Consideremos um reflector A que se move com uma velocidade v pequena. Num tempo δt o reflector vai estar na posição A ' com se vê na figura. Suponhamos que um plano estacionário está a uma certa distancia de A e denotemos o comprimento da onda incidente por λ e da onda reflectora por λ '. O numero de ondas incidentes no tempo t que existe

no intervalo BA é ABλ e numero de ondas reflectidas

que existe no intervalo BC é AC

λ'. Então no tempo t

temos no intervalo BAC, AC

λ'+ ABλ ondas. Do mesmo

modo podemos concluir que o numero de ondas no

intervalo B A 'C é A'Cλ '

+ A' Bλ . A diferença entre o numero

de ondas que existe no tempo t e no tempo t+δt deve ser o numero de ondas que sai no espaço limitado por BB' e CC '. Por outro lado νδt entre no espaço através do planoBB' e ν 'δt sai do espaço através do plano CC '. Então temos

(ν '−ν )δt=( ACλ' + ABλ )−( A 'Cλ ' + A

' Bλ )

ou

(ν '−ν )δt=( ABλ − A' Bλ )+( ACλ ' − A

'Cλ ' )

Como se vê na figura AB−A' B=A A '= vδtcosθ e temos

também que AC−A 'C=A A' cos (θ+θ ' ). Então como λ= cν e λ '=c

ν '

ficamos como

(ν '−ν )δt= νvδtccosθ

+ ν ' vδtc cosθ

cos (θ+θ ' )

que nos da

ν ' ccosθ−ν ' vcos (θ+θ ' )ccosθ

= νc cosθ+νvc cosθ

.

Simplificando obtemos

ν '=ν c cosθ+vccosθ−v cos (θ+θ' )

ou ainda

ν '=ν1+ vccosθ

1−vcos (θ+θ' )ccos θ

Em primeira ordem temos

1

1−v cos (θ+θ ' )c cosθ

=1+v cos (θ+θ' )c cosθ

logo obtemos

ν '=ν (1+ vc cosθ ) [1+ v cos (θ+θ' )

c cosθ ]=ν [1+ vc cosθ

+v2cos (θ+θ' )c2 cos2θ

+v cos (θ+θ ' )c cosθ ]

Como v é pequeno em relação à c ficamos com

ν '=ν [1+ vccosθ

+v cos (θ+θ' )ccosθ ]

A diferença entre os dois ângulos θ e θ' é da ordem vc

podemos substituir θ' por θ e obtemos

cos (θ+θ' )=cos2θ=2cos2θ−1

Substituindo na expressão acima obtemos

ν '=ν [1+ vccosθ

− vccosθ

+ 2v cos2θ

c cosθ ]que nos da

ν '=ν (1+ 2v cosθc )