2.1. Definição
Escoamentos Externos: Escoamentos em que as camadas-limite
se desenvolvem livremente, sem restrições ou confinamentos
impostos por superfícies adjacentes
2.2. Geometrias Básicas
Devido à complexidade dos escoamentos ao redor de corpos, o projeto de
dispositivos de engenharia se baseia em situações idealizadas
envolvendo geometrias simplificadas, como:
Placa plana em escoamento paralelo
Cilindro em escoamento cruzado
Esfera
Feixes de tubos
A abordagem para a determinação do coeficiente de transferência de
calor pode ser semi-empírica ou teórico-analítica,
dependendo da complexidade do problema
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
O regime laminar, em escoamento incompressível, permite uma
abordagem teórico-analítica para o cálculo de h
2
2
y
u
y
uv
x
uu
2
2
y
T
y
Tv
x
Tu
0y
v
x
u
Blasius assumiu que na camada limite fluidodinâmica:
u
xt
ux
= “tempo advectivo”
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
Além disso, Blasius postulou que os perfis de velocidade em diferentes
posições ao longo da placa são geometricamente similares:
y
u
u1
para qualquer x
Assim, como:
22x
uy
u
uVariável de
similaridade
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
ux
x
O conceito de similaridade:
(2 coordenadas em 1 variável:EDP vira EDO!)
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
Mudança de variáveis (a partir da função corrente):
d
df
u
u
Substituindo as definições acima e suas derivadas na Eq. Q.Mov. x, temos:
f
d
df
x
u
2
1v
(resolução disponível em Fox & McDonald, Incropera e DeWitt)
0d
fdf
d
fd2
2
2
3
3
00fd
df
0
1d
df
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
Aplicando o conceito de similaridade às EDPs, Blasius resolveu problema
de forma exata, obtendo os perfis de velocidades u(x,y) e v(x,y)
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
xRe
x92,4
onde:
xu
Rex
Resultados importantes da solução exata : 5
crit,x 105xu
Re
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
x
2
0y
x,sRe
u332,0
y
u
Resultados importantes da solução exata : 5
crit,x 105xu
Re
x
2x
0
x,sx,sRe
u664,0dx
x
1
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
local
médio
x
2
21
x,s
x,fRe
664,0
uC
Resultados importantes da solução exata : 5
crit,x 105xu
Re
x
2
21
x,s
fRe
328,1
uC
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
local
médio
f(x, ReL)
f (ReL)
Perfil de temperaturas
Como as equações do movimento e da energia são análogas, e o perfil de
velocidades exibe similaridade, podemos afirmar que o perfil de
temperaturas também tem similaridade.
O perfil de velocidades é substituído na equação da energia e
a equação diferencial é resolvida.
x
uy
TT
TT
s
s
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
Substituindo as definições acima e suas derivadas na Eq. da energia, temos:
0d
df
2
Pr
d
d2
2
00 1
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
A partir do perfil de temperaturas, verificamos que:
31
Prt
(para 0,6 < Pr < 50)
E também:
31
Pr332,00
(para 0,6 < Pr < 50)
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
Logo:
31
21
PrRe332,0TT
yTk
k
x
k
hxNu x
s
0y
x
31
21
PrRe664,0dxhx
1
k
xNu x
x
0
xx
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
As propriedades físicas nas relações de camada-limite
devem ser calculadas na temperatura de filme:
TT2
1T sf
NOTA IMPORTANTE:
2.3. Placa Plana (laminar, Ts cte.)
Para Pr << 1 (metais líquidos):
2.4. Placa Plana (isotérmica, Pr<<1)
31
Prt
(a aproximação perde a validade)
Assumindo que:
uu
em toda a camada limite térmica, chega-se a
21
xx Pe565,0k
hxNu
onde Pex é o número de Péclet
(Pr < 0,05; Pex > 100)
xu
PrRePe xx
2.4. Placa Plana (isotérmica, Pr<<1)
Churchill & Ozoe (1973)
41
32
21
31
Pr0468,01
RePr3387,0
k
hxNu x
x
Propriedades avaliadas em Tf
(Pex > 100)
2.5. Correlação (laminar, Ts cte.) Pr
( 1%)
Note que Nux = 2Nux
2.6. Escoamento turbulento (placa isotérmica)
51
xRe
x37,0
5
crit,x 105xu
Re
cresce com x1/2
cresce com x4/5
Espessura da camada fluidodinâmica
2.6. Escoamento turbulento (placa isotérmica)
51
xx,f Re0592,0C
(placa lisa, Rex < 108)
Coeficiente de atrito
2.6. Escoamento turbulento (placa isotérmica)
t
5
crit,x 105xu
Re
No regime turbulento:
Difusão turbulenta
>>
Difusão molecular
Espessura da camada limite térmica
2.6. Escoamento turbulento (placa isotérmica)
32
PrSt2
C x,f
(0,6 < Pr < 60)
Número de Nusselt
Pela analogia de Chilton-Colburn:
32
51
PrPrRe
NuRe
2
0592,0
x
xx
31
54
PrRe0296,0Nu xx
2.6. Escoamento turbulento (placa isotérmica)
LL
fRe
1742
Re
074,0C
51
(placa lisa, 5x105 < ReL < 108)
Coeficiente de atrito médio
Placa longa o bastante para haver região turbulenta, mas não o suficiente
para desprezar a região laminar
L
x)turb(x,f
x
0)lam(x,ff
cr
cr
dxCdxCL
1C
5
crit,x 105xu
Re
para:
2.6. Escoamento turbulento (placa isotérmica)
fC
LRe
L
fRe
328,1C
51
L
f
Re
074,0C
LL
fRe
1742
Re
074,0C
51
(toda a placa laminar)
(interpolação)
(toda a placa
turbulento)
2.6. Escoamento turbulento (placa isotérmica)
5,2
10fL
log62,189,1C
Coeficiente de atrito médio
Se a placa for rugosa, com:
46
L 10L
10Re
2.6. Escoamento turbulento (placa isotérmica)
31
54
Pr871Re037,0k
LhNu LL
(placa lisa, 0,6 < Pr <60, 5x105 < ReL < 108)
Número de Nusselt médio
Placa longa o bastante para haver região turbulenta, mas não o suficiente
para desprezar a região laminar
L
x)turb(x
x
0)lam(x
cr
cr
dxhdxhL
1h
5
crit,x 105xu
Re
para:
2.6. Escoamento turbulento (placa isotérmica)
31
Pr
NuL
LRe
L
LRe664,0
Pr
Nu
31
(toda a placa laminar)
(interpolação)
(toda a placa
turbulento)
871Re037,0Pr
Nu54
31 L
L
54
31 L
LRe037,0
Pr
Nu
2.7. Trecho Inicial Adiabático
Laminar:
31
43
x1
NuNu
0x
x
31
21
PrRe332,0Nu x0x
Turbulento:
91
109
x1
NuNu
0x
x
31
54
PrRe0296,0Nu x0x
Nu local
2.7. Trecho Inicial Adiabático
L
L1LNuNu
ba
0LL
2p2
1p2a
Turbulento:31
54
PrRe037,0Nu L0
L
Nu médio
1p2
p2b
)turb(4
)lam(1p
Laminar:31
21
PrRe664,0Nu L0
L
2.8. Fluxo de Calor Prescrito
sq)0,x(q
Turbulento:
31
54
PrRe0308,0Nu xx
Laminar:
31
21
PrRe458,0Nu xx
(Pr > 0,6)
(0,6 < Pr < 60)
L
0x
sL
0ss dx
kNu
x
L
qdxTT
L
1TT
(temperatura média da parede)
2.9. Cilindro em Escoamento Cruzado (e Esfera)
Comprimento característico: Diâmetro
Note que:
Vxu
(Eq. de Euler: relação entre pressão e velocidade na corrente livre)
tennis
2.9. Cilindro em Escoamento Cruzado (e Esfera)
Separação da camada-limite fluidodinâmica é fruto de um
gradiente de pressão adverso
Ponto de separação: 0y
u
s
separation
2.9. Cilindro em Escoamento Cruzado (e Esfera)
Parâmetro de similaridade:
A transição para a camada-limite turbulenta influencia a posição
do ponto de separação.
Maior quantidade de movimento na C.L. turb. retarda o ponto de separação
(θsep, lam ~ 80o e θsep, turb ~ 140o).
(isto influencia tanto a transferência de calor quanto a resistência ao escoamento!)
VDReD
Em um escoamento ao redor de um corpo, a interação fluido-corpo se manifesta
por meio de forças de superfície normais e tangenciais. agindo em toda a
extensão do corpo.
As forças normais estão relacionadas ao campo de pressão e
as tangenciais estão associadas ao atrito viscoso.
A componente da força resultante (integrada na superfície) na direção do
escoamento é denominada arraste e aquela na direção normal é
denominada sustentação.
Tanto as forças normais quanto as
tangenciais contribuem para
o arraste e para a sustentação
FL
FD
FR
2.10. Cilindro e Esfera: Forças Fluidodinâmicas
A força de arraste é definida por:
onde Ap é a área projetada e CD é o coeficiente de arraste
p
2
DD AVC2
1F
...rugosidade formato, ,orientaçãoRe,fCD
2.10. Cilindro e Esfera: Forças Fluidodinâmicas
2.10. Cilindro e Esfera: Forças Fluidodinâmicas
300 < Re < 2x105
(c.l. lam, est. turb)
Re > 2x105
(c.l. turb, est. turb)
2.11. Cilindro e Esfera: Número de Nusselt
Variação de NuD(θ) em função de ReD
ReD < 105 : 1 mínimo
ReD > 1,5 x 105 : 1 mínimo, 1 máximo
2.11. Cilindro e Esfera: Número de Nusselt
Nu médio: cilindro
3/1m
DD PrReCk
DhNu
ReD C m
0,4-4 0,989 0,330
4-40 0,911 0,385
40-4.000 0,683 0,466
4.000-40.000 0,193 0,618
40.000-400.000 0,027 0,805
(Correlação de Hilpert)
(Propriedades avaliadas na temperatura de filme)
2.11. Cilindro e Esfera: Número de Nusselt
Extensão da correlação
de Hilpert para NuD médio
em um cilindro em fluxo
cruzado para outras
geometrias
2.11. Cilindro e Esfera: Número de Nusselt
(Correlação de Churchill & Bernstein)
(válida para ReDPr > 0,2 ― propriedades avaliadas na temperatura de filme)
54
85
41
32
31
21
282000
Re1
Pr4,01
PrRe62,03,0Nu DD
D
2.11. Cilindro e Esfera: Número de Nusselt
(Correlação de Whitaker)
4/1
s
4,03/2
D
2/1
DD Pr)Re06,0Re4,0(2Nu
2.31
10Re5,3
380Pr7,0
s
5
D
(correção de
propriedades)
Esfera
2.12. Feixes de tubos em escoamento cruzado
Principal aplicação: Trocadores de Calor
arranjo alinhado arranjo desencontrado
2.12. Feixes de tubos em escoamento cruzado
Correlação de Zukauskas (1987)
41
w
36.0m
maxD
Pr
PrPrReCNu
%15
102Re100
500Pr7,0
16N
6
max
L
Remax é baseado na maior velocidade no feixe
(que ocorre na menor área de seção transversal)
2
TTT outin
m
props avaliadas em
2.12. Feixes de tubos em escoamento cruzado
DVRe max
max
Para um feixe de tubos alinhados, Vmax acontece na seção AT. Portanto:
VDS
SV
T
Tmax
Para um feixe de tubos desencontrados, Vmax pode acontecer na seção
AT ou na AD. Vmax será em AD se:
2
DSS T
D
Neste caso:
2/12
T2
LD2
SSS
onde:
V
DS2
SV
D
Tmax
2.12. Feixes de tubos em escoamento cruzado
A taxa de transferência de calor é calculada com base no conceito
da média logarítmica da diferença de temperaturas (LMTD) – que
será estudado mais adiante no curso.
LMThDLNq
outs
ins
outsinsLM
TT
TTln
TTTTT
é aproximada poroutT
TTpinw
outw
SNVc
hDNexp
TT
TT
TN
N número total de tubos
número de tubos no plano transversal
2.12. Feixes de tubos em escoamento cruzado
Queda de pressão
f2
VNp
2
maxL
fator de correção para arranjos
semelhantes, mas de dimensões distintas
pm
pVWb
LSVNV TTonde
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