Prof. Dr. Evandro Rodrigo Dário, Eng.
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Mecânica dos Fluidos I
Disciplina : Mecânica dos fluidos
Aula 3: Conceitos fundamentais
Curso: Engenharia Mecânica
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Mecânica dos Fluidos I
Campo de Tensão
Cada partícula fluida pode sofrer a ação de dois tipos de forças:
• forças de superfície (pressão, atrito) que são geradas pelo contato
com outras partículas ou com superfícies sólidas;
• forças de campo (tais como forças de gravidade e eletromagnética)
que agem através das partículas.
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Campo de Tensão
A força de campo gravitacional atuando sobre um elemento de
volume, 𝑑𝑉, é dada por 𝜌 Ԧ𝑔𝑑𝑉, que é a força peso do elemento.
Forças de superfície agindo sobre uma partícula fluida geram
tensões.
O conceito de tensão é útil para descrever como é que forças, agindo
sobre as fronteiras de um meio (fluido ou sólido), são transmitidas
através do meio.
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Campo de Tensão
Quando você fica de pé sobre uma prancha de esqui, tensões são
geradas na prancha.
Quando um corpo se move através de um fluido, tensões são
desenvolvidas no fluido.
A diferença entre um fluido e um sólido, é que as tensões em um
fluido são majoritariamente geradas por movimento e não por
deflexão.
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Imagine a superfície de uma partícula fluida em contato com outras
partículas fluidas e considere a força de contato sendo gerada entre
as partículas.
Campo de Tensão
Considere uma porção, 𝜹𝑨 , da
superfície em um ponto qualquer C.
A orientação de 𝜹𝑨 é dada pelo vetor
unitário, ෝ𝒏 , mostrado na figura ao
lado. O vetor ෝ𝒏 é normal à superfície da
partícula apontando para fora dela.
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A força, 𝜹𝑭 , agindo sobre 𝜹𝑨, pode ser decomposta em duas
componentes, uma normal e a outra tangente à área.
Uma tensão normal 𝝈𝒏 e uma tensão de cisalhamento 𝝉𝒏 são então
definidas como:
Campo de Tensão
𝜎𝑛 = lim𝛿𝐴𝑛→ 0
𝛿𝐹𝑛𝛿𝐴𝑛
𝜏𝑛 = lim𝛿𝐴𝑛→ 0
𝛿𝐹𝑡𝛿𝐴𝑛
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Em coordenadas retangulares, podemos considerar as tensões
atuando em planos cujas normais orientadas para fora estão nas
direções dos eixos x, y ou z.
Campo de Tensão
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Dividindo o módulo de cada componente da força pela área, 𝛿𝐴𝑥, e
tomando o limite quando 𝛿𝐴𝑥 se aproxima de zero, definimos as três
componentes da tensão mostradas na figura abaixo:
Campo de Tensão
𝜎𝑥𝑥 = lim𝛿𝐴𝑥→ 0
𝛿𝐹𝑥𝛿𝐴𝑥
𝜏𝑥𝑦 = lim𝛿𝐴𝑥→ 0
𝛿𝐹𝑦
𝛿𝐴𝑥𝜏𝑥𝑧 = lim
𝛿𝐴𝑥→ 0
𝛿𝐹𝑧𝛿𝐴𝑥
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Usamos uma notação com índice duplo para designar as tensões:
• O primeiro índice (neste caso, x) indica o plano no qual a tensão
atua (neste caso, a superfície perpendicular ao eixo x).
• O segundo índice indica a direção na qual a tensão atua.
Campo de Tensão
Considerando agora a área elementar 𝛿𝐴𝑦, definiremos as tensões
𝜎𝑦𝑦, 𝜏𝑦𝑥 e 𝜏𝑦𝑧 ; a utilização da área elementar 𝛿𝐴𝑧, levaria, de
modo semelhante, à definição de 𝜎𝑧𝑧, 𝜏𝑧𝑥 e 𝜏𝑧𝑦.
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O estado de tensão em um ponto pode ser completamente descrito
pela especificação das tensões atuantes em três planos quaisquer
ortogonais entre si que passam pelo ponto.
A tensão em um ponto é especificada então pelas nove
componentes.
Campo de Tensão
𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧
Onde 𝜎 foi usado para denotar uma tensão normal, e 𝜏 para denotaruma tensão cisalhante.
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Há seis planos (dois planos x, dois planos y e dois planos z), nos quais
as tensões podem atuar.
Campo de Tensão
Os planos são nomeados e
denotados como positivos ou
negativos de acordo com o sentido
da sua normal. Dessa forma, o
plano superior, por exemplo, é um
plano y positivo, o posterior é um
plano y negativo.
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Viscosidade
Qual a origem das tensões?
Para um sólido, as tensões são desenvolvidas quando um material é
deformado ou cisalhado elasticamente;
Para um fluido, as tensões de cisalhamento aparecem devido ao
escoamento viscoso.
Desse modo, dizemos que os sólidos são elásticos e os fluidos são
viscosos.
Para um fluido em repouso, não existirá tensão de cisalhamento.
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Viscosidade
Considere o comportamento de um elemento fluido entre duas placas
infinitas conforme mostrado abaixo.
O elemento fluido retangular está inicialmente em repouso no tempo t.
Consideremos que uma força constante para a direita 𝛿𝐹𝑥 seja aplicada à placa
de modo que ela é arrastada através do fluido a velocidade constante δu.
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Viscosidade
A ação de cisalhamento relativo da placa infinita produz uma tensão de
cisalhamento, 𝝉𝒚𝒙, aplicada ao elemento fluido que é dada por:
Imagens instantâneas do elemento fluido, ilustram a deformação do
elemento fluido da posição MNOP no tempo t, para a posição M′NOP′ no
tempo t + δt, e para M″NOP″ no tempo t + 2δt, devido à tensão de
cisalhamento imposta.
𝜏𝑦𝑥 = lim𝛿𝐴𝑦→ 0
𝛿𝐹𝑥𝛿𝐴𝑦
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Viscosidade
Durante o intervalo de tempo 𝜹𝒕, a taxa de deformação do fluido é dada
por:
Desejamos expressar Τ𝒅𝜶 𝒅𝒕 em função de quantidades prontamente
mensuráveis. A distância 𝜹𝒍, entre os pontos M e M′, é dada por:
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 = lim𝛿𝑡→ 0
𝛿𝛼
𝛿𝑡
𝛿𝑙 = 𝛿𝑢 𝛿𝑡
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Viscosidade
Alternativamente, para pequenos ângulos temos:
Igualando essas duas expressões para 𝛿𝑙, obteremos:
𝛿𝑙 = 𝛿𝑦 𝛿𝛼
𝛿𝛼
𝛿𝑡=𝛿𝑢
𝛿𝑦
Tomando os limites de ambos os lados da igualdade, obteremos:
𝑑𝛼
𝑑𝑡=𝑑𝑢
𝑑𝑦
Os fluidos para os quais a tensão de cisalhamento é diretamente
proporcional à taxa de deformação são fluidos newtonianos
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Viscosidade
Alternativamente, para pequenos ângulos temos:
Igualando essas duas expressões para 𝛿𝑙, obteremos:
𝛿𝑙 = 𝛿𝑦 𝛿𝛼
𝛿𝛼
𝛿𝑡=𝛿𝑢
𝛿𝑦Tomando os limites de ambos os lados da igualdade, obteremos:
𝑑𝛼
𝑑𝑡=𝑑𝑢
𝑑𝑦
Dessa forma, o elemento fluido, quando submetido à tensão de cisalhamento,
𝜏𝑦𝑥 , experimenta uma taxa de deformação dada por 𝑑𝑢/𝑑𝑦.
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Viscosidade
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Fluidos Newtonianos
Os fluidos para os quais a tensão de cisalhamento é diretamente
proporcional à taxa de deformação são fluidos newtonianos.
A expressão não newtoniano é empregada para classificar todos os
fluidos em que a tensão cisalhante não é diretamente proporcional
à taxa de deformação.
Os fluidos mais comuns (aqueles discutidos neste texto), tais como
água, ar e gasolina, são newtonianos em condições normais.
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Fluidos Newtonianos
Alguns fluidos resistem mais ao movimento que outros. Ou seja,
possuem viscosidades diferentes.
A constante de proporcionalidade na equação anterior é a
viscosidade absoluta (ou dinâmica), μ.
Desse modo, em termos das coordenadas para o exemplo
abordados, a lei de Newton da viscosidade para o escoamento
unidimensional é dada por:
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Fluidos não NewtonianosSão os fluidos para os quais a tensão de cisalhamento não é diretamente
proporcional à taxa de deformação. Dois exemplos familiares são pasta
dental e tinta Lucite
Os fluidos em que a viscosidade aparente decresce
conforme a taxa de deformação cresce (n < 1) são
chamados de fluidos pseudoplásticos (tornam-se
mais finos quando sujeitos a tensões cisalhantes).
Se a viscosidade aparente cresce conforme a taxa de
deformação cresce (n > 1), o fluido é chamado
dilatante.
Um “fluido” que se comporta como um sólido até
que uma tensão limítrofe, 𝜏𝑦 , seja excedida e,
subsequentemente, exibe uma relação linear entre
tensão de cisalhamento e taxa de deformação é
denominado plástico de Bingham ou plástico ideal.
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Tensão Superficial
Sempre que um líquido está em contato com outros líquidos ou gases, ou
com uma superfície gás/sólido, uma interface se desenvolve agindo como
uma membrana elástica esticada e criando tensão superficial.
Esta membrana exibe duas características: o ângulo de contato 𝜽 e o
módulo da tensão superficial 𝝈 (N/m).
Ambas dependem do tipo de líquido e do tipo da superfície sólida (ou do
outro líquido ou gás) com a qual ele compartilha uma interface.
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Tensão Superficial
O efeito provavelmente mais importante da tensão superficial é a criação
de um menisco curvo nos tubos de leitura de manômetros ou barômetros,
causando a (normalmente indesejável) ascensão (ou depressão) capilar.
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Descrição e Classificação dos Movimentos de Fluido
Os dois aspectos da mecânica dos fluidos mais difíceis de tratar são: (1) a
natureza viscosa dos fluidos e, (2) sua compressibilidade.
A maioria dos engenheiros subdivide a mecânica dos fluidos em termos da
presença ou não dos efeitos viscosos e de compressibilidade.
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Escoamentos Viscosos ou não Viscosos
Quando se joga uma bola para o ar (como no jogo de beisebol, futebol ou
em qualquer outro esporte), além do efeito da gravidade, a bola
experimenta também o arrasto aerodinâmico do ar.
A questão que surge é: qual é a natureza da força de arrasto do ar sobre a
bola?
Podemos estimar se as forças viscosas são ou não desprezíveis em
comparação com as forças de pressão pelo simples cálculo do número de
Reynolds.
O seu significado físico é um quociente entre as forças de inércia e
as forças de viscosidade.
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Escoamentos Viscosos ou não Viscosos
Escoamento laminar e Turbulento
• Um escoamento laminar é aquele em que as partículas fluidas movem-se
em camadas lisas, ou lâminas;
• Um escoamento turbulento é aquele em que as partículas fluidas
rapidamente se misturam enquanto se movimentam ao longo do escoamento
devido a flutuações aleatórias no campo tridimensional de velocidades.
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Escoamentos Compressíveis e Incompressíveis
Escoamentos nos quais as variações na massa específica são
desprezíveis denominam-se incompressíveis;
Quando as variações de massa específica não são desprezíveis, o
escoamento é denominado compressível.
O exemplo mais comum de escoamento compressível é o escoamento
de gases, enquanto o escoamento de líquidos pode, geralmente, ser
tratado como incompressível.
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Escoamentos Internos e Externos
Escoamentos completamente envoltos por superfícies sólidas são
chamados de escoamentos internos ou em dutos.
Escoamentos sobre corpos imersos em um fluido não contido são
denominados escoamentos externos.
Tanto o escoamento interno quanto o externo podem ser laminares
ou turbulentos, compressíveis ou incompressíveis.
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Exercícios sugeridos:
FOX, Robert W., PRITCHARD, Philip J. McDONALD, Alan T. Introdução à
mecânica dos fluidos. 8a Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
Capítulo II:
2; 31; 42; 52; 53; 58; 63; 73.