Download - Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

Transcript
Page 1: Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

_____________________________________________________________________________________

Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

Coordenadas Polares

Existem vários sistemas de coordenadas que mostram a posição de um ponto em um

plano. O sistema de coordenadas polares é um deles.

No sistema cartesiano, as coordenadas são números chamados de abscissa e

ordenada, que são medidas das distâncias orientadas a dois eixos fixos. No sistema polar, as

coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto

fixo e a uma semirreta fixa.

O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r, ), em que |r| representa

a distância entre a origem e o ponto P e representa a medida, em radianos, do ângulo

orientado AÔP. Quando AÔP for descrito no sentido anti-horário, > 0, caso contrário, <

0.

Exemplos:

Representar em um sistema de coordenadas polares, os seguintes pontos:

a) 2,4

P

b) 2,4

P

c) 4,3

P

d) 4,3

P

O ponto P pode ter um número ilimitado de pares de coordenadas polares, pois podemos

representar esse ponto da forma:

(P, +2k), kZ

Relação entre o sistema de coordenadas cartesianas retangulares e o sistema de

coordenadas polares

Para nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a

origem do primeiro sistema coincidir com o polo do segundo sistema, o eixo polar com o

eixo positivo dos x e o raio para o qual = /2 com o eixo positivo dos y.

x A

y

Page 2: Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

_____________________________________________________________________________________

Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas

polares (r, ), distinguimos dois casos:

r > 0 r < 0

Portanto:

r > 0: cos

x

r e

ysen

r

r < 0: cos

x

r

e y

senr

Desta forma, temos:

Utilizando estas equações, podemos deduzir uma relação muito usada:

x2 = r

2cos

2

y2 = r

2cos

2

x2 + y

2 = r

2(cos

2 + sen

2) r

2 = x

2 + y

2 2 2r x y

Portanto,

Exemplos:

a) Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são

74,

6

b) Encontrar (r, ) supondo r < 0 e 0 2 para o ponto P, cujas coordenadas

cartesianas são 3, 1

x = r cos

y = r sen

Page 3: Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

_____________________________________________________________________________________

Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

Representação gráfica

O gráfico de F(r,) = 0 é formado por todos os pontos cujas coordenadas polares

satisfazem a equação. Geralmente, a equação em sua forma explícita é dada por r = f ().

Os seguintes procedimentos podem auxiliar no esboço do gráfico:

Calcular os pontos de máximo ou de mínimo;

Encontrar os valores de para os quais a curva passa pelo pólo;

Verificar simetrias:

Se a equação não se altera quando substituímos r por –r, existe simetria em

relação à origem;

Se equação não se altera quando substituímos por –, existe simetria em

relação ao eixo polar (ou eixo dos x);

Se equação não se altera quando substituímos por ( – ), existe simetria

em relação ao eixo = /2 (eixo dos y).

Exemplo:

A curva r = 2(1 – cos ) é dada por:

Equações de reta

a) = 0 ou = 0 + n, n Z: reta que passa pelo polo e faz um ângulo de 0 ou 0 + n

radianos com o eixo polar.

b) r sen = a e r cos = b, a, bR: retas paralelas aos eixos polar e /2, respectivamente.

Page 4: Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

_____________________________________________________________________________________

Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

Circunferências

a) r = c, c : circunferência centrada no polo e raio |c|

b) r = 2a cos: circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo = /2:

se a > 0, o gráfico está a direita do polo;

se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo.

[r = 2a cos a>0] [r = 2a cos a<0]

c) r = 2b sen: circunferência de centro no eixo /2 e que tangencia o eixo polar.

se b > 0, o gráfico está acima do polo;

se b < 0, o gráfico está abaixo do polo.

Exemplo:

Esboce a curva com equação polar r = 2 cos

Page 5: Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

_____________________________________________________________________________________

Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

Limaçons: São equações do tipo: r = a b cos ou r = a b sen , a, b

Se b > a , o gráfico tem um laço.

Se a = b, então o gráfico é conhecido como cardeoide.

Se b < a, o gráfico não tem um laço

Exemplo:

Esboce a curva r = 1+2 cos

Page 6: Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

_____________________________________________________________________________________

Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

Lemniscata: São equações do tipo: r2 = ± a

2 cos 2 ou r

2 = ± a

2 sen 2, a

Rosáceas: São equações do tipo: r = a cos n ou r = a sen n, a e nN

Se n é par, temos uma rosácea de 2n pétalas

Se n é ímpar, temos uma rosácea de n pétalas

Exemplo:

Esboce a curva r = cos2

Page 7: Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

_____________________________________________________________________________________

Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

Espirais

Espirais hiperbólicas (a > 0)

r = a (>0) r = a (<0)

Espirais parabólicas

Espiral de Arquimedes (a > 0)

Espiral de logarítmica

Page 8: Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

_____________________________________________________________________________________

Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

Comprimento de arco de uma curva dada em coordenadas polares

Seja C uma curva dada pela equação polar r = f (). Utilizando as equações

x = r cos

y = r sen

temos que

x = f() cos

y = f() sen

que podem ser consideradas equações paramétricas da curva C, para [0,1]. Derivando

essas equações, temos:

`( )cos ( )sendx

f fd

`( )sen ( )cosdy

f fd

Elevando ambos os lados das equações ao quadrado e somando, temos:

2 2

2 2( `( )cos ( )sen ) ( `( )sen ( )cos )dx dy

f f f fd d

2 2 2 2 2 2

2 2

`( ) cos 2 `( ) ( ) cos sen ( ) sen `( ) sen

2 `( ) ( )sen cos ( ) cos

f f f f f

f f f

2 2 2 2 2 2`( ) cos sen ( ) cos senf f

2 2`( ) ( )f f

Substituindo este resultado na fórmula do comprimento de arco de uma curva dado

por suas equações paramétricas, temos que o comprimento de arco de uma curva dado em

coordenadas polares é dado por:

𝒔 = 𝒇′(𝜽)𝟐 + 𝒇(𝜽)𝟐 𝒅𝜽

𝜽𝟏

𝜽𝟎

Page 9: Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

_____________________________________________________________________________________

Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

Exemplos

a) Calcular o comprimento de arco da cardioide r = 1 + cos.

b) Determine o comprimento da espiral r = e, [0, 2].

c) Calcular o comprimento de arco da cardioide r = 1 + sen.

Page 10: Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

_____________________________________________________________________________________

Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

Área de figuras planas em coordenadas polares

Seja f uma função contínua e não negativa no intervalo fechado [α,β]. Seja R a região

limitada pela curva cuja equação é r = f () e pelas retas = α e = β

Considere uma partição P de [α,β] definida por:

α = 0 < 1 < 2 < ... < i-1 < i < ... < n = β

Para cada [i-1, i], i = 1, ..., n, consideramos um setor circular de raio f(ρi), e um

ângulo central i, em que i-1 < ρi < i e i = i - i-1

Desta forma, a área do i-ésimo setor circular é dada por:

21

( )2

i if

Como há um desses setores circulares para cada um dos n subintervalos, temos uma

área aproximada igual a An, sendo:

2 2

1 1

1 1( ) ( )

2 2

n n

n i i i i

i i

A f f

Page 11: Coordenadas Polaresadriana/calculo/polares.pdfPara nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do

_____________________________________________________________________________________

Cálculo II – Profa. Adriana Cherri

A medida em que n cresce, cada i, i = 1, ..., n, torna-se pequeno e An aproxima-se

da área da região delimitada por = α, = β e r = f ().

Portanto

2

1

1lim ( )

2

n

i in

i

A f

Pela definição de integral temos que:

Exemplos:

a) Encontre a área da região delimitada pela cardioide r = 2+2 cos.

b) Encontre a área da região R interior à cardioide r = 2+2 cos() e exterior ao círculo r =

3.