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CINEMÁTICA
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Definição de Fluido
Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado: O Fluido se deforma continuamente O Sólido se deforma, mas não continuamente
Sólido Fluido
O Fluido pode apresentar nas fases: líquido, vapor ou gás.
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Fluido como um Continuo
Os fluidos são compostos de moléculas em constante movimento.
1 mol de gás contém 1023 moléculas, não é possível simular a trajetória de cada molécula. No entanto é possível medir os efeitos macroscópicos do de muitas moléculas: velocidade, pressão, temperatura, etc.
O Conceito do Continuo é a Base da MF clássica, ele deixa de lado o comportamento individual das moléculas.
Falha quando a trajetória livre das moléculas se torna da mesma ordem de grandeza da dimensão significativa do problema
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Fluido como um Contínuo
Definição da densidade num ponto infinitezimal > 10-7 cm
Conseqüência da Hipótese de contínuo: cada propriedade tem um valor definido continuamente em todo espaço (x,y,z), em particular o ponto C do espaço
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Referencial Euler x Lagrange
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Métodos de Descrição
Referencial Lagrangeano:Acompanha elementos de massa identificáveis;Em mecânica dos fluidos, acompanhar o
movimento de cada partícula, muitas vezes, torna-se impraticável.
Referencial EulerianoFocaliza a atenção sobre as propriedades do
escoamento num determinado ponto do espaço como função do tempo;
As propriedades do campo do escoamento são descritas como funções das coordenadas espaciais e do tempo;
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Lagrange: segue a trajetória de partículas com identidade fixa
y
x
0tr
ttr 0
ttr 20
kcjbiatr ,tt instante no 00
t,c,b,azzt,c,b,ayyt,c,b,axx
dtdzwdtdyvdtdxu
22
22
22
dtzddtdwa
dtyddtdva
dtxddtdua
z
y
x
Eqs. paramétricas da trajetória de uma partícula que t =t0, x=a, y=b e z=c
Velocidade partícula Aceleração partícula
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Euleriano: descreve o que ocorre em diferentes posições do campo do escoamento
y
x
t,z,y,xwwt,z,y,xvvt,z,y,xuu
000
000
000
Anemômetro
O campo de velocidades é uma função de sua posição no espaço e no tempo. Por exemplo, colocando-se um instrumento no ponto (x0,y0) ele vai registrar a velocidade:
Note que se o regime for permanente, a velocidade no ponto (x0,y0) será sempre constante. No entanto, se você mudar o instrumento para o ponto (x1,y1) você obterá um novo valor de velocidade
(x0,y0) (x1,y1)
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Relação Coordenadas: Euler e Lagrange No referencial Euleriano a velocidade numa posição
(x0,y0,z0) coincide com a taxa de deslocamento da partícula que passa por este ponto no mesmo instante (conceito Lagrangeano):
0
0
0
0000000
0000000
0000000
tt
tt
tt
dtt,z,y,xZdt,z,y,xww
dtt,z,y,xYdt,z,y,xvv
dtt,z,y,xXdt,z,y,xuu
Euler Lagrange
Euler/Lagrange e analogia EngTráfego/Policial:EngTráfego: conta o número de veículos que passa num cruzamento.
Policial: segue um veículo
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Lagrangeano x Euleriano
A sequência mostra a concentração de CO2 em ar com 1 segundo de injeção.
Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd, cortesia Prof. Altemani DE.
Tente acompanhar como o CO2 se dispersa (Lagrangeano)
Observe num ponto fixo no espaço como o CO2 varia (Euleriano)
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 2 seg, indicando superfície com 15 % .
2 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 4 seg, indicando superfície com 15 % .
4 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 6 seg, indicando superfície com 15 % .
6 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 8 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.
8 seg após injeção
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Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 10 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.
10 seg após injeção
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Lagrangeano x Euleriano
Todas as leis físicas são definidas para um referêncial Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc
Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade) fixa.
Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto?
Re-escrever as leis a partir de um referencial Euleriano que define os campos a partir da sua posição no espaço e no tempo.
Isto é possível por meio do Teorema do Transporte de Reynolds (cap 4)
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Campo de Velocidade
Um conceito EULERIANO
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Num dado instante, o campo de velocidade, , é uma função das coordenadas espaciais (x, y, z) e do tempo (t) – referencial euleriano;
Ou em termos de suas componentes:
(u,v,w), também dependem de x, y, z e t.
Campo de Velocidade
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ESCOAMENTO PERMANENTE As propriedades em cada ponto do campo (x,y,z) não
mudam com o tempo, então:
ESCOAMENTO TRANSIENTE:As propriedades em cada ponto do escoamento
mudam com o tempo, então:
Campo de Velocidade
zy,x,V V ou 0 t
V
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Escoamentos 1D, 2D e 3D
Um escoamento é Uni, Bi ou Tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade .
Exemplos:
Todos os escoamentos são 3D. Alguns casos podem ser “aproximados” para 1D ou 2D
permanente e D1 xVV
transiente e D1 t,xVV
permanente e D2 y,xVV
transiente e D3t,z,y,xVV
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Escoamento 1D
Escoamento completamente desenvolvido em um Tubo. O perfil de velocidades é dado por:
A velocidade axial é função
do “r”
2
max R
r-1 u u
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Escoamento 2D em um Difusor Plano
A velocidade varia em y e x.
O canal é considerado como infinito em z. O campo de velocidade em z é “considerado” idêntico em todos os planos, ou seja, invariável na direção z.
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Escoamento 3D
Escoamento em rotação
na vizinhança da parede
de um disco estacionário.
A velocidade varia nas
direções x, y e z.
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Campo de Velocidades: regime permanente e 2D
Escoamento laminar sobre
uma placa, plano YZ.
Resultados produzidos pelo PHOENICS cfd
Campo Vetorial (j,k)
Campo escalar w(y,z)
superposição
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Outras Formas de Representação Visual do Campo de Escoamento
É útil e conveniente visualizar a direção e o sentido das velocidades das partículas por meio de:
Linhas de tempo (experimental) Trajetória da partícula (experimental) Linhas de emissão (experimental) Linhas de Corrente (matemática)
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Linhas de Tempo Uma quantidade de partículas adjacentes são marcadas
simultaneamente num dado instante:
• making timelines 1• making timelines 2
Links p/ técnica de bolha de hidrogênio: (1) e (2)
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Trajetória e Linhas de Emissão
Linha de trajeto: é a trajetória traçada por uma partícula de fluido em movimento (ref. Lagrangeano).
Linha de Emissão: num local fixo no espaço você marca as partículas que passam por lá. Após um curto período teríamos uma certa quantidade de partículas, todas identificáveis e que em algum momento passaram pelo mesmo ponto no espaço
Injetor de fumaça
dtXdV
veja túnel de fumaça
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Diferença entre Trajetória e Linha de Emissão
Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a
linha de emissão , veja filme.
A afirmativa acima não é verdadeira para regime transiente!
Cenário: escoamento ascendente submetido a uma corrente horizontal
alguns instantes após início. Fumaça -> linha emissão; Bolinha ->
trajetória.
Compare no segundo vídeo a diferença entre linha de emissão e a
trajetória!
emissão emissão + trajetória
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Placa Plana Oscilante
Veja filme de uma placa plana oscilante. Neste escoamento transiente as linhas de emissão não coincidem com a trajetória das partículas nem tão pouco com as linhas de corrente!
filme
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Linhas de Corrente
ds
dx
dy
u
v V
ds
R(t)
R(t+dt)
Linha de corrente
V
Pela semelhança de triângulos tem-se a
definição matemática da linha de corrente:
w
dz
v
dy
u
dx
São tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto.
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Linhas de Corrente
Propriedade 1: como as linhas de correntes são sempre tangentes à velocidade, não pode haver escoamento normal a elas.
flowno-flow
flowno-flow
Impossível!
Propriedade 2: linhas de corrente nunca se cruzam, do contrário haveria extinção ou produção de massa no interior do escoamento.
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Importante
Em regime permanente, a trajetória
das partículas é coincidente com a
linha de emissão que por sua vez
também coincide com a linha de
corrente
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ExemploUm campo de velocidade é dado por:
Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy incluindo aquela para o ponto (x,y) = (1,2)
1m/s B e 3m/sA ;jAyiBAxV
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x(m)
y(m
)
c=1
c=2
c=4
c=8
y(3x+1)=C
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Derivada Total ou Substantiva
Ela relaciona a taxa de variação de uma propriedade
(H, V, P, Conc, etc) vista de um referencial Lagrangeano
a partir de medidas realizadas de um referencial Euleriano!
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Referencial Lagrangeano: segue a
partículay
x
r(t)r(t+dt)
2
2
y
2
2
x
dt
yd
dt
dva
dt
dyv
dt
xd
dt
dua
dt
dxu
Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano.
Como seguir uma partícula num fluido?
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Referencial Euleriano: fixo no espaço ele define o campo de velocidades
em função do ponto.y
x
r1
r2
tz,y,xvvtz,y,xvv
tz,y,xuutz,y,xuu
,22222,11111
,22222,11111
Velocidade para um referencial Euleriano. Como definir uma aceleração?
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Para que serve Derivada Total?
Todas as leis físicas são definidas para um referêncial Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc
Elas aplicam-se a sistemas, que possuem uma massa (identidade) fixa.
Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto?
A derivada Total é a taxa de variação seguindo uma partícula. Ela possui um conceito Lagrangeano mas é medida a partir de um referencial Euleriano.
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Um Experimento MENTAL. (Tente Imaginar...)
Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A sua concentração diminui a medida que ele é transportado pela correnteza. Você deve fazer uma medida da poluição. Para isto você dispõe de um bote a motor e um medidor da concentração C do contaminante.
Você realizou três tipos de medidas, cada uma com um resultado diferente! Tente explicar porque:
1) com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma concentração
2) com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a velocidade Vb e mediu outra concentração
3) com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.
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Barco Estacionário, Vb = 0
t
c
Dt
Dc
Se o barco está estacionário, o sensor de poluição medirá uma concentração C que passa pelo ponto de medida e que varia com o tempo apenas:x
y
A variação da concentração c é função do tempo e do espaço:
dyy
cdx
x
cdt
t
cdc
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Barco Movimentando com Vb ≠ 0
Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são independentes mas estão relacionados por Vb:
bV
x
y
dtvdy e dtudx bb
A variação da concentração c é função do tempo e do espaço:
dyy
cdx
x
cdt
t
cdc
A taxa temporal de c é determinada por:
y
cv
x
cu
t
c
Dt
Dc
dt
dy
y
c
dt
dx
x
c
t
c
Dt
Dcbb
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Barco Movimentando com a correnteza Vb = V
V
x
y Se o bote desloca junto com a correnteza então:
Desta maneira o medidor de concentração irá medir a variação de c SEGUINDO a trajetória de uma partícula carregada pela correnteza (CONCEITO LAGRANGEANO!!!)
y
cv
x
cu
t
c
Dt
Dc
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Derivada Total, Material ou Substancial
• Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa temporal de variação de um escalar o vetor SEGUINDO uma partícula de fluido.
• De fato esta taxa de variação é coincidente com aquela determinada por um referencial LAGRANGEANO porém ela é medida a partir de um referencial EULERIANO.
• f é uma variável genérica, sua derivada substancial:
• Em notação vetorial
convectivo
termo transiente
termo
yv
xu
tDt
D
VtDt
D
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Derivada Total de um Escalar• O escalar pode ser uma concentração, temperatura, energia
interna, entalpia, entropia, etc.• A taxa de variação temporal seguindo uma partícula é dada
por:
f Transiente Convectivo – 2D
T
c
u
h
tT u T x v T y
tc u c x v c y
ˆ ˆu u x v u y
u h x v h y
u t
th
t V
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Derivada Total de um Vetor• A derivada total de um vetor é aceleração da partícula medida
de um referencial Lagrangeano. Para um escoamento 2D ela possui duas componentes:
f transiente Convectivo 2D
u
v
tu u u x v u y
tv u v x v v y
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Motion of a Fluid Particle (Kinematics)
Fluid Translation: Acceleration of aFluid Particle in a Velocity Field
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Motion of a Fluid Particle (Kinematics)
Fluid Translation: Acceleration of aFluid Particle in a Velocity Field (Cylindrical)
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Identidade para Aceleração do Campo
Aceleração seguindo uma partícula:
VVt
V
Dt
VD
A identidade: VVVV
VVVV
2
VVV
t
V
Dt
VD
2
mas V
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TAXA DE DEFORMAÇÃO DO FLUIDO
Fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando submetidas a uma
tensão de cisalhamento
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Deformação de um Elemento Fluido A taxa de deformação depende do movimento relativo de
de um ponto em relação a sua vizinhança, ou seja da diferença de velocidade entre ele e seus vizinhos.
Num caso 2D há duas direções principais. No instante t=0 temos o triângulo AOB, após t=dt vamos observar o deslocamento relativo AOB devido às diferentes velocidades que atuam em AOB
O movimento relativo de AOB para A’OB’ ou sua taxa de deformação pode ser decomposta em três movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação:
C
0tr
A’
B’
A
BO
O’ dttr
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Cinemática• Veja a deformação de um elemento de fluido próximo a
parede (filme).• Movimentos complexos podem ser decompostos em três
movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação:
rotação
def. linear
def. angular
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Qual é a taxa de variação do ponto N em relação ao ponto M, isto é, como a varia com o tempo?
TAXA DE DEFORMAÇÃO
t = 0, pontos M e N alinhados e dl = 0,
t = dt, ponto M’ deslocou dl em relação M
dy
Fenômeno Local, de um ponto em relação a sua vizinhança (dy)
Filme: deformação
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TAXA DE DEFORMAÇÃO
dy du dy y tarctan arctan
y y
l
Para um instante dt, a deformação entre M e M’ é dada por a é:
dy
du
dt
d deformação de taxa
ou:
2t 0
y td 1 ulim
dt t y y1 y
l l
l
du é a variação relativa da
velocidade entre os pontos M e M’
<< 1
Logo a taxa de deformação é:
u
u+(du/dy)y
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Natureza da Taxa de DeformaçãoTaxa de deformação é um conceito relativo,
quer dizer, ela representa a taxa de um dado ponto relativo a sua vizinhança;
Ela pode variar ponto a ponto no escoamento.
Este conceito uni-dimensional pode ser generalizado para tri-dimensional
Tal como a tensão, a taxa de deformação de um ponto fluido possui natureza tensorial; Dxy = du/dy
Para determiná-la é necessário o conhecimento do campo de velocidades e suas derivadas...
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Deformação de um Elemento Fluido No ponto O as componentes de velocidade são u,v,w A velocidade na vizinhança de O é determinada por
uma expansão em série de Taylor (primeira ordem) ao redor de O:
dzz
vdy
y
vdx
x
vwdww
dzz
vdy
y
vdx
x
vvdvv
dzz
udy
y
udx
x
uuduu
OO
OO
OO
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Deformação de um Elemento Fluido A variação da velocidade de O para vizinhança é
expressa por uma matriz com 9 derivadas parciais do campo de velocidades local:
Cada derivada parcial representa uma taxa de deformação do fluido ( 1/seg) associada a um plano e uma direção onde ela ocorre e portanto tem natureza tensorial.
dz
dy
dx
z
w
y
w
x
wz
v
y
v
x
vz
u
y
u
x
u
dw
dv
du
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Tensor Deformação
Em notação indicial, o tensor deformação, Dij, é definido por
Em notação vetorial,
z
w
y
w
x
wz
v
y
v
x
vz
u
y
u
x
u
DDDDDDDDD
x
uD
j
ij,i
333231
232221
131211
TTVDou VgradD
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Operação com Tensores
Qualquer tensor pode ser decomposto em uma parte simétrica e outra anti-simétrica:
Simétrico- AntiTensor
i,jj,i
Simétrico Tensor
i,jj,ij,i DDDDD 2
1
2
1
Si,j Ri,j
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Decomposição do Tensor Deformação
Vamos ver a seguir que:
1. A diagonal do tensor simétrico está associada a dilatação linear do elemento
2. Os elementos fora da diagonal do tensor simétrico estão associados a deformação angular
3. Os elementos do tensor anti-simétrico estão associados a rotação do elemento fluido.
SIMÉTRICO-ANTI TENSORSIMÉTRICO TENSOR
0z
v
y
w
2
1
z
u
x
w
2
1
y
w
z
v
2
10
y
u
x
v
2
1
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
10
z
w
z
v
y
w
2
1
z
u
x
w
2
1
y
w
z
v
2
1
y
v
y
u
x
v
2
1
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
1
x
u
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(1) Dilatação linear na direção x
Um segmento ADBC, sujeito a uma extensão ‘pura’, no tempo t=0 deforma-se e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. A extensão ocorre para os segmentos AC->A’C’ e DB->D’B’.
O deslocamento relativo:
dtxudx
dxdtxu
AC
ACCA ''
A taxa de deformação linear na direção é:
xuAC
ACCA
dt
dD
''
xx
As componentes nas outras direções são:
yvDyy zwDzz
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(2) Deformação angular no plano xyUm segmento ADBC, sujeito a uma deformação angular ‘pura’ no tempo t=0, deforma-se e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O ângulo original do vértice A deforma-se proporcionalmente aos ângulos gxy e gyx
yudt
d
dy
dydtyu
AD
DD xy'
xy
'
yx
yx
dv x dxdtCCv x
dx dtAC
A taxa de deformação angular é definida como a média destes dois movimentos:
A deformação angular e sua taxa:
xvyu
2
1
dt
d
dt
d
2
1DD
yxxyyxxy
É evidente que a deformação do vértice A é duas vezes o valor de Dxy!
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(3) Rotação no plano xyUm segmento ADBC, sujeito a uma rotação ‘pura’ no tempo t=0, gira sobre o vértice A e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O ângulo original do vértice A é preservado! Neste movimento não há deformação mas rotação
yudt
d
dy
dydtyu
AD
DD xy'
xy
'
yx
yx
dv x dxdtCCv x
dx dtAC
A taxa de rotação é definida como a média destes dois movimentos:
Se o ângulo de A é preservado então: yx
''
xyAC
CC
AD
DD
yuxv
2
1
dt
d
dt
d
2
1DD
yxxyyxxy
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Ten
sor
Def
orm
ação
1. A diagonal de S está associada a dilatação linear do elemento.
2. Os elementos fora da diagonal de S estão associados a deformação angular.
3. Os elementos do tensor anti-simétrico R estão associados a rotação do elemento fluido, eles não causam deformação mas somente rotação dos elementos.
SIMÉTRICO-ANTI R TENSOR
yzxz
yzxy
xzxy
SIMÉTRICO S TENSOR
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
0RRR0RRR0
SSSSSSSSS
)V(Def
ijjijiij xuxu2
1SS
i
j
j
iijkij x
u
x
u
2
1R
onde e = 0 se dois índices forem iguais, e = +1 se ijk = 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2 e e = -1 se ijk = 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2.
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Dij = Sij + Rij
D = parte simétrica (shear) + parte anti-simétrica (rotação)
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Vetor Vorticidade, w
Definição de vetor
vorticidade:
zzzz 2V2
1
y
u
x
v
2
1
wvu
zyx
kji
ou x
uV
k
jijki
w é igual a duas vezes a taxa de rotação do elemento de fluido. Considere rotação no plano xy, z é a média das taxas de deformação:
w representa a rotação em cada eixo das coordenadas.
IMPORTANTE: vorticidade ou rotação do elemento são fenômenos locais, isto é, linhas de corrente com curvatura não garantem que o o fluido tenha rotação!
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Relação entre Rij e w
Um tensor anti-simetrico (Rij) possui somente 3 escalares distintos, isto sugere que na ‘essência’ ele é um vetor!
Para um elemento em estado de rotação pura (S≡0),
rdU2
1 rdUR Ud ij
dzdydx
kjidet
2
1
dzdydx
0z
v
y
w
2
1
z
u
x
w
2
1
y
w
z
v
2
10
y
u
x
v
2
1
x
w
z
u
2
1
x
v
y
u
2
10
zyx
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Vetor Vorticidade, w
A vorticidade é DUAS VEZES a rotação do fluido. Ela tem papel central no estudo de escoamentos com
ausência de viscosidade. Escoamentos onde w é nulo são chamados de
escoamentos irrotacionais. Note que na parede (condição de não deslizamento) o
fluido está impedido de ganhar velocidade mas não rotação!
As equações de dinâmica dos fluidos podem ser expressas em termos de variáveis primitivas (u,v,w e p) ou em termos da vorticidade – elas contêm informação equivalente.
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