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CONVECÃO NATURAL
É o processo de transferência de calor induzido por forças
gravitacionais, centrífugas ou de Coriolis.
1
A convecção natural ocorre na circulação atmosférica e
oceânica, sistemas de refrigeração de máquinas elétricas e reatores
nucleares, cavidades aquecida ou resfriadas, fontes eletrônicas de
potência, etc.
O escoamento é induzido pelo empuxo, devido a ação de força
de corpo agindo em gradientes de densidade, que por sua vez,
surgem devido a gradientes de temperatura e concentração em um
fluido.
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CONVECÃO NATURAL
Quando convecção natural ocorre devido ao empuxo causado
por uma superfície aquecida em um meio em repouso, sem
fronteiras, esta é chamada de convecção livre.
Assim como a convecção forçada, a convecção natural pode ser
classificada em interna e externa, laminar e turbulenta.
2
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Convecção Natural Laminar ao longo
de uma Placa Vertical com
Temperatura Constante Imersa em um
Meio Fluido Infinito
3
To
T
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4
0y
v
x
u
x
pb
y
u
y
uv
x
uu x
2
2
0
y
p
2
2
y
T
y
Tv
x
Tucp
As aproximações de camada limite são válidas e portanto as equações
que governam o escoamento e as condições de contorno são:
Equações da Camada Limite
Quantidade de movimento
direção x:
Quantidade de movimento
direção y:
Energia:
Condições de Contorno
(i) y = 0 u = v = 0 e T=Tw (ii) y= u = 0 e T=T
Continuidade:
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Nas equações apresentadas, a dissipação viscosa foi
desprezada, pois as velocidades esperadas são
pequenas e a diferença de temperatura não é.
5
Desprezou-se também, a possibilidade do fluido ser
resfriado enquanto sobe, se expandindo na pressão mais
baixa existente em posições mais altas. Este fenômeno é
importante em meteorologia.
Antes de prosseguir, devemos analisar o gradiente de
pressão e a força de corpo, bx. De um modo geral a força
de corpo é devido ao efeito gravitacional, logo bx= g.
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Como p/y = 0, o gradiente de pressão em x, pode ser
avaliado longe da parede, onde as equações de movimento
mostram que o fluido encontra-se estagnado (u=0)
6
gxp /
gx
pbx
Como resultado, tem-se
Existem diversas maneiras para ocorrer o forçamento
o O mais comum é a dependência da massa específica na
temperatura, onde o movimento do fluido surge, pois o
fluido mais quente é menos denso, subindo.
o Em situações com transferência de massa, as espécies
menos densas, também se deslocam para cima.
o Existem situações onde os dois efeitos podem estar
presentes, ou ainda, uma efeito se oponha ao outro.
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7
......!
)(
!
)()(
3
3
2 3
32
2
2 TT
T
TT
TTT
T
......
!
)()(
2
2
2
2 TT
TTT
T
T
1
)( TT
o Nos restringiremos aqui, a dependência da massa
específica com a temperatura.
o Utilizaremos a aproximação de Boussinesq
Pela definição de coeficiente de expansão térmica
Expandindo a massa específica em série, temos
De acordo com Boussinesq, a variação da massa específica
só é significativa no termo de empuxo
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8
0y
v
x
u
gTTvuy
u
y
u
x
u)(
2
2
2
2
y
T
py
T
x
T
cvu
As equações da camada limite para o problema, tornam-se
Condições de Contorno
(i) y = 0 u = v = 0 e T=Tw
(ii) y= u = 0 e T=T
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9
Perfis experimentais sugerem a possibilidade de perfis
similares. Existem diversas formas para se obter estas
soluções. Pode-se utilizar um procedimento análogo ao
utilizado para obter a solução de Blasius.
Introduz-se a função de corrente para se eliminar o
componente v da velocidade. Também é conveniente
introduzir uma temperatura adimensional
xv
yu
,
TT
TT
w
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10
equação de quantidade de movimento
equação da energia
3
3
2
22
yw
yxyxyTTg
2
2
yxd
Td
yyxxyw
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11
A hipótese de que os perfis de velocidade e temperatura são
similares, diferindo apenas no fator de alongamento, sugere
que a seguinte variável similar seja definida
)(xHy
)()( xGf
41
44
/
)(
xGr
xG
4/1
4
1)(
xGr
xxH
Com esta mudança de variáveis, obtêm-se duas equações
diferenciais parciais para e o objetivo agora é reduzir essas
equações para equações diferenciais ordinárias, a e técnica
clássica de separação de variáveis pode ser utilizada.
O conjunto resultante de equações, se reduz a equações
diferencias ordinárias se
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12
2
3
)(
TTxgGr w
x
4/1
4
xGr
x
y
4/14/4
)(xGr
f
onde Grx é o número de Grashof
O número de Grashof pode ser interpretado como a razão entre as
forças de empuxo e forças viscosas.
As variáveis adimensionais são
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13
023
2
2
2
3
3
d
fd
d
fdf
d
fd 032
2
d
df
d
dPr
c
xvf w
30
41/
)( 2
4
4
)( wTTgc
A equação diferencial ordinárias resultante para temperatura
constante na parede é
As condições de contorno são
i. u = 0 em y = 0 logo f ’(0)= 0
ii. u 0 em y f ’()= 0
iii. v = vw em y = 0
iv. T = Tw em y = 0 (0)= 1
v. T = T em y ()= 0
Se não houver injeção vw=0 e f(0) = 0
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15
A velocidade atinge um máximo próxima a placa e pois a temperatura,
tende as condições ambientes longe da placa, reduzindo o forçamento para
o escoamento.
Uma vez que as equações são acopladas, os perfis de velocidade e temperatura
dependem de dois parâmetros separados: número de Prandtl Pr e número de
Grashof, Gr. A tabela 12-1 apresenta a solução numérica para Pr =1. Diversas
outras tabelas são necessárias para outras combinações de Pr e Gr.
Para grandes números de Prandtl, a camada limite térmica é mais fina do que
a camada limite de velocidade.
Como na camada limite de convecção forçada, a essência da solução do
problema é encontrar as duas quantidades desconhecidas f”(0) e ’(0), que
estão relacionadas com o atrito e troca de calor na superfície da placa.
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17
)(
TTh
y
Tkq w
yw
0
)()(
)(
TTh
yTTkq w
xH
ww
0
41
4
1/
)(
xGr
xxH
41
2
0 /)('xx Gr
k
xhNu
2
3
)(
TTxgGr w
x
x
xh
43 /
41/ xh
O coeficiente de transferência de calor local pode se
determinado a partir destas soluções, uma vez que
ou em função das variáveis de similaridade
logo observa-se que
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18
Pr 0,01 0,1 0,72 1,0 10 100 1000
Nux Grx-1/4 0,0570 0,164 0,357 0,401 0,827 1,55 2,80
20 /)('
41
41
21 2215
2
4
3 /
/
/Pr
PrPr(
Prxx GrNu
O número de Nusselt local depende de Pr e Grx.
Soluções para obtidas por Ostrach e outros
são apresentadas na tabela a seguir
A seguinte correlação de Ede apresenta boa concordância com os
dados da tabela
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19
swA
sww dATThATThQ
s
)()(
L
Lx
x
LL
x hLBxBL
dxxBL
dxhL
h3
4
3
4
3
4111 41
0
43
0
41
0
///
Lhh3
4
4/1
43
4)0('
L
L
Gr
k
LhNu
O coeficiente de transferência de calor médio também pode
ser obtido, uma vez que o fluxo de calor total é
O número de Nusselt médio, em termos de número de Grashof local é
O coeficiente médio de
troca de calor é dxhL
h
L
x0
1 41/ xBhxsendo
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41/PrLL GrA
k
LhNu 4/1
LL RaAk
LhNu
LxL NuNu 3
4
Como vimos o número de Nusselt depende de Pr e Grx.
Podemos então rescrever o número de Nusselt médio como
onde Rax é o número de Rayleigh,
Rax=Grx Pr.
O parâmetro A encontra-
se na tabela 12-2.
Note que
Para situações limites
de Pr, pode-se obter
solução simplificada.
41260000 /)Pr(,Pr xx GrNu
415030 /Pr)(,Pr xx GrNu
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21
y
u
y
u
yw
0
)()( / 042
2413 f
xGrxw
41/xw
De forma análoga, a tensão cisalhante local é
logo observa-se que
que em função dos grupos adimensionais é
Observe que em contraste com a camada limite térmica forçada, a
tensão cisalhante cresce com a distância da borda de ataque.
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22
swsA
w AdAF
s
A tensão média pode ser obtida a
partir da força que atua na placa
dxxL
L
ww 0
)(1
Lxw
L
w CLL
L
CdxCx
L
5
4
5
4
4/5
1 4/14/5
0
4/1Lxww
5
4
)0()4(2
24/13 f
LGrLw Lx
)0()(5
22)0()2(
5
22
24/13
2/3
2
24/132
2
fL
GrfL
Gr LLw
)0()4(5
22
24/3 f
LGrLs
41/xw
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23
)(0 )(0f
A tabela 12-2
apresenta os
valores de
juntamente
com a
variável A
para diversos
Pr.
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A concordância do
perfil de velocidade
e temperatura com
dados
experimentais é
muito boa, como
pode ser visto na
figura
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26
Apesar da concordância com os dados do campo de
velocidade e temperatura, observa-se que o coeficiente de
transferência de calor médio é um pouco mais alto do que
os valores previstos.
A figura anterior apresenta uma comparação realizada por
Ede, na qual a linha sólida representa as previsões da
camada limite, e os pontos as medidas experimentais.
o Entre Ra = 105 e 108, a concordância é satisfatória.
o Fora desta faixa, as previsões se afastam dos dados
medidos, e mesmo na região de melhor concordância, a
previsão fica abaixo dos dados experimentais.
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27
Os desvios encontrados a altos números de Rayleigh,
provavelmente são devidos ao desenvolvimento da
turbulência, e para baixo números de Rayleigh, devido ao
aumento da imprecisão das hipóteses da camada limite, devido
a grande espessura da mesma.
Para número de Prandtl aproximadamente unitário, McAdams
sugere a seguinte correlação
415550 /)(, LL Rak
LhNu 10 Ra 109
a qual correlaciona bem com os dados experimentais, como
pode ser visto na figura a seguir, obtida para ar.
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28
Número de Nusselt Médio para o ar sobre placas planas
verticais, para Pr pequeno, versus número de Rayleigh
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29
Como levar em consideração a dependência da temperatura
nas propriedades, tem sido motivo de estudo de diversos
pesquisadores.
Em geral considera-se que as propriedades devem ser
avaliadas na temperatura de filme
2
TTT w
f
para usar as correlações de propriedades constantes.
De acordo com Sparrow e Gregg, para gases e mercúrio
líquido, a seguinte temperatura de referência fornece melhores
resultados
)(, TTTT wwr 380
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30
0y
v
x
u
gTTvu
y
u
y
u
x
u)(
2
2
2
2
y
T
py
T
x
T
cvu
Como vimos, as equações da camada limite para o problema
de convecção natural ao longo de uma parede vertical são
Condições de Contorno
(i) y = 0 u = v = 0 e T=Tw
(ii) y= u = 0 e T=T
Analisando a equação de conservação de quantidade de
movimento, observa-se que a equação da camada limite é
formada de 3 parcelas:
Inércia = atrito + empuxo
Vamos analisar, em que condições o
escoamento é governando pela inércia e
empuxo ou atrito e empuxo
L x
y
Mecanismo dominante
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31
0y
v
x
u
gTTvuy
u
y
u
x
u)(
2
2
2
2
y
T
py
T
x
T
cvu
Vamos realizar uma análise de ordem de grandeza
T
VLU
)()()()()( TTyxLvVuU T
22
TTT
T LU
TT
LU
L
TU
)(
TgUUL
ULUU
TT
T
2
)(
122
2
2
2
TTT
L
Tg
L
LTg
2
T
LUcom
e dividindo Tg
1
4
3
4
3
2
TT
L
LTg
L
LTg
e multiplicando e
dividindo por L2
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32
144
empuxoatrito
L
T
empuxoinércia
L
T
Ra
L
Ra
L
//
)/(
Pr
)/(
A comparação da influência entre inércia e atrito depende de Pr:
o Pr>>1: CL é dominada pelo balanço entre atrito e empuxo
o Pr<<1: CL é dominada pelo balanço entre inércia e empuxo
Pr
1
4
3
4
3
2
TT
L
LTg
L
LTg
2
33
2
3
LTgBo
LTgRa
LTgGr LLL
;;
Pr;Pr RaBoGrRa
Prandtl Grashof Rayleigh Boussinesq
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33
Caso 1: Pr>1
41/
HRa
L
Tk
Lq
k
LhNu
TkThq
T
w
T
w
O movimento do fluido não fica restrito à zona aquecida: d > dT
x
y
u
21
2
/
LRa
L
αu
Lu
T
41/
LRa
L
T
equilíbrio entre forças
viscosas e empuxo:
41
21
2
21
22
/
// Pr
LRa
LL
RaL
Lu
u
L
uu
L
Região II
Região II
21/PrT
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34
Caso 2: Pr<1
x
y
u
21
2
/Pr)( L
T
RaL
αu
Lu
41/Pr)( L
T
RaL
só existe movimento dentro
da camada limite térmica
2121
2
21
22
3
221
2
3
2
2
///
/
Pr)(
Pr
PrPr)(
Pr
LLL
LL
L
Gr
L
Gr
L
RaL
L
RaRa
L
α
L
RaTg
u
Região II
Região I
41/
Pr
HBo
H
TT
w RaL
k
LhNu
TkThq
21/PrT
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Convecção Natural em Canais
Verticais
36
Caso 1: D>>δT Caso 2: D<<δT
(não há interferência)
y
x
L
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Caso 2 = região totalmente desenvolvida
(H/D>>1)
37
cteTTTTTTTT 000 :<<
0vEquação de continuidade
Equação de
quantidade de
movimento
gx
p
y
p
;0
0x
u
TTg
y
u
2
2
Esta equação de energia deve ser resolvida acoplada
com a equação de energia 2
2
y
T
x
Tu
Solução aproximada
2
21
8
1
// D
y
RaD
u
D
2
0
2
21
8 /D
yTT
Dgu
TTDg
RaD 0
3
DRaD
u
D
u
12
1
3
2
//
max
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
Fluxo de massa:
38
TTcWDuTTcmQ pp 00
Número de Nusselt médio:
DHDD
pw
D
RaNuouRaL
DNu
k
Dc
L
Du
kTT
Dq
k
DhNu
24
1
24
1
20
WDum
Fluxo de calor: supondo fluido saindo do canal To
wp qTTcL
Du
WL
Q 0
22
Fluxo de calor médioCalor transferido ao fluido
TTDg
RaD 0
3
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Verificando a validade da hipótese de
escoamento desenvolvido (Le<<L) :
δT≈D/2 quando y é da ordem de Le. Então:
21 41 //Pr / DRaLeLe
Pr)(//Pr / RaBoDBoLeLe 21 41
HRaD
eL 41
2
/
L
Na região de entrada deve ser pequena em relação ao comprimento
do canal, Le<<L
41
41
1
1
/
/
/Pr
/Pr
e
e
L
L
BoDL
RaDL
HBoD
eL 41
2
/
Condição de escoamento desenvolvido
Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio
Convecção Mista: Natural + Forçada
40
•mecanismo predominante é determinado pela
menor camada limite - δT(CN) ou δT(CF) :
δT(CN) < δT(CF) : CN predomina
δT(CN) > δT(CF) : CF predomina
naturalConvecção
mixtaConvecção
forçadaConvecçãoRa
xCF
xRaCN
x
x
xCFT
xCNT
1
1
1
:1>Pr para Logo,
1
1
3121
41
3121
41
//
/
//
)(
/
)(
PrRe
PrPrRe:
Pr:
naturalConvecção
mixtaConvecção
forçadaConvecção
Pe
Bo
xPCF
xBoCN
x
x
xCFT
xCNT
1
1
1
:1<Pr para Logo,
1
1
21
41
21
41
/
/
/
)(
/
)(
Pre:
Pr:
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42
- Cilindro longo horizontal
- Correlação de Morgan:
NuD CRaDn
- Correlação de Churchill e Chu:
12
2
278169
61
10
55901
3870600
D
DD
Ra
RaNu
//
/
Pr)/.(
..
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43
Escoamento estável x instável
T1>T21<2:
troca de calor
por condução
(não há
movimento)
T1<T21>2
troca de calor por convecção
Fluido quente (mais leve) sobe, e vai sendo
resfriado, mas o fluido mais frio (mais
pesado) desce, situação instável, ocorre
circulação do fluido
- Para gases e líquidos, cai com T
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44
-Placas horizontais e inclinadas
-Força de empuxo
tem um componente
normal a placa
-Escoamento
resultante é 3-D
-Nu pode ser calculado
usando as correlações
anteriores e substituindo
g por gcos, nas regiões
onde o escoamento não é
3-D.
Nas regiões 3-D não há
correlações disponíveis
na literatura
Ts<T
Ts>T
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Ts<T
Ts>T
-Placas horizontais:
força de empuxo só tem a
componente normal a superfície
placa superior - Ts>T
placa inferior - Ts<T
NuL 0.54RaL1/ 4
(104 RaL 10
7)
NuL 0.15RaL1/ 3
(107 RaL 10
11)
NuL 0.27RaL1/ 4
(105 RaL 10
10)
placa superior - Ts<T
placa inferior - Ts>T
44
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46
Convecção Natural em Espaços Confinados
Resulta da complexa interação entre o fluido e todas as
paredes que o circundam
Podemos dividir os problemas em 2 tipos:
o espaços confinados aquecidos lateralmente
o espaços confinados aquecidos pela superfície inferior
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47
Aquecimento lateral
Equações de conservação para
fluido incompressível, regime
transiente, propriedades
constantes, hipótese de
Boussinesq:
A solução das equações é
obtida numericamente
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48
Além da CL térmica, as paredes laterais
desenvolvem jatos de velocidade (viscous wall
jets), de espessura δv.
Fora da CL térmica, δv pode ser obtido da eq. de
mom. Nesta região, o efeito do empuxo é pequeno:
inércia≈atrito.
Condição necessária para a troca de calor (RaH>1)
Dependendo de H/L-RaH , 4 regiões representando
um regime diferente em condições de regime
permanente pode ser identificado:
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1: Limite de condução: a temperatura varia
linearmente através da cavidade. A troca de
calor entre os 2 lados é da ordem de kHΔT/L.
O gradiente de temperatura ΔT/L gera uma
recirculação (fraca) no sentido horário.
4. Limite para espaço confinado
raso: troca de calor é dominada
pela presença de CL térmicas
verticais (Q≈kHΔT/δ T,f). Este é
um valor máximo para Q, pois a
largura extensa da cavidade força
um isolamento na região central.
3. Limite para altos
RaH (reg. CL): CL
térmicas verticais
distintas ao longo das
paredes laterais.
Q≈kHΔT/δ T,f. O
centro da cavidade
fica praticamente
estagnado e
estratificado
termicamente.
2. Limite para alto espaço
confinado (H/L>>1):
temperatura varia
linearmente entre os 2
lados e Q≈kHΔT/L.
Recirculação no sentido
horário, com camadas
distintas no topo e no fundo
da cavidade.
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50
ΔT tem que exceder um valor
crítico para o início do movimento
Cavidades com parede inferior aquecida
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51
Cavidades com parede inferior aquecida ΔT tem que exceder um valor crítico para o início do movimento
Ra < RaL,c=1708, forças de empuxo são menores do que
as forças viscosas e não ocorre movimento
Troca de calor por condução.
•1708 < Ra < 5x104, movimento do fluido se dá em forma de
células igualmente espaçadas
•Para maiores valore de Ra, as células se quebram e o
movimento é turbulento
-Correlação de Globe e Dropkin
(para baixos H/L):
Nu =hL
k= 0.069RaH
1/ 3Pr
0.074
3x105 < RaH < 7x109
propriedades a Tm=(T1+T2)/2
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