~A
^
~e
~~. BA
~~BA ×
≈B
∇ ( )~∇
u∇
~. A∇
~A×∇Rotacional de um campo vectorial
Vector
Versor
Produto interno
Produto externo
Tensor
Nabla
Gradiente de um campo escalar
Divergência de um campo vectorial
Notação
2
3
Sistema de Unidades
• Sistema MKSA [Metro Kilograma Segundo Ampere]
• Metro, referenciado ao segundo e à velocidade da luz no vácuo
• Quilograma, massa de uma barra padrão feita de uma liga de Platina/Irídio (Sévres,Paris)
• Segundo, 9.192.631.770 períodos da radiação electromagnética emitida numatransição de um átomo de Césio
• Ampére, corrente constante que, percorrendo dois condutores (comprimento infinitoafastados de 1m no vácuo), produziria entre os condutores uma força de 2 x 10 Newtonpor cada metro de condutor.
• Sistema MKSA racionalizado
17104 −−×= Hmo πμ
5
• História• Ondas sonoras (voz). Comunicação à distância ⇒ tambores e ondas de luz visível
(sinais de fogo, espelhos reflectores e bandeiras).
• Espectro electromagnético fora da região do visível só começou a ser utilizado fimséculo XIX.
• Hertz (1887) construiu sistema de transmissão de ondas de rádio. Verificouexperimentalmente ondas electromagnéticas, previstas ~20 anos antes por Maxwell.
• Marconi: primeira transmissão em 1895, desenvolveu o rádio do ponto de vistacomercial e patenteou primeiro sistema de telegrafia sem fios.
• Pouco antes da segunda guerra mundial surgiram os klistrões e os magnetrões,capazes de gerar frequências até 1 GHz, e os primeiros guias de onda.
• Primeiras experiências de transmissão de OE através de guias de onda (1935), forammal sucedidas. Em 1936, uma vez estabelecida a teoria, foi feita com sucesso aprimeira transmissão de OE com guias de onda.
• Desenvolvimento de geradores e guias de onda fundamental para utilização micro-ondas, em comunicações e radares.
6
História (cont.)• Mais tarde estruturas planares (stripline, microstrip, slotline, guias coplanares) mais
compactas, de custo inferior e capazes de integrar dispositivos activos como díodos etransistores.
• Cabos coaxiais também usados actualmente na transmissão de sinais até ao domíniodas micro-ondas. Vantagem: banda larga. Desvantagem: difíceis de integrar emcircuitos complexos.
• Fibras ópticas surgiram no final dos anos 70. Sistemas de comunicação ópticos debaixas perdas e baixa dispersão, com larguras de banda muito superiores às doscabos coaxiais ou das estruturas de ondas milimétricas.
• Frequências dos sistemas de comunicação têm vindo a aumentar, devidoessencialmente às enormes larguras de banda disponíveis nas frequências maiselevadas.
• Comunicação com ligações fixas utilizada durante largos anos. Serviços telefónicosligações terrestres fixas (anos 40), comunicação intercontinental ligações via satélite(anos 70).
• As comunicações celulares móveis constituem actualmente um vasto campo deinvestigação e desenvolvimento tecnológico.
• Leis do electromagnetismo são regidas pelas equações de Maxwell.
• Eqs. Maxwell baseadas em trabalhos de Faraday, Gauss, Ampére, etc. (sec. XIX).
• Força de Lorentz:
( )~~~~BvEqF ×+=
Campos vectoriais (campo eléctrico) e (indução magnética) grandezas fundamentais
de campo electromagnético. Podem ser determinadas por experimentação.
• Campos vectoriais auxiliares: deslocamento eléctrico , campo magnetico
~E ~
B
~D
~H
~~~~
1 EDBH oo
εμ
==• Em espaço livre:
• Permeabilidade magnética , permitividade7 14 10o Hmμ π − −= × ( ) 9 11/ 36 10o F mε π − −=
Equações de Maxwell
7
A circulação de ao longo do contorno fechado Гf = - variação temporal do fluxo da
indução magnetica através de A.~E
~ ~~ ~. .
f AE d l B d StΓ
∂= −
∂∫ ∫
^
~ ~^
~ ~
d l d l t
d S d S n
=
=
A
^
~n
^
~t
fΓ
Lei de Faraday
8
Circulação (integral de linha) de um campo vectorial ao longo de uma linha fechada
Гf = fluxo do rotacional de através de A.~
U
~U
~ ~ ~ ~. .
f AU d l U d SΓ
= ∇ ×∫ ∫
t
BE
∂
∂−=×∇ ~
~~⇒
Um campo vectorial fica completamente definido quando forem conhecidos e em todos os pontos do espaço.
~U×∇
~. U∇
Teorema de Helmholtz (cálculo vectorial)
• Teorema de Stokes (cálculo vectorial)
9
O fluxo total de que sai dum volume V limitado por Sf é igual à carga eléctrica total
contida nesse volume.~
D
∫∫ = dvqdsD VSf
~~.
ρ=∇~
.D∫ ∫ ∇=Sf V dvUdSU~~~~
.. ⇒
Lei de Gauss
Teorema da divergência (cálculo vectorial)
10
•
A fonte que cria a circulação (ou rotacional) do campo magnético é~J
~ ~ ~. .f AH d l J d SΓ =∫ ∫
t
D
∂
∂~• Grande contribuição de Maxwell: adicionar o termo
• Eqs. compatíveis com o principio da conservação da carga e permitiu prever a
propagação de ondas electromagnéticas (~20 anos antes de Hertz ter verificado as
previsões teóricas).
Campo magnético
Lei de Ampére
11
• Termo
t
D
∂
∂~
~~ ~ ~ ~ ~
. . .f A S
DH d l d S J d S
tΓ
∂= +
∂∫ ∫ ∫
t
DJH
∂
∂+=×∇⇒ ~
~~
• Teorema de Stokes do cálculo vectorial
~ ~. 0
S fB d S⇒ =∫
~H• Divergência de
Não foram encontrados até agora cargas magnéticas
0.~
=∇⇒ B
• Teorema da divergência
12
0.~
=∂∂
+∇t
J ρ• Teorema da divergência
⇒
t
D
∂
∂~• Termo
~ ~.S f J dS dV
tρ∂
= −∂∫ ∫
traduz um fluxo de cargas eléctricas livres.
Como a carga se conserva
⇒
~J
Eq. da continuidade
13
oB
D
t
BE
t
DJH
=∇
=∇
∂
∂−=×∇
∂
∂+=×∇
~
~
~
~
~
~~
.
. ρ
Sabendo ρ e tem-se 12 incógnitas e 8 eqs.
Eqs. adicionais resultam das relações entre campos impostas pelas características do meio,
relações Constitutivas.
~J
Eqs. de Maxwell
15
Relações constitutivas
• A resposta do meio a um estímulo electromagnético depende das suas características.
Propriedades dos meios
• Homogéneos
• Lineares
• Isótropos
• Anisotropos
• Temporalmente dispersivos
• Espacialmente dispersivos
• Meios simples: com comportamento linear, isótropos e sem dispersão
espacial.
16
Campo eléctrico cria momento dipolar eléctrico.
- vector polarização eléctrica
~~0~PED += ε
~P
~.Pp −∇=ρ
Meios materiais Comportamento dieléctrico
Resposta do meio a um campo electromagnético
estático e uniforme é descrita em termos de
momentos dipolares eléctricos induzidos.
17
Meios materiais Comportamento magnético
Materiais não ferromagnéticos: Quando se aplica um
campo magnético são induzidas pequenas correntes
microscópicas que se opõem nos seus efeitos magnéticos
às variações do campo aplicado.
Comportamento diamagnético,momentos magnéticos
em oposição ao campo magnético.
Comportamento paramagnético, há a possibilidade de
alinhar os momentos magnéticos atómicos individuais e o
campo magnético intensifica-se.
Materiais ferromagnéticos: os momentos magnéticos
induzidos são muito mais intensos do que nos materiais
com comportamento magnético ordinário.
18
~BMagnetização
Correntes microscópicas induzidas
(Correntes Amperianas).
Magnetização - momento dipolar
magnético por unidade de volume.
A densidade de corrente associada às
correntes microscópicas é dada por
e tem-se
~M
~Mx∇
)(~~0~MHB +=μ
19
Descrição dos comportamentos dieléctrico e magnético
Em termos de momentos dipolares induzidos só é rigorosamente válida no caso dos camposestáticos uniformes (separação completa de efeitos eléctricos e magnéticos).
Regimes variáveis no tempo
Meios isotrópicos simples sem dispersão espacial ⇒ relações entre e e entre e
descritas cada uma por uma convolução temporal.
No domínio da frequência significa um relacionamento multiplicativo entre as transformadas deFourier de e e de e
.
)(~
tD )(~
tE )(~
tB)(
~tH
)(~
tD )(~
tE )(~
tB )(~
tH
( )
)(*)()(
)(*)()(
)(*)(´)'(´)(
~~
~~
~~~
tEttJ
tHttB
tEtdttEtttD
σ
μ
εε
=
=
=−= ∫
)(.)()(
)(.)()(
~~
~~
ωωμω
ωωεω
HB
ED
=
=
20
Equações de Maxwell em Meios Materiais
Num meio dieléctrico simples, para além da carga livre ρ existe
também carga de polarização ρp, que tem origem nos dipolos
eléctricos induzidos provocados pelo campo eléctrico aplicado
(separação de cargas negativas e positivas).
Recorrendo ao vector de polarização constituído pela densidade
volúmica do momento dos dipolos eléctricos induzidos no meio.
A introdução de tem a vantagem de invocar apenas a
densidade de carga livre.
GaussdeLeiE.o
p
~ ε
ρ+ρ=∇
~. Pp ∇−=ρ
ρ=∇~
. D~D
21
t
E
t
PMJB
o o ∂
∂+
∂
∂+×∇+=×∇ ~~
~~~
1 εμ
• O rotacional da indução magnética (circulação ao longo de qualquer caminho fechado) é
determinado pela densidade de corrente total.
Corrente livreCorrente Amperiana
Corrente de polarização
Corrente deslocamento de vácuo
22
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