Colisões
Guia de Ensaio Laboratorial
Mecânica Aplicada IICursos MEAer, MEMec, LEAN
Abril 2015
Conteudo
1 Introducao 1
1.1 Objectivo do Ensaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Fundamentos Teoricos 2
2.1 Movimento do Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Energia Cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 Colisoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3.1 Conservacao da Quantidade de Movimento Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3.2 Transferencia da Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3.3 Energia Cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Descricao do Equipamento 5
4 Procedimento Experimental 7
4.1 Preparacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.1.1 Preparacao da mesa de ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.1.2 Preparacao dos Corpos Cilındricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Descricao do procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2.1 Colisao Elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2.2 Colisao Inelastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Tratamento dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A Momentos de Inercia 12
ii
1. Introducao
A mesa de ar possibilita experiencias sobre o movimento bidimensional em condicoes em que o
atrito e desprezavel. Numa superfıcie plana fazem-se deslizar dois corpos cilındricos que possuem um
ventilador incorporado. Este ventilador produz uma almofada de ar que, a escala das grandezas em
jogo, se pode considerar que elimina completamente o atrito. Os corpos cilındricos sao alimentados
electricamente atraves de um cabo flexıvel ligado a um suporte.
A trajectoria do movimento dos corpos cilındricos e registada num papel metalizado, sobre o qual
os corpos se movimentam, atraves de pequenas marcas criadas por descargas electricas produzidas a
uma frequencia constante, por um electrodo que se encontra posicionado na parte inferior do corpo.
1.1 Objectivo do Ensaio
Com o presente trabalho, ir-se-ao produzir, entre os corpos cilındricos, dois tipos de colisoes, uma
elastica e uma inelastica, com o objectivo de verificar que:
• a quantidade de movimento um sistema de partıculas, composto por partıculas de diferentes
massas e com diferentes velocidades de deslocacao relativamente a um referencial inercial, e
igual a soma da quantidade de movimento de cada partıcula, ou seja, que o sistema se comporta
como toda a massa estivesse concentrada no CG do sistema;
• nao havendo forcas exteriores sobre o sistema, a velocidade do CG do sistema e constante,
verificando, assim, o princıpio da conservacao da quantidade de movimento do sistema;
• quando duas partıculas entram fisicamente em contacto, ha uma alteracao dos seus movimentos
com transferencia da quantidade de movimento, e;
• numa colisao elastica ha conservacao da energia cinetica, o que nao se verifica na colisao
inelastica.
1
2. Fundamentos Teoricos
2.1 Movimento do Centro de Massa
A quantidade de movimento de um sistema de partıculas e dada por
~P = M~vG (2.1)
em que M e a massa total do sistema e ~vG a velocidade do centro de massa.
Por outro lado, a velocidade do centro de massa e dada por
~vG =
∑imi~viM
(2.2)
em que mi representa a massa de cada partıcula e ~vi a respectiva velocidade. A quantidade de movi-
mento de cada partıcula e dada por
~pi = mi~vi (2.3)
ou seja, combinando (2.1), (2.2) e (2.3),~P =
∑i
~pi. (2.4)
Se nao actuarem forcas exteriores sobre o sistema, sabemos pelo princıpio da conservacao da quanti-
dade de movimento, que ~P e constante. Portanto, o centro de massa de um sistema isolado move-se
com velocidade constante em qualquer referencial. Em particular, podemos ligar um referencial inercial
ao centro de massa de um sistema isolado e, relativamente a esse referencial inercial, o centro de
massa estara em repouso.
2.2 Energia Cinetica
A energia cinetica de uma partıcula de massa mi e definida como
Ti =1
2mi|~vi|2. (2.5)
A energia total de um sistema de partıculas e
T =∑i
1
2mi|~vi|2. (2.6)
2
Pode mostrar-se que, no caso de corpos rıgidos em movimento plano, a energia cinetica e dada por
T =1
2M |~vG|2 +
1
2Iω2, (2.7)
em que I e o momento de inercia baricentrico e ω e a velocidade angular de rotacao do corpo.
2.3 Colisoes
2.3.1 Conservacao da Quantidade de Movimento Total
Durante uma colisao podemos admitir que o impulso das forcas exteriores e nulo, dado que o in-
tervalo de tempo que uma colisao dura e habitualmente muito pequeno. As forcas de colisao, entre os
dois corpos que colidem, tem grande intensidade, mas sao forcas interiores ao sistema. Pode portanto
concluir-se que nas colisoes que vamos tratar existe conservacao da quantidade de movimento total.
Usando a plica (′) para designar as grandezas apos a colisao, podemos escrever
M~vG = M~v′G ⇒ ~vG = ~v′G, (2.8)
ou, de forma equivalente,
m1~v1 +m2~v2 = m1~v′1 +m2~v
′2. (2.9)
2.3.2 Transferencia da Quantidade de Movimento
Quando duas partıculas de massa m1 e m2 se aproximam e colidem, a interaccao mutua altera os
seus movimentos, existindo uma transferencia da quantidade de movimento. Como nao existe a accao
de forcas exteriores, a quantidade de movimento e conservada, ou seja,
~P1 + ~P2 = ~P ′1 + ~P ′
2, (2.10)
onde ~P1 e ~P2 sao as quantidades de movimento das partıculas 1 e 2 antes da colisao e ~P ′1 e ~P ′
2sao as
respectivas quantidades de movimento apos a colisao.
Se definirmos ∆~P2 = ~P ′2 − ~P2 e ∆~P1 = ~P ′
1 − ~P1, entao da equacao (2.10) segue-se que
|∆~P2| = |∆~P1|, (2.11)
ou seja,
m2|∆~v2| = m1|∆~v1| (2.12)
ou ainda|∆~v2||∆~v1|
=m1
m2, (2.13)
o que indica ser a razao entre a massa das partıculas inversamente proporcional a razao do modulo
das variacoes da sua velocidade.
3
2.3.3 Energia Cinetica
Colisao Elastica
Uma colisao elastica caracteriza-se por haver conservacao da energia cinetica durante a colisao,
ou seja, a energia cinetica do sistema mantem-se inalterada, antes e depois da colisao. Se durante o
movimento os corpos nao tiverem rotacao, entao
T =1
2m1|~v1|2 +
1
2m2|~v2|2 =
1
2m1|~v′1|2 +
1
2m2|~v′2|2 = T ′ (2.14)
Colisao Inelastica
Numa colisao totalmente inelastica, os corpos permanecem juntos apos a colisao.
No caso da experiencia a realizar, vamos admitir que antes da colisao o corpo 1 esta em movimento
de translacao e o corpo 2 esta em repouso. Depois da colisao, que e totalmente inelastica, ambos os
corpos terao movimento de translacao e rotacao, e permanecerao unidos pelo ponto de contacto onde
se deu a colisao. A energia cinetica antes da colisao sera apenas
T =1
2m1v
21 . (2.15)
Apos a colisao os dois corpos terao a mesma velocidade angular ω porque seguem juntos. Assim, a
energia cinetica total sera dada por
T ′ =1
2m1(v′1)2 +
1
2I1(ω′)2 +
1
2m2(v′2)2 +
1
2I2(ω′)2, (2.16)
em que I1 e I2 sao os momentos de inercia dos corpos 1 e 2 relativamente aos respectivos centros de
massa. Note-se que tambem e possıvel escrever a energia cinetica como
T ′ =1
2m(v′G)2 +
1
2I(ω′)2. (2.17)
Dado que a colisao e inelastica, T ′ < T .
4
3. Descricao do Equipamento
A figura 3.1 ilustra as partes que compoem o equipamento.
A mesa tem dimensoes exteriores 79 cm ×67 cm e peso aproximado de 18 kg, com tampo de vidro
(60 cm ×55 cm) para experiencias e extremos limitados por um elastico de borracha.
Figura 3.1: Equipamento.
1. Consola fixa do suporte de tres pes
2. Parafusos de ajuste para pes adicionais
3. Parafusos de nivelamento
4. Reentrancia para papel de registo metalizado
5. Fonte de alimentacao (220 V/50 Hz) para ventilador e electrodo de registo
5.1 Selector de frequencia ( 10 Hz/50 Hz) dos impulsos de registo
5.2 Interruptor de alimentacao
5
5.3 Suporte de fusıvel T 0.315 B
5.4 Ligacao do braco de alimentacao electrica
Tensao de saıda:
24 V d.c. para o ventilador
24 V/ 10 Hz ou 50 Hz para circuito de registo
6. Barra de fixacao do papel metalizado, fornece o contacto electrico do circuito de registo
7. Conector que estabelece ligacao interna entre a barra de fixacao e o circuito de registo
8. Ficha com botao de campainha para comando ON/OFF dos impulsos de registo
9. Rolo de papel metalizado para registo, comprimento de 20m, 45 cm de largura.
10. Braco de alimentacao electrica a ligar em (5.4); com duas ligacoes em paralelo para ligar os fios
de alimentacao 11 aos dois corpos cilındricos 12.
11. Fio de alimentacao (2×), com 85 cm de comprimento, para ligacao ao corpo cilındrico.
12. Corpo cilındrico (2×) com ventilador para produzir a almofada de ar e electrodo central em con-
tacto leve com o papel de registo.
Diametro: aprox. 10cm
Altura: aprox. 10 cm
Massa: 950 g
12.1 Tomada para o fio de alimentacao
12.2 Interruptor ON/OFF para comando do ventilador
12.3 Tomada para ligacao do electrodo adicional, utiliza a tensao de registo, independentemente
da configuracao do interruptor (12.4)
12.4 Interruptor ON/OFF para a tensao de registo no electrodo central
12.5 Electrodo central. O registo e efectuado com o interruptor (12.4) na posicao de fecho e o
botao de campainha na ficha (8) pressionada simultaneamente.
13. Massa adicional (2×) para o corpo cilındrico 12. Massa: 500 g
14. Anel elastico suportado por molas (2×) a instalar no corpo cilındrico (12) servindo como suporte
de um electrodo periferico adicional. Massa: 61g
15. Anel Inelastico (2×) a instalar no corpo cilındrico (12) servindo como suporte de um electrodo
periferico adicional. Massa: 60g
6
4. Procedimento Experimental
4.1 Preparacao
O aluno deve encontrar o equipamento preparado para a realizacao das experiencias. No entanto,
descreve-se aqui o procedimento para preparacao da mesa e dos corpos cilındricos.
4.1.1 Preparacao da mesa de ar
• Colocar a mesa numa superfıcie de trabalho estavel.
• Limpar a superfıcie de vidro e a base dos corpos cilındricos (lenco de papel humedecido em
alcool) e deixar secar.
• Colocar o rolo de papel de registo (face metalica para cima) na reentrancia, desenrolar o papel
atraves da mesa de vidro e fixa-lo atraves da barra de fixacao (6).
• Inserir o braco de alimentacao (10) na tomada (5.4) e a ficha com o botao de campainha (8) no
conector (7).
Alinhamento horizontal:
• Levantar os pes adicionais com o parafuso (2) ate a mesa estar apenas apoiada na consola fixa
(1) e nos dois pes ajustaveis pelos parafusos (3) (suportada em tres pes).
• Colocar o corpo cilındrico no centro da mesa e ligar o fio de alimentacao (11).
• Pressionar o interruptor de alimentacao (5.2) e ligar o ventilador atraves do interruptor (12.3) para
produzir a almofada de ar.
• Ajustar os parafusos de nivelamento (3) de modo a que o corpo cilındrico nao se desloque.
• Rodar lentamente os parafusos (2) para os pes adicionais ate encostarem a superfıcie de trabalho
sem desnivelar a mesa previamente (o corpo cilındrico deve permanecer em repouso). Usar as
contraporcas para fixar os parafusos (2).
4.1.2 Preparacao dos Corpos Cilındricos
Atencao: A instalacao de pecas nos corpos cilındricos nao deve ser feita em cima da mesa de ar.
Segurar sempre o corpo cilındrico (12) pelo corpo e nao pelas pecas instaladas.
7
• Colocar o corpo cilındrico (12), sem o fio (11) instalado, numa zona limpa (por ex. uma folha de
papel)
• Dependendo da experiencia a realizar, encaixar a massa adicional (13) e/ou o anel elastico (14),
ou o anel inelastico, no corpo cilındrico. Rodar o anel ate a came de batente do corpo cilındrico
encaixar no rasgo do anel.
• Quando necessaria a massa adicional (13) deve ser instalada antes do anel elastico (14) ou do
anel inelastico (15).
4.2 Descricao do procedimento
4.2.1 Colisao Elastica
Equipamento a usar:
• Mesa de ar
• Corpo cilındrico (2×)
• Anel elastico
• Massa adicional (o professor indicara se ira ser usada, ou nao)
• Papel de registo
Operacao:
Em cada corpo cilındrico, deve estar instalado o anel elastico e, se for o caso, a massa adicional.
Atraves do selector (5.1) a frequencia de registo deve estar seleccionada para 50 Hz (intervalo de tempo
de registo 0.02 s).
• Ligar a alimentacao electrica aos corpos cilındricos. Ligar o ventilador atraves do interruptor
(12.2). Para registar o movimento no electrodo central (12.5) fechar o interruptor (12.4).
• Colocar os corpos cilındricos em cantos opostos do topo inferior da mesa.
• Pressionar o botao de campainha (8) e, simultaneamente, impulsionar os corpos de forma a
colidirem no centro da mesa e dirigirem-se, nas direccoes diagonais, para os cantos opostos
no topo superior, so libertando o botao quando os corpos colidirem com os elasticos limitadores.
• Retirar os corpos da mesa e desligar os ventiladores atraves do interruptor (12.2).
A trajectoria dos corpos deve ser semelhante a indicada na figura 4.1.
4.2.2 Colisao Inelastica
Atencao: O papel de registo e o mesmo da colisao elastica.
8
Figura 4.1: Trajectoria dos corpos, na colisao elastica
Equipamento a usar:
• Mesa de ar
• Corpo cilındrico (2×)
• Anel inelastico
• Massa adicional
• Papel de registo
Operacao:
Em cada corpo cilındrico, devem estar instalados a massa adicional e o anel inelastico. Atraves do
selector (5.1) a frequencia de registo deve estar seleccionada para 50 Hz (intervalo de tempo de registo
0.02 s).
• Ligar a alimentacao electrica aos corpos cilındricos. Ligar o ventilador atraves do interruptor
(12.2). Para registar o movimento no electrodo central (12.5) fechar o interruptor (12.4).
• Colocar os corpos cilındricos, um num canto do topo inferior da mesa e o outro, aproximadamente,
a um terco do eixo vertical que passa pelo centro da mesa, a partir do topo inferior.
• Pressionar o botao de campainha (8) e, simultaneamente, impulsionar o corpo que se encontra
no canto, de forma a colidir com o outro tangencialmente e prosseguirem colados, so libertando o
botao quando os corpos atingirem os elasticos limitadores.
• Retirar os corpos da mesa e desligar os ventiladores atraves do interruptor (12.2).
9
Figura 4.2: Trajectoria dos corpos, na colisao inelastica
• Retirar a porcao da folha de papel metalizado (9) onde ficaram registadas as trajectorias.
A trajectoria dos corpos deve ser semelhante a indicada na figura 4.2.
4.3 Tratamento dos Resultados
No papel metalizado, ficam registadas as trajectorias dos corpos cilındricos, antes e apos a colisao.
Como a frequencia dos impulsos, no papel metalizado, e de 50 Hz, isto significa que o intervalo de
tempo entre cada ponto e ∆t = 1/(50Hz) = 0.02s. Por exemplo, 10 impulsos correspondem a 0.2s.
Portanto, a partir dos registos, e possıvel determinar o vector velocidade de cada corpo, antes e
apos a colisao, bem como a velocidade do centro de massa do sistema.
A figura 4.3 exemplifica os procedimentos para o caso da colisao elastica. O caso da colisao
inelastica e analogo.
As velocidades de cada uma das partıculas determinam-se a partir dos sucessivos segmentos
AiAi+1 e BiBi+1, dividindo pelos respectivos intervalos de tempo. Note-se que a velocidade e uma
grandeza vectorial, com modulo, direccao e sentido.
Para determinar a posicao do centro de massa, devem-se unir, com intervalos regulares, os pares
pontos registados sincronizadamente, AiBi, como mostra a figura. Em cada instante ti a posicao do
centro de massa Gi pode ser obtida a partir de
GiBi
AiGi
=m1
m2(4.1)
10
Figura 4.3: Determinacao grafica da trajectoria do CG, na colisao elastica.
e
AiGi +GiBi = AiBi, (4.2)
obtendo-se
AiGi =AiBi
1 + m1
m2
. (4.3)
Dividindo os sucessivos segmentosGiGi+1 pelos respectivos intervalos de tempo e possıvel determinar
a velocidade do centro de massa ~vG ao longo da sua trajectoria.
No caso da colisao inelastica e necessario tambem determinar a velocidade angular dos dois corpos.
Esta pode ser estimada a partir na variacao de angulo que a linha que une os centros dos dois corpos
faz com uma direccao de referencia. Medindo o angulo θi que o segmento AiBi faz com uma linha de
referencia, a velocidade angular obtem-se dividindo ∆θ = θi+1 − θi pelo tempo percorrido.
Durante esta fase do trabalho pretende-se verificar:
• a conservacao da quantidade de movimento do sistema, usando quer a equacao (2.8) quer a
equacao (2.9) (note-se que ambas sao equacoes vectoriais);
• a transferencia da quantidade de movimento de um corpo para outro, dado pela equacao (2.13);
• a conservacao da energia para a colisao elastica, dada pela equacao (2.14):
• que na colisao inelastica existe dissipacao de energia mecanica, calculando as energias antes
(equacao (2.15)) e depois (equacao (2.16)) da colisao.
11
A. Momentos de Inercia
Para o calculo da energia cinetica depois da colisao inelastica e necessario saber o momento de
inercia de cada corpo relativamente a um eixo vertical que passa pelo centro de massa.
Na falta de um valor experimental, pode usar-se para cada um dos corpos cilindros o valor que o
momento de inercia teria se o corpo fosse homogeneo:
I =1
2mr2. (A.1)
Para um anel cilındrico homogeneo de massa m, raio exterior rext e raio interior rint a expressao para
o momento de inercia relativamente ao eixo de simetria do anel e
I = mr2ext + r2int
2. (A.2)
Para obter o momento de inercia de um corpo constituıdo por varias partes basta somar os momen-
tos de inercia de cada uma das partes relativamente ao mesmo eixo. No caso vertente sera necessario
somar as contribuicoes do corpo cilındrico, do anel de massa adicional e do anel inelastico (o qual se
pode supor ter espessura desprezavel, pelo que rext = rint).
12
Top Related