Placas - lajes
>'
4
Q,
y4
Exercício:Determine as reações de uma laje maciça de concreto de 3 m x 4 m, comespessura de 8 cm, revestimento de cerâmica, e que pesa, com a arga-massa de assentamento, 1000 N/m2.Cargas sobre a laje:
Peso próprio: pp = 0,08. 25000 = 2000 N/m2
Revestimento: pr = 1000 = 1000 N/m2
Sobrecarga: se = 2000 = 2000 N/m2
Carga total por área: g = 5000 N/m2
Cálculo das reações:
íf = 4 m (lado maior)l y = 3 m
qf= 4687,50 N/m
qy = 5000--
q = 37 50 N/m
Capítulo 17
Cascas
Objetivo:Introduzir o estudo das cascas dentro do regime demembrana.
280 281
Cascas
Cascas
Cascas são estruturas que se desenvolvem no espaço e nas quais duasdimensões se sobrepõem à terceira, que é sua espessura, e o carrega-mento é distribuído na superfície.Nas cascas temos duas geometrias: a geometria local, que estuda a su-perfície, e a geometria global, que estuda a forma da casca.As cascas podem ser geradas por rotação ou por translação.
Cascas geradas por rotação
Essa casca é gerada por uma curva que gira em torno de um eixo, que échamado de eixo de rotação.
meridianoparalelo
Cascas geradas por translação
Essa casca é gerada por uma curva que se desloca apoiando-se sobreoutra curva, mantendo-se constante o ângulo entre elas e o ângulo com oplano vertical A curva se desloca mantendo-se paralela a si mesma.
curva que transladadeslocamento
curva de apoio
282
f Cascas
Por rotação, temos os eferóides, elipsóides, parabolóides, cilindróides econóides entre outros.
círculo elipse parábola
cilindro
Por translação, temos entre outros, os parabolóides elíptícos e parabolóideshiperbólicos.
parabolóideelíptico
diretriz 2parabolóidehiperbólico
parábola
diretriz l
conóide
diretriz 2
283
Cascas
Esforços nas cascas de rotação
Dada a pequena espessura das cascas, a rigidez à flexão pode ser des-prezada e assim temos somente solicitações normais.Consideremos um elemento de casca e façamos o seu equilíbrio.
284
Tya
centrode Rv
centrodeRx
"q" e "p" são as cargas por área;q é a carga na área;p é a componente da carga na área segundo a sua normal;R^eR são os raios de curvatura nas direções "jc" e "y" res-pectivamente.
p a b p a b
Cascas
Como os ângulos a e P são pequenos (menores que l rad), podemossimplificar
sen a= a e
sen p = p
Também pela definição de ângulo:
aR.
As componentes de Tx.b e T .a na direção vertical devem equilibrar acarga normal p a b.
-T -b-sen(-\2 -Tv -a • sen( ̂ ]= p -a -
2 - T - b — — + 2-T -a — — = p - a - b2-R, 2 - R , .
^__ nU
Esta é a equação básica da Teoria de Membrana, quando a casca é derevolução. Ela relaciona as cargas por unidade de comprimento Tx e T eos raios principais de curvatura Rx e R .Para determinar Tx e T , devemos conhecer a priori um dos valores paradepois, da equação básica, tirar o outro.Os apoios das cascas conforme a Teoria de Membrana, devem gerarreações na mesma direção das cascas; assim, o apoio ideal para as cas-cas é o representado a seguir:
285
Cascas
Exercício:Determine as tensões da casca de 5 cm de espessura com vão de 86,60m e raio de 50 m, submetida a uma carga vertical de 2000 N/m2. A cascaé esférica.
m m m m q = 2000 N/m
a a
R = 50m
sen a =
]~R
- • — =0,8660 =>a =60°2 50
Chamamos de T e T as cargas por unidade de comprimento segundo omeridiano e o paralelo, respectivamente.Fazendo o equilíbrio vertical de toda a carga, temos que o peso total éequilibrado pela reação de borda segundo uma componente vertical. As-sim, temos:
286
Cascas
V Q O T1
-j--4=Ta 'sen
mas:
então:
2 R
l
'T1
4 sen 60° "m
q-R
Tm = q - 2 - R - s e n ó O4 sen60c
T J000'50 =50.000 N/m
A determinação da carga linear T exige que se determine, no elementode casca, a carga p na direção normal a ela no ponto em que temos oângulo de análise.
pA0 <P
-, que é a relação de áreas.
Fazendo o equilíbrio na direção normal, para determinarmos a carga pnormal à casca.
q . A . cos cp= p . AO
q • A -coscp
287
Cucas
_ q • A • cos (pp= _
p = q . cos2q>
Da equação básica, temos:
R R
Tm=~-q-R
p = q . cos2<p
-25.000
Vejamos para que valor Tp pode tomar um sinal diferente. Vejamos o zeroda função T1:
T0 - O .-. cos2 cp =02
2 lcos <p = —2
cp=
As cargas lineares Tm e Tp variam de acordo com (p. Tm é constante em 9.
288
Cascas
©
É interessante observar que as tensões no material são extremamente bai-xas. No nosso exercício, imaginemos que a casca tivesse 5 cm de espes-sura. Para T = 50000 N/m, temos:
m '
N/m 2 ou 1 M Pa
= 500000 N/m2 ou 0,5 MPa
7-0 ,05
25000a» =-
Vemos que são tensões muito baixas. Um concreto usual resistiria a ten-sões da ordem de 10 MPa.
Exercício:Estruturas infláveis são cascas que só trabalham sob ação de membrana àtração. Determinar as cargas lineares que agem numa estrutura inflávelsemi-esférica com raio de 10 m, submetida a uma pressão interna de0,004 MPa.Devemos lembrar inicialmente do Princípio de Pascal, que diz que "numfluido, as pressões em torno de um ponto se manifestam com igual inten-sidade em qualquer direção".
T
ípA P
p =Jh
289
Cascas
Aplicando a expressão geral:
T. 7\
Temos, por ser uma esfera, Rx = R - R.A carga, em virtude da pressão interna, já é normal à membrana, peloPrincípio de Pascal.
Fazendo o equilíbrio segundo a direção vertical, temos:
T y . 2 . n. R = p . n. R2
Ty=P'\ e
T n RT,=P-R-p.j
R_
~2
Nota-se que
T - T1 í. - ly
Numericamente:
= 0,004 -10 =QJ[)2 MN/m QU Tj = 200QO N/m
Convidamos o leitor a mostrar que, na membrana estudada, a força porcomprimento é constante em qualquer ponto.
290
Cascas
Exercício:Determinar a espessura de uma casca cônica de aço com as característi-cas abaixo. A casca apoia-se num anel circular de seção trapezoidal. Ocarregamento corresponde apenas ao peso próprio.
Peso específico do aço: 78500 N/m 3 ;
q - peso por área da casca;
P = peso total da casca;
r = jc . sen C/L
7 m
— = sen QR
291
Cascas
292
sen p
sen P= cos a,
R- r
cos a
D __ x • senaJ\ — — —cos a
R=x-tga
O peso total P é a área lateral da casca, multiplicada pelo peso q porunidade de área.
JT
P, = J2 -n - r - q -dx0
.r
P x = 2 -n-q -^x-sencu-dx0
x2 "P t =2 -TI - q • sena
0
Pf =n • q • x2 • sena
O peso total P deve ser equilibrado por T projetado na direção vertical emultiplicado pelo perímetro.
2 . n. r . T;, cos a - n. q. x2 . sena
2 . n. x . sen a. Tf . cos a = n, q. x2 . sen a .
T q - x \1 T/ -cosa
Para utilizarmos a expressão geral, devemos considerar a carga/7 normalà casca no ponto de estudo.
\vf f C vertfe*\\ A ^ * f
X| \a A- *> fn «.*q V V
\ ca
A . p = A . q. sen 61
Pela expressão geral:
T TLL- + ̂ ~PRx Ry
Corno Rx - °°, temos!
T,— n
T j = Ry - P
Tv = x . tg a. q. sen a
sena1 ri Y ç p fí rv1 v — q • X • • òcntjK,
cosa
sen2 aT n v1 v —q • x •
cosa
Resumindo o resultado, temos:
q -x _ sen2 aT " f» T -m a • »1 — c i _ » ç - . * "
2 -cosa cosa
Ambos os valores são de tração.Numericamente:
tga= - =>a= 23,1986°
293
Cascas
Assim: sen a = 0,3939... e cos a = 0,9191...
Vamos determinar x para uma casca de 7 m de altura:
x . cos a= 7
7
0,9191= 7,6161...
Como queremos dimensionar a espessura da chapa de aço, vamos inici-almente admitir uma espessura de l mm:
q = 0,001 . 78500 = 78,50 N /m2
71.50.7,6,6, 4M/m £
2 -0,9191
O 39392
Ty =78,50-7,6161 • ' =100,93 N / m0,9191
Sabendo-se que a tensão admissível do aços carbono para estruturas éde 150 MPa, vamos verificar se a espessura de l mm admitida para opeso próprio é compatível com a resistência da peça. A área necessáriada peça é igual à maior carga linear da ação de membrana dividida pelaárea.
a=A
325,24=325 240 pa ou 0,325240 • MPa
1-0,001
0,325240 MPa <« 150 MPa.
Por razões construtivas, não valeria a pena reduzir mais a espessura dachapa. Vemos o quanto é favorável a casca para executar estruturas eco-nômicas. O inconveniente da utilização das cascas é sua execução. Nocaso das cascas de concreto, o custo das fôrmas é caro. As cascas regradasatenuam esse inconveniente, por terem uma fôrma que pode ser feita comtiras retas de madeira.
294
Cascas
Exercício:Imaginemos, no exercício anterior, que queiramos encher de água a cascacônicaaté o anel de apoio. Calculemos as cargas lineares T^eTy, naaltura do anel.
Ai i i/T"
Vamos determinar a reação Tx a uma profundidade "z", a partir do anel deapoio.
A carga vertical da água P, ̂ deve ser equilibrada pela componente deT na mesma direção, ao longo do perímetro.A carga Pá M é o peso do volume do cone abaixo da cota "z", somado àcarga que fica acima de "z" segundo o cilindro de raio "r", conformemostra a figura acima.
295
Cascas
Como
Mas:
Então:
296
-"K-r2 -(h-z)-yágua+n-r2 • z -
* -r2 -jágua -í--h-jj-z
água
Tx . cos a . 2 . n . r = Págua
água
2 • n -r • cosa
n -r -7áigua
T, m-2 -n • r -cosa.
T = -6 • cosa
= oo, temos:
-^H - = p
P = Jágua • Z
T, = Ry.p
l y = A v, . "fáglta • Z
R . cos a= r
R_ r
cosa
™ rcosa
-y águaSendo: r=(h-z). tg a
.6 -cosa
(h-z)-tga. .cosa
Numericamente, no ponto em que z = O onde é o anel de apoio, temos:
Logo:
^
T. =
l água-tga
I ág6 1 água ^ t áeua•cosa 6 -cosa
72 -0,4286
6 -0,9191-•10000=38.081 N/m
Poderíamos determinar como variam T e T em função de z:X y
6 -cosa
T, =6 -cosa
^-•(h2 -h-zi-2-h-z*-2-z2 )
Tr =-6 -cosa
• • ( 2 z2
- z
T, = *""*«'• - ( h z-z2).cosa
Cascas de revolução dentro do regime de membrana podem ter lanternim.
297
Cascas
O lanternim é considerado como uma carga vertical que descarrega sobrea membrana.Esquema de carregamento:
esquema de carregamento
\ f
\Cascas PlissadasConsegue-se excelentes desempenhos estruturais com cascas plissadas,que são placas dobradas. Elas podem ser das mais variadas formas:
298
Cascas
Quando a estrutura é simétrica em relação aos ângulos de dobradura eposicionamento, ela não sofre deslocamentos. O comportamento da lajeplissada é idêntico ao de uma viga contínua apoiada nos vértices das do-bras. Isso é válido para perfis, como os da Fig. 35 (a) e (b), representa-dos acima, não valendo contudo para o (c).
299
Cascas
A viga contínua de largura unitária apóia-se nos vértices. As cargas Pn ePt condicionam a estrutura a funcionar no plano do desenho como umavigapoligonal.
y
Temos assim os momentos sobre os apoios e no vão.
Momen to no apoio -> M = p -cosa12
Momento n o m e i o d o v ã o - > M =p -cosa24
A componente Pt obriga a estrutura a trabalhar como uma viga normal aodesenho.
Pt
300
Capítulo 18
Cabos - estruturas penseis
Objetivo:Introduzir o estudo dos cabose das estruturas penseis.
301
Top Related