COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 4. TEOREMA DE TALES
a
b
c
e
d
f
f
c
e
b
d
a
TEOREMA DE TALES: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos proporcionais
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5.1. TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO QUALQUER:
h
b2
.hbA
TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
4
3.2lA
l
l l
FÓRMULA DE HERON:
cb )).().(.( cpbpappA a
*p = semi-perímetro
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5.1. TRIÂNGULOS
DADO UM ÂNGULO:
senCbaA ...2
1cb
a
A
C B
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5.1. TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO QUALQUER INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA:
R
cbaA
.4
..
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5.1. TRIÂNGULOS
TRIÂNGULO QUALQUER CIRCUNSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA:
*p = semi-perímetro
rpA
rcba
A
rcrbraA
rcrbraA
.
.2
)(2
...2
.
2
.
2
.
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5.2. PARALELOGRAMOS
Retângulo
Quadrado
Paralelogramo
hbA . Losango
2dD
A.
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hbB
A .)(
2
5.3. TRAPÉZIOS
Trapézio
h
OBSERVAÇÃO:
Em qualquer polígono regular, a área é dada por:
A = p.a*p = semi-perímetro a = apótema
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5.3. TRAPÉZIOS
OBSERVAÇÕES:
Trapézio Escaleno Trapézio Isósceles Trapézio Retângulo
a) Tipos de Trapézios
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5.3. TRAPÉZIOS
OBSERVAÇÕES:
b) Base Média
c) Mediana de Euler
A B
CD
M NE F
2
CDABEF
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5.3. TRAPÉZIOS
OBSERVAÇÕES:
d) DiagramasQuadriláteros
Trapézios
Paralelogramos
Losangos RetângulosQuadrados
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6.1. Triângulo Eqüilátero
INSCRITOS
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6.2. Quadrado
2lS
2l
a
22l.
r
INSCRITOS
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6.3. Hexágono regular
4
3.R.6S
2
3.Ra
2
INSCRITOS
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CIRCUNSCRITOS
*p = semi-perímetro
rpA .
oDC 180ˆˆ
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OBSERVAÇÕES:
a) Os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são suplementares.
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OBSERVAÇÕES:
b) Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.
a
b
c
d
a + c = b + d
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Questão 2:
Determine a medida y, na figura abaixo, sabendo que x + z = y e que r//s//t//u.a) 8b) 9c) 10d) 12e) 14
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Solução:
y – 3 = 9 y = 12
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Questão 4:
(UFPI) A área do quadrado ABCD inscrito no triângulo retângulo DEF abaixo é:a) 42,25cm2
b) 36cm2
c) 46,24cm2
d) 39,32cm2
e) 49cm2
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Solução:
6
150.25
.15150.10
15
10
10
l
l
llll
2
2
2
36
6
cmA
A
lA
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Questão 5:
A figura abaixo mostra uma circunferência de raio 6cm inscrita em um trapézio retângulo. Calcule a área desse trapézio.a) 110cm2
b) 120cm2
c) 130cm2
d) 140cm2
e) 150cm2
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Solução:
r = 6cm
12cm
10cm
2150
12.2
)1015(
.2
)(
cmA
A
hbB
A
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Questão 8:
(UFBA/95) Num triângulo ABC, o lado AB mede 1 u.c., o lado BC u.c. e o ângulo B mede 30º. Assim, pode-se afirmar: 0 0 O perímetro do triângulo mede 5 u.c.1 1 O triângulo é obtusângulo.2 2 O triângulo é isósceles.3 3 A medida da área do triângulo é u.a.4 4 A altura do triângulo, relativa ao lado AB, mede u.c.
3
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Solução:
A
B C
1
3
30o
x
11
331
2
3.3.231
30cos.3.1.231
2
2
2
222
xx
x
x
x
CossenosdosLei
o
1
0 0 O perímetro do triângulo mede 5 u.c.1 1 O triângulo é obtusângulo.2 2 O triângulo é isósceles.3 3 A medida da área do triângulo é 3/4 u.a.4 4 A altura do triângulo, relativa ao lado AB, mede 2/2 u.c.
XXX
1/2
4
3
221.3
2
.
A
A
hbA
X
2
3
2
.1
4
3
2
.
h
h
hbA
X
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Questão 9:
(COVEST/2005) Uma propriedade rural tem a forma do triângulo ABC representado na figura. A região cultivada corresponde apenas à porção sombreada. Sabendo-se que AD = AB e AE = AC, que porcentagem da área da propriedade rural é cultivada?
a) 50%b) 60%c) 66%d) 75%e) 1/2.(2/3 + 3/4).100%
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Solução:
x
y
3/4.x
2/3.y
senyxAprop ...2
1.
senyxAcult ..3
2..
4
3.2
1.
senyxAcult ...4
1.
.. .%50 propcult AA
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Questão 12:
(UPE 2003) 0 0 Se a medida da base de um triângulo aumenta 20% e a medida da altura diminui 30%, a área do triângulo diminui em 16%.1 1 Três segmentos de medidas 5cm, 6cm e 10cm determinam um triângulo obtusângulo.2 2 O apótema de um hexágono regular de lado é .3 3 3 A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, inscrito em uma circunferência de raio 2 u.c., é 2.3 u.c.4 4 A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais.
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Solução:
0 0 Se a medida da base de um triângulo aumenta 20% e a medida da altura diminui 30%, a área do triângulo diminui em 16%.
2
..84,0
2
.7,0..2,12
.
' hbhbA
hbA
X
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Solução:
1 1 Três segmentos de medidas 5cm, 6cm e 10cm determinam um triângulo obtusângulo.
61100
3625100
6510 222
X
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Solução:
2 2 O apótema de um hexágono regular de lado é .3 X
ap
l
2
3.lap
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Solução:
3 3 A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo, inscrito em uma circunferência de raio 2 u.c., é 2.3 u.c.
X
2 2
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Solução:
4 4 A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais.X
A
B CPPC
AC
BP
AB
Teorema da Bissetriz Interna
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Questão 13:
(COVEST 2003) A razão entre a área do triângulo e a área do círculo inscrito, ilustrados na figura abaixo, é:
1)e
4)d
18)c
6)b
12)a
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Solução:
62
3.42
.
t
t
t
A
A
hbA
1
.2
)543(6
.
r
r
rpAt
c
c
c
A
A
rA2
2
1.
.
6
c
t
A
A
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Questão 14:
(U.F.Uberlândia-MG/adaptada) Calcule a área de um triângulo retângulo em que um dos catetos mede 5 cm e o raio da circunferência inscrita mede 2cm.a) 20cm2
b) 25cm2
c) 30cm2
d) 40cm2
e) 50cm2
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Solução:
2 cm
3 cm
3 cm
2 cm
x
x
cmxx
xxxx
xx
1020.2
.4425.69
)2(5)3(22
222
230
2
5.122
.
cmA
A
hbA
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Questão 15:
(UFAC) A figura representa um trapézio cujas bases AB e DC medem 6dm e 10dm. Sendo M e N pontos médios dos lados AD e BC, conclui-se que a medida do segmento PQ é:a) 3dm b) 2dm c) 3,1dm d) 2,8dm e) 3,2dm
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Solução:
dmPQ
PQ
EulerdeMediana
22
)610(
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Questão 16:
Em um triângulo retângulo ABC a hipotenusa BC mede 15cm e o cateto AB mede 9cm. Calcule a distância do baricentro G à reta AC.a) 1cmb) 2cmc) 3cmd) 4cme) 5cm
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Solução:
15 cm
9 cm
12 cm
4,5 cm
cmd
d
3
5,4.3
2
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Questão 18:
(UFMT) No hexágono regular ABCDEF inscrito na circunferência de raio 4cm, a medida da diagonal FB é:
cm15)e
cm26)d
cm34)c
cm8,6)b
cm6)a
oi xnS 180)2(
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Solução:
oi
oi
S
xS
720
180)26(
120o 4 cm
4 cm
2 cm
30o
2. 3
2. 3
4. 3
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Questão 19:
Um quadrado ABCD e um triângulo eqüilátero EFG estão inscritos na mesma circunferência de raio 6 cm de modo que AB//EF, conforme a figura. Calcule a distância entre os lados AB e EF.
)32.(3)e
)32.(2)d
)33.(3)c
)23.(2)b
)22.(3)a
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Solução:
cmap
ap
apr
q
q
q
6
2.2.6
2.
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Solução:
cmr 2.6
tap cm2.3
)22.(3
2.36
d
d
apapd tq
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