Como o cortex se dobra? uma regra universal para a girificação
mamíferos e humanos
July 2015
Bruno Mota
Junho 2016
Biologia e física: Um choque de culturas
A aplicação de técnicas experimentais de
física na biologia tem uma longa história
O uso dos métodos da física teórica
para produzir modelos para biologia,
por outro lado, é menos comum
Biologia teórica?
O cérebro de cada espécie segue uma regra particular ou geral? Quão
especiais são os humanos?
Se tais regras gerais existirem, será possível obtê-las a partir de
primeiros princípios?
Tais princípios são gerais? Válidos para cada ordem? Genera? Phylla?
Qual deve ser sua forma matemática?
Na prática, para responder estas perguntas são necessários dados
precisos e em grande volume. Esta é a primeira vez na história da
neurociência em que tais dados estão disponíveis!
Universalidade pode ser consequência de um
princípio fundamental – E.g. Black body radiation
Earth
Sun
CMB (“the Universe”)
• Só um grau de liberdade(T)
• Aproximadamente verdadeiro para
quase toda a matéria
• Mas as divergências importam!
• Ajuste grosso vs ajuste fino
A teoria fundamental da biologia:
Evolução através da seleção natural
Evolução é um mecanismo de otimização vinculada
Não há uma direção – adaptação às circunstancias específicas
Adaptação a partir de estruturas pré-existentes –
Não existe ‘de volta à prancheta’
A evolução é conservadora – Reduce, reuse, recycle
Ancestral comum – Homologia entre estruturas
O cortex I
O Cortex II
Se girificação é uma adaptação, ela ocorreu diversas vezes
Cortices maiores são em geral mais girificados
Mas nem sempre!
Como o córtex se dobra? I
Ele empena para cima!
How do cortices fold? I
Como o córtex se dobra? II
Ele empena para os lados!
How do cortices fold? II
Como o córtex se dobra? III
Ele estica!
Como o córtex se dobra?? IV
Ele se amassa!
Dicotomias falsas
Baixa resolução vs alta resolução
Neuroanatomia comparativa vs MRI humano
Efeitos de superfície vs efeitos de volume
Ciência dos matérias vs geometria diferencial vs física estatística
Afinal, estas são modelos. Nenhum deve
explicar completamente todas as características
da morfologia cortical.
Precisamos de previsões quantitativas para testar
hipóteses!
Quantificando a girificação
As variáveis de baixa resoluçãp
Area total AT
Area exposta AE
Espessura média T
Folding is a better function of cortical surface
area
Folding index is a RATIO: look directly at AT x AE
Power law suggests cortices are self-similar down to a
fundamental scale
AE ~ AT0.798
Two functions relate exposed and total cortical
surface
AE ~ AT1.000
The dynamics I: Axonal effective energy minimization
M
𝐹𝑉 = (𝑝 + 𝑝𝑐𝑠𝑓)𝜋
6𝐴𝐸3/2
− 𝑇𝐴𝑇
The dynamics II: Wiring length minimization?
l
a
myelinated = ½
unmyelinated = ¼
vaxon = a l
vaxon = v’axon
The dynamics II: Wiring length minimization?
vaxon = v’axon
So, why doesn’t the White matter shrink to a point?
Self-avoidance! The surface can´t cross itself
𝐹𝑆 Ԧ𝑠, 𝑛 = 𝜎𝐴𝑇 + න𝑑2 Ԧ𝑥1𝑑2 Ԧ𝑥2𝛿
2 Ԧ𝑠 Ԧ𝑥1 − Ԧ𝑠 Ԧ𝑥2 Λ𝑇 𝑛 Ԧ𝑥1 − 𝑛( Ԧ𝑥2)
Λ𝑇 𝑢 = 𝑇 − 2 𝑢 if -T/2<u<T/2, 0 otherwise
𝐹𝑆 𝜎𝐴𝑇 + 𝛼𝑇𝐴𝑇2
𝐴𝐸(Flory)
The free energy
𝐹 = 𝜎𝐴𝑇 + 𝛼𝑇𝐴𝑇2
𝐴𝐸+ (𝑝 + 𝑝𝑐𝑠𝑓)
𝜋
6𝐴𝐸3/2
− 𝑇𝐴𝑇
F F
=A/AT
AT
The free energy II
𝐹 = 𝜎𝐴𝑇 + 𝛼𝑇𝐴𝑇2
𝐴𝐸+ (𝑝 + 𝑝𝑐𝑠𝑓)
𝜋
6𝐴𝐸3/2
− 𝑇𝐴𝑇
F
F
AT
The free energy
𝐹 = 𝜎𝐴𝑇 + 𝛼𝑇𝐴𝑇2
𝐴𝐸+ (𝑝 + 𝑝𝑐𝑠𝑓)
𝜋
6𝐴𝐸3/2
− 𝑇𝐴𝑇
F
=A/AT
𝑇1/2𝐴𝑇= 𝑘𝐴𝐸5
4
𝜕𝐹
𝜕𝐴𝐸= 0
A general rule for cortical folding...
𝐴𝑇
𝑇2= 𝑘
𝐴𝐸
𝑇2
5
4
𝐴𝑇 ≈ 1000 𝑇2
Onset of folding:
When AT = AE
𝐾𝐺 = 4𝜋
𝐴
𝑇2𝐾𝐺 ≈ 0.13
From Gauss-Bonet theorem
Onset of folding:
Lembrando: A curva de Koch
𝑙𝑖𝑛𝑡𝑟𝑖𝑛𝑠𝑖𝑐 = 𝑛𝑙0= 𝑙𝑒𝑥𝑡𝑟𝑖𝑛𝑠𝑖𝑐𝑑
𝑙0𝑑−1
𝑙𝑖
𝑙𝑜=
𝑙𝑒
𝑙𝑜
𝑑
l
lo
lol4
l0
l1l2l3
𝑛=𝑙
𝑙𝑜
𝑑
… just like paper balls
1-ply
5 cm
A4
A5
A6
A7
A8
A9
.
.
.
.
.
𝑎 2
𝑎
Another type of self-avoiding surface…
1-ply
5 cm
8-ply
Luiza Houzel
6-ply4-ply3-ply2-ply
A4
A5
A6
A7
A8A9
.
.
.
.
.
...where sheet thickness is the
fundamental length scale
2α is the fractal dimension.
𝐴𝑇
𝑇2= 𝑘
𝐴𝐸
𝑇2
5
4
The least component analysis
𝑇1
2𝐴𝑇= 𝑘𝐴𝐸5
4
In log-space, power law relations
become linear combinations.
Different choices for x and y axis
correspond to different ways of
looking into 3D
Log T x Log AE x LogAT space
1
2log 𝑇 + log𝐴𝑇=
5
4log𝐴𝐸
A variação em cortices humanos
A mesma regra para ambos os sexos
Uma regra universal para a girificação...
𝑇1/2𝐴𝑇 = 𝑘𝐴𝐸𝛼
Ou, de forma equivalente
Como k é afetado por idade ou doença?
Healthy human RH males
𝑇1/2𝐴𝑇𝐴𝐸−𝛼 = k
Como a girificação é afetada pela idade e doença (Alzheimer)?
𝑇1/2𝐴𝑇𝐴𝐸−𝛼 = k
𝑇1/2𝐴𝑇𝐴𝐸−𝛼 = k(age)
O que uma teoria de girificação mais completa precisa?
T é (quase) a única escala de comprimento
Incorporar as dinâmicas da superfície e do volume
Lisencefalia and giroencefalia são geradas pela mesma dinâmica
Explicar ATT1/2 = k AE5/4
Lidar com a auto-evitação de forma explícita
Girificação não depende do número de neurônios
Obrigado!
… e caveat emptor
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