Instituto Superior de Transportes
e Comunicações
Cálculo de Engrenagens Cónicas
Órgãos de Máquinas – Aula 4 3⁰ Ano
Eng⁰ Eulices Mabasso
Tópicos
2
1. Conceitos gerais Transmissões por engrenagens cónicas
2. Características geométricas das engrenagens cónicas
3. Esforços actuantes nas transmissões cónicas de dentes rectos
4. Resistência das engrenagens cónicas de dentes rectos
5. Rendimento, refrigeração e lubrificação
6. Exercícios prácticos
1. Conceitos gerais
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A engrenagem cônica, ou chanfrada, é uma engrenagem que é projetada
para engrenar com uma roda montada em um eixo que pode ser
posicionado em qualquer número de ângulos (diferentes de 180𝑜 ou 0).
Classicamente, engrenagens cônicas são utilizadas em ângulos de 90 graus
entre si, embora outros tipos de ângulos também possam ser utilizados.
Em contraste com outros tipos de engrenagens, deve geralmente ser
utilizada paralelamente umas às outras, ou em um ângulo reto, em alguns
casos especializados. Elas são utilizadas num certo número de aplicações,
incluindo a engrenagem diferencial de um carro.
1. Conceitos gerais
4
Tipicamente, uma engrenagem cônica tem a forma cônica, com os dentes
correndo ao longo do lado do cone, e o ângulo dos lados pode ser variado,
dependendo da aplicação para a engrenagem. O projeto permite que a
engrenagem chanfrada se engrene com outra engrenagem cônica em vários
ângulos diferentes, dependendo de como ela foi fabricada engrenagem
cônica.
Em uma engrenagem cônica de dentes retos, os dentes estão em linha reta,
correndo verticalmente ao longo do cone. O problema com as rodas dentadas
retas é que todo o impacto é aplicado sobre um único dente, tornando a
engrenagem áspera, e levando a lascar ao longo dos dentes da engrenagem
com o tempo.
1. Conceitos gerais
5
Por esta razão, algumas pessoas preferem engrenagens em espiral, em que os dentes são fixados a um ângulo, permitindo que a pressão a ser distribuída de modo que as engrenagens se integrem uniformemente e suavemente.
Engrenagens hipóides são engrenagens especializadas, com eixos que não se interceptam. Estas engrenagens utilizam uma engrenagem de anel grande com uma menor engrenagem articulada, e elas são utilizadas em aplicações como diferenciais de automóveis, em que possam ser necessárias que as engrenagens rodem a diferentes taxas de velocidade em algumas situações.
1. Conceitos gerais
6
Engrenagens
cônicas com dentes
retos –indicadas para
equipamentos de
pequeno porte, que
possuam baixa rotação.
1.1. TIPOS DE ENGRENAGENS CÓNICAS
1. Conceitos gerais
7
Engrenagens cônicas com dentes
helicoidais
São ideias para sistemas com rotação elevada e
os dentes desse tipo de engrenagem são
colocados no sentido transversal em relação ao
eixo. A transmissão pode ser realizada em eixos
paralelos ou em eixos que formam um ângulo
entre si.
1.1. TIPOS DE ENGRENAGENS CÓNICAS
1. Conceitos gerais
8
Engrenagens cônicas com dentes helicoidais
Possuem características específicas, dentre elas destacam-se:
São mais silenciosos do que engrenagens de dentes retos, pois seu contato
entre os dentes acontece gradualmente, de forma fluida;
O número de dentes em contato é maior, causando maior força na velocidade
de transmissão.
A utilização de engrenagens cônicas helicoidais é ideal para sistemas de
transmissão que possuem características que lidam com cargas maiores e
necessitam de contato maior entre os dentes helicoidais das engrenagens,
permitindo movimentação de forma mais silenciosa e eficaz.
1.1. TIPOS DE ENGRENAGENS CÓNICAS
1. Conceitos gerais
9
Engrenagens cônicas com dentes espirais –possuem a
característica de suavizar a interação, pois o formato dos dentes diminui o
impacto entre as peças.
1.1. TIPOS DE ENGRENAGENS CÓNICAS
1. Conceitos gerais
10
A fabricação do material requer atenção, pois, quando feita de forma
inadequada, as engrenagens cônicas podem não apresentar a eficiência
necessária.
As transmissões cónicas têm fabrico e montagem mais difíceis (complexos)
que as transmissões com rodas cilíndricas. Para a sua fabricação usam-se
máquinas e ferramentas especiais.
O cruzamento dos eixos dificulta a disposição dos apoios (às vezes é preciso
alongar os veios e/ou montar a(s) roda(s) em consola). Por isso, há uma
certa irregularidade na distribuição da carga ao longo do comprimento dos
dentes .
1.2. Fabricação e Montagem das engrenagens cônicas
1. Conceitos gerais
11
Nas rodas dentadas cónicas
surgem forças axiais que
condicionam a construção dos
apoios. Segundo dados de
ensaios, a capacidade de carga
de engrenagens cónicas com
dentes rectos é cerca de 85%
da de engrenagens cilíndricas.
Apesar das limitações
apresentadas, ainda é comum
utilizarem-se engrenagens
cónicas quando os eixos estão
dispostos sob ângulo mútuo.
1.2. Fabricação e Montagem das engrenagens cônicas
1. Conceitos gerais
12
Redutores
cónicos e mistos
1.3. Aplicações de Engrenagens Cónicas
1. Conceitos gerais
13
Redutores
cónicos
1.3. Aplicações de Engrenagens Cónicas
1. Conceitos gerais
14
Diferencial do carro
O diferencial é um dispositivo mecânico indispensável em veículos de
tração. O diferencial tem a função de transferir e distribuir uniformemente
o torque a dois semi-eixos que em principio giram em sentidos opostos,
possibilitando assim, a cada eixo, uma gama de velocidade e rotações
diferentes.
O diferencial possibilita transmissão da rotação igual aos semi-eixos,
independentemente das suas velocidades de rotação.
Uma das principais atuações do diferencial é no momento da curva, onde
uma roda precisa girar mais do que a outra.
1.3. Aplicações de Engrenagens Cónicas
1. Conceitos gerais
15
1.3. Aplicações de Engrenagens Cónicas
1. Conceitos gerais
16
1.3. Aplicações de Engrenagens Cónicas
MoinhosUm moinho é uma instalação destinada a fragmentação ou pulverização de
materiais em bruto especificamente grãos de trigo ou de outros cereais, por
meio de mós.
2. Características geométricas
17
Por analogia aos cilindros primitivos e
divisores nas transmissões cilíndricas,
as transmissões cónicas têm cones
primitivos com ângulos.
As secções dos dentes nos cones
complementares chamam-se "secções
tangenciais". Podem ser designadas
secções externas, internas e médias.
As dimensões nas secções externas
indicam-se com o índice "e", por
exemplo "de", "Re", etc. As dimensões
na secção média têm o índice "m", por
exemplo dm, Rm, etc Fig.1 – Parâmetros geométricos da roda dentada cónica e da roda dentada equivalente
2. Características geométricas
18
As dimensões na secção média são
cómodas para cálculos de forças e
tensões. Assim, os parâmetros de carga
são avaliados na secção média. As
relações entre grandezas externas e
médias são:
Fig.1 – Parâmetros geométricos da roda dentada cónica e da roda dentada equivalente
(1) (2)
(3)
2. Características geométricas
19
Para rodas cónicas com dentes rectos a
secção tangencial t coincide com a
secção normal n. Por isso mte = mne é
arredondado para um valor normalizado
(tabelado). Também se podem usar as
relações:
Fig.1 – Parâmetros geométricos da roda dentada cónica e da roda dentada equivalente
(4)
(5)
2. Características geométricas
20
Relação de transmissão
De modo similar às transmissões por engrenagens cilíndricas, nas
transmissões por engrenagens cónicas a relação de transmissão é:
(6)
(6.1)
A fórmula 6.1 só é
válida para
transmissões
ortogonais nas quais
Σ = 𝛿1 + 𝛿2 = 90𝑜
2. Características geométricas
21
Para os cálculos de
resistência são utilizados
os parâmetros da roda
dentada equivalente ou
virtual. A forma dos dentes
da roda dentada cónica na
secção normal, sobre o
cone complementar é
transponível para uma
roda dentada cilíndrica
com dentes rectos.
(6)
(6.1)
2.1. Redução de uma roda dentada cónica com dentes rectos a uma roda dentada cilíndrica equivalente, com dentes rectos
Fig.2 – Cones primitivos e roda dentada equivalente
2. Características geométricas
22
(6)
(6.1)
2.1. Redução de uma roda dentada cónica com dentes rectos a uma roda dentada cilíndrica equivalente, com dentes rectos
Fig.2 – Cones primitivos e roda dentada equivalente
(7)
3. Esforços actuantes
23
Nas transmissões cónicas há forças tangencial Ft, radial Fr e axial Fa.
As relações entre estas forças podem ser analisadas utilizando a fig. 3,
onde as forças representadas são aplicadas sobre o pinhão.
Fig.3 – Forças em engrenagens cónicas
(8)
3. Esforços actuantes
24
Para a roda movida, os sentidos das forças são contrários. Porém, é
de notar que a força radial no pinhão tem direcção axial na roda
movida e vice-versa.
Fig.3 – Forças em engrenagens cónicas
(9)
4. Resistência das engrenagens
25
As dimensões das secções transversais dos dentes de uma roda
dentada cónica variam proporcionalmente à distância entre estas
secções e o vértice do cone (figura 8.32.a).
Por isso, a distribuição da carga linear específica "q" ao longo do
comprimento dos dentes não é uniforme, variando em função da
deformação e rigidez dos dentes nas secções, que são variáveis.
4.1. Cálculo duma transmissão cónica com dentes rectos à flexão
4. Resistência das engrenagens
26
A carga tem uma
distribuição do tipo
triangular, de tal
modo que o vértice
do triângulo coincide
com o vértice do cone
divisor, o mesmo
acontecendo às
tensões de flexão.
4. Cálculo dos dentes duma transmissão cónica com dentes rectos à flexão
Fig.4 – Engrenagens cónicas e carga linear variável
4. Resistência das engrenagens
27
O cálculo de resistência à flexão pode ser feito para qualquer secção mas, na
prática, como secção de cálculo, escolhe-se a secção média do dente e a carga
média qm. Por analogia às rodas dentadas cilíndricas pode-se escrever:
4.1. Cálculo dos dentes duma transmissão cónica com dentes rectos à flexão
para dentes rectos 𝜗𝐹 = 0,85- coeficiente experimental, que caracteriza a redução da
resistência das rodas dentadas cónicas com dentes rectos.
(10)
4. Resistência das engrenagens
28
Para as transmissões cónicas, é válida a seguinte fórmula:
4.2. Cálculo dos dentes duma transmissão cónica com dentes rectos ao contacto
O raio reduzido de curvatura ρred é determinado usando o diâmetro da
roda dentada equivalente, mas para a secção média:
(11)
4. Resistência das engrenagens
29
Para a secção média dos dentes tem-se uma relação semelhante e por
isso, assim:
4.2. Cálculo dos dentes duma transmissão cónica com dentes rectos ao contacto
Onde se utilizou a relação dm2 = u ⋅ dm1:,e com recurso a trigonometria
chega-se a seguinte expressão:
(12)
4. Resistência das engrenagens
30
Para a carga linear convem utilizar a carga média poque não é constante
nos dentes:
4.2. Cálculo dos dentes duma transmissão cónica com dentes rectos ao contacto
Assim a fórmula para o cálculo testador das transmissões cónicas com
dentes rectos fica:
(13)
(14)
4. Resistência das engrenagens
31
4.2. Cálculo dos dentes duma transmissão cónica com dentes rectos ao contacto
Onde 𝜗𝐻 = 0,85- é um coeficiente experimental. Os diâmetros e a
largura da roda podem se determinados com recurso as seguintes
fórmulas:
(15)
4. Resistência das engrenagens
32
4.2. Cálculo dos dentes duma transmissão cónica com dentes rectos ao contacto
Onde 𝜗𝐻 = 0,85- é um coeficiente experimental. Os diâmetros e a largura da roda
podem se determinados com recurso as seguintes fórmulas:
Para 𝐾𝑏𝑒 = 0,285(15.1)
(16)
(17)
4. Resistência das engrenagens
33
4.3. Determinação do Coeficiente de carga de cálculo
𝐾𝐻 𝑒 𝐾𝐹 determinam-se do mesmo modo que para nas engrenagens
cilíndricas. Os valores de 𝐾𝐻𝑣 𝑒 𝐾𝐹𝑣 escolhem-se das tabelas, com
redução da precisão em um grau em relação ao verdadeiro.
O módulo, número de dentes e outros parâmetros dimensionais da
transmissão determinam-se de modo análogo às transmissões
cilíndricas.
4. Resistência das engrenagens
34
O coeficiente 𝐾𝐻𝛽determina-se do
gráfico da figura
ao lado.
5. Rendimento, refrigeração e lubrificação
35
O rendimento das transmissões dentadas pode ser expresso por:
5. Rendimento, refrigeração e lubrificação
36
Se definirmos os coeficientes de perda:
Assim ficamos com a seguinte expressão:
Numa situação de varias transmissões pode-se usar a seguinte expressão:
5. Rendimento, refrigeração e lubrificação
37
Como é difícil individualizar as perdas, é comum utilizar-se o valor total. Para
cálculos aproximados, sendo a transmissão de 1 escalão e funcionando com apoios
de rolamentos de esferas, sob carga nominal, utilizam-se os seguintes valores dos
rendimentos:
Tab.1 – Rendimentos de engrenagens Cónicas e Cilíndricas
6. Exercicios prácticos
38
6. Exercicios prácticos
39
6. Exercicios prácticos
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6. Exercicios prácticos
41
1. Calcular todos os parâmetros geométricos (reais e virtuais) e as forças que
actuam na transmissão por engrenagens cónicas de dentes rectos de aço com
tensão admissível ao contacto de 100 MPa, tomando em consideração os
seguintes dados:
O acionamento da transmissão será por motor elétrico, trifásico CA, assíncrono, com potência P=30kW e rotação n=1155 rpm (ω=38,5πrad/s).Ψ𝑏𝑑 = 0,4 α = 20𝑜 𝑧1 = 27 𝑧2 = 65
6. Exercicios prácticos
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2. Para a figura ao lado determine os
parâmetros geométricos (reais e
virtuais) necessários para o
desenho de fabricação, e faça o
desenho de esboço no seu caderno
ilustrando todas as dimensões.
𝑧2 = 34 𝑧1 = 16 m = 4,5 𝑚𝑚
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