DESENHO TÉCNICONORMALIZAÇÃO E DESENHO GEOMÉTRICO
MÓDULO 1
Ricardo Ramalho
TÉCNICO DE ENERGIAS RENOVÁVEIS
Módulo 2 - Geometria Descritiva - 10º E - formador Ricardo Ramalho - 2009/2010
GEOMETRIA DESCRITIVA...
o que é e para que serve!
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Desde sempre, o homem, na sua necessidade de comunicação, procurou encontrar um meio de representar as formas dos objectos que o rodeavam.
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Assim, Gaspar Monge (1746 - 1818) quem, com a sua Geometrie Descriptive reuniu e sistematizou num processo coerente os meios que até ai eram usados de modo impreciso e variavel.
Gaspard Monge (Beaune, 10 de maio de 1746 - Paris, 28 de julho de 1818) foi um matemático francês, criador da geometria.
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Monge criou um método que permite representar, com precisão, os objectos que têm três dimensões (comprimento, largura e altura) numa superficie plana.
Este processo baseia-se no conceito de projecção, que está na base de todos os actuais sistemas de representação rigorosa.
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Projecção
Se considerarmos um plano (a) no qual desejamos projectar uma dada figura [CDE] e um ponto que designaremos como origem [O].Ao fazer passar linhas rectas por todos os pontos da figura considerada e pela origem, obtemos um feixe de rectas (projectantes) que intersectará o plano segundo uma outra figura [C1 D1 E1] que será a projecção da primeira sobre esse plano.Cada sistema de projecções refere-se sempre a uma determinada origem, e quando esta está situada a uma distância finita, diz-se que a projecção é cónica ou central (figura 1). O
C
DE
C1
D1
E1
afigura 1
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Projecção
Quando a origem se localiza a uma distância infinita, as projectantes resultam paralelas e a projecção é chamada por paralela ou cilíndrica (figura 2).
C
D E
C1
D1E1
a
G1F1
G
F
figura 2
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Sistema Diédrico
Neste método, consideram-se dois planos de projecção perpendiculares entre si, o plano frontal (ou vertical) e o plano horizontal, dividindo o espaço em quatro partes - os Diedros.
A recta de intersecção destes dois planos chama-se eixo X.
Cada figura do espaço fica definida pelas suas projecções ortogonais sobre cada um desses planos, uma vertical e outra horizontal.
X4º Diedro3º Diedro
2º Diedro 1º Diedro
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1º D2º D
4º D3º D
x
Planos Bissectores
Como vimos antes, o plano frontal e o plano horizontal, ortogonais entre si, dividem o espaço em quatro Diedros. Estes por sua vez, são divididos em Octantes pelos respectivos planos bissectores.
Na figura em baixo, está representado o plano bissector do 1º Diedro que bissecta, simultaneamente, o 3º Diedro - é o primeiro bissector ou o bissector dos diedros impares: o B1/3.
De notar que o B1/3 contém o eixo X e divide cada um dos dois diedros em dois diedros geometricamente iguais.
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1º D2º D
4º D3º D
x
Planos Bissectores
Na figura seguinte, temos o plano bissector do 2º Diedro - B2/4.
De notar que o B2/4 contém também o eixo X e divide cada um dos dois diedros em dois diedros geometricamente iguais.
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Planos Bissectores
Assim, os quatro planos (plano frontal, plano horizontal, B1/3 e B2/4) dividem o espaço em oito Octantes.
3º D 4º D
2º D 1º D
X5º oct.
6º oct.7º oct.
8º oct.
1º oct.
2º oct.3º oct.
4º oct.
5º oct.
6º oct. 7º oct.
8º oct.
1º oct.
2º oct.3º oct.
4º oct.
X
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Sistema Diédrico
Como em todos os sistemas de projecção pretende-se a representação das três dimensões num só plano (o do desenho), este problema é resolvido pelo rebatimento em torno do eixo X de um sobre o outro dos dois planos de projecção considerados.
Deste modo o plano do desenho fica dividido horizontalmente pelo eixo X, representando-se para cima dele as projecções feitas sobre o Semiplano Frontal Superior - SPFS e sobre o semiplano horizontal posterior - SPHP e para baixo as projecões feitas sobre o Semiplano Frontal Inferior - SPFI e sobre o Semiplano Horizontal Anterior - SPHA.
X
SPFS
SPFI
SPHA
SPHP
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Referenciais
Um referencial é um conjunto de elementos que nos permite organizar uma determinada entidade (recta, plano, espaço, etc.)
Referencial a 1 dimensão- um referencial a uma dimensão é constituido por uma recta, ou eixo ordenado, num referencia unidimensional, cada ponto terá, assim, uma única coordenada - a abcissa.
A -> 4;B -> -2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
B O A
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x
C
Referenciais
Referencial a 2 dimensões
Um referencial a duas dimensões (bidimensional) existe num plano - é constituido por dois eixos coordenados, que são duas rectas concorrentes na origem do referencial. Num referencial bidimensional, cada ponto tem duas coordenadas - a abcissa e a ordenada.
A (5,2)
B (4, -3)
C (-2, 0)
y
O
A
B
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y
z
O
A
Referenciais
Referencial a 3 dimensões
Um referencial tridimensional é constituido por três eixos coordenados, que são três rectas complanares duas a duas e concorrentes num único ponto, que é a origem do referencial. Num referencial tridimensional, cada ponto tem três coordenadas - a abcissa, a ordenada e a cota.
Notem que a figura seguinte não tem três dimensões - a figura aolado é a representação bidimensional de um referencial a três dimensões!
A (4; 2; 3)
x
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y
z
O
Referenciais
Referencial a 3 dimensões
Notem que, num referencial tridimensional, os três eixos definem três planos: o plano xOy, o plano xOz e o plano yOz.
Assim, ao estudarmos as formas no espaço - Geometria no espaço - consideramos que o espaço (finito) se encontra organizado por um referencial a três dimensões.
x
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Organização do Espaço
Como vimos antes, um referencial no espaço (a três dimensões) é constituido por três planos ortogonais entre si - um plano frontal (ou vertical), um plano horizontal e um plano de perfil (que também é vertical).
Os planos são infinitos, mas para que a sua representação fique legivel é necessário estabelecer limites.
Planos do referencial:
- plano horizontal ( lê-se Niu zero) ou plano Xoy; - plano frontal ( lê-se Fi zero) ou plano xOz; - plano de perfil ( lê-se Pi zero) ou plano yOz.
y
x
o
z
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Coordenadas de um ponto
As três coordenadas de um ponto em Geometria Descritiva são a abcissa, o afastamento e a cota. E são escritas sempre nesta ordem!
Deste modo a expressão:
P (x; y; z) indica-nos que o ponto P tem x de abcissa, y de afastamento e z de cota.
y
x
o
z
PAFASTAMENTOABCISSA
COTA
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Variação do sinal das coordenadas de um ponto
Cota
- um ponto com cota positiva situa-se acima do plano horizontal, pode situar-se no 1º Diedro, no 2º Diedro ou no SPFS (sentido positivo do eixo z);- um ponto com cota negativa situa-se abaixo do plano horizontal, pode situar-se no 3º Diedro, no 4º Diedro ou no SPFI (sentido negativo do eixo z);- um ponto com cota nula situa-se no plano horizontal (plano XY), a sua distância ao plano horizontal é zero e pode situar-se no SPHA, no SPHP ou no eixo X.
y
x
o
z
+ +
- -
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Variação do sinal das coordenadas de um ponto
Afastamento
- um ponto com afastamento positivo situa-se para a frente do plano frontal, pode situar-se no 1º Diedro, no 4º Diedro ou no SPHA (sentido positivo do eixo y);- um ponto com afastamento negativo situa-se atrás do plano frontal, pode situar-se no 2º Diedro, no 3º Diedro ou no SPHP (sentido negativo do eixo y);- um ponto com afastamento nulo situa-se no plano frontal (plano XZ), a sua distância ao plano frontal é zero e pode situar-se no SPFS, no SPFI ou no eixo X.
y
x
o
z
+
+
-
-
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Variação do sinal das coordenadas de um ponto
Abcissa
- um ponto com abcissa positiva situa-se para a esquerda do plano de perfil (sentido positivo do eixo x);- um ponto com abcissa negativa situa-se para a direita do plano de perfil (sentido negativo do eixo x);- um ponto com abcissa nula situa-se no plano de perfil (plano YZ), a sua distância ao plano de perfil é zero.
y
x
o
z
+
-
+
-
X
A1
A
A2
h
h1
h2
F F2
F1X
h1
h2
A1
A2
F1
F2
X
A1
A
t1
A B2 C2 (t2) F F2
F1 tB1
B
C1
C
X
A2 B2 C2 (t2) F F2
t1
F1
A1
B1
C1
X A1
A
A2
f2
f
f1X
A1
A2 f2
f1
X
A1
A
A2
f2 f
f1
H H1
H2 X
A1
A2
H1
H2
f2
f1
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