Descontos: Descontos Simples

Disciplina de Matemática Financeira– 2012/1 Curso de Administração em Gestão Pública

Profª. Me. Valéria Espíndola Lessa E-mail:

lessavaleria@gmail.com Valeria-lessa@uergs.edu.br

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Definição

• Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto. Portanto, desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes do seu vencimento.

• Os títulos de créditos mais utilizados em situações financeiras são: – nota promissória

– duplicata

– letra de câmbio

Definição

• Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:

– que o devedor efetue o pagamento antes da data predeterminada;

– que o credor necessite do dinheiro antes da data predeterminada.

• Em ambos os casos há um benefício que, obtido em comum acordo, recebe o nome de desconto.

Elementos do Cálculo do Desconto

Data do vencimento - fixado no título, para o pagamento (ou recebimento) da aplicação;

Valor Nominal ou Futuro (N)– valor indicado no título, a ser pago no dia do vencimento;

Valor Atual ou Presente (A) – líquido pago (ou recebido) antes do vencimento;

Prazo (n) – número de períodos compreendidos entre aquele em que se negocia o título e o do seu vencimento;

Taxa de desconto (i) – taxa usada na operação de desconto;

Definição

Desconto (d) é a quantia a ser abatida do valor futuro ou nominal, isto é, a diferença

entre o valor futuro e o valor presente.

d = N - A

Tipos de Descontos

• Descontos Simples (Capitalização Simples) Equivalente a Juros simples, produzido pelo valor nominal.

– Desconto Comercial (bancário ou por fora)

– Desconto Racional (por dentro) • Praticamente não é utilizado.

• Descontos Compostos (Capitalização Composta)

Equivalente a Juros Compostos.

– Desconto Comercial (bancário ou por fora) • Praticamente não é utilizado, portanto não estudaremos.

– Desconto Racional (por dentro)

Desconto Simples Comercial

É o valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal (N) do compromisso que seja saldado em n períodos antes do seu vencimento.

d = desconto comercial N = valor nominal (montante) n =número de períodos antes do vencimento i = taxa de desconto A = Valor Atual

d = N.i.n

A = N - d

J = C.i.n

Ou A = N – N.i.n => A = N(1 – i.n)

Exemplos e Exercícios

• Ver exemplos na página 105

• Fazer exercícios “Resolva” da página 106, 1, 2, e 3.

Taxa de Juros Efetiva (if)

• É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado (A) gera no período (n), um montante igual ao valor nominal (N).

• Para calcular o desconto aplicamos uma certa taxa de desconto ao valor nominal (N), obteremos o desconto e descontamos este do valor nominal.

• Para retornar ao valor nominal, a partir do valor atual (já com o desconto) não podemos usar a mesma taxa. Vejamos um exemplo:

Exemplo

1º) Achar o desconto e o valor atual:

N = 1.000

n = 20 dias

I = 2% a.m.

d = N.i.n

d = 1000 . 20 . 0,02 = 400

A = 600

2º) Achar o Montante a partir do Valor Atual

A = 600 = Capital

n = 20 dias

I = 2% a.m.

M = C (1+ i.n)

M = 600 (1 + 20.0,02)

M = 840

Não deu os 1.000 Por que????

Fórmula

• Temos que encontrar uma taxa especial, que aplicada aos 600 dê os 1.000.

• Usaremos a fórmula do Montante dos Juros Simples trocando algumas notações:

M = C ( 1 + i . n)

N = A ( 1 + if . n)

...

nA

dif

Exemplo • Continuando o exemplo anterior, vamos encontrar a taxa efetiva para

aplicar sobre os 600 para chegar até 1.000.

• Então, usaremos a taxa aproximada de 3,33% e obteremos um montante aproximado:

M = C (1+in) = 600 (1+0,033.20) = 996

• Quanto mais dígitos 3 usarmos na taxa, mais próximo de 1000 ficará.

• E se usarmos frações?

...03333,012000

400

20.600

400

n.A

dif

30

1

120

4

12000

400

10003

5600)20

30

11(600)in1(CM

Exemplo e Exercício

• Exemplo na página 107

• Exercício “Resolva” na página 108, 1.

Equivalência de Capitais

• Há situações que precisamos substituir um título por outro com vencimentos diferentes;

• Capitais diferidos serão equivalentes quando, em algum momento, seus Valores Atuais forem iguais;

A = A’

Valor Atual do título

que irá substituir

Valor Atual do título que

será substituido.

Exemplos e Exercícios

• Página 109 e 110, exemplos 1, 2 e 3.

• Página 111, exercícios 1, 2 e 3.

Desconto Simples Racional

• No desconto simples comercial o cálculo é feito sobre o Valor Nominal (N)

• No desconto simples racional, o cálculo é feito sobre o Valor Atual (A)

d = N . i . n Comercial

dr = Ar . i .n Racional

Fórmulas

• Comercial

d = N . i . n

• Racional

dr = Ar . i . n

A = N - d Ar = N - dr

A = N – N.i.n

A = N(1 – i.n)

Ar = N – Ar . i . n ...

ni1

NAr

Exemplos e Exercícios

• Página 113 -> exemplo 1

• Página 114 -> exercício 1

• Páginas 114, 115 e 116 -> exercícios complementares 1 até20.

Referências

• CRESPO, A.A. Matemática Financeira Fácil. 14.ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009.

• GOTARDELO, D. R. Apostila de Matemática Financeira. UFRRJ. 2010.