MECÂNICA DOS SÓLIDOS PARA ENGENHARIA – PROF. SERGIO CARNEIRO
Deformações
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• Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o tamanho dele.
• Essas mudanças são denominadas deformações.
Conceito de Deformação
Note as posições antes e depois de três
segmentos de reta, onde o material está
submetido à tensão.
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Deformação normal
• O alongamento ou contração de um segmento de reta porunidade de comprimento é chamando denominadodeformação normal.
• A deformação normal média é definida como
• Se a deformação normal forconhecida, então o comprimentofinal é
s
ss
'méd
ss 1'+ε reta se alonga
-ε reta se contrai
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Deformação
dx
du
x
u
x
0lim
A A’ B B’
u
u+u
x
x,u
Deformação normal (linear)
x,u
y
dxx
uu
dx
x
ux
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Deformação por cisalhamento
• A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta
que eram perpendiculares um ao outro é denominada
deformação por cisalhamento.
tACnAB
nt
de longo ao de longo ao
'lim2
θ < 90° Deformação por cisalhamento positiva
θ > 90° Deformação por cisalhamento negativa
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Deformação de cisalhamentoz
y
ij Deformação de cisalhamento (distorção) no plano i-j.
ijRedução no ângulo entre as faces no plano i-j positiva
aumento no ângulo entre as faces no plano i-j negativa
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Unidades
• A deformação normal é uma quantidade adimensional,
visto que é uma razão entre dois comprimentos.
• A deformação de cisalhamento é uma quantidade
adimensional, pois expressa uma variação de ângulos
em radianos.
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A variação de temperaturacria uma
deformação normal na haste de
onde z é dado em metros. Determine
a) o deslocamento da extremidade B
devido ao aumento de temperatura e
b) a deformação normal média na haste.
2/131040 zz
Exemplo 1
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Solução:
Parte (a)
Visto que a deformação normal é dada em cada ponto ao
longo da haste, terá um comprimento deformado de:
A soma total desses segmentos ao longo do eixo dá como
resultado o comprimento deformado da haste, isto é:
Portanto, o deslocamento da extremidade da haste é:
dzzdz 2/1310401'
m 20239,010401'2,0
0
2/13 dzzz
(Resposta) mm39,2m00239,02,020239,0 B
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Parte (b)
Considerando que a haste tem um comprimento orginal de 200 mm e há
uma mudança no comprimento de 2,39 mm,
(Resposta) mm/mm 0119,0200
39,2'méd
s
ss
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Uma chapa é deformada até a forma
representada pelas linhas tracejadas
mostradas na figura ao lado. Se, nessa
forma deformada, as retas horizontais
na chapa permanecerem horizontais e
seus comprimentos não mudarem,
determine
a) a deformação normal ao longo do
lado AB e
b) a deformação por cisalhamento
média da chapa em relação aos
eixos x e y.
Exemplo 2
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Solução:
Parte (a)
A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a reta AB’ após a deformação.
Logo, o comprimento da reta é:
Portanto, a deformação normal média para AB é:
O sinal negativo indica que a deformação causa uma contração de AB.
mm 018,24832250' 22AB
(Resposta) mm/mm 1093,7250
250018,248' 3
méd
AB
ABABAB
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Parte (b)
Como observado, o ângulo BAC entre os lados da chapa, em relação aos eixos
x, y, que antes era 90°, muda para θ’ devido ao deslocamento de B para B’.
Visto que , então é o ângulo mostrado na figura. Assim,'2
xy xy
(Resposta) rad 0121,02250
3tg 1
xy
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Tensões e Deformações em Carregamento Axial
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Deformação Normal
normal deformação
tensão
L
A
P
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Deformação Normal
normal deformação
tensão
L
A
P
L
A
P
A
P
2
2
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Deformação Normal
normal deformação
tensão
L
A
P
L
A
P
A
P
2
2
LL
A
P
2
2
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Teste de Tensão-Deformação
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Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcteis
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Diagrama de tensão-deformação: materiais dúcteis
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Diagrama de tensão-deformação: materiais frágeis
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Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade
Abaixo da tensão de proporcionalidade E
E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young
G = Módulo de Elasticidade Transversal
GDe forma similar, para cisalhamento temos:
Unidade de E e G Pa (GPa)
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Comportamento Elástico versus Plástico
Se a deformação desaparece
quando a tensão é removida,
dizemos que o material se
comporta elasticamente.
Quando a deformação não
retorna a zero após a tensão ser
removida, dizemos que o
material se comporta
plasticamente.
O maior valor de tensão para o
qual isso ocorre é chamado de
limite elástico do material.
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Deformações sob Carregamento Axial
AE
P
EE
Para a Lei de Hooke:
A definição de deformação
L
Transformando e substituindo a equação anterior
na equação acima, temos
AE
PL
Para barras com carregamentos em outros
pontos, diversas seções transversais e
diferentes materiais,
i ii
ii
EA
LP
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O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção transversal
de 400 mm2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar
rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80 kN for aplicada à barra,
determine o deslocamento da extremidade C da barra. (Eaço = 200 GPa, Eal = 70
GPa )
Exemplo 3
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m 001143,0001143,0107010400
4,0108096
3
AE
PLB
O deslocamento da extremidade B em relação à
extremidade fixa A é
Visto que ambos os deslocamentos são para direita,
o deslocamento resultante de C em relação à
extremidade fixa A é, portanto,
Resposta)(mm 20,4m 0042,0/ BCCC
Solução:
Encontre o deslocamento da extremidade C em
relação à extremidade B.
m 003056,010200005,0
6,010809
3
/
AE
PLBC
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Determine as deformações da barra de aço mostrada
submetida às forças dadas.
GPaE 200
Exemplo 4
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SOLUÇÃO:
Divida a barra em três
componentes:
2
21
21
mm 580
mm. 300
AA
LL2
3
3
mm 200
mm. 400
A
L
Aplicar a análise de corpo livre em cada
componente para determinar as forças
internas,
N10150kN150
N1050kN50
N10300kN300
3
3
3
2
3
1
P
P
P
Alongamento total
mm. 2,15 200
31,429
200
400150
580
30050
580
300300
200
1
1
3
33
2
22
1
11
A
LP
A
LP
A
LP
EEA
LP
i ii
ii
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A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área transversal de 500 mm2; A barra CD é feita de aço (E = 200 GPa) e tem uma área transversal de 600 mm2. Para a força de 30 kN mostrada, determinar os deslocamentos dos pontosa) B, b) D e c) E.
Exemplo 5
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SOLUÇÃO:
Realizar uma análise do corpo livre
para a barra BDE para encontrar as
forças exercidas pelas barras AB e
DC.
Avaliar a deformação das barras AB e
DC para encontrar os
deslocamentos de B e D.
Realize uma análise geométrica para
encontrar o deslocamento do ponto
E dado os deslocamentos em B e D.
Exemplo 5
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Corpo Livre: Barra BDE
compressãoF
F
traçãoF
F
M
AB
AB
CD
CD
B
kN60
m2.0m4.0kN300
0M
kN90
m2.0m6.0kN300
0
D
SOLUÇÃO: Deslocamento do ponto B:
m10514
Pa1070m10500
m3.0N1060
6
926-
3
AE
PLB
mm 514.0B
Deslocamento do ponto D:
m10300
Pa10200m10600
m4.0N1090
6
926-
3
AE
PLD
mm 300.0D
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Deslocamento do ponto E:
mm 7.73
mm 200
mm 0.300
mm 514.0
x
x
x
HD
BH
DD
BB
mm 928.1E
mm 928.1
mm 7.73
mm7.73400
mm 300.0
E
E
HD
HE
DD
EE
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Exemplo 6
Um bloco retangular de material com módulo de rigidez G = 620 MPa é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto a placa superior está submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine a) a deformação de cisalhamento média no material e b) a força P que atua na placa superior.
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Determinar a deformação de cisalhamento ou a
tensão de ruptura do bloco.
rad020,0mm50
mm1tan xyxyxy
Aplicar a lei de Hooke para tensão e
deformação de cisalhamento para encontrar
a tensão de cisalhamento correspondente.
MPa4,12rad020,0MPa620 xyxy G
Use a definição de tensão de cisalhamento
para encontrar a força P.
N108,148mm60mm200MPa4,12 3 AP xy
kN8,148P
Exemplo 6 - Solução
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Indeterminação Estática
Estruturas onde as forças internas e as reações não
podem ser determinadas apenas por meio da
estática, são chamadas de estruturas estaticamente
indeterminadas.
0 RL
Deformações devido as forças reais e pela reações
redundantes são determinadas separadamente e,
em seguida, adicionadas ou superpostas.
Reações redundantes são substituídas por forças
desconhecidas que, juntamente com as demais
forças, deve produzir deformações compatíveis
com as restrições originais.
A estrutura será estaticamente indeterminada sempre
que ela for vinculada a mais apoios do que aqueles
necessários para manter seu equilíbrio.
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Exemplo 7
Determine o valor das reações em A e B para a barra de aço com os carregamentos mostrado, assumindo que não existe folgas entre os apoios e a barra.
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Exemplo 7
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Exemplo 7SOLUÇÃO:
Resolvendo o deslocamento em B devido às forças
aplicadas,
EEA
LP
LLLL
AAAA
PPPP
i ii
ii9
L
4321
2643
2621
34
3321
10125.1
m 150.0
m10250m10400
N10900N106000
Resolvendo o deslocamento em B devido à reação
redundante,
i
B
ii
iiR
B
E
R
EA
LPδ
LL
AA
RPP
3
21
262
261
21
1095.1
m 300.0
m10250m10400
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Os deslocamentos devido às forças e devido à reação
redundante devem ser compatíveis,
kN 577N10577
01095.110125.1
0
3
39
B
B
RL
R
E
R
E
Exemplo 7
Encontrar a reação em A, devido às cargas e a reação em B
kN323
kN577kN600kN 3000
A
Ay
R
RF
kN577
kN323
B
A
R
R
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Tensão Térmica
A mudança de temperatura numa barra resulta uma
mudança no comprimento , isto é, ocorre de
deformação térmica. Não há tensão associada com a
deformação térmica, a menos que o alongamento seja
contido pelo apoio.
térmicadilatação de ecoeficient
AE
PLLT PT
Trate o apoio adicional como redundantes e aplicar o
princípio da superposição.
0 PT
A deformação térmica e a deformação do apoio
redundante devem ser compatíveis.
TEA
P
TAEP
AE
PLLT
0
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A barra rígida horizontal é fixada ao topo de três colunas, feitas de aço A-36 e alumínio 2014-T6. As colunas têm comprimento de 250 mm quando descarregadas e sob temperatura T1 = 20°C. Determine a força suportada por cada coluna quando a estrutura é submetida à carga distribuída de 150 kN/m e a temperatura é aumentada para T2 = 80°C.
Exemplo 8
Aço AçoAlumínio
st = 12x10-6 (°C) -1
al = 23x10-6 (°C) -1
Est = 200 GPa
Eal = 73,1 GPa
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• DCL
• Compatibilidade geométrica dos deslocamentos,
• Posição final do topo é combinação dos efeitos da temperatura e da força.
(2) alst
(1) 010902 ;0 3 alsty FFF
FalTalal
FstTstst
Exemplo 8 - Solução
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Exemplo 8 - Solução
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• Eq. 2 fornece
• Considerando as propriedades dos materiais
• Resolvendo Eqs. 1 e 3 simultaneamente (subst Eq 3 na Eq 1, p.ex)
FalTalFstTst
(3) 109.165216.1
101.7303.0
25.025.020801023
1020002.0
25.025.020801012
3
92
6
92
6
alst
alst
FF
FF
(Resp) kN 123 ; kN 4.16 alst FF
Exemplo 8 - Solução
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Coeficiente de Poisson
Para um barra delgada submetida a uma carga
axial:
0 zyx
xE
O alongamento na direção x é acompanhado por
uma contração em outras direções. Assumindo
que o material é homogêneo e isotrópico (sem
dependência direcional),
0 zy
Coeficiente de Poisson é definido como
x
z
x
y
axial deformação
sal transverdeformação
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Uma barra de aço A-36 tem as dimensões mostradas abaixo. Se uma força axial
P = 80 kN for aplicada à barra, determine a mudança em seu comprimento e a
mudança nas dimensões da área de sua seção transversal após a aplicação da
carga. O material comporta-se elasticamente.
Exemplo 9
= 0,32
E = 200 GPa
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Solução:
A tensão normal na barra é
mm/mm 108010200
100,16 6
9
6
aço
E
zz
Pa 100,1605,01,0
1080 63
A
Pz
Da tabela para o aço A-36, Eaço = 200 GPa,
Exemplo 9 - Solução
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O alongamento axial da barra é, portanto,
As deformações de contração em ambas as
direções x e y são
m/m 6,25108032,0 6
aço
zyx v
(Resposta) m1205,11080 6
z
zz L
Assim, as mudanças nas dimensões da seção
transversal são
(Resposta) m28,105,0106,25
(Resposta) m56,21,0106,25
6
6
yyy
xxx
L
L
Exemplo 9 - Solução
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Lei de Hooke Generalizada
Para um elemento sujeito a um carregamento
multiaxial, as componentes da deformação normal
são expressas em função das componentes de
tensão e podem ser determinadas a partir do
princípio da superposição. Isto requer:
1) A deformação é linearmente relacionada a
tensão.
2) A deformação resultante de determinada força
é pequena.
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
Com estas restrições:
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Lei de Hooke Generalizada
No regime linear, as deformações de cisalhamento ocorrem de forma independente em cada plano, sem serem afetadas diretamente pelas deformações de cisalhamento em outros planos nem pelas deformações normais em qualquer direção
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
Assim, para materiais homogêneos e isotrópicos, no regime linear:
G
G
G
yz
yz
xzxz
xy
xy
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Dilatação: Módulo de Compressibilidade Volumétrica
Em relação ao estado livre de tensões, a mudança no
volume é
volume)de unidadepor volumeem (variação dilatação
21
111111
zyx
zyx
zyxzyx
E
e
Para um corpo submetido à pressão hidrostática
uniforme,
ca volumétriilidadecompressib de módulo
213
213
Ek
k
p
Epe
Um material estável submetido a uma pressão uniforme,
possui dilatação negativa e um módulo de
compressibilidade positivo, portanto
210
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Relação entre E, e GUma barra delgada axialmente carregada irá
alongar na direção axial e contrair nas
direções transversais.
12G
E
Componentes de deformação específica normal
e de cisalhamento estão relacionadas,
Se o elemento cúbico é orientado como na
figura (b), ele vai se transformando-se em
um losango. A Carga axial produz uma
deformação de cisalhamento.
Um elemento na forma de um cubo orientado
como na figura (a), vai transformando-se
em um paralelepípedo retangular. A carga
axial produz uma deformação específica
normal.
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Exemplo 10
Um círculo de diâmetro d = 220 mm é desenhado em uma placa de alumínio livre
de tensões de espessura t = 19 mm. Forças atuando posteriormente no plano da
placa provocam tensões normais x = 82 Mpa e z = 138 MPa.
Para E = 69 GPa e = 1/3, determine a alteração:
a) do comprimento do diâmetro AB,
b) do comprimento do diâmetro CD,
c) da espessura da placa, e
d) do volume da placa.
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Lei de Hooke generalizada -> três componentes da deformação normal.
mm/mm10604,1
mm/mm10063,1
mm/mm10522,0
MPa1383
10MPa82
MPa1069
1
3
3
3
3
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
Exemplo 10 - Solução
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Variações de comprimento.
mm220mm/mm10522,0 3 dxAB
mm220mm/mm10604,1 3 dzDC
mm19mm/mm10063,1 3 tyt
mm.104,0AB
mm353,0DC
mm20,0tVariação em volume
33
3
mm1938038010063,1
10063,1
eVV
e zyx
3mm916,2V
Exemplo 10 - Solução
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Estado Plano de Deformação (ex: plano x-y)
0z 0, yzxz
Exemplo no plano x-y
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IMPORTANTE
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
G
G
G
yz
yz
xzxz
xy
xy
Estado Plano de Tensões não implica em Estado Plano de Deformações!
0z
0
0
0
0
yzxzz
xy
y
x
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Equações gerais de transformação no plano de deformação
• Equações de Transformação:
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Deformações principais
Deformação por cisalhamento máxima no plano.
• Deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média são as
seguintes:
0'' yx
Equações gerais de transformação no plano de deformação
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Círculo de Mohr — estado plano de deformação
• Também podemos resolver problemas que envolvem a transformação da
deformação usando o círculo de Mohr.
• Com centro sobre o eixo ε no ponto C(εméd, 0) e raio R.
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O ponto X é
marcado
abaixo do eixo
horizontal
O ponto X é
marcado
acima do eixo
horizontal
éSe xy
As abscissas dos pontos A
e B, representam as
deformações principais.
B A
X
+
-
OB
OB
xy
O B
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