Prof. Felipe de Almeida
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA AMBIENTAL e ENERGIAS
RENOVÁVEIS
Belém – Pará
2014
CIÊNCIA & TECNOLOGIA DE MATERIAIS
Equação de Schrödinger
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger
Nasceu em 12 de agosto de 1887, em Viena;
Físico da área de Física Quântica;
Em 1933, em Oxford, juntamente com Paul Dirac,
ganhou o Prêmio Nobel pela formulação da equação
de onda chamada Equação de Schrödinger ;
Participou da 1ª Guerra Mundial como oficial
de artilharia;
• Max Planck – Radiação de corpo Negro:
- “A energia é quantizada e não contínua”.
E = h.ν = h.ω/2π = h/2π.ω = ħ.ω
Assim,
E = ħ.ω ou ω = E/ħ
• Albert Einstein – Efeito Fotoelétrico:
- “A luz, onda eletromagnética, é formada por pequenas partículas, ‘quantum de
luz’, os fótons”.
E = h. ν = ħ.ω (energia do fóton)
Pela Teoria da Relatividade, temos que para uma partícula sem massa de repouso (fótons):
P = E/ c (momento de p. sem massa)
Demonstração da equação de Schrödinger
Sendo E = h. ν e c = λ. ν, temos:
P = E/c = h.ν/λ.ν = h/2π/k = h/2π/k = ħ.k
Assim,
P = ħ.k ou k = P/ħ k é o n° de onda
Em resumo:
“A luz seria ENERGIA de caráter ondulatório (λ) e formada por partículas,
matéria, representada pelo momento (P) e também MATÉRIA com a mesma
característica dual”.
Teoria incompreendida por Schrödinger, o que o levou a
formulação da famosa Mecânica Ondulatória.
Função de onda:
- Derivando em t: - Derivando em x:
então:ou
Antes da Equação de Schrödinger avaliemos que:
Parte-se a partir dessa equação.
k = P/ħsubstituindo
Tem-se:
Mult. o lado direito
Sendo que,Subst.
Resultando em:
1º Caso
Se,
lembre-se de que,
Então, substituindo no lado esquerdo, tem-se que:
Equação de Schrödinger
para partícula livre.
2º Caso
Em sistemas conservativos, as partículas estão sujeitas
a um dado Potencial de energia.
Potencial de uma partícula
numa dada trajetória
n
Índice de refração de um raio
de luz numa dada trajetória
Sendo, Então o número de onda é dado por:
Substituindo esses valores, na equação de partida anterior, é dado:
Subst. n e
Mult.Tem-se:
Multiplicando a EQ. anterior por,
x
Lembre:
com
Finalmente:
Equação de Schrödinger para uma partícula
sob um potencial V qualquer.
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