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Capítulo 2Torção
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Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal.Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.
2.1 – Revisão
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Ip: momento polar de inércia da área da seção.
max e
p p
Tr T
I I
ρ: distância radial da linha central do eixo
T: torque interno resultante que age na seção
τ: tensão de cisalhamento (máxima na superfície externa)
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Ângulo de torção:
p
TL
I G
G : módulo de elasticidade ao cisalhamentoL: comprimento do eixoϕ: ângulo de torção (rad)
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Se a carga de torção ou a seção transversal da barra ou o material muda ao longo do comprimento, o ângulo de rotação é encontrado como a soma de rotações de cada segmento. i i
i pi i
T L
I G
Convenção de sinais
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Dadas as dimensões da barra e do torque aplicado (solicitação), gostaríamos de encontrar as reações de torque em A e B. A partir de uma análise de corpo livre da barra,
estaticamente
indeterminado (1)A BT T T
EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE:
Dividindo o eixo em dois componentes que devem ter deslocamentos rotacionais compatíveis,
0
(2)
A AC B CBAB AC CB
p p
ACB A
CB
T L T L
I G I G
LT T
L
2.2 – Eixos Estaticamente Indeterminados
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Teremos um sistema:
A B
ACB A
CB
T T T
LT T
L
CBA
ACB
LT T
Ll
LT T
Ll
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1)O eixo maciço de aço mostrado abaixo tem diâmetro de 20mm. Se for submetido aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B.
Respostas: TA=-345Nm e TB=645Nm
Exercício de fixação
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2)Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Ip é constante. Resposta: 16,3MPa
Exercício de fixação
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3) O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 0,5in e CB, com diâmetro de 1in. Se estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 500lb.ft, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo. Gaço=10,8(10
3)ksi. Resposta: τmax=29,3ksi
Exercício de fixação
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O eixo mostrado na figura é composto por um tubo de aço unido a um núcleo de latão. Se um torque de T=250Nm for aplicado em sua extremidade, como se distribuem as tensões de cisalhamento ao longo da linha radial de sua área de seção transversal?
GAÇO=80GPa
GLAT=36GPa
2.3- Estruturas heterogêneas quanto aos materiais
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250 (1)Aço LATT T Nm
A reação na parede é representada pelas quantidades desconhecidas de torque às quais resistem o aço e o latão. O equilíbrio exige:
Compatibilidade:
Exige-se que o ângulo de torção na extremidade A sejam o mesmo para o aço e para o latão, visto que eles estão unidos.
Aplicando a relação carga-deslocamento, temos:
AÇO LAT
/ pTL I G AÇO LAT
pAÇO AÇO pLAT LAT
T L T L
I G I G
4 3 24 4 3 2 /2 10 36 10 //2 20 10 80 10 /
AÇO LATT T
mm N mmmm mm N mm
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33,33 (2)AÇO LATT T
Resolvendo o sistema:
Pela fórmula da torção:
Observe a descontinuidade da tensão de cisalhamento na interface latão-aço. Isso era de se esperar, já que os materiais têm módulos de rigidez diferentes.
242,72
7,28
AÇO
LAT
T Nm
T Nm
3
4
7,28 10 104,63
/2 10LAT máx
Nmm mmMPa
mm
3
4 4
242,72 10 2020,6
/2 20 10AÇO máx
Nmm mmMPa
mm mm
3
4 4
242,72 10 1010,3
/2 20 10AÇO mín
Nmm mmMPa
mm mm
max
p
Tr
I
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4)O eixo é feito de um tubo de aço com núcleo de latão. Se estiver preso a um dos apoio rígido, determine o ângulo de torção que ocorre em sua extremidade. GAÇO=75GPa e GLAT=37GPa
Respostas:
Exercício de fixação
0,00617rad
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5)Uma barra de aço sólida de diâmetro 1,2in está circundada por um tubo dediâmetro externo igual a 1,8in e diâmetro interno igual a 1,4in. Tanto a barracomo o tubo estão fixados rigidamente na extremidade A e unidos de formabem segura na extremidade B. A barra composta, que tem 20in decomprimento, é torcida por um torque T=4400lb.in agindo na placa daextremidade. Determine as tensões de cisalhamento máximas na barra e notubo e o ângulo de torção em graus da placa, assumindo que o módulo deelasticidade do aço é G=11,6x106psi. Respostas:
Exercício de fixação
0,507
3,08 4,62barra tuboksi ksi
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2.4 – Eixos maciços não circulares
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A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal não circular são:
Análise completa da teoria éapresentada em livros comoMathematical Theory ofElasticity, I. S. Sokolnikoff, 2ª Ed,109-134.
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A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal retangular são:
a/b c1 c2
1,0 0,208 0,1406
1,2 0,219 0,1661
1,5 0,231 0,1958
2,0 0,246 0,229
2,5 0,258 0,249
3,0 0,267 0,263
4,0 0,282 0,281
5,0 0,291 0,291
10,0 0,312 0,312
max 21
32
T
c ab
TL
c ab G
a→maior ladob→menor lado
a
b
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O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de umtriângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado àextremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPae o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm = 0,02 rad.Gal = 26 GPa.
Exemplo 1-
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O torque interno resultante em qualquer seção transversal ao longo da linha central do eixo também é T.
adm 3 2 3 3
3
adm 44 4 3al
2
20 20; 56 179200 Nmm=179,2Nm
40
46 1,2 1046; 0,02rad 24120 24,12
40 26 1024,12 Nm
T N TT
a mm mm
T mmTLT Nmm Nm
Na G mmmmT
Por comparação, o torque é limitado devido ao ângulo de torção.
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6)O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem seção transversal elíptica. Se for submetido ao carregamento de torção mostrado, determine a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC.
Respostas:
Exercício de fixação
BC ACmáx máx0,955 1,592MPa MPa
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7)Determinar o maior torque T que pode ser aplicado a cada uma das duas barras de alumínio mostradas, e o correspondente ângulo de torção em B, sabendo-se que G=26GPa e .
Respostas:
Exercício de fixação
) 2,25 =0,816°
) 1,77 =0,901°
a T kNm
b T kNm
adm 50MPa
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A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é
Para o ângulo de torção,
mtA
T
2méd
τméd = tensão de cisalhamento médiaT = torque interno resultante na seção transversalt = espessura do tuboAm = área média contida no contorno da linha central
tds
GA
TL
m
24
2.5 – Tubos de parede fina com seções transversais fechadas
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Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85 Nm. Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento.Considere Gal = 26 GPa.
Exemplo 2-
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O torque interno no ponto A é T = 85 Nm.
3
méd 2
méd
85 10
2 2 10 2.500
1,7
m
NmmT
tA mm mm
MPa
Para tensão de cisalhamento média:
22 mm 500.250 mAA área sombreada é .
ds
ds
t
ds
GA
TL
m
14
32
33
2mm 10196,0
101026500.24
105,11085
4
Para ângulo de torção,
A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno do tubo. Assim,
4
3
0,196 10 4 50
3,92 10 rad
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8)O tubo da figura é construído em bronze e tem a seção transversal na forma e dimensões indicadas. Se está sujeito aos dois torques como mostrado, determine o valor da tensão tangencial nos pontos A e B, e o ângulo de torção do extremo C em relação ao suporte fixo E. Considerar G=38GPa. Respostas:
Exercício de fixação
A B1,75 , 2,92 e =0,00626rad MPa MPa
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9)Um torque de 1,2kNm é aplicado a uma barra vazada de alumínio, que tem a seção mostrada na figura. Determinar a tensão de cisalhamento da barra. Respostas:
Exercício de fixação
44,4MPa
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10)O tubo é feito de plástico, tem 5mm de espessura e as dimensõesmédias são mostradas na figura. Determine a tensão de cisalhamentomédia nos pontos A e B se o tubo for submetido a um torque de T=500Nm.Respostas:
Exercício de fixação
9,6MPa
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