Resumo 05: Geometria Plana 1
GEOMETRIA PLANA
I. Ângulo Chama-se ângulo à figura geométrica formada pela reunião de duas semirretas de mesma origem.
Unidades de medidas {𝑮𝒓𝒂𝒖𝑹𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒐
𝟏𝟖𝟎° ↔ 𝝅𝒓𝒂𝒅
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
a) QUANTO À SUA MEDIDA:
b) QUANTO À SOMA DE SUAS MEDIDAS:
Complementares: x + y = 90o.
Suplementares: x + y = 180o.
Replementares: x + y = 360o.
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
𝜶 = 𝜷
ÂNGULOS FORMADOS POR PARALELAS
CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
ˆˆ
ˆˆ Externos
ˆˆ
ˆˆ Internos
Alternos
180ˆˆ
180ˆˆ Externos
180ˆˆ
180ˆˆ Internos
Colaterais
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
entesCorrespond
0
0
0
0
=
=
=
=
=+
=+
=+
=+
=
=
=
=
ga
hb
fd
ec
gb
ha
fc
ed
hd
gc
fb
ea
II. Triângulos
1) VÉRTICES: A, B e C.
2) LADOS: 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ e 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ .
3) ÂNGULOS INTERNOS: 𝑨�̂�, 𝑩�̂�, 𝑪�̂�.
4) ÂNGULOS EXTERNOS: 𝑨�̂�, 𝑩�̂�, 𝑪�̂�.
RELAÇÕES ENTRE OS ÂNGULOS
OBSERVAÇÕES:
i) Em todo triângulo o maior lado se opõe ao
maior ângulo. ii) A quantidade de lados iguais é igual à
quantidade de ângulos iguais em um triângulo.
ELEMENTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
a) MEDIANA:
G: baricentro
b) BISSETRIZ:
I: incentro
c) MEDIATRIZ:
C: Circuncentro
d) Altura:
O: Ortocentro
LEMBRE-SE QUE:
i) O baricentro (G) é o centro de massa do
triângulo e possui a seguinte propriedade:
𝑨𝑮 =𝟐
𝟑∙ 𝑨𝑷
ii) O circuncentro (C) é o ponto que equidista
dos vértices de um triângulo. iii) O incentro (I) é o ponto que equidista dos
lados de um triângulo. iv) No triângulo equilátero o Baricentro, o
Incentro, o Circuncentro e o Ortocentro têm a mesma localização.
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Resumo 05: Geometria Plana 2
CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO
a) EM FUNÇÃO DA ALTURA:
𝑨 =𝒃 ∙ 𝒉
𝟐
b) EM FUNÇÃO DE DOIS LADOS E DO ÂNGULO
FORMADO ENTRE ELES:
𝑨 =𝒃 ∙ 𝒄 ∙ 𝒔𝒆𝒏𝜶
𝟐
c) EM FUNÇÃO DOS TRÊS LADOS:
𝑨 = √𝒑 ∙ (𝒑 − 𝒂) ∙ (𝒑 − 𝒃) ∙ (𝒑 − 𝒄), 𝒄𝒐𝒎:
𝒑 =𝒂 + 𝒃 + 𝒄
𝟐
d) EM FUNÇÃO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
INSCRITA E DO SEMI-PERÍMETRO:
𝑨 = 𝒑. 𝒓 e) EM FUNÇÃO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
CIRCUNSCRITA E DOS LADOS:
𝑨 =𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄
𝟒𝑹
TEOREMA DE TALES
Um feixe de retas paralelas determina,
sobre transversais, segmentos proporcionais.
𝒙
𝒚=
𝒛
𝒘=
𝒙 + 𝒚
𝒛 + 𝒘
TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA
𝒙
𝒄=
𝒚
𝒃
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
𝒂
𝒅=
𝒃
𝒆=
𝒄
𝒇=
𝑯
𝒉
𝑨
𝑨′= (
𝑯
𝒉)
𝟐
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Seja o triângulo ABC, retângulo em A, na figura abaixo:
a) b2 = a.n.
b) c2 = a.m.
c) a2 = b2 + c2.
d) a.h = b.c.
e) h2 = m.n.
RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULOS
QUAISQUER
a) Lei dos senos:
𝒂
𝒔𝒆𝒏𝜶=
𝒃
𝒔𝒆𝒏𝜷=
𝒄
𝒔𝒆𝒏𝜽
b) Lei dos cossenos:
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶
III. Polígonos
a) SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS:
𝑺𝑰 = (𝒏 − 𝟐) ∙ 𝟏𝟖𝟎° b) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS:
𝑺𝑬 = 𝟑𝟔𝟎° c) NÚMERO DE DIAGONAIS:
𝒅 =𝒏∙(𝒏−𝟑)
𝟐
LEMBRE-SE QUE:
Para polígonos regulares {�̂�𝐼 =
𝑆𝐼
𝑛
�̂�𝐸 =𝑆𝐸
𝑛
POLÍGONOS REGULARES
a) TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
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Resumo 05: Geometria Plana 3
b) QUADRADO:
c) HEXÁGONO REGULAR:
Onde:
R: raio da circunferência circunscrita.
r: raio da circunferência inscrita.
L: lado.
h: altura.
r: apótema.
RESUMINDO:
IV. Quadriláteros a) TRAPÉZIO:
1) 𝑨 =(𝑩+𝒃).𝒉
𝟐
b) PARALELOGRAMO:
1) 𝑨 = 𝒃. 𝒉
c) RETÂNGULO:
1) 𝑨 = 𝒂 ∙ 𝒃
2) 𝒅𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
3) 𝟐𝒑 = 𝟐𝒂 + 𝟐𝒃
d) LOSANGO:
1) 𝑨 =𝑫∙𝒅
𝟐
2) 𝓵𝟐 = (𝑫
𝟐)
𝟐
+ (𝒅
𝟐)
𝟐
3) 𝟐𝒑 = 𝟒𝓵
e) QUADRADO:
1) 𝑨 = 𝑳𝟐
2) 𝒅 = 𝑳√𝟐
3) 𝟐𝒑 = 𝟒𝑳
V. Circunferência e Círculo a) COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA:
b) COMPRIMENTO DO ARCO:
c) ÁREA DO CÍRCULO:
d) ÁREA DO SETOR CIRCULAR:
e) ÁREA DA COROA CIRCULAR:
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
a) ÂNGULO CENTRAL:
b) ÂNGULO INSCRITO:
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Resumo 05: Geometria Plana 4
c) ÂNGULO INTERIOR:
d) ÂNGULO EXTERIOR:
RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO
a) POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR:
b) POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR:
c) TEOREMA DA TANGENTE:
d) TEOREMA DA PITOT:
Anotações
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