DESENVOLVIMENTO DE UM PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS VERSTIL
ANDR FILIPE MARTINS DE SOUSA
Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau de
MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAO EM ESTRUTURAS
Orientador: Professor Doutor lvaro Ferreira Marques Azevedo
OUTUBRO DE 2014
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2013/2014
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
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Editado por
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mencionado o Autor e feita referncia a Mestrado Integrado em Engenharia Civil -
2013/2014 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da
Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2014.
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Autor.
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
O nico lugar onde sucesso
vem antes do trabalho no dicionrio.
Albert Einstein
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
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RESUMO
A importncia da simulao numrica justifica a realizao de um trabalho que faa uso das
possibilidades computacionais para desenvolver uma soluo informtica que implemente o Mtodo do
Elementos Finitos na resoluo de diversos problemas na rea da engenharia estrutural.
Nesta dissertao so descritas diversas teorias e formulaes de elementos finitos usadas correntemente
na anlise de problemas estruturais. Das diversas formulaes e tipos de elementos finitos disponveis
so focados os elementos finitos unidimensionais, bidimensionais, tridimensionais, de viga e de laje.
So apresentados elementos finitos de viga formulados pela teoria de Euler-Bernoulli e pela teoria de
Timoshenko. Os elementos finitos de laje apresentados abrangem a teoria de Kirchhoff e a teoria de
Reissner-Mindlin.
De modo a implementar computacionalmente o Mtodo dos Elementos Finitos so discutidos os
fundamentos do mtodo e o seu mbito de aplicabilidade. alvo de pormenorizao a obteno das
funes de forma, das matrizes de rigidez elementares e dos vetores de foras nodais equivalentes.
focada a construo da equao de equilbrio global e a sua resoluo. A integrao numrica e a gerao
de malhas uma das partes constituintes da anlise estrutural pelo Mtodo dos Elementos Finitos.
Assim, so abordadas algumas tcnicas de gerao de malhas e discutidos alguns requisitos que as
malhas devem cumprir.
So abordados alguns conceitos sobre desenvolvimento de programas informticos, discutido o modo
como o programa desenvolvido foi construdo e apresentados alguns cdigos exemplificativos de
algumas das tarefas realizadas.
apresentado o programa de modelao e anlise estrutural pelo Mtodo dos Elementos Finitos
desenvolvido no mbito desta dissertao. So referidas e apresentadas algumas classes e mtodos do
programa. apresentada a interface grfica do utilizador e as funcionalidades disponveis. De modo a
exemplificar o funcionamento do programa so detalhadas todas as etapas desde a modelao da
estrutura at visualizao grfica dos resultados.
PALAVRAS-CHAVE: Mtodo dos Elementos Finitos, Elementos Unidimensionais, Elementos
Bidimensionais, Elementos Tridimensionais, Vigas, Lajes, Desenvolvimento de Software, Java, FEM
for Students.
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
ii
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
iii
ABSTRACT
The importance of numerical simulation justifies a work that makes use of computational possibilities
to develop a software solution that implements the Finite Element Method to solve various problems in
the area of structural engineering.
This dissertation describes several theories and formulations currently used in finite element structural
analysis problems. From the different formulations and types of finite elements available, the focus is
on one-dimensional, two-dimensional, three-dimensional finite element, beams and slabs. Finite beam
elements formulated by the Euler-Bernoulli theory and the Timoshenko theory are presented. The finite
element slab presented covers the Kirchhoff theory and Reissner-Mindlin theory.
In order to implement computationally the Finite Element Method, the fundamentals of the method and
its scope of applicability are discussed. The acquisition of shape functions, the elementary stiffness
matrix and equivalent nodal forces vector are detailed. The construction of the global equilibrium
equation and its resolution is focused on. The numerical integration and mesh generation is one of the
constituent parts of the structural analysis by Finite Element Method. Thus, some techniques for mesh
generation are addressed and requirements that the meshes must meet are discussed.
Concepts on the development of computer programs are referred to, how the software was built is
discussed and illustrative codes of some of the tasks performed are presented.
Program modelling and structural analysis by Finite Element Method developed in the context of this
dissertation is presented. Classes and methods of the program are referred to and presented. The
graphical user interface and functionalities are addressed. In order to demonstrate the operation of the
program, all the steps from the structure modelling to the graphic display of results are detailed.
KEYWORDS: Finite Element Method, One-dimensional Elements, Two-dimensional Elements, Tree-di-
mensional Elements, Beams, Slabs, Software Development, Java, FEM for Students.
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
iv
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
v
NDICE GERAL
RESUMO .................................................................................................................................. i
ABSTRACT .............................................................................................................................................. iii
1. INTRODUO .......................................................................................................................... 1
1.1. MBITO E OBJETIVOS DO TRABALHO ............................................................................................ 1
1.2. ESTRUTURAO DA DISSERTAO................................................................................................ 2
2. FUNDAMENTOS DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ................. 3
2.1. DESCRIO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ..................................................................... 3
2.2. ANLISE DE MEIOS DISCRETOS E MEIOS CONTNUOS ................................................................. 4
2.3. METODOLOGIA DE CLCULO .......................................................................................................... 5
2.4. ABORDAGEM DE ENGENHARIA ....................................................................................................... 5
2.4.1. SELEO DO MODELO ESTRUTURAL .................................................................................................. 5
2.4.2. DISCRETIZAO DO MODELO ............................................................................................................. 6
2.4.3. SISTEMA DE EQUAES ELEMENTARES ............................................................................................. 7
2.4.4. ASSEMBLAGEM ................................................................................................................................. 8
2.4.5. CONDIES DE FRONTEIRA E CARREGAMENTOS ................................................................................ 9
2.4.6. RESOLUO DO SISTEMA DE EQUAES ........................................................................................... 9
2.4.7. VERIFICAO E VALIDAO DOS RESULTADOS ................................................................................. 10
2.5. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ......................................................................................... 10
2.6. REQUISITOS PARA A CONVERGNCIA DA SOLUO ................................................................... 12
2.6.1. CONDIO DE CONTINUIDADE ......................................................................................................... 12
2.6.2. CONDIO DE DERIVABILIDADE........................................................................................................ 13
2.6.3. CONDIO DE INTEGRABILIDADE ...................................................................................................... 13
2.6.4. CONDIO DE CORPO RGIDO ......................................................................................................... 13
2.6.5. CONDIO DE DEFORMAO CONSTANTE ........................................................................................ 13
3. FORMULAO DE ELEMENTOS FINITOS ....................................................... 15
3.1. ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAIS ...................................................................................... 15
3.1.1. TENSO ......................................................................................................................................... 15
3.1.2. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS .............................................................................................. 16
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
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3.1.3. FUNES DE FORMA ...................................................................................................................... 16
3.1.4. CAMPO DE DESLOCAMENTOS .......................................................................................................... 17
3.1.5. CAMPO DE DEFORMAES ............................................................................................................. 17
3.1.6. CAMPO DE TENSES ...................................................................................................................... 17
3.1.7. ESFOROS INTERNOS .................................................................................................................... 18
3.1.8. TRANSFORMAO DE COORDENADAS ............................................................................................. 18
3.2. ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONAIS ........................................................................................ 19
3.2.1. ESTADO PLANO DE TENSO/DEFORMAO ..................................................................................... 19
3.2.2. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ............................................................................................. 20
3.2.3. FUNES DE FORMA ...................................................................................................................... 21
3.2.4. CAMPO DE DESLOCAMENTOS .......................................................................................................... 21
3.2.5. CAMPO DE DEFORMAES ............................................................................................................. 22
3.2.6. CAMPO DE TENSES ...................................................................................................................... 23
3.2.7. TENSES E DIREES PRINCIPAIS .................................................................................................. 23
3.3. ELEMENTOS FINITOS TRIDIMENSIONAIS ...................................................................................... 24
3.3.1. ESTADO GERAL DE TENSO............................................................................................................ 24
3.3.2. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS ............................................................................................. 25
3.3.3. FUNES DE FORMA ...................................................................................................................... 26
3.3.4. CAMPO DE DESLOCAMENTOS .......................................................................................................... 27
3.3.5. CAMPO DE DEFORMAES ............................................................................................................. 27
3.3.6. CAMPO DE TENSES ...................................................................................................................... 28
3.3.7. FAMLIAS DE ELEMENTOS FINITOS ................................................................................................... 28
3.4. ELEMENTOS FINITOS DE VIGA ...................................................................................................... 29
3.4.1. VIGAS PELA TEORIA DE EULER-BERNOULLI ...................................................................................... 29
3.4.1.1. Breve Descrio da Teoria ....................................................................................................... 29
3.4.1.2. Princpio dos Trabalhos Virtuais ............................................................................................... 29
3.4.1.3. Funes de Forma ................................................................................................................... 30
3.4.1.4. Campo de Deslocamentos ....................................................................................................... 30
3.4.1.5. Campo de Deformaes ........................................................................................................... 31
3.4.1.6. Campo de Tenses .................................................................................................................. 31
3.4.1.7. Esforos Internos ...................................................................................................................... 32
3.4.2. VIGAS PELA TEORIA DE TIMOSHENKO .............................................................................................. 32
3.4.2.1. Breve Descrio da Teoria ....................................................................................................... 32
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
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3.4.2.2. Princpio dos Trabalhos Virtuais ............................................................................................... 32
3.4.2.3. Funes de Forma .................................................................................................................... 33
3.4.2.4. Campo de Deslocamentos ........................................................................................................ 33
3.4.2.5. Campo de Deformaes ........................................................................................................... 34
3.4.2.6. Campo de Tenses ................................................................................................................... 35
3.4.2.7. Esforos Internos ...................................................................................................................... 35
3.5. ELEMENTOS FINITOS DE LAJE ...................................................................................................... 36
3.5.1. LAJES PELA TEORIA DE KIRCHHOFF ................................................................................................. 36
3.5.1.1. Breve Descrio da Teoria ........................................................................................................ 36
3.5.1.2. Princpio dos Trabalhos Virtuais ............................................................................................... 36
3.5.1.3. Funes de Forma .................................................................................................................... 37
3.5.1.4. Campo de Deslocamentos ........................................................................................................ 38
3.5.1.5. Campo de Deformaes ........................................................................................................... 39
3.5.1.6. Campo de Tenses ................................................................................................................... 39
3.5.1.7. Esforos Internos ...................................................................................................................... 40
3.5.2. LAJES PELA TEORIA DE REISSNER-MINDLIN ...................................................................................... 40
3.5.2.1. Breve Descrio da Teoria ........................................................................................................ 40
3.5.2.2. Princpio dos Trabalhos Virtuais ............................................................................................... 41
3.5.2.3. Funes de Forma .................................................................................................................... 42
3.5.2.4. Campo de Deslocamentos ........................................................................................................ 42
3.5.2.5. Campo de Deformaes ........................................................................................................... 43
3.5.2.6. Campo de Tenses ................................................................................................................... 44
3.5.2.7. Esforos Internos ...................................................................................................................... 44
4. ELEMENTOS FINITOS COM SUBSTITUIO DE VARIVEL ............. 47
4.1. SUBSTITUIO DE VARIVEL EM UMA DIMENSO ...................................................................... 47
4.2. SUBSTITUIO DE VARIVEL EM DUAS DIMENSES .................................................................. 49
4.3. SUBSTITUIO DE VARIVEL EM TRS DIMENSES ................................................................... 52
5. INTEGRAO NUMRICA ........................................................................................... 55
5.1. SELEO DO MTODO DE INTEGRAO NUMRICA ................................................................... 55
5.2. QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE .......................................................................................... 55
5.2.1. FUNDAMENTOS DA QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE ................................................................... 55
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
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5.2.2. INTEGRAO NUMRICA EM UMA DIMENSO ................................................................................... 56
5.2.3. INTEGRAO NUMRICA EM DUAS DIMENSES ................................................................................ 57
5.2.4. INTEGRAO NUMRICA EM TRS DIMENSES ................................................................................ 58
5.3. OUTRAS QUADRATURAS .............................................................................................................. 58
5.4. AVALIAO DA MATRIZ DE DEFORMAO.................................................................................. 59
6. GERAO DE MALHAS DE ELEMENTOS FINITOS ................................. 61
6.1. MALHAS DE ELEMENTOS FINITOS ................................................................................................ 61
6.2. TCNICAS DE GERAO DE MALHAS .......................................................................................... 61
6.2.1. GERAO POR SOBREPOSIO DE GRELHA .................................................................................... 61
6.2.2. GERAO POR TRANSFORMAO DE COORDENADAS ...................................................................... 62
6.2.3. GERAO POR MAPEAMENTO CONFORME ....................................................................................... 62
6.2.4. GERAO POR MAPEAMENTO ISOPARAMTRICO .............................................................................. 63
6.2.5. GERAO POR MAPEAMENTO TRANSFINITO .................................................................................... 63
6.2.6. GERAO POR TRIANGULAO DE DELAUNAY ................................................................................. 63
6.2.7. GERAO POR QUADTREES ............................................................................................................ 63
6.3. TIPOS DE REFINAMENTO .............................................................................................................. 64
6.4. REFINAMENTO DA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS ................................................................... 64
6.5. QUALIDADE DAS MALHAS DE ELEMENTOS FINITOS ................................................................... 65
7. NOES SOBRE DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE ..................... 69
7.1. PROJETO DE SOFTWARE .............................................................................................................. 69
7.2. LINGUAGENS DE PROGRAMAO ................................................................................................ 70
7.2.1. CRITRIOS DE AVALIAO DA LINGUAGEM ....................................................................................... 70
7.2.2. CATEGORIAS DE LINGUAGENS DE PROGRAMAO ........................................................................... 71
7.2.3. MTODOS DE IMPLEMENTAO ....................................................................................................... 71
7.2.3.1. Compilao ............................................................................................................................... 71
7.2.3.2. Interpretao ............................................................................................................................. 72
7.2.3.3. Sistemas de Implementao Hbridos ...................................................................................... 72
7.3. PRINCPIOS DE DESENVOLVIMENTO ............................................................................................ 72
7.4. DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE ............................................................................................. 73
7.4.1. PROCESSO DE DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE........................................................................... 73
7.4.2. PRINCPIOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................................ 74
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
ix
7.4.3. CONCEITOS DE PROJETO ................................................................................................................ 74
7.4.3.1. Abstrao .................................................................................................................................. 74
7.4.3.2. Arquitetura ................................................................................................................................. 75
7.4.3.3. Padres ..................................................................................................................................... 75
7.4.3.4. Modularidade ............................................................................................................................. 75
7.4.3.5. Encapsulamento ........................................................................................................................ 76
7.4.3.6. Independncia Funcional .......................................................................................................... 76
7.4.3.7. Refinamento .............................................................................................................................. 76
7.4.3.8. Refatorao ............................................................................................................................... 76
7.4.3.9. Projeto Orientado a Objetos ...................................................................................................... 77
7.4.3.10. Projeto de Classes .................................................................................................................. 77
7.4.4. AMBIENTES DE DESENVOLVIMENTO ................................................................................................. 77
7.5. INTERFACE GRFICA DO UTILIZADOR .......................................................................................... 77
8. IMPLEMENTAO COMPUTACIONAL ............................................................... 79
8.1. FOCO E FUNCIONALIDADES DO PROGRAMA ................................................................................ 79
8.2. PROGRAMAO EM JAVA ............................................................................................................. 79
8.3. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ............................................................................................. 81
8.3.1. CRIAO DOS ELEMENTOS FINITOS ................................................................................................. 81
8.3.2. ASSEMBLAGEM E RESOLUO DO SISTEMA DE EQUAES ............................................................... 87
8.3.3. EXTENSES, TENSES E ESFOROS INTERNOS ............................................................................... 90
8.4. INTERFACE GRFICA DO UTILIZADOR .......................................................................................... 93
8.4.1. ELEMENTOS DA INTERFACE DO UTILIZADOR ..................................................................................... 93
8.4.2. DESENHO DOS ELEMENTOS DO MODELO ESTRUTURAL ..................................................................... 96
8.4.3. APRESENTAO GRFICA DOS RESULTADOS ................................................................................. 101
8.5. PERSISTNCIA DE DADOS ........................................................................................................... 103
9. APRESENTAO DO PROGRAMA FEM FOR STUDENTS ................ 105
9.1. DESCRIO DO PROGRAMA ....................................................................................................... 105
9.2. PAINEL INICIAL E SEPARADORES ............................................................................................... 106
9.3. ETAPA DE MODELAO .............................................................................................................. 107
9.4. TIPOS DE ANLISE ....................................................................................................................... 110
9.5. APRESENTAO DOS RESULTADOS .......................................................................................... 112
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
x
9.6. OUTRAS FUNCIONALIDADES ...................................................................................................... 113
10. CONCLUSO .................................................................................................................... 115
10.1. CONSIDERAES FINAIS .......................................................................................................... 115
10.2. SUGESTES PARA DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ............................................................... 116
BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................................... 117
ANEXOS ........................................................................................................................................ 119
A. PACOTES E CLASSES DO PROJETO DO FEM FOR STUDENTS ................................................... 121
A.1. PACOTES DO PROJETO ................................................................................................................... 121
A.2. CLASSES DE CADA PACOTE ............................................................................................................. 121
B. MODELAO E ANLISE DE UM PRTICO .................................................................................... 127
C. MODELAO E ANLISE DE UMA PAREDE ................................................................................... 129
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
xi
NDICE DE FIGURAS
Fig.2.1 Discretizao de uma viga com elementos finitos retangulares ............................................... 6
Fig.2.2 Malha constituda por elementos finitos unidimensionais ......................................................... 8
Fig.2.3 Corpo sujeito a diversos tipos de aes exteriores ................................................................ 11
Fig.3.1 Elemento finito unidimensional sujeito a uma carga axial ...................................................... 16
Fig.3.2 Elemento finito unidimensional de n ns................................................................................. 17
Fig.3.3 Elemento finito retangular de quatro ns ................................................................................ 20
Fig.3.4 Definio de tenses, tenses principais e respetivas direes ............................................ 23
Fig.3.5 Slido sujeito a um estado tridimensional de tenso .............................................................. 24
Fig.3.6 Elemento finito paralelepipdico de oito ns .......................................................................... 26
Fig.3.7 Elemento finito de viga sujeito a um carregamento transversal ............................................. 29
Fig.3.8 Elemento finito de viga com n ns .......................................................................................... 30
Fig.3.9 Elemento finito de viga com n ns .......................................................................................... 33
Fig.3.10 Graus de liberdade e orientaes das rotaes ................................................................... 36
Fig.3.11 Elemento finito retangular de quatro ns .............................................................................. 37
Fig.3.12 Representao do deslocamento de um ponto no plano xz ................................................. 38
Fig.3.13 Elemento finito retangular de quatro ns. ............................................................................. 42
Fig.3.14 Representao do deslocamento de um ponto no plano xz. ................................................ 42
Fig.4.1 Elemento finito unidimensional de n ns com substituio de varivel .................................. 47
Fig.4.2 Transformao de um elemento real para um elemento normalizado ................................... 49
Fig.4.3 Transformao de um elemento real para um elemento normalizado ................................... 52
Fig.6.1 Gerao de malhas por sobreposio de grelha .................................................................... 62
Fig.6.2 Gerao de malhas por transformao de coordenadas ........................................................ 62
Fig.6.3 Gerao de malhas por mapeamento isoparamtrico ............................................................ 63
Fig.6.4 Gerao de malhas pela tcnica de quadtree ........................................................................ 64
Fig.6.5 Transio entre elementos finitos de dimenses diferentes ................................................... 65
Fig.6.6 Ligaes no conformes entre elementos finitos .................................................................... 66
Fig.6.7 Elementos finitos de geometria desproporcionada ou distorcida ........................................... 66
Fig.9.1 Visualizao da janela e do painel inicial do programa ........................................................ 106
Fig.9.2 Ferramentas do separador Draw .......................................................................................... 108
Fig.9.3 Ferramentas do separador View ........................................................................................... 108
Fig.9.4 Ferramentas do separador Geometry ................................................................................... 108
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
xii
Fig.9.5 Contedo do painel lateral Materials .................................................................................... 109
Fig.9.6 Ferramentas do separador Loads ........................................................................................ 109
Fig.9.7 Contedo do painel lateral Uniformly Distributed Loads ...................................................... 110
Fig.9.8 Funcionalidades do separador Analysis ............................................................................... 111
Fig.9.9 Contedo do painel lateral Numerical Analysis .................................................................... 111
Fig.9.10 Funcionalidades do separador Results .............................................................................. 112
Fig.9.11 Contedo do painel lateral Displacements ......................................................................... 112
Fig.B.1 Visualizao do painel inicial do programa .......................................................................... 127
Fig.B.2 Representao do prtico em anlise ................................................................................. 127
Fig.B.3 Visualizao da matriz de rigidez da estrutura .................................................................... 128
Fig.B.4 Visualizao do diagrama de momentos fletores ................................................................ 128
Fig.C.1 Visualizao do painel inicial do programa .......................................................................... 129
Fig.C.2 Desenho de um retngulo para representar a parede ........................................................ 129
Fig.C.3 Refinamento da malha de elementos finitos ........................................................................ 130
Fig.C.4 Escolha da quadratura e do nmero de pontos de integrao ............................................ 130
Fig.C.5 Visualizao da deformada da parede ................................................................................ 131
Fig.C.6 Visualizao do mapa de tenses na parede ...................................................................... 131
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
xiii
NDICE DE TABELAS
Tabela 5.1 Posies dos pontos de amostragem e respetivos pesos ................................................ 56
Tabela 5.2 Pesos e posies dos pontos de amostragem para quadrilteros ................................... 57
Tabela 5.3 Pesos e posies dos pontos de amostragem para hexaedros ....................................... 59
Tabela A.1 Pacotes e nmero de classes em cada pacote .............................................................. 121
Tabela A.2 Descrio das classes do pacote backend .................................................................... 121
Tabela A.3 Descrio das classes do pacote calculations ............................................................... 122
Tabela A.4 Descrio das classes do pacote finiteelement .............................................................. 122
Tabela A.5 Descrio das classes do pacote frontend ..................................................................... 123
Tabela A.6 Descrio das classes do pacote gausslegendre .......................................................... 124
Tabela A.7 Descrio das classes do pacote gausslobatto .............................................................. 124
Tabela A.8 Descrio das classes do pacote matrices .................................................................... 124
Tabela A.9 Descrio das classes do pacote shapefunctions .......................................................... 125
Tabela A.10 Descrio das classes do pacote variablesubstitution ................................................. 125
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
xiv
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
1
1 INTRODUO
1.1. MBITO E OBJETIVOS DO TRABALHO
A simulao numrica fundamental para a competitividade do projeto de estruturas. O projeto de
estruturas necessita de ferramentas informticas que auxiliem o seu desenvolvimento. A dificuldade ou
a impossibilidade de construir modelos fsicos para validar os pressupostos do projeto impulsionou o
desenvolvimento de ferramentas de simulao numrica. O Mtodo dos Elementos Finitos uma destas
ferramentas ao alcance dos projetistas.
O Mtodo dos Elementos Finitos um mtodo matemtico de anlise e resoluo de problemas
cientficos e de engenharia. De uma forma geral, o Mtodo dos Elementos Finitos utilizado na busca
de solues para problemas complexos, para os quais no se conhece uma soluo exata que possa ser
expressa de forma analtica. A grande quantidade de clculo associada aplicao deste mtodo requer
a utilizao de computadores capazes de dar resposta ao elevado nmero de clculos efetuados. Surge,
deste modo, a necessidade de transformar a formulao matemtica do Mtodo dos Elementos Finitos
num conjunto de instrues que possam ser interpretadas pelos computadores.
Antes de implementar computacionalmente o Mtodo dos Elementos Finitos necessrio fazer um
estudo aprofundado da sua formulao. Assim, so apresentadas diversas formulaes de elementos
finitos, nomeadamente, as formulaes de elementos finitos unidimensionais, bidimensionais,
tridimensionais, de viga e de laje. considerado que os materiais apresentam comportamento linear
elstico e que as estruturas e cargas estruturais so estticas. Esta simplificao reflete a forma de muitos
dos problemas estruturais encontrados na prtica de engenharia. O uso da integrao numrica tambm
abordado na medida do uso recorrente que tem no mbito do Mtodo dos Elementos Finitos. Como a
anlise de um problema requer a decomposio do domnio em estudo numa malha de elementos finitos,
so abordadas algumas tcnicas para gerao de malhas de elementos finitos e discutida a sua qualidade.
O desenvolvimento de ferramentas de simulao numrica orientadas para uso profissional tem
renegado a componente acadmica para segundo plano. A componente prtica desta dissertao consiste
no desenvolvimento de uma ferramenta orientada para o ensino do Mtodo dos Elementos Finitos. Esta
ferramenta disponibiliza a experincia de modelar com elementos finitos e face multiplicidade de
plataformas e velocidade com que evoluem, o programa desenvolvido foi construdo utilizando a
linguagem de programao Java.
Relativamente ao Mtodo dos Elementos Finitos so discutidos alguns dos seus fundamentos e
apresentadas as metodologias para obteno das funes de forma, clculo das matrizes de rigidez
elementares e vetores de foras nodais equivalentes. abordada a gerao de malhas de elementos
finitos, a resoluo do sistema de equaes global e o clculo dos esforos e tenses ao nvel de cada
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
2
elemento finito. Do ponto de vista de programao so apresentados alguns conceitos sobre o projeto
de programas informticos. Como referido, a componente prtica desta dissertao consiste no
desenvolvimento de um programa de modelao e anlise estrutural por elementos finitos. Assim,
discutido o modo como o Mtodo dos Elementos Finitos est implementado computacionalmente no
programa desenvolvido.
Finalmente, o programa desenvolvido apresentado pelas ticas do programador e utilizador. Do ponto
de vista do programador discutido o modo como o programa foi construdo e exemplifica-se com a
apresentao de excertos de algumas das classes e mtodos do projeto. Esta exemplificao consiste na
apresentao de alguns dos cdigos construdos para realizar operaes de clculo associadas ao Mtodo
dos Elementos Finitos e outras relativas interface grfica do utilizador. Na tica de utilizao do
programa descrita a sua interface grfica com especificao do modo como as etapas associadas a uma
anlise por elementos finitos so realizadas.
1.2. ESTRUTURAO DA DISSERTAO
A presente dissertao est organizada em dez captulos. Esta diviso resultante da distribuio de
assuntos abordados.
O segundo captulo apresenta os fundamentos do Mtodo dos Elementos Finitos necessrios para a
compreenso dos assuntos abordados nos captulos seguintes.
No terceiro e quarto captulo so apresentados os mais comuns tipos de elementos finitos e teorias
associadas. Estes captulos so dedicados apresentao das formulaes de elementos finitos
unidimensionais, bidimensionais, tridimensionais, de viga e de laje. Pretende-se apresentar a informao
necessria compreenso das diversas formulaes de elementos finitos.
O quinto e o sexto captulo so dedicados integrao numrica e gerao de malhas de elementos
finitos, respetivamente. Procura-se completar a informao apresentada nos captulos anteriores sobre o
Mtodo dos Elementos Finitos.
No stimo captulo so referidos alguns conceitos fundamentais para as fases de planeamento e
desenvolvimento de programas informticos. So transmitidos alguns conhecimentos especficos sobre
programao e informaes necessrias correta tomada de decises ao longo do projeto de software.
O oitavo captulo dedicado implementao computacional. Neste captulo feita a apresentao do
programa na tica do programador, ou seja, apresentado o modo como o programa est construdo
com a incluso de alguns cdigos para exemplificao.
O nono captulo refere-se apresentao da interface grfica do programa de modelao e anlise
estrutural por elementos finitos desenvolvido no mbito desta dissertao.
Por fim, so apresentadas algumas concluses e sugestes para desenvolvimentos futuros.
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
3
2 FUNDAMENTOS DO MTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS
2.1. DESCRIO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
O Mtodo dos Elementos Finitos uma excelente ferramenta numrica de resoluo de problemas do
meio contnuo. Hoje em dia, impensvel projetar estruturas inovadoras e/ou arrojadas sem se recorrer
a este mtodo de anlise estrutural.
A formulao do Mtodo dos Elementos Finitos apresentada neste trabalho uma extenso da
formulao matricial do Mtodo dos Deslocamentos. Desta forma, muitos dos conceitos associados ao
Mtodo dos Deslocamentos tm correspondncia com os da formulao do Mtodo dos Elementos
Finitos [2]. Por exemplo, destacam-se as noes de grau de liberdade, deslocamento generalizado, fora
generalizada, matriz de rigidez elementar, vetor de foras nodais equivalentes, assemblagem, introduo
das condies de apoio, equao de equilbrio, etc.
No mbito da Engenharia de Estruturas, o Mtodo dos Elementos Finitos tem como finalidade a
determinao do estado de tenso e de deformao de um elemento ou estrutura sujeita a aes
exteriores. , assim, til recorrer a uma sucesso de anlises e modificaes das suas caractersticas,
com o objetivo de se alcanar uma soluo otimizada, quer em termos econmicos, quer na verificao
dos requisitos funcionais e regulamentares [2].
O meio contnuo de carcter estrutural , em geral, muito complexo para ser analisado de forma exata,
por isso, so adotadas hipteses simplificadoras para criar um modelo matemtico aproximado em
relao ao sistema fsico original. O comportamento esttico, por exemplo, pressupe que as foras so
aplicas de forma suficientemente lenta de maneira a se poder desprezar as foras de inrcia e de
amortecimento. A linearidade material corresponde adoo de uma relao linear entre tenses e
deformaes. A linearidade geomtrica implica que os deslocamentos nas estruturas sejam
suficientemente pequenos de forma que as equaes de equilbrio possam ser escritas na configurao
indeformada. Deste modo, a escolha do tipo de anlise parte integrante do procedimento de modelao.
A modelao de um problema genrico que envolve meios contnuos, atravs da anlise de partes
discretas desses meios, em detrimento do todo d-se o nome de discretizao. Cada elemento finito e as
leis que regem o seu comportamento contribuem para o conhecimento e a anlise do problema global
[21]. A passagem da escala de anlise ao nvel de cada elemento finito para a anlise do todo d-se o
nome de assemblagem. Assim, na tica do utilizador, a resoluo de um problema complexo, ou sem
soluo analtica conhecida, pelo Mtodo dos Elementos Finitos passa pela resoluo sequencial e
estruturada de vrios problemas mais simples com soluo matemtica conhecida que, quando
agrupados, conduzem a uma soluo do problema global inicial.
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
4
O Mtodo dos Elementos Finitos um mtodo aproximado e por este motivo a realizao de uma
simulao numrica sempre um modo aproximado para resolver um problema complexo. Assim, a sua
utilizao deve ser limitada a problemas para os quais no existam abordagens ou solues analticas
para a sua resoluo. Quando se recorre ao Mtodo dos Elementos Finitos para resolver problemas de
engenharia importante identificar as possveis fontes de erro e estimar a sua magnitude. A qualidade e
o rigor que empregue na modelao do problema estrutural vai influenciar os resultados obtidos da
anlise.
2.2. ANLISE DE MEIOS DISCRETOS E MEIOS CONTNUOS
Correntemente a anlise de estruturas feita com recurso a modelos de sistemas discretos. Este tipo de
anlise carateriza-se por fazer uso de um conjunto de elementos que modelam o domnio em estudo e
que se encontram unidos pelas suas extremidades. Estes elementos podem estar sujeitos a um conjunto
diversificado de aes exteriores. So exemplo de sistemas discretos as estruturas articuladas, as
estruturas reticuladas e as grelhas.
As estruturas articuladas caraterizam-se pelo facto dos seus membros transmitirem, unicamente,
esforos axiais. A ligao dos membros das estruturas articuladas feita por meio de articulaes da a
designao de estrutura articulada. Este facto leva a que haja liberdade de rotao nas articulaes. Uma
estrutura reticulada caracteriza-se pelo facto dos ns das suas barras estarem ligados de forma rgida ao
contrrio das estruturas articuladas em que estes esto ligados por meio de articulaes. Os membros de
uma estrutura reticulada podem ser submetidos a foras axiais, como os membros das estruturas
articuladas, bem como a esforos transversos e a momentos fletores, como os elementos de vigas. As
relaes de rigidez para os elementos de uma estrutura reticulada podem ser convenientemente obtidas
pela combinao das relaes de rigidez da estrutura articulada com os membros de viga. Uma grelha
uma estrutura onde as foras so aplicadas perpendicularmente ao seu plano, ao contrrio do que
acontece com os prticos planos onde as foras so aplicadas no seu plano.
A utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos no se cinge anlise de sistemas discretos como os
referidos anteriormente. De facto, a sua generalizao permite cobrir a anlise do comportamento de
meios contnuos. A soluo matemtica da maioria dos problemas na Engenharia de Estruturas passa
pela determinao de um conjunto de incgnitas que representam variveis fsicas [21]. Estas variveis
so os graus de liberdade do problema.
Na sua essncia, a anlise de uma estrutura pelo Mtodo dos Elementos Finitos uma aplicao do
Mtodo dos Deslocamentos. Em prticos, trelias e grelhas, os elementos so barras ligadas pelos ns.
Estes elementos de barra so considerados como sendo unidimensionais. Elementos finitos
bidimensionais ou tridimensionais so utilizados na anlise de paredes, lajes, reservatrios e estruturas
de massa. Sendo a soluo obtida pelo Mtodo dos Elementos Finitos aproximada, a convergncia para
a soluo exata conseguida quando o nmero de parmetros desconhecidos aumentado. Estes
parmetros desconhecidos correspondem aos deslocamentos nodais da malha de elementos finitos. Por
outras palavras, quando utiliza uma malha de elementos finitos mais refinada, mais deslocamentos
nodais desconhecidos so envolvidos sendo, deste modo, alcanada uma maior preciso.
A formulao matemtica do Mtodo do Elementos Finitos aplicada a meios contnuos consiste em
substituir o integral sobre um domnio complexo por um somatrio de integrais estendidos a
subdomnios de geometria mais simples [2]. Se for possvel calcular todos os integrais estendidos aos
subdomnios, no final, basta efetuar o somatrio para se obter o valor do integral estendido a todo o
domnio.
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
5
2.3. METODOLOGIA DE CLCULO
A aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos na anlise estrutural consiste na criao de um modelo
que aproxime as propriedades geomtricas e mecnicas da estrutura real com um nmero infinito de
graus de liberdade por um modelo com um nmero finito de graus de liberdade.
Simplificadamente, os passos necessrios para realizar uma anlise pelo Mtodo dos Elementos Finitos
so os seguintes:
1. Seleo do modelo estrutural adequado anlise pretendida e definio das propriedades
dos materiais;
2. Diviso do domnio da estrutura recorrendo a linhas, superfcies ou volumes, gerando uma
malha de elementos finitos;
3. Clculo das matrizes de rigidez elementares e dos vetores de foras nodais equivalentes
para cada elemento finito;
4. Assemblagem das contribuies de cada elemento finito na matriz de rigidez e vetor de
foras globais da estrutura;
5. Introduo das condies de fronteira e resoluo do sistema de equaes;
6. Clculo das extenses e tenses para cada elemento finito a partir do conhecimento dos
deslocamentos nodais;
7. Interpretao e apresentao dos resultados graficamente;
8. Avaliao da necessidade de considerar alteraes ao modelo ou aumento do refinamento
da malha de elementos finitos de modo a precisar as zonas onde existam variaes de
tenses acentuadas.
A sequncia de passos apresentada pretende mostrar o encadeamento usado numa anlise por elementos
finitos. Ao longo dos captulos 2 a 6 so pormenorizados cada um destes passos de modo a no final
estarem reunidas as condies necessrias implementao computacional do mtodo. Importa destacar
a importncia das decises que se tomam ao longo do cumprimento destes passos, pois, os resultados
obtidos da anlise vm afetados por essas decises.
2.4. ABORDAGEM DE ENGENHARIA
2.4.1. SELEO DO MODELO ESTRUTURAL
O primeiro passo para resoluo de um problema a identificao do prprio problema. Para se poder
analisar corretamente um problema necessrio identifica-lo corretamente. A correta identificao de
todos os fenmenos fsicos envolvidos que influenciam o comportamento da estrutura, a natureza
esttica ou dinmica, as propriedades dos materiais, entre outros, so fundamentais para a escolha
adequada do modelo estrutural. Quando se pretende modelar um problema por elementos finitos
necessrio escolher, por exemplo, se a anlise vai ser bidimensional ou tridimensional. A escolha tem
implicaes na quantidade de clculos realizados.
Os modelos, no mbito de uma anlise por elementos finitos, costumam ser classificados como
conceptuais, estruturais ou computacionais [13].
Os modelos computacionais so aplicados aos modelos conceptuais de um problema real e no ao
problema real em si [13]. Um modelo conceptual pode ser desenvolvido no seguimento da compreenso
da natureza fsica de um problema. Um modelo conceptual deve excluir os detalhes suprfluos e incluir
todas as caractersticas relevantes do problema em anlise de modo a descrever a realidade com preciso
adequada.
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
6
Um modelo conceptual para o estudo de uma estrutura deve incluir todos os dados necessrios para a
sua representao e anlise. Depois de se selecionar um modelo conceptual adequado para uma estrutura,
o passo seguinte para o seu estudo a definio de um modelo estrutural. Um modelo estrutural deve
incluir a descrio geomtrica da estrutura por meio dos seus componentes geomtricos, a expresso
matemtica das leis fsicas bsicas que regem o comportamento da estrutura e a especificao das
propriedades dos materiais e das cargas que atuam sobre a estrutura [13]. perfeitamente possvel que
o mesmo modelo conceptual de uma estrutura possa ser analisado utilizando diferentes modelos
estruturais, dependendo do rigor e/ou simplicidade procurada na anlise.
O passo seguinte na sequncia da anlise estrutural a escolha de um mtodo numrico. A aplicao do
Mtodo dos Elementos Finitos , normalmente, feita com a sua implementao num programa de
computador. No Captulo 9 apresentado o programa desenvolvido no mbito desta dissertao que
possibilita a modelao e a anlise estrutural pelo Mtodo dos Elementos Finitos.
2.4.2. DISCRETIZAO DO MODELO
A discretizao de um modelo em elementos finitos constitui uma das primeiras tarefas na anlise por
elementos finitos. A figura 2.1 mostra a discretizao de uma viga de espessura h com recurso a
elementos finitos retangulares.
Fig.2.1 Discretizao de uma viga com elementos finitos retangulares.
Todo o conhecimento sobre problemas fsicos, elementos finitos e algoritmos de resoluo contribui
para a experincia de modelao. A principal dificuldade enfrentada nesta etapa consiste em no
entender a ao fsica e as condies fronteira da estrutura real, bem como as limitaes da teoria
aplicvel, para criar um modelo adequado. Outra dificuldade de no compreender o comportamento
dos vrios elementos finitos para se selecionar os adequados resoluo do problema. O resultado pode
ser uma m pormenorizao do problema. Um modelo que no incorpore as caractersticas importantes
do problema fsico, uma discretizao imprpria dos carregamentos ou uma introduo de condies de
apoio inadequadas conduz a que os resultados obtidos no tenham correspondncia com os observados
na realidade.
Os utilizadores de programas de modelao por elementos finitos esto habituados utilizao de
ferramentas que geram automaticamente as malhas para o domnio em estudo. Contudo, a qualidade da
malha depende da qualidade dos algoritmos programados para a gerar. Logo, esto dependentes do
conhecimento que o programador tem sobre a modelao com elementos finitos. Portanto, o
procedimento de modelao no dever nunca ser menosprezado independentemente da sua dimenso
ou importncia. Face importncia que a modelao por elementos finitos apresenta esta costuma ser
considerada uma arte [3].
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
7
adequado que uma malha de elementos finitos seja composta por elementos finitos pouco distorcidos,
com dimenses semelhantes e refinada o suficiente para a obteno de resultados com qualidade
aceitvel. A melhor preciso est associada modelao com muitos elementos finitos e de ordem de
interpolao mais elevada. Igual preciso pode ser obtida com elementos de baixa ordem recorrendo a
um elevado refinamento da malha. A escolha do elemento finito tambm dependente do problema em
anlise. Um elemento ou malha que funcione bem numa situao pode funcionar mal noutra. A escolha
est dependente do conhecimento sobre cada elemento finito e da compreenso fsica do problema.
O principal problema associado ao custo computacional de uma anlise que as capacidades
computacionais so limitadas. Isto pode no ser evidente na anlise de pequenos problemas mas torna-
se relevante nos grandes problemas. Deve-se procurar usar modelos simples de modo a que os possveis
erros sejam mais facilmente detetveis. uma boa prtica usar dois modelos na anlise. Um modelo
mais simples que fornece resultados aproximados que depois pode ser usado para orientar a construo
de um novo modelo mais refinado e validar os seus resultados.
Existem algumas orientaes a seguir no processo de modelao de uma estrutura com elementos finitos,
nomeadamente:
Procurar incluir toda a estrutura real no modelo;
Modelar adequadamente os limites curvos do domnio;
Usar elementos que modelam o campo de deslocamentos real;
Evitar o uso de elementos desproporcionados ou distorcidos;
Usar malhas regulares e sem variaes bruscas de refinamento;
Modelar adequadamente as cargas;
Usar condies de apoio que simulem as condies reais;
Aumentar o refinamento nas zonas onde se prevejam grandes variaes nos gradientes de
tenses.
A escolha dos elementos a usar tem influncia na preciso dos resultados obtidos. H elementos que no
so capazes de modelar alguns modos de deformao ou distores [6]. Elementos diferentes tm
diferentes sensibilidades para modelar distores. Deve-se procurar que a seleo dos elementos a usar
esteja em conformidade com o tipo de deformao esperada. Os elementos finitos vizinhos do mesmo
tipo devem ter uma geometria semelhante e as transies entre elementos diferentes devem ser graduais.
As condies de apoio do modelo so to relevantes como a prpria malha de elementos finitos. No
adianta recorrer a refinamentos elevados se os apoios usados no modelo no modelem as condies de
apoio reais da estrutura. Normalmente, em teoria, os apoios estruturais so idealizados como
completamente rgidos ou como articulados. Os apoios reais, em geral, situam-se entre um apoio rgido
e um apoio articulado. Esta diferena pode levar a que exista uma alterao significativa da distribuio
de esforos na estrutura. No final de uma anlise deve-se procurar verificar a consistncia dos resultados
obtidos.
2.4.3. SISTEMA DE EQUAES ELEMENTARES
Assumindo que o material de que constitudo o modelo de elementos finitos homogneo e tem um
comportamento linear elstico, as foras nodais dependem de forma direta e proporcional dos
deslocamentos dos ns associados ao desenvolvimento de deformaes.
A relao entre o vetor de foras nodais equivalentes e o vetor de deslocamentos nodais, que se assume
ser de proporcionalidade direta, pode ser expressa atravs da relao matricial
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
8
[ 1121311
1222322
1323333
123]
{
123}
=
{
123}
(2.1)
onde n representa o nmero total de graus de liberdade do elemento finito. Colocando (2.1) numa forma
mais compacta,
= (2.2)
em que k designa a matriz de rigidez elementar, a o vetor de deslocamentos e f o vetor de foras nodais
equivalentes. Determinadas todas as matrizes de rigidez elementares para o problema em estudo, torna-
se necessrio agrup-las de forma a construir a matriz de rigidez global do problema. Esta operao
frequentemente designada por assemblagem. Uma operao semelhante tem de ser efetuada com os
vetores de foras nodais equivalentes dos elementos finitos.
2.4.4. ASSEMBLAGEM
Uma anlise por elementos finitos de um problema genrico que envolve meios contnuos, atravs da
anlise de partes discretas desses meios, implica que se proceda juno dos contributos de cada uma
das partes de modo a se conhecer o comportamento do problema global. A passagem da anlise ao nvel
de cada elemento finito para a anlise do todo d-se o nome de assemblagem. Com a operao de
assemblagem construda a matriz de rigidez e o vetor de foras nodais globais para todo o domnio do
problema. Note-se que na essncia desta operao est o facto de que uma qualquer fora externa
aplicada num determinado n da malha partilhada por todos os elementos finitos que tm esse n em
comum.
Fig.2.2 Malha constituda por elementos finitos unidimensionais.
Um vez construdas as matrizes de rigidez elementares e os vetores de foras nodais equivalentes
associados s cargas aplicadas nos elementos finitos procede-se assemblagem das suas contribuies
na matriz de rigidez e no vetor de foras nodais globais. Para realizar a assemblagem necessrio definir
a conetividade da malha de elementos finitos, isto , a relao existente entre a numerao dos graus de
liberdade dos elementos finitos e a numerao dos graus de liberdade da malha. Para isso construda,
para cada elemento finito, uma matriz de assemblagem do tipo
[ 123
||
]
(2.3)
onde a primeira coluna contm a numerao local dos n graus de liberdade do elemento finito e a
segunda coluna a correspondncia destes com a numerao global dos graus de liberdade da malha de
elementos finitos.
O procedimento de assemblagem no mais do que o espalhamento dos termos da matriz de rigidez
elementar e do vetor de foras nodais equivalentes do elemento finito pelas posies globais que estes
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
9
ocupam na matriz de rigidez e vetor de foras nodais globais, respetivamente. A assemblagem de
elementos finitos em tudo idntico assemblagem das contribuies das barras no Mtodo dos
Deslocamentos. De acordo com o exposto e atendendo figura 2.2, anteriormente apresentada, o nmero
total de graus de liberdade de uma malha de elementos finitos menor ou igual que o nmero total de
graus de liberdade dos elementos finitos. Note-se que no momento da assemblagem as contribuies
dos vrios elementos finitos que partilham o mesmo n so somadas.
Depois de realizada a operao de assemblagem obtm-se a representao fsica do comportamento de
uma estrutura na forma de um sistema global de equaes. Este sistema de N equaes, onde N
representa o nmero total de graus de liberdade da malha de elementos finitos, pode ser escrito na forma
genrica
1
1
[
11
21
12
22
]
{
}
=
{
1
2
}
(2.4)
onde e
, ,=1,,, correspondem aos termos da matriz de rigidez elementar e do vetor de foras
nodais equivalentes, respetivamente, do elemento finito e. A matriz de rigidez global uma matriz
quadrada com dimenso correspondente ao nmero total de graus de liberdade do problema, enquanto,
os vetores de deslocamentos e foras nodais tm N linhas. Colocando o sistema de equaes (2.4) numa
forma mais compacta,
= . (2.5)
2.4.5. CONDIES DE FRONTEIRA E CARREGAMENTOS
Na forma como o sistema de equaes (2.4) apresentado no so considerados os apoios e fixaes do
problema e nem as condies particulares de carregamento.
O vetor F constitudo pelos carregamentos que atuam no interior e/ou na fronteira de cada elemento
finito com os carregamentos atuantes nos ns da malha de elemento finitos. Os carregamentos
concentrados e distribudos atuantes em cada elemento finito so considerados no clculo dos vetores
de foras nodais equivalentes. Os carregamentos aplicados nos ns da malha so adicionados
diretamente ao vetor de foras nodais globais.
Atendendo a que os graus de liberdade do sistema so as componentes de deslocamento dos ns da
estrutura, sem a substituio de um nmero mnimo de deslocamentos prescritos, para prevenir os
movimentos de corpo rgido da estrutura, no se pode resolver o sistema de equaes. Isto advm do
facto dos deslocamentos no poderem ser unicamente determinados pelo vetor F se a este no
corresponder uma situao de equilbrio esttico. Matematicamente interpretado com a singularidade
da matriz K. Assim, para que o sistema de equaes tenha uma soluo admissvel necessrio definir
deslocamentos prescritos correspondentes fixao da estrutura.
2.4.6. RESOLUO DO SISTEMA DE EQUAES
Aps a introduo das condies de apoio e a prescrio dos deslocamentos, o sistema de equaes (2.5)
pode ser escrito na forma
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
10
= + (2.6)
em que o vetor R armazena a informao relativa s condies de apoio da estrutura. Para facilitar a sua
resoluo do ponto de vista computacional conveniente organiz-lo de modo a separar os termos
associados aos graus de liberdade no prescritos dos graus de liberdade prescritos, isto , colocando-o
na forma
[
] {} = {
} + {
} (2.7)
onde o ndice L se refere aos graus de liberdade no prescritos ou livres e o ndice F aos graus de
liberdade prescritos ou fixos. O vetor r corresponde s reaes de apoio da estrutura que at esta fase
so uma incgnita do problema como, tambm, os deslocamentos nodais associados aos ns no
prescritos. Este novo sistema de equaes pode ser resolvido do seguinte modo.
= 1( ) (2.8a)
= + (2.8b)
Este procedimento genrico permite determinar o valor dos deslocamentos nodais associados aos ns
no prescritos e sucessivamente o valor das reaes de apoio na estrutura. Se no existirem
assentamentos de apoio na estrutura, o vetor nulo, pelo que as expresses (2.8) so simplificadas nas seguintes expresses.
= 1 (2.9a)
= (2.9b)
2.4.7. VERIFICAO E VALIDAO DOS RESULTADOS
De forma a se ter confiana nos resultados obtidos conveniente efetuar a sua validao. A validao
assenta fundamentalmente em duas partes distintas que so realizadas em fases diferentes e normalmente
por pessoas diferentes. A primeira parte consiste em verificar o cdigo de modo a estabelecer a confiana
que tudo foi corretamente programado. A segunda parte consiste em verificar os clculos de modo a
estabelecer a confiana no modelo criado para a anlise.
Como a discretizao introduz uma aproximao [13], existem duas fontes de erro desde o incio, ou
seja, o erro de modelao e o erro de discretizao. O primeiro pode ser reduzido, melhorando os
modelos conceptuais e estruturais que descrevem o comportamento real da estrutura. O erro de
discretizao pode ser reduzido pelo uso de uma malha mais refinada ou usando elementos finitos de
ordens superiores. Os computadores tambm introduzem erros numricos associados sua limitao
para representar os dados com elevada preciso. O erro numrico apesar de pequeno somado aos erros
associados modelao e discretizao.
2.5. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Define-se como virtual algo que no real, portanto, imaginrio. Um deslocamento virtual ou uma fora
virtual so, respetivamente, um deslocamento imaginrio ou uma fora imaginria, arbitrariamente
impostos sobre um sistema estrutural.
Considere-se o corpo representado na figura 2.3 sujeito a um conjunto de foras de volume, de
superfcie, de linha e concentradas que lhe provocam deformao. Com base no seu estado de equilbrio
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
11
esttico, a configurao do corpo modificada por um conjunto de deslocamentos muito pequenos e
compatveis com as condies de fronteira.
Fig.2.3 Corpo sujeito a diversos tipos de aes exteriores (Adaptado de [2]).
O Princpio dos Trabalhos Virtuais estabelece que o trabalho realizado pelas tenses internas na
deformao virtual do corpo igual ao trabalho realizado pelas foras exteriores nos deslocamentos
virtuais dos seus pontos de aplicao.
= (2.10)
Para um corpo tridimensional contnuo representado pela figura 2.3, o Princpio dos trabalhos Virtuais
pode ser escrito na forma
=
+
+
+ (2.11)
onde indica as deformaes virtuais, as tenses reais aproximadas e os deslocamentos virtuais. Na formulao do Mtodo dos Elementos Finitos, o campo de deformaes interpolado a partir dos
deslocamentos nodais com a expresso
= (2.12)
onde B a matriz de deformao e a o vetor de deslocamentos nodais. Quando esta equao se refere
aos deslocamentos virtuais e correspondentes deformaes virtuais, tem-se
= (2.13)
que equivalente a
= . (2.14)
As tenses, para um material isotrpico com comportamento linear elstico, podem ser obtidas atravs
da relao constitutiva
= (2.15)
onde a matriz D designada por matriz de elasticidade e na isotropia funo das propriedades elsticas
do material, isto , do mdulo de elasticidade, E, e do coeficiente de Poisson, v. Substituindo (2.12) em
(2.15) obtm-se
Desenvolvimento de um Programa de Elementos Finitos Verstil
12
= . (2.16)
Na formulao do Mtodo dos Elementos Finitos considera-se que a interpolao do campo de
deslocamentos a partir dos deslocamentos nodais efetuada com a expresso
= (2.17)
em que N agrupa as funes de forma que dependem do elemento finito considerado e a contm os
deslocamentos nodais cujo nmero depende do nmero total de graus de liberdade que o elemento finito
apresenta. Quando esta equao se refere aos deslocamentos virtuais, tem-se
= (2.18)
que equivalente a
= . (2.19)
Substituindo em (2.11) as equaes (2.14), (2.16) e (2.19), o Princpio dos Trabalhos Virtuais expresso
na forma
=
+
+
+ . (2.20)
Uma vez que os vetores de deslocamentos nodais virtuais e de deslocamentos nodais so constantes,
podem passar-se para fora do integral. Assim, aps alguma manipulao algbrica, obtm-se
= (
+
+
+) . (2.21)
Considerando que, para alm destes serem constantes, o campo de deslocamentos nodais virtuais
sempre no-nulo nos domnios considerados, ento da equao anterior pode concluir-se que
=
+
+
+ . (2.22)
Comparando esta equao com a relao de rigidez que utilizada no Mtodo dos Deslocamentos,
conclui-se que
= . (2.23)
Este procedimento genrico pode facilmente ser utilizado para determinar os sistemas de equaes
elementares de todos os elementos finitos.
2.6. REQUISITOS PARA A CONVERGNCIA DA SOLUO
2.6.1. CONDIO DE CONTINUIDADE
Os deslocamentos devem ser contnuos dentro de cada elemento finito. Esta condio automaticamente
satisfeita usando aproximaes polinomiais para o campo de deslocamentos. necessrio tambm que
exista continuidade do campo de deslocamentos na fronteira de cada um dos elementos que lhe so
adjacentes na malha de elementos finitos.
Elementos que satisfazem a condio de continuidade do campo de deslocamentos so denominados
elementos finitos conformes. No entanto, em alguns casos particulares, tais como, em alguns elementos
flexo baseados na teoria de Kirchhoff, esta condio no satisfeita. Estes elementos, em que a
condio de continuidade no satisfeita, so denominados elementos finitos no conformes. Elementos
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no conformes podem convergir para a soluo exata se passarem no patch test. Em algumas ocasies
estes elementos finitos fornecem boas solues com malhas relativamente grosseiras.
2.6.2. CONDIO DE DERIVABILIDADE
As derivadas das funes de forma devem existir at s derivadas que aparecem nos elementos da matriz
de deformao B. Por exemplo, para uma matriz que contenha derivadas de primeira ordem, as funes
forma devem ser, pelo menos, de primeira ordem.
Uma funo contnua com a primeira derivada descontnua designada por funo com continuidade
C0. Por outro lado, uma funo contnua com primeira derivada contnua e segunda derivada descontnua
possui continuidade C1. Desta forma, uma funo possui continuidade Cn quando todas as suas derivadas
at ordem n so contnuas, mas a sua derivada de ordem n + 1 descontnua.
2.6.3. CONDIO DE INTEGRABILIDADE
No caso de uma funo ter continuidade C0, a sua primeira derivada apresentar descontinuidades
pontuais, correspondendo a uma funo de continuidade C-1. Contudo, tais descontinuidades no
impedem que esta derivada seja integrvel em todo o seu domnio.
A integrabilidade de funes de continuidade C-1 torna admissvel a utilizao de funes com
continuidade C0. Nesta situao, tal significa que o campo de deslocamentos tem continuidade C0, pelo
que o campo de deformao, definido com base na primeira derivada do deslocamento, possui
continuidade C-1. Devido simplicidade das funes de continuidade C0, este tipo de funes
usualmente utilizado na resoluo de problemas pelo Mtodo dos Elementos Finitos [21].
2.6.4. CONDIO DE CORPO RGIDO
As funes de forma devem ser capazes de representar um movimento de translao sem deformao,
isto , um movimento de corpo rgido. Isto significa que todos os pontos pertencentes ao elemento finito
tm um deslocamento igual ao dos ns. Esta condio fsica satisfeita para um nico elemento finito,
se a soma das suas funes de forma avaliadas em qualquer ponto do elemento finito for igual unidade,
isto , se
1() + 2() + 3() ++ () = 1 (2.24)
onde () a funo de forma do elemento finito para o n i.
2.6.5. CONDIO DE DEFORMAO CONSTANTE
Quando se impem deslocamentos nodais correspondentes a um estado de deformao constante, o
campo de deslocamentos deve originar um campo de deformaes constantes no interior do elemento
finito. O critrio de deformao constante incorpora o requisito de corpo rgido. A funo de
deslocamento tem que ser de tal modo que se os deslocamentos nodais forem compatveis com um
campo de deformao constante, o estado de deformao obtido no interior do elemento finito deve ser
tambm constante.
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3 FORMULAO DE ELEMENTOS
FINITOS
3.1. ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAIS
3.1.1. TENSO
A generalidade dos elementos estruturais aplicados nas estruturas de edifcios so do tipo barra e muitos
destes esto submetidos a cargas axiais aplicadas nas extremidades. O estudo dos elementos finitos
unidimensionais prende-se com a necessidade de apresentar uma formulao que permita o estudo destes
elementos estruturais.
De modo a se poder calcular a distribuio de tenso que atua na seco transversal da barra so adotadas
as seguintes hipteses simplificadoras [4]:
A barra permanece reta tanto antes como depois da aplicao da carga, e, alm disso, a
seco transversal permanece plana durante a deformao;
A carga aplicada segundo o eixo longitudinal da barra e o material homogneo e
isotrpico.
Considere-se uma barra reta de seco transversal constante e sujeita a um carregamento axial centrado
nas suas extremidades. Como a barra sofre uma variao de comprimento aps aplicao da carga, a
deformao axial calculada recorrendo expresso
=
(3.1)
em que designa a variao de comprimento e L o comprimento indeformado da barra. Pela definio de tenso,
=
(3.2)
em que P corresponde carga axial e A rea da sua seco transversal da barra. A partir do valor da
deformao possvel calcular o valor da tenso em qualquer seco transversal da barra. Admitindo
que o material da barra apresenta um comportamento linear elstico possvel definir a relao entre
tenses e deformaes
= (3.3)
em que E designado por mdulo de elasticidade do material. Atravs da formulao de elementos
finitos possvel usar esta relao nas situaes em que as extenses variam ao longo da barra.
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3.1.2. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
O estudo dos elementos finitos unidimensionais justifica-se com a necessidade de introduzir as tcnicas
usadas para formular os diversos elementos finitos, nomeadamente, os elementos finitos bidimensionais
e tridimensionais.
Fig.3.1 Elemento finito unidimensional sujeito a uma carga axial.
O Princpio dos Trabalhos Virtuais estabelece que o trabalho realizado pelas tenses internas na
deformao virtual do corpo igual ao trabalho realizado pelas foras exteriores nos deslocamentos
virtuais dos seus pontos de aplicao.
= (3.4)
Para o caso de um elemento finito unidimensional definido segundo o eixo Ox, de comprimento L e
sujeito a uma carga axial p uniformemente distribuda ao longo do seu comprimento, pelo Princpio dos
Trabalhos Virtuais, tem-se
= u
. (3.5)
Atendendo ao apresentado no Captulo 2 sobre o Princpio dos Trabalhos Virtuais, a relao (3.5), aps
alguma manipulao algbrica, equivalente a
+/2
/2
= +/2
/2
(3.6)
onde B a matriz de deformao, a o vetor de deslocamentos nodais e N agrupa as funes de forma
que dependem do elemento finito considerado. Colocando (3.6) numa forma mais compacta,
= . (3.7)
3.1.3. FUNES DE FORMA
As funes de forma do tipo polinomial para um elemento finito de n ns podem ser determinadas
recorrendo ao polinmio de Lagrange. Conhecidas as n coordenadas dos n ns do elemento finito
unidimensional, a expresso genrica do polinmio de Lagrange de grau n - 1, associado ao n i,
() = ( )
( )
=1 ()
(3.8)
em que e correspondem coordenada associada ao n i e ao n j, respetivamente. Os parmetros
i() designam-se por funes de forma para o n i e interpolam dentro de cada elemento finito o deslocamento do n i. Uma das caractersticas das funes de forma de valerem um no n i e zero em
todos os outros ns do elemento finito. Note-se que recorrendo a um polinmio de grau n o respetivo
elemento finito tem n + 1 ns.
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3.1.4. CAMPO DE DESLOCAMENTOS
Considere-se o elemento finito unidimensional com n ns representado na figura 3.2, de comprimento
L, rea da seco transversal A, mdulo de elasticidade E e sujeito a um carregamento axial p
uniformemente distribudo ao longo de todo o seu comprimento.
Fig.3.2 Elemento finito unidimensional de n ns.
Sendo apenas considerado o eixo Ox, todos os deslocamentos ocorrem paralelamente a ele. Se se
conhecer os deslocamentos nodais do elemento finito, o campo de deslocamentos u() do elemento finito pode ser interpolado a partir desses mesmos deslocamentos, ou seja,
u() = 1()1 +2()2 ++() (3.9)
ou, de forma mais compacta,
u() = i()
=1
(3.10)
onde os parmetros correspondem ao valor do deslocamento nodal no n i do elemento finito.
3.1.5. CAMPO DE DEFORMAES
Sendo o campo de deslocamentos aproximado com recurso a funes interpoladoras, conhecido o campo
de deslocamentos para o elemento finito suficiente derivar as suas funes de forma e multiplic-las
pelos respetivos deslocamentos nodais.
= u
(3.11)
Na forma matricial, derivando as n funes de forma do elemento finito com n ns, o campo de
deformaes obtido pela multiplicao da matriz de deformao pelo vetor de deslocamentos nodais
do elemento finito, isto ,
= [1
2
] {
12
} (3.12)
ou, de forma mais compacta,
= (3.13)
sendo a matriz B designada por matriz de deformao ou, correntemente designada, matriz das derivadas
das funes de forma.
3.1.6. CAMPO DE TENSES
As tenses, para um material isotrpico com comportamento linear elstico, podem ser obtidas atravs
da relao constitutiva (3.3) que aps a substituio de (3.13) resulta em
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= (3.14)
sendo E designado por mdulo de elasticidade.
Note-se que o clculo da tenso num dado ponto do elemento finito est dependente do conhecimento
dos deslocamentos nodais e da avaliao da matriz B nesse ponto. Como o campo de deslocamentos do
elemento finito determinado a partir dos deslocamentos nodais com recurso a um polinmio
interpolador, verifica-se que existem pontos onde os resultados obtidos se aproximam da soluo terica
esperada e pontos onde o resultado obtido se afasta.
3.1.7. ESFOROS INTERNOS
Conhecida a tenso instalada num dado ponto do elemento finito, o esforo axial obtido atravs da
multiplicao do valor da tenso pela rea da seco transversal do elemento finito. Se o esforo axial
obtido positivo, a seco transversal est tracionada, caso contrrio, a seco transversal est
comprimida.
3.1.8. TRANSFORMAO DE COORDENADAS
Na forma como foi apresentada esta formulao de elementos finitos, estes s podem ser aplicados ao
clculo de estruturas em que todos os seus elementos estejam alinhados, ou seja, na situao em que
todos os graus de liberdade dos elementos da estrutura sejam colineares.
Uma vez que os membros da estrutura podem ter diferentes direes, necessrio definir um sistema de
eixos global para a estrutura. Como consequncia desta definio de sistema de eixos, cada grau de
liberdade de um elemento de barra decomposto nos respetivos graus liberdade dependentes para cada
direo do novo referencial. Esta decomposio dos graus de liberdade do elemento finito nas duas
direes ortogonais do sistema de eixos global realizada com recurso a uma matriz de transformao
coordenadas.
A transformao da matriz de rigidez elementar do referencial local para o referencial global feita com
recurso expresso
= (3.15)
onde T a matriz de transformao de coordenadas. Para o vetor de foras nodais equivalentes a
mudana de referencial realizada com a expresso seguinte.
= (3.16)
Determinadas as matrizes de rigidez elementares e os vetores de foras nodais equivalentes dos vrios
elementos finitos no referencial global procede-se ao seu espalhamento de forma a formar o sistema de
equaes globais. Resolvido o sistema de equaes globais, para determinar os deslocamentos nodais
no referencial local de cada elemento finito necessrio realizar um procedimento oposto ao apresentado
para os passar do referencial local para o global.
Conhecidos os deslocamentos no sistema de eixos global da estrutura, os deslocamentos nodais para
cada elemento finito no respetivo sistema de eixos local so calculados do seguinte modo.
= (3.17)
A metodologia de transformao de coordenadas apresentada pode ser aplicada a qualquer quantidade
e vlida para meios discretos e meios contnuos.
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3.2. ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONAIS
3.2.1. ESTADO PLANO DE TENSO/DEFORMAO
Na anlise bidimensional de estruturas em estado plano de tenso admitido que a componente de
tenso ao longo da direo Oz e as tenses de corte nessa mesma direo so nulas. No caso de um
estado plano de deformao, a componente de deformao e as distores associadas direo
perpendicular a esse plano so consideradas nulas. Assim, possvel realizar uma anlise modelando e
discretizando apenas a seco representativa do problema com recurso, tipicamente, a elementos finitos
bidimensionais de geometria triangular e/ou retangular.
Considera-se que um corpo est em estado plano de tenso quando [9]:
Todas as cargas aplicadas atuam no plano mdio do corpo, sendo ainda simtricas
relativamente a este;
A espessura do corpo desprezvel em relao s outras dimenses;
Todas as condies de apoio so simtricas relativamente ao plano mdio;
As tenses normal e de corte segundo a direo z podem ser desprezadas.
Tipicamente, um corpo sujeito a um estado plano de deformao apresenta uma das dimenses
significativamente superior s restantes, isto , a espessura deixa de ser desprezvel, bem como a
componente de tenso . Aplicando o conceito de deformao infinitesimal da Mecnica dos Slidos, as componentes cartesianas da extenso e da distoro so dadas por
= {
} (3.18)
em que se considera = = 0. A componente de deformao segundo a direo perpendicular ao
plano Oxy, isto , a componente de deformao pode ser nula. Este caso caracteriza-se por representar um estado plano de deformao. Alternativamente, esta componente de deformao pode ser diferente
de zero, representando um estado plano de tenso.
O campo de tenses associado ao campo de deformaes pode ser escrito pelas seguintes componentes
cartesianas.
= {
} (3.19)
Para materiais que apresentem comportamento linear elstico, homogeneidade e isotropia, as tenses
podem ser obtidas atravs da relao entre tenses e deformaes
= (3.20)
onde a matriz D designada por matriz de elasticidade e funo das propriedades elsticas do material,
isto , do mdulo de elasticidade, E, e do coeficiente de Poisson, . Num estado plano de tenso, para um material isotrpico com comportamento linear elstico,
=
[
1 2
1 20
1 2
1 20
0 0
2(1 + )]
(3.21)
enquanto que, para um estado plano de deformao
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=
(1 + )(1 2)[
1 0 1 0
0 01 2
2
] . (3.22)
3.2.2. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
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