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Determinantes
Conceito:
Em Matemática, determinante de uma matriz quadrada de ordem n é um número real a ela associado. Cada matriz tem um único determinante. Em fim determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.
Representação:
Representamos o determinante de uma matriz colocando os termos da matriz entre barras verticais simples.
Veja:
Se a matriz é
Indicamos seu determinante assim:
Ou simplesmente det A.
Importante: Só calculamos determinante de matriz quadrada.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
det
aaa
aaa
aaa
A
Determinante de uma matriz de ordem 1
O determinante da matriz A de ordem n = 1, é o próprio número que origina a matriz. Em particular definimos o determinante de uma matriz A = (a11), de 1ª ordem, o valor do seu único elemento a11, ou seja:
Exemplo 01 – Qual é o determinante da matriz A = [10]?
1111det aaA
1010det A
Determinante de uma matriz de ordem 1
Exemplo 02 – Qual é o determinante da matriz B=[–14]?
Exemplo 03 – Qual é o determinante da matriz
1414det B
3C
33det B
Determinante de uma matriz de ordem 2
Calculamos o determinante de uma matriz quadrada 2 x 2 fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária dessa matriz.
Demonstração:
Determinante de uma matriz de ordem 2
Exemplo 01–Calcule o determinante da matriz
Exemplo 02–Qual é o determinante da matriz
34
69A
3det
2427det
4.63.934
69det
A
A
A
31
23B
1det
23det
29det
1.23.331
23det
B
B
B
B
Determinante de uma matriz de ordem 2
Exemplo 03–Calcule o determinante da matriz
72
53C
11det
1021det
2.5)7(.372
53det
C
C
C
Determinante de uma matriz de ordem 3
Para obtermos o determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem utilizamos uma regra prática denominada regra de Sarrus (pronuncia-se Sarrí). A regra de Sarrus, foi provavelmente escrita no ano de 1833. Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: 1- Repita a 1ª e a 2ª coluna à direita da matriz. 2- Faça três traços em diagonal começando do primeiro elemento da matriz para baixo, depois faça mais três traços em diagonal, começando do último elemento da primeira linha.3- Multiplique os números cortados pelos traços, atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita. Depois realize a operação final.
Determinante de uma matriz de ordem 3
Demonstração:
Seja a matriz Qual é o seu determinante?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
332112322311312213322113312312332211 ............det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
Determinante de uma matriz de ordem 3
Exemplo 01 - Calcule o determinante da matriz
312
123
321
A
12 1 18 6 4 9
18112946det A3119det A
12det A
Determinante de uma matriz de ordem 3
Exemplo 02 - Calcule o determinante da matriz
341
202
513
C
0 –24 – 6 0 2 40
)6()24(04020det C
624042det C72det C
Determinante de uma matriz de ordem 3
Exemplo 03 - Calcule o determinante da matriz
223
122
212
F
4 3
44434.234.2det F
43 424 42
242.32.232.2det F246434det F
1211det F1det F
Cofator
Dada uma matriz A quadrada de ordem n por n com n ≥ 2, e a ij um elemento dessa matriz, chamamos de cofator de a ij o produto de (−1)i + j . pelo determinante Dij da Mariz que se obtém quando se retira da matriz A a linha i e a coluna j. O cofator de a ij será indicado por Cij.
Então: Cij = (−1)i + j . Dij.
Exemplo 01 – Dada a matriz A = calcule o cofator de a11.
Solução:
312
213
323
312
213
323
31
21.)1(
31
21.)1(
.)1(
211
1111
C
C
DC ijji
ij
1
1.1
)23(.1
)1.2()3.1(.1
11
11
11
11
C
C
C
C
Cofator
Exemplo 02 – Dada a matriz B = calcule o cofator de b21.
Solução:
24
24.1
)3612.(1
36
64.)1(
36
64.)1(
.)1(
21
21
21
321
1221
C
C
C
C
C
DC ijji
ij
362
453
642
362
453
642
Teorema Fundamental de Laplace Segundo o Teorema de Laplace o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n ≥ 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Ou seja multiplica cada elemento pelo seu cofator depois soma.
Demonstração:Calcule o determinante da matriz pela 1ª linha
Pelo teorema de Laplace temos
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
131312121111
333231
232221
131211
...det CaCaCa
aaa
aaa
aaa
A
Teorema Fundamental de Laplace Calculando o cofator:
Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos: det A = a11(a22.a33 – a23.a32) – a12(a21 .a33 – a23.a31) + a13(a21.a32 – a22 . a31)
).()..(1.)1( 322233223332
22221111 aaaa
aa
aaC
).()..(1.)1( 312333213331
23212112 aaaa
aa
aaC
).()..(1.)1( 312232213231
22213113 aaaa
aa
aaC
Teorema Fundamental de Laplace Exemplo 01 – Calcule o determinante da matriz pela 1ª linha
Pelo teorema de Laplace temos:
Calculando o cofator:
1)23.(131
21.)1( 11
1111 CC
312
213
321
A
312
213
321
det A 131211 .3.2.1 CCC
5)49.(132
23.)1( 12
2112 CC
1)23.(112
13.)1( 13
3113 CC
Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos:
det A = 1 . 1 + 2 . (−5) + 3 . 1
det A = 1 −10 + 3
det A = − 6
Teorema Fundamental de Laplace Exemplo 02 – Calcule o determinante da matriz pela 2ª linha
Pelo teorema de Laplace temos:
Calculando o cofator:
9)09.(130
23.)1( 21
1221 CC
232221 .0.0.2 CCC
10)212.(131
24.)1( 22
2222 CC
3)30.(101
34.)1( 13
3223 CC
Como o determinante é a soma do produto dos elementos pelos seus cofatores temos: det B = 2 . (−9) + 0 . 10 + 0 . 3
det B = −18 + 0 + 0
det B = − 18
301
002
234
B
301
002
234
B
Determinante de uma matriz de ordem 4 ou maior que 4
Para calcularmos o determinantes de uma matrizes de ordem igual ou superior a quatro, podemos reduzir a sua ordem. Para isso aplicaremos o teorema de Laplace tantas vezes quantas forem necessárias, até chegarmos a um determinante de ordem 3. Daí podemos aplicar a regra de Sarrus.
Veja:
Exemplo 01 – Calcule o determinante da matriz pela 1ª coluna.
Det A=
det A = 1.[1. ] + 0. [−1. ] + 1. [1. ] + 1. [−1. ]
Vamos aplicar Sarrus em cada Determinante de ordem 3.
Substituindo temos: det A = 1.[1.0] + 0. [−1.8] + 1. [1.8] + 1. [−1.0] Logo det A = 1.0 + 0.−8 + 1.8 + 1.0 → det A= 0 + 0 + 8 + 0 det A= 8
4201
2321
2320
4321
A
4201
2321
2320
4321
41312111 .1.0.1 CCCC
420
232
232
420
232
432
420
232
432
232
232
432
20420
32232
32232
20420
32232
32432
20420
32232
32432
32232
32232
32432
0 8 24 24 0 824+0+8 – 0 –8 –24
32 – 32 = 0
0 8 24 24 0 1624+0+16 – 0 –8 –24
40 – 32 = 8
0 8 24 24 0 1624+0+16 – 0 –8 –24
40 – 32 = 8
24 12 12 12 12 2412+12+24 –24–12–12
48 – 48 = 0
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