1
Crescimento Populacional com Estrutura Etária
1. Modelo em tempo discreto (matriz de Leslie)
2. Autovalores e autovetores de matrizes quadradas
3. Exemplo
2
Quatro conceitos importantes
Distribuição etária
Taxa de crescimento
Fertilidade idade-específica
Sobrevivência idade-específica
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
3
• Distribuição etária
Proporção da população nas várias classes etárias
Idade
Fraç
ão d
a popula
ção
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
4
• Sobrevivência idade-específica
Fração de indivíduos de uma certa idade que sobrevivem de um período de tempo para outro
IdadePro
bab
ilidad
e de
sobre
vivê
nci
a id
ade-
espec
ífic
a
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
5
• Fertilidade idade-específica
Tamanho da prole como função da idade
Idade (semanas)
Tax
a de
nas
cim
ento
(por
sem
ana
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
6
Como integrar os conceitos de estrutura etária,
crescimento populacional, sobrevivência idade-
específica e fertilidade idade-específica?
Distribuição etária
Taxa de crescimento
Sobrevivência idade-específica
Fertilidade idade-específica
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
7
Modelo de crescimento populacional em tempo discreto com
estrutura etária
• Censo populacional em intervalos
regulares
• Amplitude da classe etária igual ao
intervalo do censo
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
8
Grafo do ciclo vital
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
n0 n1 n2 nωP0 P1
F1 F2 Fω
9
• Probabilidade de sobrevivência idade-
específica
Px: fração dos indivíduos vivos na classe x
que sobrevivem ao intervalo entre os
censos
)()1( tnPtn xxx =+)1,,1,0( −= ωKx
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
10
• Como obter o número de indivíduos
na classe mais jovem no tempo t + 1?
Fx: número médio de prole dos indivíduos
de idade x que sobrevivem ao censo
subsequente
)()()()()1( 2211000 tnFtnFtnFtnFtn ωω++++=+ L
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
11
)()1()()1()()1(
)()()()1(
223
112
001
2211000
tnPtntnPtntnPtn
tnFtnFtnFtn
=+=+=+
++=+
Por exemplo, para quatro classes
etárias teríamos o modelo,
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
12
t = 0
t = 1
t = 3
t = 6
t = 10
t = 20
Classes etárias0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Fraç
ão d
a popula
ção n
a cl
asse
etá
ria
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
13
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
• Distribuição etária não mais varia depois de t = 10
• Distribuição etária estável
14
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
Tempo
ln(N
)
15
Distribuição etária
Taxa de crescimento
Sobrevivência idade-específica
Fertilidade idade-específica
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
• Distribuição etária estável • Crescimento exponencial
16
Modelo para predição da estrutura etária no tempo
)()1()()1()()1(
)()()()1(
223
112
001
2211000
tnPtntnPtntnPtn
tnFtnFtnFtn
=+=+=+
++=+
Modelo matricial para predição da estrutura etária
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++
)()()()(
000000000
)1()1()1()1(
3
2
1
0
2
1
0
3210
3
2
1
0
tntntntn
PP
PFFFF
tntntntn
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
17
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+++
)()()(
0000
)1()1()1(
2
1
0
1
0
210
2
1
0
tntntn
PP
FFF
tntntn
)()1( tntn rrL=+
LesliedeMatriz→L
Populações com estrutura etária
1. Modelo em tempo discreto
18
Crescimento Populacional com Estrutura Etária
1. Modelo em tempo discreto (Matriz de Leslie)
2. Autovalores e autovetores de matrizes quadradas
3. Exemplo
Populações com estrutura etária
2. Autovalores e autovetores
19
Fato 1.– Multiplicação de um escalar por um vetor expande (ou contrai) o vetor, mas não muda sua direção.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛42
21
2
Populações com estrutura etária
2. Autovalores e autovetores
20
Fato 2.– Multiplicação de uma matriz por um vetor muda a direção (e tamanho) do vetor.
121222 53
11
2321
×××⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Populações com estrutura etária
2. Autovalores e autovetores
21
Pergunta.– Existem vetores tais que o único efeito da matriz sobre esses vetores seja expandí-los ou contraí-los, sem mudar a direção?
Populações com estrutura etária
2. Autovalores e autovetores
22
0xAx =− λxxxAx λλλ −=−
( ) 0=− xIA λ
( ) 0det =− IA λ
xAx λ=Populações com estrutura etária
2. Autovalores e autovetores
23
( )
0155
42
00
015542
01001
15542
det
=−−
−=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=−
λλ
λλ
λλIA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=15542
A
Populações com estrutura etária
2. Autovalores e autovetores
24
( )( ) 020152 =−−−− λλ
02015230 2 =−++−− λλλ
λ1 e λ2 são os autovalores da matriz A
10,1610,3 21 −== λλ e
50132 −+ λλ
Populações com estrutura etária
2. Autovalores e autovetores
25
.
Populações com estrutura etária
2. Autovalores e autovetores
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
26,096,0
1x ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
97,021,0
2x
x1 e x2 são os autovetores
associados aos autovalores λ1 e λ2
26
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 82,0
99,226,096,0
15542
1
32143421xA
{ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛82,099,2
26,096,0
10,3
1
1 321x
λ
Populações com estrutura etária
2. Autovalores e autovetores
27
{32132143421
1
1
1
26,096,0
10,326,096,0
15542
xxA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− λ
xAx λ=
Populações com estrutura etária
2. Autovalores e autovetores
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛82,099,2
82,099,2
28
Crescimento Populacional com Estrutura Etária
1. Modelo em tempo discreto (Matriz de Leslie)
2. Autovalores e autovetores de matrizes quadradas
3. Exemplo
29
Idade 1991 1992 1993 1994
26 28 27 29016 17 20 201
12 11 13 142
9 8 9 103
Número de indivíduos de cada idade
entre 1991 e 1994 de uma população
de Lichenostomus melanops
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
30
)()1( tnPtn xxx =+
)()1(
tntnPx
xx
+=
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
31
654,02617
)1991()1992(
0
10 ===nnP
Idade 1991 1992 1993 1994
26 28 27 29016 17 20 201
12 11 13 142
9 8 9 103
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
32
714,02820
)1992()1993(
0
10 ===nnP
Idade 1991 1992 1993 1994
26 28 27 29016 17 20 201
12 11 13 142
9 8 9 103
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
33
703,02720
)1993()1994(
0
10 ===nnP
Idade 1991 1992 1993 1994
26 28 27 29016 17 20 201
12 11 13 142
9 8 9 103
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
34
703,03
741,0714,0654,00 =
++=P
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
35
687,01611
)1991()1992(
1
21 ===nnP
Idade 1991 1992 1993 1994
26 28 27 29016 17 20 201
12 11 13 142
9 8 9 103
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
36
765,01713
)1992()1993(
1
21 ===nnP
Idade 1991 1992 1993 1994
26 28 27 29016 17 20 201
12 11 13 142
9 8 9 103
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
37
700,02014
)1993()1994(
1
21 ===nnP
Idade 1991 1992 1993 1994
26 28 27 29016 17 20 201
12 11 13 142
9 8 9 103
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
38
717,03
700,0765,0687,01 =
++=P
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
39
666,0128
)1991()1992(
2
32 ===nnP
Idade 1991 1992 1993 1994
26 28 27 29016 17 20 201
12 11 13 142
9 8 9 103
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
40
818,0119
)1992()1993(
2
32 ===nnP
Idade 1991 1992 1993 1994
26 28 27 29016 17 20 201
12 11 13 142
9 8 9 103
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
41
769,01310
)1993()1994(
2
32 ===nnP
Idade 1991 1992 1993 1994
26 28 27 29016 17 20 201
12 11 13 142
9 8 9 103
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
42
751,03
769,0818,0666,02 =
++=P
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
43
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++
)()()()(
0751,00000717,00000703,0659,0750,0756,00
)1()1()1()1(
3
2
1
0
3
2
1
0
tntntntn
tntntntn
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++
)()()()(
000000000
)1()1()1()1(
3
2
1
0
2
1
0
3210
3
2
1
0
tntntntn
PP
PFFFF
tntntntn
)()1( tntn rrL=+
Leslie deMatriz→L
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
44
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0751,00000717,00000703,0659,0750,0756,00
L
Como calcular os autovalores e autovetores da matriz de Leslie, L?
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
45
MATLAB
A = [0, 0.756, 0.750, 0.659;
0.703, 0, 0, 0;
0, 0.717, 0, 0;
0, 0, 0.751, 0]
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0751,00000717,00000703,0659,0750,0756,00
L
46
[V,D] = eig(A)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+++
=
0.66580.66580.53010.24430.4904 ‐ 0.1551‐0.4904 0.1551‐0.4957‐0.34240.2393 0.3405‐0.2393 ‐ 0.3405‐0.48560.50250.20920.27420.2092‐0.27420.4873‐0.7554
iiiiii
V
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=
ii
0.5531 ‐ 0.1750‐0.5531 0.1750‐
0.7024‐1.0523
000000000000
D
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
MATLAB
47
• Autovalor dominante → 1,0523
Interpretação: População cresceu aproximadamente 5% durante o período amostrado
Matriz de autovalores
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=
ii
0.5531 ‐ 0.1750‐0.5531 0.1750‐
0.7024‐1.0523
000000000000
D
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
48
Matriz de autovetores
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+++
=
0.66580.66580.53010.24430.4904 ‐ 0.1551‐0.4904 0.1551‐0.4957‐0.34240.2393 0.3405‐0.2393 ‐ 0.3405‐0.48560.50250.20920.27420.2092‐0.27420.4873‐0.7554
iiiiii
V
Autovetor associado ao autovalor dominante
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
49
• Interpretação do autovetor normalizado
Distribuição etária estável: 41% de indivíduos na classe 0, 27% na classe 1, 18% na classe 2 e 13% na classe 3
Populações com estrutura etária
3. Exemplo
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
2443.03424.05025.07554.0
1324,08446,12443,0
1856,08446,13424,0
2724,08446,15025,0
4095,08446,17554,0
=
=
=
=
50
Crescimento Populacional com Estrutura Etária
1. Modelo em tempo discreto (Matriz de Leslie)
2. Autovalores e autovetores de matrizes quadradas
3. Exemplo
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