Conteúdo: Profª Maria Cristina KesslerImplementação: Prof. Claudio Gilberto de Paula
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FUNÇÃO INVERSAEm matemática, o termo inversa é usado para
descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra.
Em matemática, o termo inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o efeito da outra.
Dada uma função f, dizemos que ela é invertível quando podemos determinar outra função g que "desfaz o serviço de f". Nesse caso, g é denominada a função inversa de f e, portanto, f é a inversa de g. Normalmente, a função inversa de f é representada por f-1.
Pergunta: Dada uma função f, como fazemos, na prática, para determinar sua inversa?
Vejamos: se temos a função f, significa que para cada valor da variável independente x obtemos, em correspondência, um valor para a variável dependente y.
Dom f
f
Ao procurar a inversa de f pretendemos encontrar a função g que, a cada y na imagem de f associa o x inicial no domínio de f. Em linguagem simples, “o x vira y e o y vira x”.
Im g = Dom f Dom g = Im f
FUNÇÃO INVERSA
Vejamos a função representada no diagrama abaixo:
1
2
4
3
3
5
9
7
Observe o domínio da função:
A = {1,2,3,4}
Observe o conjunto imagem da função: B = {3,5,7,9}
Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y:
Y = Clique aqui para conferir .
Clique aqui para conferir .
Vamos agora encontrar a função inversa trocando o y pelo x e vice-versa:
3
5
9
7
1
2
4
3
Agora o domínio da função é: B = {3,5,7,9} eo conjunto imagem A = {1,2,3,4}.
O contradomínio da função: A
Encontre a lei de formação que relaciona as variáveis x e y:
Y = Clique para
conferir .Clique para
conferir .
A B
s4
AB
OBSERVE QUE:OBSERVE QUE:
Tudo isso sugere as seguintes relações:
a imagem de f é o domínio de f -1
O domínio de f é a imagem de f -1
domínio de f -1
= domínio de f
= imagem de f
Imagem de f -1
Para encontrarmos a função inversa de f(x), a f-1 (x) devemos realizar as seguintes etapas:
11 trocar x por y e y por x;
fica :
x = 2y + 1
22 isolar novamente o y, deixando-o em função de x.
ou seja f-1 (x) =
Considerando a função y = 2x+1,
EXEMPLOEXEMPLO
Considerando a função
f(x) = x+2, encontre f-1(x).
Utilizando o winplot construa o gráfico de f(x) e da sua inversa e cole-o no
espaço ao lado.
Clique aqui para conferir a resposta.
Clique aqui para conferir a resposta.
Observe que os gráficos dessas funções são simétricos em relação à reta y = x (função identidade).
Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas.
Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x).
Clique aqui para conferir a resposta.
Clique aqui para conferir a resposta.
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
1) y = 2x+3
s7
Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas.
Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x).
Clique aqui para conferir a resposta.
Clique aqui para conferir a resposta.
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
2) y = x+4
Com a ajuda do winplot construa o gráfico de cada uma das funções abaixo e das suas respectivas inversas.
Construa também o gráfico da função identidade para observar a simetria entre f(x) e f-1(x).
Clique aqui para conferir a resposta.
Clique aqui para conferir a resposta.
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
3) y = x³
Vamos agora analisar as condições, a serem cumpridas, para que uma função admita inversa:
Vamos agora analisar as condições, a serem cumpridas, para que uma função admita inversa:
Vejamos a função representada no diagrama abaixo:
O domínio da função: Dom f {1,2,3} e o conjunto imagem {2,4,6}.
Cont f : {2,4,6,8}.
Se fôssemos agora tentar encontrar a inversa, trocando o x pelo y, teríamos:
condiçõs
1
2
3
2
4
8
6
Neste exemplo o conjunto imagem não é igual ao contradomínio da função.
1
2
3
2
4
8
6
Observe que não temos uma função, pois o elemento 8 não tem correspondente no conjunto B.
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B.
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y) tal que, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B.
Desta forma para que uma função admita inversa algumas condições precisam ser cumpridas: Desta forma para que uma função admita inversa algumas condições precisam ser cumpridas:
A função precisa ser sobrejetora
Analisaremos agora outra situação a partir do diagrama abaixo:
condiçõs1
-1
1
-2
1
4
-1
1
-2
1
4
Uma função é dita sobrejetora quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio da função.
Uma função é dita sobrejetora quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio da função.
11
2
Na tentativa de encontrar a inversa, troca-se o x pelo y.
2
Observe que este conjunto de pares ordenados não representa uma função.
{(1,-1); (1,1), (4, -2); (4,2)}
Os elementos 1 e 4 apresentam duas imagens, o que contraria a definição de função.
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y), tal que para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B.
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se de função f de A em B, ao conjunto de pares ordenados (x,y), tal que para todo x pertencente ao conjunto A, existe um e somente um y pertencente ao conjunto B.
Desta forma temos outra condição a ser cumprida:Desta forma temos outra condição a ser cumprida:
A função precisa ser injetora
Conclusão: Para que uma função admita inversa ela precisa ser bijetora.
condiçõs2
Uma função é dita injetora se, para diferentes valores de x, apresentar diferentes imagens.Uma função é dita injetora se, para diferentes valores de x, apresentar diferentes imagens.
22
sobrejetora+ injetora.sobrejetora+ injetora.
Vejamos o seguinte exemplo:
Considere-se a função f(x) = x²
Esta função, f: R→R com imagem de [0, +∞), não admite inversa pois não é injetora, mas se restringíssemos o domínio da função para f: [0, +∞) →[0, +∞)?
Desta forma a função f: [0, +∞) → [0, +∞) com y = x² terá como inversa a função y = + x
É preciso ficar claro que se uma função não for invertível, é possível estabelecer uma restrição, ou seja, restringir o domínio de tal modo que a função definida nesse novo domínio o seja.
Observe os gráficos de f(x)= x² , da sua inversa f-1(x) e de y = x.
condic3
x
y
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
a) Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo, estabelecendo, quando necessário, uma restrição.
b) Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x).
c) Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria.
Exerc.1
Clique aqui para conferir .Clique aqui para conferir .
1 y = x² + 1
Dom f:
Dom f-1
Im f:
Im f-1
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
Encontre as funções inversas de cada uma das funções abaixo estabelecendo, quando necessário uma restrição.
Determine o domínio e imagem de f(x) e de f-1(x).
Construa o gráfico das funções e da função identidade y = x para observar a simetria.
Exerc.2
Clique aqui para conferir .Clique aqui para conferir .
2 y = x² - 3
Dom f: Dom f-1
Im f: Im f-1
Resp 1
RESPOSTA:
y = 2x+1
Resp 2
RESPOSTA:
Resp 3
RESPOSTA:
1) f = 2x+3
2
3-x1-f
Resp 3a
RESPOSTA:
2) f = x+4
f-1 = x+4
Resp 3aa
RESPOSTA:
3 x1f
3) y = x³
Resp 4
RESPOSTA:
Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [1, +∞)
Im f: [1, +∞) Im f-1: [0,+∞)
1
Resp 5
RESPOSTA:
Dom f: [0,+∞) Dom f-1: [-3, +∞)
Im f: [-3, +∞) Im f-1: [0,+∞)
2
Resp 3
RESPOSTA:
1) f = 2x+1
2
1-x1-f
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