar, vector, bivector e trivector,
respectivamente. Deste modo, pode fazer-se uma soma graduada das quatro equações,
logo, obtemos uma única equação para representar as equações de Maxwell-Boffi em
3C :
123 0
1 1 1t t
c t c c
E B e J . (4.10)
Também as equações de Maxwell como as conhecemos podem ser escritas com recurso
à álgebra geométrica do espaço:
123equação de Maxwell-Faraday 0
.
lei de Gauss magnética 0
t
B e E
B
(4.11)
123equação de Maxwell-Ampère ( )
.
lei de Gauss
t
DHe J
D
(4.12)
57
Se considerarmos uma região sem fontes, 0 e 0 J , e que estamos na presença de
ondas planas e monocrómaticas, i.e.,
0
( , ) { ( )exp( )}
( ) exp[ ( )]
w
w
r t r i wt
i
E E
E r E k r (4.13)
as equações de Maxwell tomam a seguinte forma:
0 0 123
0 0 123
0
0
( )
( )
0
0
w
w
k E B e
k H D e
k D
k B
. (4.14)
4.2 Equações de Maxwell no espaço-tempo de Minkowski
Até aqui apresentou-se as equações de Maxwell e seus resultados utilizando a álgebra
geométrica do espaço tridimensional, no entanto, para aplicar as leis da electrodinâmica
sem contrariar as leis da mecânica newtoniana é necessário considerar a
interdependência entre espaço e tempo, designado como espaço-tempo de Minkowski.
Surge a necessidade de reescrever essas equações de Maxwell com recurso à álgebra
1,3C . Um dos objectivos deste passo é mostrar que a álgebra geométrica permite
estudar as equações de Maxwell aplicadas à relatividade restrita com menor
complexidade e apresentar os resultados com recurso a equações mais simples. Por fim
é importante aplicar esses conhecimentos aos meios em movimento.
Para chegar às equações de Maxwell em quatro dimensões começa-se por escrever as
equações vectoriais na álgebra do espaço, onde se considera o espaço quadrático 0,3 ,
sendo que, as grandezas vectoriais eE, B, D, H J pertencem a esse espaço e temos:
0,3
1 2 3
1 2 3
.x x x
e e e (4.15)
58
2 2 22
2 2 2
1 2 3x x x
. (4.16)
Então, as quatro equações de Maxwell são na forma:
grupo de Faraday
0
BE
t
B
(4.17)
grupo de Maxwell
DH J
t
D
(4.18)
Escritas as quatro equações no espaço 0,3 , é necessário introduzir os vectores relativos
(bivectores) que relacionam o espaço com o tempo. Estes bivectores são hiperbólicos ou
do tipo tempo, dado que o seu quadrado é positivo. Define-se:
2 1,3
0 0
2 1,3
0 0
2 1,3
0 0
2 1,3
0 0
bivectores
E E
B B
D D
H H
E e e
B e e
D e e
H e e
, (4.19)
a densidade de carga-corrente
1,3
0
1.J
c J e (4.20)
e o operador de Dirac
1,3
0
1.
c t
e (4.21)
59
Além destes aspectos, para chegar às equações de Maxwell no espaço-tempo de
Minkowski é necessário definir dois bivectores, F e G, o de Faraday (ou da intensidade
electromagnética) e o de Maxwell (ou da excitação electromagnética), respectivamente.
Estes bivectores são chamados de bivectores fundamentais do campo electromagnético:
1
1
c
c
F E I B
G D I H
. (4.22)
Sabendo que:
10 23
20 31
30 12
I e e
Ie e
Ie e
, (4.23)
0 1 10 2 20 3 30
0 1 10 2 20 3 30
E E E E
B B B B
E e e e e
B e e e e, (4.24)
escrevem-se os bivectores de Faraday e de Maxwell como
1 10 2 20 3 30 1 23 2 31 3 12
1 10 2 20 3 30 1 23 2 31 3 12
1( ) ( )
1( ) ( )
E E E B B Bc
D D D H H Hc
F e e e e e e
G e e e e e e
. (4.25)
Por fim, chegamos às duas equações de Maxwell no espaço-tempo de Minkowski:
(i) Equação homogénea 0
(ii) Equação não-homogénea
F
G J. (4.26)
Estes dois bivectores representativos das equações de Maxwell são deveras os dois
bivectores fundamentais do campo electromagnético, pois ao contrário dos outros
quatro, estes não são relativos, isto é, não dependem do observador, colocando-se assim
num patamar superior. Por exemplo, os bivectores auxiliares 0E E e e 0B B e
são relativos, dependem do observador, o que não acontece com F e G. Dois
observadores distintos vêm os mesmos valores de F e G, no entanto, a decomposição
destes em função dos seus vectores relativos é diferente.
60
A equação homogénea descreve a conservação do fluxo magnético enquanto a não-
homogénea descreve a conservação da carga eléctrica.
No caso particular do vácuo é possível escrever as duas equações numa só. A relação
constitutiva do espaço-tempo no vácuo, sabendo que 00
0
, é
0
1
G F . (4.27)
E como podemos escrever o produto geométrico
. F F F (4.28)
escrevem-se as duas equações de Maxwell como uma só, à qual se designa, a equação
de Maxwell no vácuo em 1,3C :
0 . F J (4.29)
Nota: As duas equações de Maxwell acima descritas ao desenvolverem-se tomam a
forma:
1 2 3
023 031 012
2 3 1
012 031 123
1 1 1
1 3 2
012 023 123
2 2 2
1 2 3
031 023 123
3 3 3
1 1 1
1 1
1 1
1 1
B B B
c t c t c t
E E B
c x c x x
E E B
c x c x x
E E B
c x c x x
F e e e
e e e
e e e
e e e
(4.30)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 3 2
1 1 1
2 1 3
0 3 1
2 2 2
23 10 2 1
3 3 3
1 1 1
1 1
.1 1
1 1
D D D
c t c t c t
D H H
x c x c x
D H H
x c x c x
HD H
x c x c x
G e e e
e e e
e e e
e e e
(4.31)
61
4.3 Meios em movimento
Até ao momento descreveu-se as equações de Maxwell no espaço-tempo de Minkowski
recorrendo a dois novos bivectores, o bivector de Faraday e o bivector de Maxwell, o
que permitiu apresentar as quatro equações iniciais de Maxwell com recurso a apenas
duas. A essas duas equações designamos de homogénea e não homogénea. De seguida
particularizou-se para o caso da propagação no vácuo onde concluímos que as duas
equações iniciais se apresentam numa única, a equação de Maxwell no vácuo.
Para dar seguimento ao estudo das equações de Maxwell no espaço-tempo de
Minkowski vamos estudar os meios em movimento num meio diferente do vácuo, mais
propriamente um meio isotrópico simples, ou seja, um meio ilimitado, linear e sem
perdas onde não existe acoplamento magnetoeléctrico ( 0M ), logo, D E .
Num meio isotrópico simples as relações constitutivas são escritas no espaço
tridimensional como
0
0
.D E
B H
(4.32)
Considerando a componente temporal, as relações escrevem-se:
0
0
.1
D E
H B (4.33)
Sendo 1
0
e
2
0
1
, o bivector de Maxwell escrito em termos das relações
constitutivas do meio isotrópico simples é então
1
2
1.
c c
G D I H E I B (4.34)
62
Ao considerar 0cv e a velocidade no referencial próprio do meio, ou seja, onde este
se encontra em repouso, temos
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1E B
c c
-1
vF v F v e Fe e E I B e e e I e e (4.35)
0 0
1 1.E B
c c vF e I e E I B (4.36)
Por outro lado, fazendo uma combinação linear de F com vF , surge
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1( ) ( )
c c c
vF F I B E I B E I B ,(4.37)
onde por comparação com o bivector de Maxwell escrito em termos das relações
constitutivas do meio isotrópico simples conclui-se que
1 1 2
01 2 1
1 2 2
2 1 2
1 1 1( )
2 2
1 1( )
2
. (4.38)
Deste modo escrevemos a chamada relação constitutiva do espaço-tempo de
Minkowski, que permite relacionar o bivector de Faraday com o bivector de Maxwell
utilizando as relações constitutivas do meio:
0 0
1 1 1 1
2 2
vG F F . (4.39)
No entanto, esta fórmula pode ser apresentada de um modo mais simples permitindo
uma passagem de forma imediata de um referencial próprio para um referencial de
laboratório. Para isso, considera-se 0n como o índice de refracção do meio e
define-se
2
0
0
2
0
0
11 1cosh
2 2
11 1sinh
2 2
n
n
n
n
. (4.40)
63
Temos desta forma que
2 2
0
0
cosh sinh 1 ln ( )
cosh sinh exp( )n
n
. (4.41)
Por fim, ao definir-se 0
0
0
e ( ) -1
vF F v F vvr pode simplificar-se
a relação constitutiva:
0 0
1 1 1 1
2 2
1 ( cosh sinh )
1 ( cosh sinh )
1 exp( )
v
v
G F F
F F
F
F
v
v
r
r
(4.42)
1
exp( ) .
G Fvr (4.43)
Nota: O operador vr é idempotente, ou seja, [ ( )]w wv vr r e 12
vr . A aplicação deste
operador a um bivector F pode ser escrita como:
2 2 2 1 2
0 0 0( ) , onde ( )( )v c c c c c -1F F v F v v v e e e v vvr
2
1( )
c F v F vvr . (4.44)
A equação 4.43 pode designar-se de forma invariante da relação constitutiva e permite
passar de forma imediata do referencial próprio do meio para o referencial de
laboratório. Tanto o bivector de Faraday como o de Maxwell não são relativos, logo a
relação constitutiva é vista do mesmo modo por ambos os referenciais. Estes vão-se
diferenciar apenas na velocidade: no referencial próprio é vista como 0cv e enquanto
no referencial de laboratório é vista como 0( )c v v f . A velocidade vista do
referencial de laboratório resulta de uma transformação de Lorentz passiva, onde, à
64
velocidade é adicionada a componente relativa v , e de um boost que transforma
0 0e f .
Figura 4.1 – Relação constitutiva de um meio isotrópico visto de diferentes referenciais.
A forma invariante da relação constitutiva no referencial de laboratório ( )G FG
neste espaço-tempo pode ser decomposta em duas relações constitutivas:
( , ) e ( , )D D E B H H E B . Daqui podemos constatar que se trata de um meio
bianisotrópico pois ambos os campos e D H dependem simultaneamente de e E B .
Conclui-se, deste modo, que um meio isotrópico simples no seu referencial é visto como
um meio bianisotrópico no referencial de laboratório, ou seja, onde este é visto em
movimento. Para estudar os meios em movimento não vai ser necessário trabalhar de
forma explícita com as relações constitutivas ( , ) e ( , )D D E B H H E B caso se
utilize um novo método: a redução à forma de vácuo.
Referencial próprio
do meio
0cv e
1exp ( )
vG Fr
Referencial de
laboratório
0( )c v v f
1exp( )
vG Fr
65
4.3.1 Redução à Forma do Vácuo
Para poder escrever as relações constitutivas do meio de forma análoga às do vácuo
realizam-se as seguintes transformações:
exp exp2 2
exp exp2 2
F F' F' F
G G' G' G
u u
u u
r r
r r
, (4.45)
daqui resulta
1
exp exp( ) exp2 2
G' F'u u ur r r (4.46)
1
G' F' . (4.47)
Deste modo conseguimos reduzir a relação constitutiva de um meio isotrópico simples à
forma da relação constitutiva no vácuo. Note-se que, com esta transformação dá-se uma
alteração no espaço-tempo de Minkowski, agora o espaço-tempo é fictício, diferente do
original. Com esta nova relação constitutiva do meio e sabendo que a estrutura do
espaço-tempo de Minkowski já não é a original é importante perceber o que acontece às
equações de Maxwell. Para isso neste novo espaço temos:
0 1 2 3 0 1 2 3{ , , , } { , , , } e e e e e e e e (4.48)
0 0
1 1.
c t c t
e e (4.49)
0
F FF
G GG J
J J
. (4.50)
66
Sendo F F F aplica-se a nova relação constitutiva às duas equações de
Maxwell e obtemos uma única resultado da estrutura graduada da álgebra geométrica:
0 Soma
graduada
FF F J
F J
F J . (4.51)
No caso mais simples, ou seja, na ausência de fontes temos:
0 F . (4.52)
O estudo da propagação de ondas planas monocromáticas neste meio é feito
considerando uma onda do tipo:
0{ exp [ ( )]}i F F k r . (4.53)
Para uma zona sem fontes as equações de Maxwell surgem na forma
0 0
0
0 0
0 00
0 0
k F k Fk F
k G k F, (4.54)
onde o vector de onda resulta da transformação, já conhecida, exp2
k kur . Ao
multiplicar ambos os membros da equação pelo vector de onda, k , obtém-se
2
0( ) 0 k F . (4.55)
Portanto, para soluções diferentes do bivector de Faraday nulo, obtemos um resultado
extremamente importante:
2( ) 0 k . (4.56)
Com este resultado concluímos que no espaço-tempo de Minkowski equivalente o
vector de onda é nulo. Este resultado é igual ao que se verifica no vácuo, no entanto, é
importante não esquecer que apesar de o vector de onda ser nulo não estamos no vácuo.
Este resultado apenas surge fazendo as transformações que resultam na redução à forma
do vácuo.
67
Para tirar algumas conclusões do facto de o vector de onda ser nulo, faz-se
exp 2 cosh 2 sinh 2 .u k k k k kur (4.57)
Atendendo à forma anterior e ao definir
0
0
0
0
1cosh 1cosh
2 2 2
1cosh 1sinh
2 2 2
n
n
n
n
, escrever-se 0 0
0
1[( 1) ( 1) ]
2un n
n k k k . (4.58)
Como o vector de onda é nulo tem-se 2( ) 0 k , logo
2
2
0 0
0
1( ) [( 1) ( 1) ] 0
2un n
n
k k k (4.59)
2 2 2 2 2
0 0 0( 1) ( 1) 2( 1)( ) 0u un n n k k k k . (4.60)
De modo a ter uma equação sem depender de uk , sabe-se que:
2 2 2
2 2
2 2
2
1 1 1( ) ( ) ( )
1 1 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]
1 2 [ ( ) ( ) ( ) ] ( )
2 ( )
uc c c
c c
c c
c
k k uk u u k u u k u k u
k u u u k u k u u u k u
k u u u k u u u k u k u k
u k u k
ur
(4.61)
2 1 1 2
2 2
2 2
( ) ( )
2 2( ) ( )
u
uc c
k u k u u k u k
k k k u k u k u k k. (4.62)
Logo, fazer 2( ) 0 k corresponde a:
2 2 2 2
02
1( ) 0 ( 1) ( ) 0.n
c k k u k (4.63)
68
Note-se que esta equação aplica-se a uma onda plana monocromática no espaço-tempo
de Minkowski equivalente, isto é, quando se faz a redução à forma do vácuo.
No referencial de laboratório u e k podem ser vistos como:
2 2 2
00
22 2 2 2
0 0 0
(1 ) ( ).
( ) ( ) 1
k nc
k n c k n
ku e
k e u k (4.64)
Sendo
2 2
0
( , )
( 1)
n
n
, (4.65)
e como cosn n temos
2 2 2cos 1 2 cos (1 ) 0.n n (4.66)
Resolvendo a equação em ordem ao índice de refracção do meio no referencial do
laboratório, n , as duas soluções obtidas são
2 2
2 2
cos 1 (1 cos ).
cos 1n
(4.67)
Um caso particular é ter 0 , acontece quando no referencial de laboratório a
velocidade do meio em análise em relação ao laboratório é nula, pelo que, o índice de
refracção efectivo do meio no referencial de laboratório é igual ao índice de refracção
do meio no seu referencial próprio, ou seja, 0nn . Para que isso aconteça é necessário
escolher a parte negativa da raiz, logo
2 2
2 2
1 (1 cos ) cos( ) .
1 cosn
(4.68)
Mais uma vez, para simplificar a escrita, faz-se
2 21 (1 cos )
cos
a
b
, (4.69)
69
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
1
( ) 1
a b
n
. (4.70)
A velocidade de fase normalizada sendo o seu vector relativo correspondente
00 sn
cs
k
wv p
, onde 2
0( ) 1s , é então dada por
2 2( ) 1 (1 cos ) cos
1
pv
c
. (4.71)
É importante analisar 4 casos distintos:
i. 0
( ) 10
pv
c n
.Verifica-se a situação estacionária, como seria de esperar.
Figura 4.2 – Velocidade de fase normalizada para 0 4, 0.n
ii. ( )
1 cospv
c
. Neste caso e no anterior as suas representações em
função de resultam em duas esferas.
70
Figura 4.3 – Velocidade de fase normalizada para 0 4, 1.n
iii. 2 2
0 0
2
0 0
( ) sin cos1
1
pv n n
n c n
. Aqui a velocidade do meio, em
relação ao laboratório, tem o mesmo valor que a velocidade de fase da onda no
seu referencial próprio do meio, 0n
cv p .
Figura 4.4 – Velocidade de fase normalizada para 0
0
14, .n
n
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
71
Um quarto caso também importante acontece quando a velocidade vista do referencial
de laboratório é superior à velocidade de fase da onda no referencial próprio do meio,
0
1
n , entra-se na chamada zona de Cerenkov, onde passa a existir uma superfície de
velocidade dupla que se auto-intersecta na origem.
Figura 4.5 – Velocidade de fase normalizada para 0
10.75 .
n
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
72
4.4 Conclusões
A escrita das equações de Maxwell com recurso à álgebra geométrica foi mostrada neste
capítulo. Vimos, em 3C , as quatro equações de Maxwell-Boffi serem reescritas como
uma única graças à soma graduada característica da álgebra geométrica. Já no espaço-
tempo de Minkowski definiram-se dois novos bivectores não relativos, F e G, que
possibilitaram a escrita das equações em apenas duas e no vácuo a apenas uma. Como F
e G são não relativos tornam-se independentes do observador, isto é, diferentes
observadores vêem os mesmos bivectores. No estudo dos meios em movimento para um
meio isotrópico demonstrou-se a relação constitutiva desse meio, onde se concluiu que é
a mesma independentemente do observador, ou seja, um meio em movimento é visto
pela mesma relação constitutiva. No que diz respeito à decomposição nos seus
bivectores relativos, um meio isotrópico simples no seu referencial próprio é visto como
um meio bianisotrópico no referencial de laboratório. Este facto torna os cálculos
complexos mas, mais uma vez, a álgebra geométrica permitiu apresentar uma solução: a
redução à forma do vácuo. Esta ferramenta reduziu a relação constitutiva do meio
isotrópico a uma análoga à do vácuo e, por conseguinte, as equações de Maxwell
apresentam-se como uma única equação. Ficou, neste capítulo, mostrado uma forte
contribuição da álgebra geométrica para a clarificação do estudo do electromagnetismo
no contexto da óptica relativista.
73
Capítulo 5
Conclusões
Neste quinto e último capítulo apresentam-se as conclusões essenciais desta dissertação
de mestrado, juntando as conclusões dos capítulos dois, três e quatro.
74
Nos três capítulos centrais da dissertação foi possível compreender as bases da álgebra
geométrica, assim como perceber que existem vantagens em aplicar esta ferramenta
matemática ao estudo do electromagnetismo. Vimos que, com a relatividade restrita de
Einstein a relação entre a mecânica e o electromagnetismo é clarificada, e que a
ferramenta indicada para esse estudo é a álgebra do espaço-tempo de Minkowski.
No segundo capítulo concluiu-se que, o produto geométrico ou de Clifford é o produto
entre vectores que define a álgebra geométrica. Este produto define-se de modo a que
2 2| | r r , generalizando-se como o resultado da soma do produto interno com um novo
produto, o produto exterior ou de Grassmann, tal que ab a b a b . Devido à sua
propriedade não comutativa surge um novo objecto geométrico, o bivector, que é um
segmento de plano orientado.
Quanto ao produto exterior concluiu-se que é diferente do produto externo e apenas
pode ser relacionado com ele em 3. Este produto goza da propriedade associativa e
anti-simétrica. O resultado da aplicação do produto externo entre dois vectores resulta
num segmento de plano orientado, o bivector. No caso de se realizar entre três vectores,
resulta num volume orientado, o trivector. É importante notar que ao contrário do
produto exterior e do produto interno o produto geométrico é invertível.
A análise da estrutura algébrica do espaço permitiu perceber que esta é composta por
uma soma graduada, ou directa, de escalares, com vectores, com bivectores e com
trivectores, sendo a sua dimensão igual a 8. A sua estrutura permitiu dividir a álgebra
em parte par e parte ímpar, sendo a parte par composta pelos escalares e bivectores e a
parte ímpar composta por vectores e trivectores. Dentro da parte par concluiu-se que
existem elementos tais que 1uu . Estes elementos formam o chamado grupo de
3spin(3) { : 1}C R R e permitem realizar rotações espaciais. É importante reter
que a aplicação de um rotor a um dado vector a,
ˆ, exp( )2
R R R
a b a B ,
origina um novo vector ˆexp( ) b B a a , concluindo-se que acontece uma
rotação no plano do bivector B da componente paralela de a, sendo que a
componente perpendicular se mantém.
Por fim verificou-se que, a operação contracção entre dois elementos origina um novo
elemento cujo grau resulta da diferença entre os dois elementos iniciais.
75
Compreendidas as bases essenciais para lidar com esta ferramenta o terceiro capítulo vai
um pouco mais além. Este capítulo veio fazer a ponte entre o espaço tridimensional e o
espaço a quadrimensional, espaço este, próprio para o estudo da relatividade restrita de
Einstein.
Começou-se por verificar que no espaço-tempo de Minkowski da relatividade restrita a
métrica euclidiana não é válida. Dados os problemas físicos que ela comporta, como
não estabelecer um limite máximo de velocidade para a propagação de sinais, foi
necessário definir uma nova métrica. Concluiu-se que as métricas de Lorentz semi-
definidas eram aceitáveis. Por convenção usa-se a semi-definida negativa – 1,3C . A
esta métrica associam-se quatro vectores de base, 0 1 2 3{ , , , } e e e e , que ao contrário
da métrica euclidiana não quadram todos positivamente: 2 2 2 2
0 1 2 31; 1 e e e e .
Percebemos que os escalares, vectores, bivectores, trivectores e quadrivectores são os
subespaços que caracterizam esta álgebra do espaço-tempo e que a sua dimensão é 16.
Um acontecimento é descrito como 0(c )t r r e , onde
2 2 2 2c | |t r r . Deste modo,
concluiu-se que os vectores podem ser descritos por uma parametrização hiperbólica e
que se classificam como vectores parabólicos ou do tipo luz, 2 0r , hiperbólicos ou do
tipo tempo, 2 0r e elípticos ou do tipo espaço, 2 0r . Neste espaço também vimos
que os bivectores, F, podem ser, ou não, simples. Dentro dos simples, classificam-se
como parabólicos, 2 0F , hiperbólicos, 2 0F e elípticos, 2 0F , estes dois últimos
permitem gerar rotações e boosts, respectivamente. O grupo responsável pelos rotores
designa-se de 1,3Spin (1, 3) { : 1}u C u u
.
O operador boost ou transformação de Lorentz activa tem um papel preponderante na
álgebra de Minkowski. Para começar viu-se o caso geral da aplicação de um boost,
10exp( ) e , sobre um vector unitário com ângulo e concluiu-se que o novo vector
mantém-se unitário, agora com um novo ângulo onde 0
1
v tan tanhζtan
v 1 tanhζ tan
.
Ao particularizar a aplicação do boost para 0 e 2 obteve-se a transformação
0 1 0 1, ,e e f f . Até aqui construiu-se um conjunto de ferramentas eficazes para o
estudo de fenómenos físicos com recurso à álgebra do espaço-tempo. Com elas, ainda
76
neste capítulo, foi possível perceber que dados dois referenciais, S e S , estes podem
relacionar-se, pela sua interpretação passiva como
c (c ) c (c )
(c ) (c )
t γ t β x t γ t β x
x γ x β t x γ x β t
.
Estas transformações permitiram-nos chegar ao conhecido Diagrama de Minkowski.
Neste diagrama interpretou-se, facilmente, que o conceito de simultaneidade é relativo,
isto é, depende do observador. E que os dois eixos dum referencial só são
perpendiculares entre si caso a sua velocidade, , for nula.
Também com recurso ao diagrama de Minkowski concluiu-se que o tempo e o espaço
não são invariantes. O espaço contrai, 0L L e o tempo dilata,
0T T . Por fim,
aplicamos esta álgebra geométrica a um conceito conhecido da óptica relativista,
nomeadamente, o efeito Doppler relativista, onde se concluiu que a relação de
frequências entre um emissor e um receptor colocados em referenciais diferentes se
obtém aplicando uma rotação simples, U, seguida de um boost, L e é dada por
2
1 cos(1 cos )
1
r
e
. Como caso particular, quando 0 temos o
conhecido efeito Doppler longitudinal: 1
1
r
e
.
No quarto capítulo fez-se a aplicação da álgebra geométrica ao estudo equações de
Maxwell, e por conseguinte, ao estudo dos meios em movimento na óptica relativista.
Aqui, a álgebra geométrica veio trazer vantagens, pois, permite clarificar e uniformizar
os conceitos tanto no espaço tridimensional como no espaço a quatro dimensões. Essas
vantagens reflectem-se, essencialmente, no estudo da relatividade restrita aplicada ao
electromagnetismo, como é o caso dos meios em movimento, onde, a álgebra do
espaço-tempo encaixa perfeitamente.
O estudo das equações de Maxwell-Boffi mostrou-nos uma perspectiva reducionista do
electromagnetismo. Esta perspectiva ignora os campos D e H, ou seja, apenas considera
a existência do vácuo, ignorando a existência de outros meios materiais. A sua escrita
com a álgebra geométrica do espaço origina quatro equações, cada uma com um grau
77
distinto entre zero e três. Devido à estrutura graduada desta álgebra vimos que essas
quatro equações podem agregar-se numa só:123 0
1 1 1.t t
c t c c
E Be J
A álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski serve de ferramenta unificadora
da matemática pois, ao contrário da álgebra baseada no produto externo de Gibbs, não
separa o tempo do espaço. Com a álgebra do espaço-tempo foi possível reescrever as
equações de Maxwell e torná-las mais gerais. Definiu-se o bivector de Faraday ou da
intensidade electromagnética, (1/ )c F E IB , e o bivector de Maxwell ou da
excitação electromagnética, (1/ )c G D I H . Estes dois, são os bivectores
fundamentais do campo electromagnético. Deste modo, reduziu-se as equações de
Maxwell a apenas duas: a equação homogénea, 0 F , e a equação não-homogénea,
G J . A equação homogénea expressa a conservação do fluxo magnético, enquanto
a não-homogénea expressa a conservação das cargas eléctricas. No caso particular do
vácuo foi simples relacionar-se os bivectores F e G através da relação constitutiva do
vácuo em 1,3C :
0(1/ )G F . Vimos também que os bivectores F e G não são
bivectores relativos, ou seja, estes representam o campo electromagnético de forma
independente do observador considerado.
Um ponto importante deste capítulo foi o estudo dos meios em movimento na óptica
relativista, onde a utilização da álgebra geométrica teve um papel importante na sua
simplificação. No caso de um meio isotrópico simples concluiu-se que, a relação
constitutiva entre os bivectores do campo electromagnetico é dada pela forma invariante
da relação constitutiva:
(1/ ) exp( ) G Fvr . Esta relação é a mesma vista do
referencial próprio do meio ou do referencial de laboratório, devido aos bivectores de
Faraday e Maxwell não serem relativos, apenas a velocidade no referencial de
laboratório é vista como 0( )c v v f , resultado de uma transformação passiva de
Lorentz e de um boost.
Concluiu-se que a redução à forma do vácuo permite reescrever a forma invariante da
relação constitutiva para um meio isotrópico como se estivéssemos no vácuo:
(1/ )G' F' , deste modo, evitamos os cálculos complexos da linguagem tensorial.
Esta transformação altera o espaço-tempo de Minkowski original, pelo que, foi
necessário rever as equações de Maxwell. Reescreveu-se, de novo, as equações de
78
Maxwell como: ' ' 0 F e
' ' ' G J . Atendendo à nova relação constitutiva entre
' ' e F G essas equações reduzem-se a apenas uma: ' ' ' F J .
Por fim, particularizou-se o estudo da equação de Maxwell para um meio isotrópico
com ausência de fontes do campo: ' ' 0 F . Obteve-se para uma onda plana e
monocromática que, a solução do campo corresponde a um vector de onda nulo, isto é,
2( ) 0 k . Por manipulação algébrica concluiu-se: o referencial de laboratório é visto
com um índice de refracção efectivo do meio 2 2
2 2
1 (1 cos ) cos( )
1 cosn
e com uma velocidade de fase normalizada dada por
2 2( ) 1 (1 cos ) cos
1
pv
c
.
De um modo geral esta dissertação permitiu, para o autor, aprofundar o estudo
inicializado na cadeira de Fotónica sobre esta nova forma de encarar os problemas
físicos. O estudo realizado possibilitou compreender a álgebra geométrica desde a sua
génese e mostrar que esta ferramenta leva a conclusões úteis, ajudando a clarificar os
conceitos do electromagnetismo.
Com os resultados obtidos nesta dissertação é possível afirmar que a álgebra geométrica
está a dar um passo importante para os desenvolvimentos científicos. A forma como foi
possível demonstrar problemas da óptica relativista foi bastante clara. Além disso, a
álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski usando a métrica de Lorentz trata o
problema dos meios em movimento na óptica relativista com uma simplicidade notória.
O estudo de aspectos ligados ao electromagnetismo não deve descartar as abordagens
mais tradicionais, contudo a abordagem feita pela álgebra geométrica confere uma
análise mais elegante e clara. Deste modo é possível ter uma perspectiva mais focada
sobre os problemas físicos propriamente ditos e menos sobre os cálculos matemáticos, e
como tal, a álgebra geométrica é a ferramenta indicada para lidar com problemas como
os estudados nesta dissertação.
79
Como perspectivas de trabalho futuro alguns são os caminhos que se podem seguir:
A continuação do estudo de fenómenos da óptica relativista com álgebra
geométrica, nomeadamente, a aberração e o estudo do efeito Doppler com a
rotação de Thomas;
Utilização da álgebra geométrica no estudo dos meios em movimento para
meios não isotrópicos.
Estes dois assuntos estão directamente relacionados com os que foram tratados nesta
dissertação, além disso, a aplicação da álgebra geométrica a outras questões do
electromagnetismo e propagação são, com certeza, objectos de estudo que trarão
conclusões importantes.
80
Referências
1. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Clifford_William_Kingdon.jpg, 6/07/2009.
2. David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics, Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers, 2nd ed., 1999;
3. Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists,
Cambridge: Cambridge University press, 2003.
4. Leo Dorst, Daniel Fontijne and Stephen Mann, Geometric Algebra for Computer
Science – An Object-oriented Approach to Geometry, San Francisco, CA:
Morgan Kaufmann/Elsevier, 2007.
5. Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge: Cambridge
University Press, 2nd ed., 2001.
6. Sérgio A. Matos, Marco A. Ribeiro and Carlos R. Paiva, “Anisotropy without
tensors: a novel approach using geometric algebra,” Opt. Express, Vol. 15, No.
23, 155175-15186, 2007.
7. Carlos R. Paiva, “Aspectos Geométricos do Electromagnetismo,” Departamento
de Engenharia Electrotécnica e de Computadores, Instituto Superior Técnico,
2008.
8. Carlos R. Paiva and Marco A. Ribeiro, “Generalized relativistic velocity
addition with spacetime algebra,” at
http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0511/0511247.pdf.
9. Carlos R. Paiva, “Passive Lorentz transformations with spacetime algebra,” at
http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0508/0508225.pdf.
10. Carlos R. Paiva and Marco. A. Ribeiro, “Doppler shift from a composition of
boosts with Thomas rotation: A spacetime algebra approach,” J. Electromagn.
Waves Appl. 20, 941-953, 2006.
11. Marco A. Ribeiro and Carlos. R. Paiva, “Relativistic optics in moving media
with spacetime algebra,” 2009.(In press)
12. Hamm C. Chen, Theory of Electromagnetic Waves – A Coordinate-free
Approach, McGraw-Hill, Singapore, 1985.
13. Jean Hladik et Michel Chrysos, Introduction à la Relativité Restreinte, Paris:
Dunod, 2001.
14. Wolfgang Rindler, Introduction to special relativity, Oxford: Oxford University
Press, 2nd ed., 1991.
15. David K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics, Reading, MA: Addison-
Wesley, 2nd ed., 1989.
16. John David Jackson, Classical Electrodynamics, New York: Wiley, 3rd ed.,
1999.
17. Friedrich W. Hehl and Yuri N. Obukov, Foundations of Classical
Electrodynamics: Charge, Flux, and Metric, Boston: Birkhauser, 2003.
81
Apêndice A
Factor “k” de Bondi
O estudo efectuado por Herman Bondi permite demonstrar aspectos como a dilatação do
tempo, efeito Doppler longitudinal, adição de velocidades e transformação de Lorentz
usando uma interpretação exclusivamente geométrica. Os resultados obtidos são
coincidentes com os obtidos com a álgebra geométrica.
82
A.1 – Dilatação do tempo
Para começar vamos considerar dois referenciais, S e S . Do referencial S é emitido um
sinal electromagnético em A, que chega ao referencial S no ponto D, este sinal é
reflectido e volta de novo ao referencial S no ponto B. Os dois referenciais têm uma
velocidade relativa v .
Figura A.1 – Esquema de emissão de um sinal de radar reflectido em S .
Sendo o sinal emitido um sinal electromagnético a sua velocidade de propagação é c.
Podemos afirmar que CA CB e que AD DB , onde estes últimos segmentos têm
uma inclinação de 45º. Como 0T Ta é admissível considerar que existe um factor de
conversão, k , que os relaciona. Este factor vai depender da velocidade relativa, , de
S em relação a S e de acordo com o principio da relatividade é o mesmo quando se
passa de S para S , pelo que
0
0
a
b
T k T
T k T
(A.1)
2 .b aT k T (A.2)
Por um lado, T é dado por
21 1 1( ) ( ) ( 1)
2 2 2a b a b a aT T T T T T T k . (A.3)
e como
CD CB CA T (A.4)
83
2( ) 2b a a aT T T T T T (A.5)
1
2 ( )2
b a a bT T T T (A.6)
1
.1
b aT T
(A.7)
Conclui-se, por comparação da equação (A.2) com (A.7), que
Factor de 1
.Bondi 1
k
(A.8)
Estes resultados sugerem, de imediato, o conceito de dilatação do tempo. Como
0 aT k T e 21( 1)
2aT T k , relaciona-se facilmente T e 0T :
0
02
Dilatação do.
tempo 1
TT T
(A.9)
A.2 – Transformação de Lorentz passiva
Neste caso considera-se a emissão no referencial S de um sinal electromagnético que
parte do ponto A no instante 1T , passa no referencial S no ponto M e instante 1T , é
reflectido no ponto P e volta a cruzar o eixo ct no ponto N e instante 2T e por fim volta
ao referencial S no ponto B e instante 2T . Ao ponto intermédio entre M e N designa-se
de S.
Figura A.2 – Esquema de emissão de um sinal de radar reflectido em P.
84
Com a ajuda da figura A.2 interpretamos as coordenadas do ponto de reflexão P visto
do referencial S e S :
1 2 1 2 1
2 1
1 1( ) ( )
2 2( , )
1( )
2
c t OC OA AC cT c T T c T T
S P ct x
x CP AC c T T
(A.10)
1 2 1 2 1
2 1
1 1( ) ( )
2 2( , )
1( )
2
c t OM MS cT c T T c T T
S P c t x
x SP MS c T T
(A.11)
De (A.1) sabe-se que
1 1
2 2
T k T
T k T
. (A.12)
Por outro lado temos
2 2
1 1
xc t x cT T t
c
xc t x cT T t
c
. (A.13)
Substituindo (A.13) em (A.12) conclui-se que
1 1 1 1
2 2.
1 1 1 1
2 2
c t k c t k xk k
x k x k c tk k
(A.14)
Como
2
2
1 12
1
1 22
1
kk
kk
, (A.15)
85
Pode escrever-se, tal como deduzido com álgebra geométrica, a transformação de
Lorentz passiva:
( )
( )
c t c t x
x x c t
. (A.16)
A.3 – Efeito Doppler longitudinal
Considera-se que são enviados sinais electromagnéticos espaçados de T no referencial
S. Como estes têm velocidade c, fazem ângulos de 45º.
Figura A.3 – Esquema de emissão de um sinal em intervalos de tempo T.
Com o factor k de Bondi pode escrever-se:
T k T . (A.17)
Sendo a frequência angular
2 2
;w wT T
. (A.18)
De (A.17) e (A.18) conclui-se que
2 2 w
wT k T k
(A.19)
Efeito Doppler 1
.longitudinal 1
w w
(A.20)
86
Mais uma vez a análise feita por esta perspectiva geométrica vai de encontro aos
resultados obtidos na álgebra geométrica, no entanto, apenas se aplica ao caso
longitudinal. Como vimos em 3.4, com a álgebra geométrica não existe essa limitação.
A.4 – Adição de velocidades
Outro aspecto passível de demonstrar com o estudo feito por Bondi é a adição de
velocidades.
Figura A.4 – Esquema de emissão de um sinal em intervalos de tempo T.
A figura representa a emissão de um sinal electromagnético no referencial S. A emissão
desse sinal faz-se com intervalos de tempo T nesse referencial. Os sinais emitidos vão
cruzar dois referencias, 1 2 e S S , onde são vistos com intervalos de tempo 1 2 e T T . A
velocidade relativa de 1S face a S é 1 . A velocidade relativa de 2S face a 1S é 2 .
Ao utilizar o factor k de Bondi escreve-se:
1
1 1
1
1, onde
1T k T k
(A.21)
2
2 2 1 1
2
1
1T k T T
. (A.22)
Então
2 1 2 1 2T kT k k T k k k . (A.23)
87
Por conseguinte temos
1 2
1 2
1 2
1 11
1 1 1k k k
(A.24)
1 2
1 2
Adição de.
velocidades 1
(A.25)
Todos estes resultados obtidos sob uma perspectiva unicamente geométrica conduzem
aos mesmos resultados da álgebra geométrica. Deste modo, consolida-se a veracidade
da álgebra do espaço-tempo.
88
89
Apêndice B
Paradoxo dos gémeos
90
O paradoxo dos gémeos surge em 1911 e foi durante algumas décadas um caso
inexplicável. Está relacionado com a dilatação do tempo. Considere-se dois gémeos em
solo terrestre, onde um dos gémeos resolve fazer uma viagem pelo espaço com uma
nave que se desloca a uma velocidade constante próxima da velocidade da luz. O
percurso feito pelo gémeo terrestre é dado pela linha do universo ABC , enquanto o
gémeo astronauta descreve a linha ADC . A questão que se coloca é, qual a idade dos
gémeos quando estes se voltam a encontrar em solo terrestre, ponto C.
Figura B.1 – Esquema do diagrama de Minkowski para o paradoxo dos gémeos.
A dilatação do tempo provoca uma quebra de simultaneidade e faz com que o gémeo
terrestre esteja mais velho que o gémeo astronauta, embora cada um deles tenha vivido
normalmente. Para ver a dilatação do tempo até ao ponto D basta escrever
2 2 2 2 2
0 0 0 .c t c t x (B.1)
E como 0 0x vt temos
2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 2(1 )
vc t c t v t c t
c (B.2)
0
0 02
.1
tt t
(B.3)
Conclui-se, do ponto de vista de S, que 0t é maior que 0t , logo o gémeo terrestre
encontra-se com mais idade que o gémeo astronauta no ponto D. Então mas para voltar
ao ponto C o gémeo astronauta vai viajar com uma velocidade simétrica à inicial o que
91
faria com que no encontro eles tivessem a mesma idade. Isso não acontece, o gémeo
terrestre é de facto mais velho. Embora o gémeo astronauta se desloque com velocidade
contrária, é necessário ter em conta que houve uma mudança de referencial no ponto D,
passou de S para um outro referencial, S , dada esta mudança de referencial a
reciprocidade deixa de ser válida e por isso o gémeo terrestre é mais velho.
O estudo deste caso nestes moldes tem sentido físico, pois, para passar de uma
velocidade constante positiva para uma velocidade constante negativa implica ter uma
aceleração infinita, pelo que, o gémeo iria morrer.
Ao problema anterior adicione-se a emissão de sinais entre os observadores, A e B. O
observador B fica em terra e o observador A viaja numa nave com velocidade v c e
ao fim de algum tempo inverte o sentido voltando para a terra. Eles enviam um ao outro
sinais electromagnéticos uniformemente espaçados no seu tempo próprio, a frequência
dessa emissão é f. Ao usar o efeito Doppler vai-se determinar o tempo que dura a
viagem para cada observador.
Figura B.2 – Esquema representativo da linha do universo do observador A e B.
92
Do ponto de vista do observador B a viagem efectuada por A até uma distância L
demorou 2 /T L v . Para o observador B a viagem durou um total de T, logo enviou
para A um total de ( )eN sinais:
( ) 2
2
e f LN f T . (B.1)
O observador B detecta a inversão de marcha de A ao fim do tempo 1t . Este tempo
corresponde ao tempo que A demora a percorrer a distância L mais o tempo que o sinal
demora a chegar a B:
1 (1 ) .
L L Lt
v c v (B.2)
Deste modo, na viagem de ida o observador B recebe 1 1f t sinais. Onde 1f é a frequência
de emissão de A vista do observador B. Do efeito Doppler relativista temos que
1
1.
1f f
(B.3)
Logo, o observador B recebe
2
1 1
1(1 ) 1
1
f L f Lf t
v v
. (B.4)
No que diz respeito à viagem de volta, o tempo 2t visto por B é
2 (1 ) .
L L Lt
v c v (B.5)
Então, na viagem de volta, o observador B recebe
2
2 2
1(1 ) 1 .
1
L f Lf t f
v v
(B.6)
O número total de sinais recebido por B é
( ) 2
1 1 2 2
2 21 .r f L f L
N f t f tv v
(B.7)
O observador B como recebeu ( )rN sinais vindos de A e como sabe que a frequência
própria de A é f, conclui que a viagem de A do ponto de vista de A durou
( )
1 1 2 2
0
2.
r f t f tN L TT
f f v
(B.8)
93
Veja-se, agora, a viagem do ponto de vista de A. O tempo total da viagem para A é
0
2 LT
v . Durante este tempo ele envia para B um total de ( )
0
eN sinais. Tal que
( ) ( )
0 0
2.e rf L
N f T Nv
(B.9)
Este número coincide com o número de sinais recebido por B, como seria de esperar.
Para A, a inversão do movimento ocorre em 1t :
1 .
Lt
v (B.10)
De novo, pelo efeito Doppler relativista a frequência de emissão de B vista de A é dada
por 1
1
1f f
, logo, até à inversão, o número de sinais recebidos por A é
1 1
1(1 )
1
f L f Lf t
v v
. (B.11)
A viagem de volta para A dura 2 /t L v , logo, o número de sinais recebidos é
2 2
1(1 ) .
1
f L f Lf t
v v
(B.12)
Deste modo, o observador A recebe um total de sinais dado por
( ) ( )
0 1 1 2 2
2.r ef L
N f t f t Nv
(B.13)
Conclui-se que o numero de sinais emitidos por B está de acordo com o numero de
sinais recebidos por A. Do mesmo modo, o numero de sinais recebidos por B está de
acordo com o numero de sinais emitidos por A.
O observador A como recebeu ( )
0
rN sinais vindos de B e como sabe que a frequência
própria de B é f, conclui que para o observador B a viagem demorou
( )
1 1 2 20 2.
r f t f tN LT
f f v
(B.14)
Este resultado mostra que quando A e B se voltam a encontrar ambos concluíram que
para B decorreu um tempo T e para A decorreu um tempo 0 /T T . Também se
verificou que o número de sinais recebidos por A coincide com o número de sinais
emitidos por B e vice-versa. Então pode afirmar-se, de modo ainda mais claro, que este
paradoxo não existe. A dilatação do tempo é um efeito recíproco, mas, mais uma vez o
94
viajante A passa por dois referenciais distintos criando uma assimetria. Devido a essa
mudança de referenciais durante a viagem o tempo real vivido por A e B é diferente.
95
Apêndice C
96
Apêndice C1
As figuras seguintes são as representações paramétricas de uma elipse para três casos
diferentes.
Figura C1.1 – Representação paramétrica da elipse para b a e 2 1u .
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
ct
u2 = 1, b=a
97
Figura C1.2 – Representação paramétrica elipse para b a e 2 1u .
Figura C1.3 – Representação paramétrica elipse para b a e 2 1u
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
ct
u2 = 1, b>a
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
ct
u2 = 1, b<a
98
Apêndice C2
Representa-se o resultado da aplicação de uma rotação, , a um vector, u, com um
ângulo inicial 30ºu . Os valores de rotação aplicados são: (i) º180 ; (ii)
º150 ; (iii) º120 ; (iv) º90 ; (v) º60 ; (vi) º30 ; (vii) º0 ;
(viii) º30 ; (ix) º60 ; (x) º90 ; (xi) º120 ; (xii) º150 ; (xiii) º180 .
(i) 30º , 180ºu
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
99
(ii) 30º , 150ºu
(iii) 30º , 120ºu
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
100
(iv) 30º , 90ºu
(v) 30º , 60ºu
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
101
(vi) 30º , 30ºu
(vii) 30º , 0ºu
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
102
(viii) 30º , 30ºu
(ix) 30º , 60ºu
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
103
(x) 30º , 90ºu
(xi) 30º , 120ºu
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
104
(xii) 30º , 150ºu
(xiii) 30º , 180ºu
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
105
Apêndice C3
Representa-se o resultado da aplicação de um boost com intensidade, 2/1 , a um
vector, u, com um ângulo inicial: (i) º180 ; (ii) º150 ; (iii) º120 ; (iv)
º90 ; (v) º60 ; (vi) º30 ; (vii) º0 ; (viii) º30 ; (ix) º60 ; (x)
º90 ; (xi) º120 ; (xii) º150 ; (xiii) º180 .
(i) 1/ 2, 180º
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
106
(ii) 1/ 2, 150º
(iii) 1/ 2, 120º
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
107
(iv) 1/ 2, 90º
(v) 1/ 2, 60º
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.5
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
108
(vi) 1/ 2, 30º
(vii) 1/ 2, 0º
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
109
(viii) 1/ 2, 30º
(ix) 1/ 2, 60º
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.5
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
110
(x) 1/ 2, 90º
(xi) 1/ 2, 120º
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
111
(xii) 1/ 2, 150º
(xiii) 1/ 2, 180º
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
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