Introdução Diagramas de Bode Gráficos Polares Gráfico de Ampl itude em dB Versus Fase
Aula 14
Cristiano Quevedo Andrea1
1UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do ParanáDAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Curitiba, Outubro 2012.
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Introdução Diagramas de Bode Gráficos Polares Gráfico de Ampl itude em dB Versus Fase
Resumo
1 Introdução
2 Diagramas de Bode
3 Gráficos Polares
4 Gráfico de Amplitude em dB Versus Fase
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Introdução Diagramas de Bode Gráficos Polares Gráfico de Amplitude em dB Versus Fase
Introdução
Resposta em FrequênciaResposta em regime estacionário de um sistema submetido a um sinalsenoidal (método mais antigo que o Lugar das Raízes).
Para analisar a resposta em frequência de um sistema varia-sea frequência do sinal de entrada e estuda-se os efeitosresultantes.
Ao ser variado a frequência do sinal de entrada pode variar oganho do sinal de saída e a ainda a fase do sinal.
Quando abordamos o estudo de um sistema de controle nodomínio da frequência podemos encontrar várias vantagens:
Análise de estabilidade via o critério de Nyquist.Determinação experimental de funções de transferência viaanálise da reposta em frequência.Projeto de sistemas de controle robusto a presença de ruídos.
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Embora especificações de regime transitório e permanente nãoestejam presentes na análise frequencial, ocorre um ajuste dascaracterísticas da resposta em frequência de malha abertautilizando vários critérios de projeto para que a resposta emmalha fechada seja satisfatória.
RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE PARA UMA ENTRADA SENOIDAL
Considere o sistema linear e invariante no tempo ilustrado a seguir:
Neste caso temos que a função de transfêrencia,
G(s) =Y (s)X (s)
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O sinal de entrada é senoidal e é dado por:
x(t) = Xsen(ωt)
Se o sistema for estável, a saída y é dada por:
y(t) = Ysen(ωt + φ)
sendo,
Y = X |G(jω)|
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Neste caso o ângulo da função de transferência G(s) é dadopor:
φ = ∠G(jω) = tan−1[
Parte Imaginária de G(jω)Parte Real de G(jω)
]
Em resumo,
|G(jω)| = |Y (jω)||X (jω)|
e
∠G(jω) = ∠Y (jω)X (jω)
Assim a resposta em frequência é obtida a partir de:
G(jω) =Y (jω)X (jω)
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Um valor negativo de fase é chamado atraso de fase e um valorpositivo de fase é chamado avanço de fase.
A função de transferência senoidal é obtida substituindo-se jωna função de transferência.
CARACTERÍSTICAS DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIAPodemos representar a resposta em frequência graficamente,neste contexto, é caracterizada a magnitude e fase do sistemaabordado. Existem 3 representações gráficas comumenteutilizadas para obter a resposta em frequência.
Diagrama de Bode
Diagrama de Nyquist (gráfico polar)
Diagrama da Resposta Logarítmica versus Ângulo de fase
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Diagramas de Bode
Diagramas de Bode
Gráfico no qual é apresentado dois gráficos simultâneos. O primeirográfico apresenta a relação entre o módulo em dB da função detransferência e no segundo gráfico é apresentado o angulo em grausda função de transferência. Ambos os gráficos são construídos emfunção da frequência na escala logarítmica.
Exemplo
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
Mag
nitu
de (
dB)
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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O módulo do diagrama de Bode
O módulo é apresentado em dB, assim para obter a magnitudedo sistema em uma determinada frequência, temos:
Mdb = 20log|G(jω)|
Exemplo: Considere que em uma análise do diagrama de bodefoi encontrado o valor de magnitude de -20dB para umadeterminada frequência. Assim, para obter o valor do ganho emmagnitude temos:
20log(G) = −20
log(G) = −2020
G = 10−1 = 0,1
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Exemplo: Encontre a equação analítica para magnitude efase para o seguinte sistema:
G(s) =1
(s + 2)(s + 4)(1)
Resp:
M(ω) =1
√
(8 − ω2)2 + (6ω)2(2)
e
φ(ω) = −arctan(
6ω8 − ω2
)
(3)
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VANTAGENS DA ESCALA LOGARÍTMICA
Multiplicação de módulos é convertida em adição.
O esboço da curva do logaritmo do módulo é simples. Nestecontexto utilizamos aproximações por assíntotas para esboçar odiagrama de módulo logarítmico.
FATORES BÁSICOS DE G(jω)H(jω)1- Ganho K
Magnitudes com número maior que 1 possuem valores positivoem decibéis, enquanto magnitudes menos que 1 possuemvalores negativos.
A curva do logaritmo do módulo para um ganho K constante éuma horizontal de valor 20log(K ) dB.
O ângulo do ganho K é nulo.
Variando-se o ganho K não se altera o ângulo.
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Quando aumentamos o ganho de 10 vezes temos:
20log(10k) = 20log(K ) + 20
generalizando
20log(10nk) = 20log(K ) + 20n
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2- Fatores Integrais e Derivativo (jω)±1
O módulo logarítmico de 1/jω é:
20log
∣
∣
∣
∣
1jω
∣
∣
∣
∣
= −20log(ω) dB
O ângulo de 1/jω é −90◦.
Em um diagrama de Bode as frequências são expressas emoitavas ou décadas. Uma oitava é um intervalo de frequênciacompreendido entre ω1 e 2ω1, sendo ω1 uma frequência dequalquer valor.
Uma década corresponde a um intervalo de frequênciacompreendido entre ω1 e 10ω1.
Considerando-se uma frequência 10ω temos,
−20log(10ω) = −20log(ω)− 20 dB (4)
a inclinação da reta é −20 dB/década.
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O logaritmo do módulo de jω em dB é:
20log|jω| = 20log(ω)
O ângulo de fase de jω é 90◦.
A curva do módulo em dB é uma reta com inclinação de20 dB/década.
Se a função de transferência contiver o fator (1/jω)n e (jω)n, osmódulos em dB resultam respectivamente:
20log
∣
∣
∣
∣
1(jω)n
∣
∣
∣
∣
= −n20log|jω| = −20nlog(ω) dB
20log |(jω)n| = n20log|jω| = 20nlog(ω) dB
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Diagrama de Bode
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3- Fatores de Primeira Order (1 + jω)±1
O módulo em dB do fator de primeira ordem 1/(1 + jωT ) é
20log
∣
∣
∣
∣
1(1 + jωT )
∣
∣
∣
∣
= −20log√
1 + ω2T 2 dB
ω << 1/T
−20log√
1 + ω2T 2 = −20log(1) = 0 dB
ω >> 1/T
−20log√
1 + ω2T 2 = −20logωT dB
A resposta para o fator 1/(1 + jωT ) pode ser aproximada porduas retas assintóticas, uma reta em 0 dB para a faixa defrequência entre 0 < ω < 1/T e outra reta com inclinação −20dB/década para faixas de frequências 1/T < ω < ∞.
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O ângulo de fase φ para o fator de primeira ordem 1/(1 + jωT ) édado por:
φ = −tan−1ωT
Na frequência zero, o ângulo de fase é 0◦. Para ω = 1/T temos:
φ = −tan−1 TT
= −tan−11 = −45◦
No infinito, o ângulo de fase se torna −90◦
O erro máximo entre o gráfico obtido por assíntotas e o gráficoreal acontece na frequência de corte e é dado por:
−20log√
1 + 1 + 20log1 = −3,01
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Erro em Módulo da Resposta em Frequência por Assíntota
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Diagrama de Bode para o Fator (1 + jωT )
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4- Fatores Quadráticos[
1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]±1
Muitos sistemas de controle possui a forma quadrática dada por:
1
1 + 2ζ(
j ω
ωn
)
+(
j ω
ωn
)2
A resposta em frequência pode ser obtida por:
−20log
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
1 + 2ζ(
j ω
ωn
)
+(
j ω
ωn
)2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −20log
√
(
1 −
ω2
ω2n
)2
+
(
2ζω
ωn
)2
Se ω << ωn, temos
−20log1 = 0 dB
A assíntota para baixas frequências é um reta em 0 dB.
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Se ω >> ωn, temos
−20logω2
ω2n= −40log
ω
ωn
a equação para a assíntota em alta frequência é uma reta quepossui inclinação de −40 dB/década uma vez que:
−40log10ωωn
= −40 − 40logω
ωn
A frequência de corte é ωn. O ângulo φ para o fator quadrático édado por:
φ =
⟨
1
1 + 2ζ(
j ω
ωn
)
+(
j ω
ωn
)2 = −tan−1
2ζ ω
ωn
1 −(
ω
ωn
)2
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ExemploEsboce o diagrama de bode para a seguinte função de transferência:
G(jω) =10(jω + 3)
(jω)(jω + 2) [(jω)2 + jω + 2]
O primeiro procedimento a ser realizado é normalizar a função detransferência para evitar possíveis erros, então:
G(jω) =7, 5
(
jω3 + 1
)
(jω)( jω2 + 1)
[
(jω)2
2 + jω2 + 1
]
Esta função é composta pelos seguintes fatores:
7, 5;(
jω3
+ 1)
,1jω
,1
jω2 + 1
e1
( jω√
2)2 + jω
2 + 1
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As frequências de corte terceiro, quarto e quinto termo sãorespectivamente, ω = 3, ω = 2 e ω =
√2. O coeficiente de
amortecimento do último termo é 0,3536.
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Diagrama de Bode no Matlab
bode(num, den)bode(num, den,w)[mag, fas,w ] = bode(num, den)bode(A,B,C,D)
−80
−60
−40
−20
0
Mag
nitu
de (
dB)
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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Considerando-se o diagrama de Bode anterior, se for aplicadoum sinal senoidal r(t) = sin(10t), qual é o valor do sinal desaída?
−80
−60
−40
−20
0
Mag
nitu
de (
dB)
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE POSIÇÃO Kp
Considere um sistema com realimentação unitária com funçãode transferência de malha direta dado por:
G(s) =K (Tas + 1)(Tbs + 1) · · · (Tms + 1)sN(T1s + 1)(T2s + 1) · · · (Tps + 1)
ou
G(jω) =K (Tajω + 1)(Tb jω + 1) · · · (Tmjω + 1)
(jω)N(T1jω + 1)(T2jω + 1) · · · (Tp jω + 1)
Neste caso,
limω→0
G(jω) = Kp
assim, a assíntota para baixas frequências é uma reta horizontalem 20logKp dB.
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DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE VELOCIDADE Kv
Considere o sistema de controle ilustrado abaixo:
A interseção do segmento de −20dB/década com a reta ω = 1 temcomo valor 20logKv .
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Para o sistema de controle abordado nesta seção temos,
G(jω) =Kv
jω,para ω << 1
assim,
20log
∣
∣
∣
∣
Kv
jω
∣
∣
∣
∣
ω=1= 20logKv
A interseção do segmento inicial de −20dB/década com a retade 0 dB possui frequência numericamente igual a Kv .
Para verificar este resultado, define-se a frequência nestainterseção igual a ω1, assim:
∣
∣
∣
∣
Kv
jω1
∣
∣
∣
∣
= 1
ou
Kv = ω1
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DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE VELOCIDADE Ka
Seja o sistema de controle com realimentação unitária comfunção de transferência G(s) ilustrado anteriormente, a figuraseguinte ilustra o diagrama de Bode de um sistema tipo 2.
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A interseção do segmento inicial de −40dB/década, ou seuprolongamento, com a reta ω = 1 possui a ordenada 20logKa.
Considerando-se frequências baixas temos:
G(jω) =Ka
(jω)2 ,para ω << 1 (5)
segue-se que:
20log
∣
∣
∣
∣
Ka
(jω)2
∣
∣
∣
∣
ω=1= 20logKa
A frequência ωa do segmento incial de −40dB/década com areta de 0 dB fornece a raiz quadrada de Ka numericamente.
20log
∣
∣
∣
∣
Ka
(jωa)2
∣
∣
∣
∣
= 20log1
ωa =√
Ka
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Sistema de Fase Mínima e Não MínimaFunções de transferência que não possuam pólos ou zeros nosemiplano direito do plano complexo s são funções detransferência de fase mínima.
Funções de transferência que possuam pólos e/ou zeros nosemiplano direito do plano complexo s são funções detransferência de fase não-mínima
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Gráficos PolaresO gráfico polar de uma função de transferência senoidal G(jω) é um gráficodo módulo de G(jω) versus o ângulo de fase de G(jω) em coordenadaspolares, quando ω varia de zero a infinito.
Em gráficos polares os ângulos de fase positivo é medido nosentido horário, enquanto o ângulo de fase negativo é medidono sentido anti-horário.
O gráfico polar também é denominado de gráfico de Nyquist.
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1- Fatores Integrais e Derivativo (jω)±1
O gráfico polar de G(jω) = 1/jω é o eixo imaginário negativo,uma vez que:
G(jω) =1jω
= − jω
=1ω∠−90◦
O gráfico polar de G(jω) = jω é o eixo imaginário positivo.
2- Fatores de Primeira Ordem (1 + jω)±1
Para a função de transferência senoidal,
G(jω) =1
1 + jωT=
1√1 + ω2T 2
∠−tan−1ωT
os valores de G(jω) para ω = 0 e ω = 1/T são respectivamente,
G(j0) = 1∠0◦;G(
j1T
)
=1√2∠−45◦
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Quando ω tende ao infinito, o módulo de G(jω) tende ao infinito,e o ângulo de fase tende a −90◦.
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3 - Fatores Quadráticos[
1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]±1
As partes de baixa e alta frequência para a função senoidal
1
1 + 2ζ(
j ω
ωn
)
+(
j ω
ωn
)2 para ζ > 0
são dadas respectivamente por:
limω→0
G(jω) = 1∠0◦ e limω→∞
G(jω) = 0∠180◦
O gráfico polar para fatores quadráticos são ilustrados a seguir:
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Considere a seguinte função senoidal,
G(jω) = 1 + 2ζ(
jω
ωn
)
+
(
jω
ωn
)2
=
(
1 − ω2
ω2n
)
+ j(
2ζωωn
)
O trecho para baixas frequências é;
limω→0
G(jω) = 1∠0◦
e para o trecho de altas frequências é:
limω→∞
G(jω) = ∞∠180◦
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Diagrama de Nyquist
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EXEMPLO
Considere a seguinte planta de segunda ordem:
G(s) =1
s(Ts + 1)
Esboçar o gráfico polar desta função de transferência.
A função senoidal pode ser escrita como:
G(jω) =1
jω(1 + jωT )= − T
1 + ω2T 2 − j1
1 + ω2T 2
a parte para baixas frequências do gráfico polar temos:
limω→0
G(jω) = −T − j∞ = ∞∠−90◦
e a parte de alta frequência se torna,
limω→∞
G(jω) = 0 − j0 = 0∠−180◦
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Gráfico Polar
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GRÁFICOS POLARES DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA
SIMPLES
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DIAGRAMA DE NYQUIST VIA MATLAB
nyquist(num,den)
nyquist(num,den,w)
[re, imag] = nyquist(num,den)
[re, imag] = nyquist(num,den,w)
nyquist(A,B,C,D)
num e den é o numerador e denominador da função G(s)respectivamente.
A,B,C,D são as matrizes de um dado sistema descrito naforma de espaço de estado.
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Introdução Diagramas de Bode Gráficos Polares Gráfico de Amplitude em dB Versus Fase
Gráfico de Amplitude em dB Versus Fase
Outra abordagem para representar a resposta em frequência éo gráfico do log do módulo versus fase.
Também conhecido como gráfico de Nichols.
As vantagens do gráfico log-módulo versus fase são asseguintes:
a estabilidade relativa de malha fechada pode ser determinadarapidamente e a compensação pode ser realizada com facilidade.
O gráfico log-módulo versus fase para as funções detransferência senoidais G(jω) e 1/G(jω) são anti-simétricos emrelação a origem:
∣
∣
∣
∣
1G(jω)
∣
∣
∣
∣
dB = −|G(jω)| dB
e
∠G(jω) = −∠1/G(jω)
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Comparação entre as resposta em frequência de um fatorquadrático
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