Reta Tangente
Como determinar a inclinação da reta tangente a
curva no ponto ? ( )y f x ))(,( 00 xfxP
2
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Para responder a essa pergunta consideramos um
ponto Q(x1, f(x1)) sobre a curva e calculamos a
inclinação da reta secante PQ.
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O quociente fornece a inclinação da
reta secante, portanto fazendo o ponto Q se aproximar
do ponto P ao longo da curva y = f(x) , implica que x1
se aproxima de x0, isto é
Quando esse limite existe, ele fornece a inclinação da
reta tangente à curva no ponto (x0, f(x0)).
01
01 )()(
xx
xfxf
x
xfxxf
xx
xfxfm
xxxt
)()(lim
)()(lim
001
01
01
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Velocidade Média
Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que S =
S(t) represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante
t. Então, no intervalo de tempo entre t e , o corpo sofre
um deslocamento .
Definimos Velocidade Média nesse intervalo de tempo como o
quociente:
tt
)()( tSttSS
t
tSttSvm
)()(
5
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Velocidade Instantânea
Para obter a Velocidade Instantânea, calculamos a
velocidade média em intervalos de tempo
cada vez menores. Desse modo, temos:
t
t
tSttS
t
Sv
ttinst
)()(limlim
00
6
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Aceleração Instantânea
Para obter a Aceleração Instantânea, calculamos a
aceleração média em intervalos de tempo
cada vez menores. Desse modo, temos:
t
t
tvttv
t
va
ttinst
)()(limlim
00
7
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Derivada em um ponto
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8
A derivada de uma função f(x) no ponto x1, denotada por
f´(x1) é definida pelo limite:
x
xfxxfxf
x
)()(lim)´(
0
Este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva
y=f(x) no ponto de abscissa x1.
A Derivada de uma função
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9
A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f´(x), tal que o seu valor em qualquer ponto do seu domínio é dada por
x
xfxxfxf
x
)()(lim)´(
0
Dizemos que uma função é derivável quando existe a
derivada em todos os pontos de seu domínio.
, se esse limite existir.
dx
dyxfy )´(´
Exemplos:
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10
Calcule as seguintes derivadas pela definição:
).´(,3
2)()
).2´(,165)() 2
xfencontrex
xxfb
fencontrexxxfa
c) Encontre a equação da reta tangente à curva , que
seja paralela à reta 8x-4y+1=0
d) Encontre a equação da reta normal à curva y = x2 , no ponto
P(2, 4).
xy
Derivadas laterais
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11
Se a função y = f(x) está definida em x1, então a derivada à
direita de f em x1 , denotada por f+´(x1) é definida por:
x
xfxxfxf
x
)()(lim)´(
0
Se a função y = f(x) está definida em x1, então a derivada à
esquerda de f em x1 , denotada por f-´(x1) é definida por:
x
xfxxfxf
x
)()(lim)´(
0
Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas laterais nesse ponto
são iguais.
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Teorema: Toda função derivável num ponto x1 , é contínua nesse
ponto.
OBS: A recíproca não é verdadeira.
02
02)(:
2
2
xsexx
xsexxxfEx
Regras de Derivação
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13
1 - Derivada de uma função constante
Se k é uma constante e f(x) = k para todo x, então f’(x) = 0.
2 - Derivada de uma função potência
Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então:
f’(x) = n. xn-1
Exemplo: Seja f(x) = x5 f’(x) = 5x4.
3 - Derivada de uma função multiplicada por k
Sejam f uma função, k uma constante e g a função definida por
g(x) = k.f(x), então:
g’(x) = k.f’(x).
Exemplo: f(x) = 8x2 f’(x) = 8.(2x) = 16x
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Exemplo – Determinar a equação da reta normal ao gráfico de
f(x) = x2 + 1, no ponto de abscissa 1.
x0 = 1
f(1) = 2
x
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4 - Derivada da Soma
Sejam f e g duas funções e h a função definida por
h(x) = f(x) + g(x).
A derivada da soma é: h’(x) = f’(x) + g’(x).
Exemplo: f(x) = 3x4 + 8x + 5
f’(x) = 3.(4x3) + 8.1 + 0 = f’(x) = 12x3 + 8
5 - Derivada do Produto
• Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x)
. g(x). A derivada do produto é:
h’(x) = f (x) . g’(x) + f’(x).g(x) y’ = u.v’ + u’.v
OBS: A derivada do produto não é o produto das derivadas.
Exemplo f(x) = (2x3 - 1)(x4 + x2)
f’(x) = (2x3 - 1).(4x3 + 2x) + (x4 + x2).6x2
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6 - Derivada do quociente
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x)
= f(x) / g(x). A derivada do quociente é:
Exemplo:
35
32)(
2
4
xx
xxf 22
432
)35(
)52)(32()04.2).(35()('
xx
xxxxxxf
22
432
)35(
)52)(32()8).(35()('
xx
xxxxxxf
2)]([
)(').()(').()('
xg
xgxfxfxgxh
2
'.'.'
v
vuuvy
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6 - Derivada da Função Exponencial
aax
aa
x
aa
x
aaa
x
aaxfaxf
xx
x
x
x
xx
x
xxx
x
x
xx
x
ln.)1(
.lim)1.(
lim
.limlim)´()(
00
00
aaxfaxf xx ln.)´()(
xx exfexf )´()(
Exercícios
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18
x
x
exxfe
x
xxxfd
xxxfc
exxfb
xxxfa
.)()
34)()
1)()
.2)()
43)()
2
2
2
2
f) Encontre a equação da reta tangente à curva no
ponto (1, e/2). 21 x
ey
x
Derivada das funções trigonométricas
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19
)(cot).sec(cos)´()sec(cos)(
)().sec()´()sec()(
)(seccos)´()(cot)(
)(sec)´()()(
)()´()cos()(
)cos()´()()(
2
2
xgxxfxxf
xtgxxfxxf
xxfxgxf
xxfxtgxf
xsenxfxxf
xxfxsenxf
Exercícios
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20
1) Encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto (π/3, 1).
2) Que valores de x fazem com que o gráfico de f(x)= x
+ 2. sen(x) tenha uma tangente horizontal?
3) Encontre os pontos da curva que possuem
tangente horizontal.
xxxf cos2sec)(
senx
xy
2
cos
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4) Uma escada com 10 m de comprimento está apoiada em
uma parede vertical. Seja o ângulo entre o topo da
escada e a parede e x a distância da base da escada até a
parede. Se a base da escada escorregar para longe da
parede, com que rapidez x vai variar em relação a
quando ?
3
Derivada das Funções Compostas
Regra da Cadeia
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22
Exemplo
Calcule a derivada de h(x) = (2x + 1)10.
A função h(x) é composta, f(x) = x10 e g(x) = 2x + 1.
Pela regra da cadeia, temos
h’(x) = f‘(g(x)) . g’(x) = 10.(2x + 1)9.2 = 20(2x + 1)9
Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função
composta f(g(x)) é dada por:
[f(g(x))]’ = f’(g(x)) . g’(x)
Exercícios
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23
a)
b)
c)
8)32( xy
d)
e)
f)
522 axy
331 xy
3
xa
xay
x
xy
1
1
22 32 xy
Profª Cristiane Guedes 24
2
2
)3sec(
)(
3
3
)12(
)5(cot)()
)8()()
)cos()()
)()
)()
))(()()
)()()
2
x
xgxxfm
xtgxfl
exfk
exfj
exfi
xsenxfh
xsenxfg
x
x
xsen
Derivada da Função Inversa
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25
Seja f inversível e derivável no número a = f-1 (b), com
f´(a)≠0. Então a sua função inversa f-1 é derivável em b, com
)´(
1
))(´(
1))´((
1
1
afbffbf
Exemplo: Considere a função f(x)=3x2 + x –1 na vizinhança
do ponto x = 2. Calcule a derivada da função inversa de f
no ponto b = f(2) = 13.
xxfxxf
axxfxxf a
1)()ln()(
)ln(.
1)()(log)(
´
´
Derivada das Funções Logarítmicas
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26
)ln(.
1
)ln(.
1
))(´(log
1
))(´(
1))´((
)(log)()(
)(log1
1
1
ax
aaxfxffxf
xxfaxf
x
a
a
x
a
Exercícios
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27
xxyf
x
xxye
xyd
xsenxfc
xxfb
xsenxfa
)
)23(
1)
ln)
))(2(log)()
)1ln()()
))(ln()()
5
24/3
10
3
Derivadas Sucessivas
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28
No estudo de máximos e mínimos, vamos precisar não apenas
da derivada de uma função, mas de suas demais derivadas
(das derivadas das derivadas).
A derivada de uma função f é chamada de primeira derivada
de f e é denotada por f’. A derivada de f´ é chamada de
segunda derivada de f e é denotada por f’’. A derivada de f´´
é chamada da terceira derivada de f, e é denotada por f’’’; e
assim sucessivamente.
DERIVADAS DE ORDENS SUPERIORES
A derivada de uma função f(x) é também uma função de x.
conseqüentemente, podemos calcular a sua derivada. Teremos a
derivada segunda da função.
2
2
( )
( ) ( )
x
y f x
dyf
dx
d dy d yf x
dx dx dx
Generalizando, podemos calcular a n-ésima derivada de uma função
( )
( )
( )n
n
n
y f x
d yf x
dx
29
Profª Cristiane Guedes
Exemplos:
A derivada segunda da função y=senx é:
2
2
cos
y senx
dyx
dx
d ysenx
dx
A derivada segunda da função y=e2x é:
2
2
22
2
2
4
x
x
x
y e
dye
dx
d ye
dx
30 Profª Cristiane Guedes
Exercícios
Profª Cristiane Guedes
31
Encontre todas as derivadas das funções
abaixo:
)ln()()
)()()
)()
3)()
2
23
xxfd
xsenxfc
exfb
xxxfa
x
Taxas Relacionadas
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32
1) Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 80 cm?
2) Um tanque de água tem a forma de um cone circular reto invertido, com base de r = 2m e h = 4m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2m3/min, encontre a taxa de variação do nível da água, quando a água estiver a 3m de profundidade.
Derivação Implícita
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33
Dada uma equação envolvendo as variáveis x e y, muitas vezes
não conseguimos isolar o y. Quando isso acontece, dizemos que y
é uma função implícita de x.
Por exemplo: x2.y + y2 . x = 2xy
Para calcular a derivada de uma função na forma implícita temos
que derivar os dois membros da equação em relação a x (para
encontrar dy/dx), não esquecendo de usar a Regra da Cadeia
para derivar os termos que contêm y, já que y é função de x.
Exercícios
Profª Cristiane Guedes
34
1) Encontre dy/dx:
222) ayxa
053) 33 xyxyb
2) Encontre a equação da reta tangente e da reta normal
à curva no ponto (1, 1) . 53 22 yyxx
yx
yxyc
3)
Máximos e Mínimos
Profª Cristiane Guedes
35
Considere a função y = f(x) e suponha que x1 é um ponto do domínio de f.
),x(f)x(f 1
I – O ponto x1 é um ponto de máximo local (ou relativo) da função f se existe
um intervalo aberto contendo x1 , tal que ).f(Dx para todo
),x(f)x(f 1
II – O ponto x1 é um ponto de mínimo local(ou relativo) da função f se existe
um intervalo aberto contendo x1 , tal que ).f(Dx para todo
f
Exemplos:
x = 0 , ).x(f)0(f Daí, x = 0 é ponto de mínimo local.
x = 3 , ).3(f)x(f Daí, x = 3 é ponto de máximo local.
Profª Cristiane Guedes 36
x = 13 , ),13(f)x(f daí, x = 13 é ponto de máximo local.
x = 15 , ),x(f)15(f daí, x = 15 é ponto de mínimo local.
x = 6 , ).x(f)6(f Daí, x = 6 é ponto de mínimo local.
f
Exemplos:
Se x1 é um ponto de mínimo local
dizemos que f(x1) é um valor de mínimo
da função f .
Se x1 é um ponto de máximo local
dizemos que f(x1) é um valor de máximo
da função f .
Valores de mínimo da função f: -6 e 3.
Valores de máximo da função f: 3 e 6.
),x(f)x(f 1
III - Diz-se que x1 é um ponto de máximo global (ou absoluto) da função f se
).f(Dxpara todo
),x(f)x(f 1
IV - Diz-se que x1 é um ponto de mínimo global (ou absoluto) da função f se
).f(Dxpara todo
Observe que a função f não possui ponto de máximo global.
Os pontos de mínimos globais da função f são: x = 0 e x = 6
Profª Cristiane Guedes 37
Exemplo 3 - Encontrando Extremos Absolutos
Função Domínio D Extremos Absolutos em D
(a) 2y x ( , ) Ausência de máximo absoluto.
Mínimo absoluto 0 quando x = 0.
(b) 2y x [0, 2] Máximo absoluto 4 quando x = 2.
Mínimo absoluto 0 quando x = 0.
(c) 2y x (0, 2] Máximo absoluto 4 quando x = 2.
Ausência de mínimo absoluto.
(d) 2y x (0, 2) Ausência de extremos absolutos.
Teorema do Valor Extremo para
Funções Contínuas
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38
Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então f
assume tanto um valor máximo M como um valor mínimo m em I.
Ou seja, há números x1 e x2 em I tais que f (x1) = m e f (x2) = M e
m f(x) M para qualquer outro valor de x em I. (Figura abaixo)
Teorema de Extremos Locais
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40
Se uma função f possui valores máximo ou mínimo locais
em um ponto c interior de seu domínio e se f ’ existe em c,
então
f’ (c) = 0
OBS: A recíproca desse Teorema não é verdadeira, ou seja, o
fato da derivada em c ser zero, não implica necessariamente em
c ser um extremo local.
Ponto Crítico
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41
Um ponto de uma função f onde f ’ = 0 ou f ’ não
existe é um ponto crítico de f.
Os pontos críticos são os “candidatos” a extremos
locais de uma função.
Função Crescente / Função Decrescente
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42
Seja f uma função definida em um intervalo I. Então,
1. f é crescente em I se, para todos os pontos x1
e x2 em I,
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x
2. f é decrescente em I se, para todos os pontos x1
e x2 em I,
1 2 2 1( ) ( )x x f x f x
Teste da Primeira Derivada (Crescimento) Profª Cristiane Guedes
43
Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b):
Se f ’> 0 em todos os pontos de (a, b), então f é crescente
em [a, b].
Se f ’< 0 em todos os pontos de (a, b), então f é decrescente
em [a, b].
Teste da 1ª Derivada para Extremos Locais
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44
1. Se f ’ é negativa à esquerda de c e positiva à direita
de c, então f possui um mínimo local em c.
2. Se f ’ é positiva à esquerda de c e negativa à direita
de c, então f possui um máximo local em c.
3. Se f ’ possui o mesmo sinal em ambos os lados de c,
então c não é um extremo local de f.
Exemplos
Profª Cristiane Guedes
45
Exemplo 1 -
Determine os valores máximo e mínimo absolutos e
relativos de:
f (x) = 10x(2 - ln x) no intervalo [1, e2].
Teorema de Rolle
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47
Suponha que y = f(x) seja contínua em todos os pontos de [a, b] e
derivável em todos os pontos de (a, b). Se
( ) ( ) 0f a f b
Então há pelo menos um número c em (a, b) onde f’(c) = 0.
O Teorema de Rolle diz que
uma curva derivável tem ao
menos uma tangente
horizontal entre dois pontos
quaisquer onde a curva cruza
o eixo x. Essa curva tem três.
Teorema do Valor Médio
Profª Cristiane Guedes
48
Suponha que y = f(x) seja contínua em um intervalo fechado
[a, b] e derivável no intervalo aberto (a, b). Então há pelo
menos um ponto c em (a, b) em que
( ) ( )'( )
f b f af c
b a
Geometricamente,
o Teorema do Valor
Médio diz que, em
algum lugar entre A
e B, a curva apresenta
pelo menos uma
tangente paralela à
corda AB.
Estudo da Concavidade
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49
O gráfico de f (x) = x3 é côncavo para baixo em
x<0 e e côncavo para cima em x>0
Profª Cristiane Guedes 50
O gráfico de uma função derivável y = f (x) é
(a) côncavo para cima em um intervalo aberto I,
se y’ é crescente em I f’’(x)>0
(b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I,
se y’ é decrescente em I f ’’(x)<0
Um ponto onde o gráfico de uma função muda de
concavidade é um Ponto de Inflexão. (f ’’(x)=0 ou f ’’(x) não
existe)
Teste da 2ª Derivada para Extremos Locais
Profª Cristiane Guedes
51
Teorema 5 - O Teste da Segunda Derivada para
Extremos Locais
1. Se f ’ (c) = 0 e f ’’(c) < 0, então f possui um
máximo local quando x = c.
2. Se f ’(c) = 0 e f ’’(c) > 0, então f possui um
mínimo local quando x = c.
Exemplo: Determine os extremos de f (x) = x3 - 12x - 5.
Problemas de Maximização e Minimização
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52
Exemplo1 - Um retângulo deve ser inscrito em uma
semicircunferência de raio 2. Qual é a maior área que o
retângulo pode ter e quais são suas dimensões?
Resp: área máxima = 2 , dimensões: 222
Exemplo2 - A potência de uma bateria é dada
e P em watts. Determine a corrente i em que ocorre a
potência máxima. Qual o valor da potência para essa
corrente Resp: 10A e 500W
,i5i100P 2
Profª Cristiane Guedes 53
Exemplo3: O custo de construção de um edifício de
escritórios de x pavimentos (andares) é dado, em milhões
de reais, por: .x16x5001600y 2
Se o custo médio por pavimento é ,x
yCmédio
encontre o valor mínimo do custo médio por pavimento.
Resp: 820 milhões de reais.
Exemplo 4: O preço de um produto no mercado, em função
do tempo decorrido após o seu lançamento é dado por :
9t5t33
t)t(P 2
3
(t em meses e P em reais).
Determine em que momento esse produto obteve os
valores máximo e mínimo, em 8 meses no mercado.
Resp: máx em 8 meses e mín em 5 meses
Regra de L’Hospital
Profª Cristiane Guedes
55
Regra de L’Hôpital
Indeterminação da forma ou
Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I em
torno de um ponto a, exceto possivelmente no ponto a.
Suponha que g(x) 0 para x a I, x a:
Se e
então:
,0)(lim
xfax
0)(lim
xgax
,)('
)('lim L
xg
xf
ax
,)(
)(lim L
xg
xf
ax
0
0
Profª Cristiane Guedes 56
1
1lim)
8
9
1 x
xa
x
Exemplos:
Se
e então:
),()(lim
ouxfax
,)('
)('lim L
xg
xf
ax
,
)(
)(lim L
xg
xf
ax
),()(lim
ouxgax
x
xb
x
lnlim)
OBS: Quando tivermos indeterminações do tipo
temos que manipular a expressão para chegar em 0/0 ou ∞/∞, para
aplicar L’Hospital.
,.0,1
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