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Em resoluo de sistemas de mltiplos graus de liberdade (MDOF - resoluo de
sistemas de equaes de movimento), sejam estes lineares ou no, os mtodos mais gerais
so os mtodos de integrao direta das equaes de movimento. Tais mtodos so no
domnio do tempo e tambm recursivos (resolvidos em sucessivos instantes de tempo).
Contudo, como em cada um desses mtodos se arbitra uma lei de deslocamento,
velocidade ou acelerao aproximativa soluo exata, tem-se a acumulao de
aproximaes em cada instante de tempo, o que pode provocar instabilidade numrica.
Naturalmente, com a reduo do passo de tempo, esse inconveniente evitado, a custo de
maior tempo de processamento.
O objeto de estudo deste trabalho so os mtodos de integrao direta das
equaes de movimento para sistemas de mltiplos graus de liberdade. Sero estudados e
avaliados o mtodo da diferena finita central, o mtodo de Newmark (acelerao
constante e acelerao linear). Em todos estes mtodos ser avaliada a convergncia, a
preciso (comparao com superposio modal) e estabilidade. Tambm ser abordado e
desenvolvido o mtodo da superposio modal para avaliao e comparao de
resultados.
Para todos os casos, temos que o problema de mltiplos graus de liberdade dado
pela soluo do vetor {x} nas equaes de movimento do tipo (geral):
{} {} {} {t} Assim deve-se obter a soluo dinmica do vetor {x} (para cada grau de liberdade).
Neste projeto sero avaliados apenas sistemas de mltiplos graus de liberdade sem o
termo de amortecimento, assim o termo que envolve a matriz de amortecimento [C] ser
desprezado, restando apenas:
{} {} {t}
Sendo essa a equao fundamental do problema.
1.2 Apresentao do estudo de caso prticotipo Shear rame
1.2.1 Generalizaes
O exemplo a ser avaliado ser o modelo idealizado de um prtico com 2
pavimentos do tipo shear-frame apresentado abaio. Neste modelo idealizado, supe-seque as vigas e as lajes dos pavimentos so infinitamente rgidas flexo, e os efeitos de
deformao axial nas vigas e pilares so desprezados. Apesar de no ser um modelo
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realstico, trata-se de um modelo extremamente simples para estudar e ilustrar como as
equaes de movimento de sistemas com mltiplos graus de liberdade so desenvolvidas.
O prtico contm 04 pilares de 20x40 cm e a massa suposta como concentrada nos nveis
dos pavimentos. O nmero de graus de liberdade (em relao s massas do sistema, ou
seja, o nmero de deslocamentos independentes necessrios para definir as posies
deslocadas das massas do sistema em relao sua posio original de equilbrio) de 2,
que correspondem aos deslocamentos laterais x1(t) e x2(t). Neste problema no haver
amortecimento.
1.2.2 Matriz de massa
Cada massa do sistema est relacionada apenas com o seu respectivo grau de liberdade,
assim a matriz de massa global ser uma matriz diagonal da forma:
m m
Onde, para o caso em questo, temos m1 = m2 = m.
1.2.3 Matriz de rigidez
A matriz de rigidez do sistema pode ser obtida da mesma forma que feito no
mtodo dos elementos finitos, ou utilizando um raciocnio um mais simplificado, que
consiste em impor um deslocamento unitrio no primeiro pavimento e manter o segundo
pavimento fio ou seja,u1 = 1 e u2 = 0, conforme figura abaixo). As foras que surgem,
necessrias para manter a estrutura com a configurao deformada nos pavimentos
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inferiores e superiores, compem os termos k11 e k21 da matriz de rigidez (figuras (a), e
(b) abaixo). Fazendo o mesmo agora para o pavimento superior (u2=1 e u1=0),
computam-se os termos k12 e k22 da matriz de rigidez. Observa-se que o n 1 tem
influncia dos pavimentos superior e inferior, enquanto que o n 2 tem apenas influncia
do pavimento superior.
Para o caso do prtico em questo, a rigidez conjunta do pavimento inferior a
soma da rigidez dos dois pilares (cada um com rigidez k/2), assim temos que a rigidez dopavimento inferior k tem valor k/ k/ k. Para o pavimento superior tem -se amesma situao, assim k2 = k/2+k/2 = k. A rigidez total do conjunto 2k.
Assim a matriz de rigidez do problema tem os coeficientes k11 = k1+k2 = 2k,
k12=k21 = - k1 = -k2 = -k, e k22 = k2 = k, assim:
k kk k a matriz de rigidez do problema em questo. O valor de k obtido atravs das tabelas
utilizadas no mtodo da rigidez para o caso de viga engastada livre, cujo valor de
12EI/L.
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Esquema simplificado para montagem da matriz de rigidez do problema. Fonte: CHOPRA.
1.2.4 Valores numricos adotados e anlise modal
Para o caso em questo, os valores numricos seguintes sero adotados:
m = 6750 kg
k = 3325000 N/m
E a soluo do problema de autovalores e autovetores (anlise modal) da estrutura resulta
nas frequncias naturais e perodos:
w1 = 27,41 rad/s ; w2 = 71,75 rad/s ;
T1 = 0,229 s ; T2 = 0,0876 s.
E nos autovetores:
{} .. {} ..
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2. Avaliao da resposta dinmica de problemas mltiplos graus de liberdade por
Superposio modal
2.1 Apresentao e generalizao
A soluo mais simples possvel do sistema de equaes de movimento do modelo
de mltiplos graus de liberdade utiliza-se o mtodo da superposio modal, onde o
acoplamento das equaes removido, deixando o processo muito mais simples, porm,
naturalmente, um pouco mais limitado.
A ideia do mtodo consiste na transformao do sistema de equaes diferenciais
em um nmero reduzido de equaes de movimento (para cada grau de liberdade), para
posterior obteno da resposta total do modelo atravs da soma das solues dessas
equaes. Naturalmente de se esperar que a resposta final deve ser truncada, uma vez
que a participao de alguns modos de vibrao desprezvel a partir de um certo modo.
Tambm de se esperar que, uma vez que trata-se de superposio de efeitos, tal mtodo
vlido somente para sistemas lineares.
2.2 Desenvolvimento do mtodo o problema em termos de coordenadas modaisPara sistemas lineares, como os modos naturais de vibrao so linearmente
independentes entre si e em nmero igual ao dos graus de liberdade do modelo discreto,
tem-se que qualquer configurao deste modelo pode ser escrita como a seguinte
superposio dos modos de vibrao para n graus de liberdade:
{}t {}t pa r a iinOnde tso as coordenadas generalizadas, funes do tempo, que sero denominadasde coordenadas modais. a matriz dos autovetores dos modos de vibrao daestrutura.
{}{}{}{} Sendo {}o autovetor correspondente ao primeiro modo de vibrao e {}o autovetorcorrespondente ao n-simo modo de vibrao, de forma que:
{}
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Corresponde ao autovetor do primeiro modo de vibrao para os n graus de liberdade,
assim:
a matriz de autovetores do sistema para os n graus de liberdade, onde cada colunacorresponde a um autovetor referente ao n-simo grau de liberdade. Ou seja, corresponde ao segundo grau de liberdade do primeiro modo de vibrao. corresponde ao m-simo grau de liberdade do n-simo modo de vibrao.
Sendo assim, temos a resposta para o primeiro modo de vibrao como:
{}t {}tPara o segundo modo:
{}t {}tE para o n-simo modo:
{}t {}tPara a resposta total tem-se que:
{} }{}{}{}
Ou ainda:
{} {}t {}t {}t { }t {}t {}t {}t { }tA estratgia para desacoplar as equaes de equilbrio vem agora com a
propriedade da ortogonalidade dos modos de vibrao. Ao multiplicar todos os termos da
equao acima por
{
}
temos:
{}{} {}{}t {}{}t { }{}t
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Porm ainda da propriedade da ortogonalidade da matriz de massa temos que:
{}{} p a r a n mAssim todos os termo s da soluo geral
{}acima sero zero, com exceo do termo
{}{}t, ou seja:{}{t} {}{}tIsolando para t, temos:
t {}{t}{}{} E fazendo {}{} , temos finalmente:t {}{t}E aplicando as condies iniciais (obrigatrias para soluo do problema) em {} e{t}pode-se obter {}{}e {}{}.Substituindo a equao acima na equao do movimento (2) tem-se:
{} {} {t}
Mas {}t {}e { }t { }, o que resulta em{ } {} {t}E multiplicando a equao acima por {} e usando a propriedade da ortogonalidadetemos:
{}{ } {}{}{}{t}{}{}t {}{}t {}{t}
E fazendo {}{} , {}{} e {}{t} resulta em: t t
omo a resposta para o modo n. A soluo da equao deve-se dar em termosde t, que corresponde parcela de variao da amplitude com o tempo para o modon.
A amplitude total definida como
{}t {}t, e para a resposta total deve-se
ento somar todos os {}t para todos os modos at onde se desejar (truncar a
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resposta). O truncamento realizado apresentar boa aproximao a partir do momento em
que o n-simo modo de vibrao no represente um percentual de resposta significativo
para o problema em questo.
Coordenadas modais ideia da superposio modal. Fonte: CHOPRA.2.3 Soluo do problema por superposio modal
Para o problema em questo tem-se os parmetros:
.e .e.e .e
E a soluo do problema de autovalores e autovetores (anlise modal) da estrutura resulta
nas frequncias naturais e perodos:
w1 = 27,41 rad/s ; w2 = 71,75 rad/s ;
T1 = 0,229 s ; T2 = 0,0876 s.
E nos autovetores:
{} .. {} ..Assim podemos obter as massas, rigidezes e foras generalizadas para os 2 modos
de vibrao e em seguida as equaes de movimento para cada modo.
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t {}t .tt {}t .t
Sendo
ta resposta do grau de liberdade 1 (primeiro pavimento) para o modo
de vibrao 2 e t a resposta do grau de liberdade 2 (segundo pavimento) para omodo de vibrao 2.A resposta total Xi obtida como a soma das respostas individuais dos graus de
liberdade dos modos de vibrao 1 e 2:
t t t
t t t
t a resposta do grau de liberdade 1 total como sendo a soma da resposta dograu de liberdade 1 do modo de vibrao 1 () e a resposta do grau de liberdade 1 domodo de vibrao 2 ().
t a resposta do grau de liberdade 2 total como sendo a soma da resposta dograu de liberdade 2 do modo de vibrao 1 () e a resposta do grau de liberdade 2 domodo de vibrao 2 ().
O que resulta finalmente em:
t .ecos.t.e cos. t . cos. t .e cos.t.ecos.t.ecos.t.cos.t.cos.tt .ecos.t.e
cos. t . cos. t .e cos.t.ecos.t.e cos. t . cos. t . costComo o resultado para superposio modal. Estas funes sero utilizadas
posteriormente para comparao com os mtodos de integrao direta.
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2. Integrao direta Mtodo das diferenas finitas Centrais
O mtodo das diferenas finitas um mtodo numrico bastante usual que
consiste na soluo de equaes diferenciais por substituio dos operadores diferenciais
por operadores (aproximados) de diferenas finitas, resultando em equaes algbricascom valores discretos das variveis dependentes. Um caso particular do mtodo a
resoluo por diferena finita central, que utiliza o operador de diferenas finitas baseadonos pontos frente e atrs em relao ao ponto piv. Para a equao fundamental donosso problema (2), sero necessrios o operador de diferenas finitas centrais de
segunda ordem (que multiplica o termo da matriz de massa), e o de primeira ordem, que
so dados por:
t t Para os sistemas com mltiplos graus de liberdade, o termo na verdade um vetor quepossui termos relacionados cada grau de liberdade do problema, assim:
{} {} { } { }
t
E, substituindo o operador de diferenas finitas acima na equao fundamental do
problema (2), temos:
{} { } { }t {{} {t} Para t = 0...n, onde a nossa nica incgnita ser {}.O processo iterativo anlogo ao problema de um grau de liberdade, assim para
i=0 (primeira iterao), temos que (substituindo t=0 na equao acima e combinando
com as equaes (3) e (4)):
{} t {t} t {} t{} {} E para as demais iteraes:
{} t{t} t{} {} {}
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O que torna o algoritimo bastante simples para programao. O mtodo das diferenas
finitas centrais consiste num mtodo de integrao explcita.
Como Todos os mtodos explcitos, o mtodo de integrao direta por diferena finita
central somente condicionalmente estvel, ou seja, sua estabilidade numrica somente
garantida com espaamento de integrao que atenda a condio:
t /3. Integrao direta Mtodo de Newmark
Acelerao mdia e acelerao constante
Newmark apresentou uma famlia de mtodos de integrao numrica das
equaes de movimentos de modelos estruturais com as seguintes expresses:
t t ( ) tOnde os parmetros c e b so estabelecidos com o objetivo de influir na
estabilidade numrica e na preciso da soluo. Com = e = 1/6 recai-se no mtodo
da acelerao linear em cada espaamento de tempo. Com = e = recai-se no
mtodo da acelerao mdia (constante) neste espaamento.
Para o caso de acelerao mdia tem-se que para cada espaamento t = t-tarbitra-se a acelerao como sendo a mdia aritmtica da acelerao no tempo t e t,assim:
E a partir das equaes do MUV da fsica clssica pode-se chegar s expresses
para o deslocamento, acelerao e velocidade no tempo t+1, respectivamente:
{} [ t ]
{}t {}t { } {}
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{} {} {}t {}t { }
{} {} {} {}
Para o caso de acelerao linear, tem-se que para cada espaamento t = t-tarbitra-se a acelerao como sendo varivel linearmente neste intervalo de tempo, ou seja:
O que resulta para os deslocamentos, velocidade e aceleraes no tempo t+1, a partir da
integrao da equao acima de, respectivamente:
{} t {}t { }t { } {}
{} {} {} {}
{} {} {}t {}t { }
O mtodo de Wilson uma generalizao do mtodo da acelerao linear de
Newmark, adotando esta mesma lei s que no espaamento estendido de tempo de
(t t . O valor de estabelecido com objetivo de se obter estabilidadenumrica, e, portanto, se diz que este mtodo condicionalmente estvel.
4. Soluo do shear frame apresentado e resultados
A seguir sero mostrados os resultados utilizando superposio modal e
integrao direta para o problema. Para soluo por integrao direta foi utilizado o
software Mathcad 14, que se mostrou bastante eficiente para a soluo do problema, uma
vez que os mtodos apenas exigem rotinas de iteraes simples. Para todos os casos foi
utilizado tempo total de resposta de 1 segundo e passos de tempo variveis especificados
a seguir.
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Dados iniciais do programa, conforme especificados anteriormente. Nas caixas em amarelo
pode-se alterar o tempo final e o nmero de passos de tempo (nmero de iteraes).
4.1 Soluo com superposio modal
A soluo com superposio modal j foi descrita no item 2.3, resultando as
seguintes respostas totais para o deslocamento no primeiro e segundo pavimento(X1(t) e X2(t)):t .e cos. t .ecos.t.cos.t.ecos.t.ecos.t.ecos.t.cos.
t.cos.t
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t .e cos. t .ecos.t.cos.t.ecos.t.ecos.t.ecos.t.cos.t.cos.t
4.2 Soluo com diferenas finitas centrais
A figura a seguir mostra o trecho do cdigo com o processo iterativo para soluo
por diferenas finitas centrais sem amortecimento. Em seguida mostram-se os resultados
(respostas) para os dois graus de liberdade (primeiro e segundo pavimento: X1 e X2) com
passos de tempo de 0.01s (100 iteraes), 0.002s (500 iteraes) e 0.001s (1000
iteraes). Para todos os casos o tempo final de resposta (tf) igual a 1 segundo.
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Diferenas finitas centrais Resultados para passo de tempo 0.01s (100 iteraes).O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:
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Diferenas finitas centrais Resultados para passo de tempo 0.002s (500iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:
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Diferenas finitas centrais Resultados para passo de tempo 0.001s (1000iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:
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4.3 Soluo com mtodo da acelerao mdia
`
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Newmark: Acelerao mdia Resultados para passo de tempo 0.002s (500iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:
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Newmark: Acelerao mdia Resultados para passo de tempo 0.001s (1000iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:
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4.4 Soluo com mtodo da acelerao linear
Conforme explicitado no item 3, o mtodo da acelerao linear tem algoritimo
bastante similar ao mtodo da acelerao mdia.
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Newmark: Acelerao LINEAR Resultados para passo de tempo 0.01s (100iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:
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Newmark: Acelerao LINEAR Resultados para passo de tempo 0.002s (500iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:
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Newmark: Acelerao LINEAR Resultados para passo de tempo 0.001s (1000iteraes). O traado pontilhado azul a resposta obtida com superposio modal:
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5. Concluses
Os mtodos de integrao direita das equaes de movimento se mostram eficazes
no sentido de resolver problemas genricos com algoritimos relativamente simples de
serem programados. A incluso de no linearidade, por exemplo, faz com que o mtodo dasuperposio modal se torne invivel.
Ainda sobre o mtodo da superposio modal, algumas vantagens podem ser
destacadas. A primeira que o analista poder ver a contribuio de cada modo de
vibrao da estrutura isoladamente. Em termos de didtica, tambm vlido ressalvar que
este mtodo explicita com maior clareza a forma que as equaes de movimento podem
ser resolvidas, e em alguns casos particulares este mtodo pode se tornar mais vivel. ,
contudo, muito mais trabalhoso resolver todos os modos de vibrao para uma estrutura
com um nmero muito grande de graus de liberdade. Em soluo de problemas prticos,
acredita-se que o mtodo da superposio modal seja abandonado na maioria dos casos.
Dentre os mtodos de integrao direta, o que se mostrou mais eficaz para a
soluo deste problema foi o mtodo das diferenas finitas centrais, que apresentou uma
convergncia mais rpida, onde se tem uma resposta de praticamente curva sobre curva
quando comparada superposio modal (neste caso igual exata, pois foram utilizados
todos os modos de vibrao existentes) com um passo de tempo de 0.002s. O tempo de
processamento deste mtodo tambm se mostrou menor. Os mtodos da acelerao mdia
e acelerao linear se mostraram bastante semelhantes um ao outro e menos eficazes para
este problema.
6. Referncias
SORIANO, Humberto Lima. Introduo Dinmica das estruturas. 2014.
CHOPRA, Anil, K. Dynamics of Structres
Theory and Applications. 4th Ed. 2012.
Notas de aula Prof Paulo Ribeiro Introduo dinmica das Estruturas UFPE.Notas de aula Prof Paulo Ribeiro Dinmica das Estruturas 1 PPGEC UFPE.
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