F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
124
CAPÍTULO VI
ELETRICIDADE
Carga Elétrica
Fig. 1: Experiência que demonstra a existência de dois tipos de carga
A experiência demonstra a existência de dois tipos de cargas que, convencionalmente chamou-se de positiva e negativa.
As características principais das forças entre cargas são:
1) A força pode ser de atração ou repulsão;
2) A força entre duas cargas está na linha que as une;
3) A força que duas ou mais carga exercem sobre uma carga q é a soma vetorial das forças que cada uma das
cargas exerceria sobre q se não existissem as outras (Princípio da Superposição).
4) Vale a lei da ação e reação entre duas cargas paradas.
Lei de Coulomb
O módulo da força entre duas cargas é:
2r
2q
1q
KF
ATRAI
ATRAIREPELE
REPELE
RESULTADO PARCIAL DA EXPERIÊNCIA
ATRAÇÃO !
CONTATO NÃO HÁ FORÇA
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
125
Onde K = 9x109 u(SI), q1 e q2 são as cargas em Coulomb (C) e r a distância entre as cargas. O valor de K está ligado ao
meio e pode ser expresso como: K=1/(4o) , onde o é a permissividade elétrica do meio (8,85x10-12 u(SI) no vácuo).
(a) (b)
Fig. 2: Atração e repulsão entre cargas e força (azul) na carga C (positiva) usando o princípio da superposição.
Aplic. 1: Calcule a força sobre a carga q1= 2,0C nas figuras abaixo:
3,0C 3,0C -2,0C
3,0C
3,0m 3,0C q1
1,5m
1,0m 3,0m
3,0C
1,0m 3,0m
a)
c)
b)
d)
3,0C
3,0C
q1
q1
q1 q1
-3,0C
3,0C
q1
e) f)
3m
3m
3m
3m
3m
3m
+ -
+ +
+
- C
+
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
126
Campo Elétrico: Dizemos que numa região do espaço existe um campo elétrico, quando sobre qualquer carga
elétrica nessa região atua uma força elétrica.
Intensidade de Campo elétrico: A intensidade de campo elétrico é definida como: E = F/q
A unidade de E é o N/C ou V/m.
Pela própria definição, a intensidade de campo elétrico, doravante chamada simplesmente do campo elétrico, é uma
grandeza vetorial.
Aplic. 3: Calcular o campo elétrico num ponto A distante r de uma carga q positiva. Faça uma figura para mostrar o
vetor Campo Elétrico. Repita o exercício para uma carga q negativa.
Aplic. 4: O campo elétrico numa certa região é dado por E = 100 i (V/m). Calcule o trabalho para deslocar uma carga
de 2 C (a) de (1,0) a (5,3); (b) de (3,1) a (0,0).
Aplic. 5: Na figura abaixo identificar os pontos onde o campo é mais intenso, onde ele é menos intenso e onde ele é
zero.
Diferença de Potencial (ddp): Def: VA-VB = VAB = WAB /q onde WAB é o trabalho realizado pela força elétrica
sobre a carga q para desloca-la de A até B.
Unidade de VAB é o Volt
Essa definição só é possível porque o campo elétrico é conservativo.
Aplic. 6: Mostre que o campo elétrico também pode ser medido em V/m.
Aplic.7: Na Aplicação 4, calcular a ddp A(1,0) e B(5,3) e entre C(3,1) e D(0,0).
Aplic. 8: Pode-se demonstrar que o campo entre duas placas é uniforme (exceto nas bordas) e dado, neste caso, por
/o, onde é a densidade de carga das placas (carga por unidade de área) e o é a permissividade elétrica do meio (no
vácuo(e no ar o = 8,85x10-12 u(SI)). Duas placas metálicas iguais de 25cm2 são colocadas faca-a-face a uma distância de 1cm. Uma ddp de 100 V é aplicada entre as placas. Qual o campo elétrico entre elas? Qual a carga em cada placa?
Aplic. 9: Um elétron é acelerado entre dois pontos entre os quais a ddp é 1000V. Considerando que inicialmente sua velocidade era de 10m/s, calcule sua velocidade final. A massa do elétron é 9,1x10-31 kg.
Propriedades específicas dos condutores O campo eletrostático dentro de um condutor é zero.
O potencial elétrico dentro de um condutor é constante, logo a ddp entre dois pontos no seu interior é zero.
Capacitores: São armazenadores de energia.
Símbolo:
As cargas nas placas dos capacitores são sempre iguais e de sinais opostos. O campo elétrico no seu interior é : E = /
onde é a permissividade do meio. A razão k = o é chamada constante dielétrica do meio.
Capacitância: A capacitância de um capacitor é definida por: C = Q/V
Onde Q é a carga na placa positiva do capacitor e V a diferença de potencial entre suas placas.
A unidade de C é o Farad (F).
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
127
Aplic. 10: Calcule a capacitância de uma capacitor de capacitor cujas placas têm área A , distam d entre si e tem um
dielétrico de constante k entre as palcas..
Aplic. 11: Aplica-se uma tensão de 100V num capacitor de 20F. Qual a carga no Capacitor.
Aplic. 12: Quando um capacitor está carregado, a energia nele armazenada é dada por U= CV2/2. Calcule a energia
armazenada no capacitor do exercício acima.
Aplic. 13: Considere um capacitor carregado e duas lâmpadas, uma de 20W e outra de 100W. Ao se ligar a lâmpada de
100W no capacitor, ela acende e apaga logo depois. Explique o porquê desse comportamento. O que aconteceria se a
lâmpada ligada fosse a de 20W?
Corrente elétrica i = dq/dt ou, no caso em que i é constante , i = q/t
Unidade: A unidade de i é Coulomb/segundo que é chamada Ampère (A).
Para haver corrente é necessário haver:
1) Cargas livres (ou quase).
2) Um Campo elétrico (ou, o que vem a ser a mesma coisa, uma ddp).
Resistência eletrica : É a resistência que um condutor opõe à passagem de corrente elétrica. É dada pela razão entre a ddp e a corrente no condutor. R = V/i (volt/Ampère)
A unidade de R é o Ohm ()
Lei de Ohm: É constante a resistência de um condutor, ou seja, se aumentamos a ddp nos terminais de um condutor,
a corrente também aumenta de modo que V/i se mantem constante.
A resistência elétrica de um material é diretamente proporcional a seu comprimento (L) e às suas características
intrínsecas e inversamente proporcional à área de sua seção reta (A).
A
LρR
é a resistividade do material e é medido em Ohm-m ou Ohm-cm. O inverso da resistividade é a condutividade que é medida em Ohm-1-cm-1 .
Resistor : É um elemento passivo cuja função é dissipar energia elétrica. Símbolo:
Aplic. 14: Determine a ddp num resistor de 100k percorrido por uma corrente de 1mA
Aplic. 15: Calcule a ddp nos resistores da figura abaixo one VAB = 120V.
Gerador: É um elemento que transforma algum tipo de energia em energia elétrica. Símbolo
Força Eletromotriz (FEM): É a energia por unidade de carga que um gerador fornece às cargas. E = W/q
A unidade de FEM é o Volt.
Os geradores têm uma resistência interna que dissipa parte da energia que é obtida da sua fonte de energia. A potência
útil de um gerador é, portanto: Pu = Pf - Pp, onde Pu é a potência útil que um gerador pode fornecer, Pf é a potência
fornecida pelo sua fonte de energia (química, mecânica, solar etc) e Pp é a energia dissipada no gerador (internamente).
Energia e potência elétrica Se V é a ddp entre dois pontos, então, pela própria definição de V , W = qV., mas sendo q = it, temos:
W = V.i t
- +
A B
2 8
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
128
Evidentemente, a potência será: P = Vi
Aplic. 16: Num gerador a ddp entre seu terminal positivo e negativo é 10V quando a corrente é 10A. Qual sua potência
útil.
Aplic. 17: Mostre que a potência dissipada numa resistência pode ser dada por : P = Vi = Ri2 = V2/R
Aplic. 18: Se a resistência interna da bateria da aplicação 16 é 0,20, qual sua FEM?
Aplic. 19: Qual a resistência de uma lâmpada de 60W-120V?
Aplic. 20: Qual a corrente num chuveiro elétrico de 2200W-220V?
Aplic. 21: Se você tem que escolher entre um chuveiro elétrico de 2200W-120V e outro de 2200W-220V, qual
escolheria (após o curso de F-107, claro!).
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
129
Magnetismo
Existem dois pólos - norte e sul - que não podem existir separadamente. A divisão de um imã gera outros imãs sempre
com os dois pólos
Figura 3 – Imãs divididos continuam imãs com dois pólos
O magnetismo pode estar naturalmente presente em materiais tipo magnetita e ferro. Mas ele pode ser obtido através de
corrente elétrica o que gera um grande número de aplicações.
A passagem de uma corrente elétrica num fio faz aparecer um campo magnético perpendicular ao fio. Isso pode ser
constatado pelo movimento de uma agulha magnética colocada sobre o fio, conforme mostra afigura ao lado.
Figura 4 - Desvio da agulha magnética devido à corrente no
fio.
O fio também sofre ação do campo
magnético como pode ser constatado
com a experiência mostrada na figura
Figura 5 – O condutor sobe quando é
colocado num campo magnético
demonstrando que aparece uma forçca
na corrente devido ao campo magnético
N S
S
S
N
N
N
N
N
S
D
S
D
S
D
S
D
N
D
Sem corrente
i
F
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
130
Figura 6 – O imã em movimento faz aparecer uma corrente na espira circular.
Força sobre carga em campo magnético
Características:
1. Força magnética só se manifesta em cargas em movimento;
2. A força magnética é perpendicular à velocidade da carga e ao campo magnético (ou
seja, ao plano formado por v e B). Portanto, a força magnética não muda o módulo da
velocidade ou, em outras palavras, não muda a energia cinética da carga.
3. O módulo da força magnética vale F= qvBsenPortanto, se a velocidade tem a mesma direção do campo, a força magnética é nula.
Matematicamente podemos escrever: F = q(vxB). O sinal "x" aqui significa produto
vetorial.
Figura 7 – Os três vetores v,B e F.
Regra da mão direita:
Esta é uma regra útil para determinar a direção
de um dos três vetores (v, B ou F) conhecendo
os outros dois.
Figura 8 – A posição da mão direita representando v B e F
Num plano, se uma força é sempre normal à velocidade o movimento é circular uniforme. Portanto, se uma partícula
carregada entra numa região de campo magnético uniforme e perpendicular a sua velocidade, seu movimento será
circular e uniforme. Vejamos algumas propriedades desse movimento.
N S v
V
B
F
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
131
Partícula carregada em campo magnético uniforme
A força que faz a partícula girar é a força centrípeta que, no caso é a força magnética
Fc = FM
onde Fc = m v2/R e FM = qvB sen90o , logo:
mv2/R = qvB
R = mv/qB
Observe que mv é o momento da partícula, ou seja, p = mv. Logo,
podemos escrever:
R = p/qB
Se expressarmos a energia cinética da partícula em função do
momento, o raio da trajetória poderá ser dado em função da energia
cinética e da massa da partícula. Isto é muito útil para os
espectrômetros de massa com campo magnético (ver exercício 6 da
lista 4).
Figura 9 – Trajetória de uma partícula carregada
(no caso, positiva) num campo magnético uniforme.
Uma importante característica do movimento da partícula é o seu período. Por definição, o período T é o tempo
necessário para a partícula completar uma volta:, portanto, como sua velocidade escalar é v, temos: vT = 2R , ou seja,
v = 2R/T. Substituindo esta expressão para v na primeira equação para R, temos :
T = 2m/qB
ou ainda, lembrando que =2/T
= qB/m
que é chamada frequência ciclotrônica.
Com tantas "fórmulas" para decorar, sua lista de impropérios para o velho mestre já deve ter se esgotado. Acalme-se!
Mais vale acender uma vela do que maldizer a escuridão! Na verdade, essas deduções são tão simples que podem irritar
qualquer ser ligeiramente pensante. Tente! Se você está na Unicamp você é mais que ligeiramente pensante!
Força sobre um fio que conduz uma corrente i.
A corrente num fio é o deslocamento de cargas. O sentido convencional da corrente é o de cargas positivas deslocando-
se. Logo é de se esperar que um fio sofra ação de campo magnético se estiver conduzindo corrente.
Vamos considerar que num intervalo de tempo t as
cargas dentro do fio se deslocam de uma distância L
muito pequena. Nesse caso:
v = L/t
i = q/t
ou
q = it
A força sobre a carga q é:
F =qBvsenit.B.(L/t).sen, onde B é o
campo magnético no fio e o ângulo entre B e o fio.
Assim:
F = iBLsen
(não precisa decorar!)
Figura 10 – Fio num campo magnético
R
F
v
L
i
B
F
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
132
Campo devido a uma fio.
O campo magnético em torno de um fio retilíneo, infinito (mas nem tanto!) e conduzindo uma corrente i é dado por:
2ππ
io
μB , onde o é a permeabilidade magnética do vácuo
(ar) e vale: o = 4 x 10-7 u(SI). (Não precisa decorar!)
A direção do campo é perpendicular ao fio e o sentido é o do
fechamento da mão direita que tem o polegar apontando no
mesmo sentido da corrente (isto precisa saber!), conforme
mostra a figura 12.
Figura 11 – Campo devido a um fio
Figura 12 - Regra da mão direita para campo de um fio
Aplic. 22: Dois fios paralelos e distantes d entre si, conduzem correntes iguais a i1 e i2. Determine a força por unidade
de comprimento entre eles:
a) no caso das correntes terem o mesmo sentido.
b) no caso das correntes terem sentidos opostos i
i
r
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
133
Campos magnéticos importantes.(não precisa decorar as equações!)
Fluxo de campo uniforme através de uma superfície plana: É o produto da componente do campo na direção normal
à superfície pela área da superfície.
= B.A.cos
Lei de Faraday
A força eletromotriz induzida num circuito fechado é numericamente igual ao valor absoluto da taxa de variação de
fluxo magnético no circuito.
dt
dφE
A corrente induzida é tal que cria um campo oposto à variação do fluxo.
Aplic. 23: Determine a força eletromotriz induzida numa espira quadrada de 2cm de lado quando o campo magnético
uniforme e perpendicular a seu plano varia de acordo com a equação:
a) B(t) = 2t
b) B(t) = 2t – t2
Aplic. 24: No exercício anterior, representar o sentido da corrente.
i
B
Campo no centro de uma espira
B= oi/2R
Campo no interior de um solenóide. É aproximadamente
uniforme e vale: B = oni, onde n é o número de espiras por
unidade de comprimento.
i
i B
B
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
134
Aplic. 25: Considere uma espira quadrado de lado a girando num campo magnético uniforme B com velocidade angular
constante , conforme a figura. a) Determine o fluxo através da espira.
b) Se a resistência da espira é R, determine a corrente que a percorre. Faça um gráfico da corrente em função do tempo.
Exercícios
1) Qual a massa de um grupo de prótons cuja carga total é 1C? Qual a carga total de 1kg de prótons?
dado: mp = 1,67x10-27 kg
R: 1,04x10-8 kg; 0,96x108 C
2) A massa de um elétron é 9,1x10-31 kg e a do próton 1,67x10-27 kg. A constante de gravitação universal vale 6,67x10-
11 u(SI). calcule a razão entre as forças de atração gravitacional e elétrica entre um próton e um elétron.
3) Calcule a força sobre uma carga de 10-10 C nos pontos A e B da figura ao lado.
R: 0,176 N e 1,8 N
4) O campo elétrico num determinado ponto vale 300V/cm na direção e sentido do eixo X. Qual a força que atuaria
numa carga de –2mC colocada no ponto considerado.
R: 60 N na direção x e sentido –x
5) A Figura abaixo representa um campo elétrico, através de linhas de força, e quatro pontos .
a) Em qual dos pontos o campo elétrico é mais intenso?
b) Em qual dos pontos o campo é horizontal?
c) Em qual dos pontos o campo pode ser considerado uniforme?
d) Desenhe o vetor força para uma carga positiva colocada em D;
e) Idem para uma carga negativa colocada em B.
R: a) C; b) A e C; c) A
eixo de
rotação
A B
C
D
0,5m
-4 C
4 C
A
B
1,0m
1,0m
2,5m
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
135
6) Considere os pontos A e B do campo elétrico uniforme de 1000V/m representado abaixo.
a) Qual a força elétrica que atua numa carga de 20 C em A? E em B? b) Qual o trabalho da força elétrica para deslocar a carga de A até B? E de B até A?
c) Onde a energia potencial da carga é maior, em A ou em B?
d) Onde o potencial é maior, em A ou em B?
e) Responda aos itens a e b considerando uma carga de –20C. f) Determine a diferença de potencial entre A e B
g) Determine a diferença de potencial ente B e B’.
h) Desenhe uma equipotencial que passe por A e outra que passe por B.
R: a) 2,0x10-2N no sentido das linhas de força; b)1,0 x10-2J c) -1,0x10-2J; d) 2,0x10-2N no sentido oposto ao das linhas
de força; Os mesmos com os sinais invertidos; f) 500V; g) zero
7) Considere um sólido qualquer (uma batata, por exemplo) carregado com carga q positiva. Qual o campo para pontos
a uma distância r do sólido, r sendo muito maior que a maior dimensão do sólido.
R: É o mesmo que o de uma carga pontual q no lugar do sólido.
8) Num tubo de raios catódicos, um elétron é acelerado, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de 16kV.
Qual a energia cinética final do elétron? Qual sua velocidade?
Dado: me = 9,1 x 10-31 kg R: 16keV; 7,5x107m/s
9) Resolva o problema anterior para uma partícula . A partícula é o núcleo de um átomo de He. Dados: mp ≈ mn = 1,67 x 10-27 kg
R: 1,24x106 m/s
10) Duas placas metálicas de 10x10 cm2 são colocadas face-a-face e ligadas numa fonte de tensão fixa de 500V. Se à
distância entre as placas é 10cm, qual o campo elétrico entre elas? Qual a carga em cada placa?
R: 5000V/m – 4,4x10-4 C
11) Experiência de Millikan -A massa m de uma gotícula de óleo pode ser facilmente calculada conhecendo seu
diâmetro e a densidade do óleo . Suponha que uma gotícula. carregada com N elétrons (o que também não é difícil se
fazer em laboratório) entra, por cima, numa região entre
duas placas paralelas, horizontais e submetidas a uma ddp V que pode ser variada. Um operador (em geral, aluno)
observa, através de uma luneta, as gotículas passarem e
tenta, até conseguir, parar uma. Conhecendo a massa m da
gotícula, a distância d entre as placas, a ddp V aplicada e a
aceleração local da gravidade qual a carga da gotícula?
Como, com muitas repetições desta medida pode-se chegar
ao valor da carga do elétron?
R: q = mdg/V
A
B
0,50 m
d
. .
.
. .
.
.
.
. pulverizador
ionizador
Fonte de tensão variável
Olho do aluno
lâmpada
B'
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
136
12) Nos trechos de circuitos abaixo, calcular :
a) A corrente em cada resistor;
b) A ddp em cada resistor;
c) A ddp entre A e C
d) A potência dissipada em cada resistor
R: a) 3A (6) , 6A(3) e 9A (8); b) 18V (6 e 3e 72V; c) 90V; d) 54W (6), 108W (3) e 648W (8)
13) Na figura, cada lado do hexágono é um fio de resistência 1,0 e C é um capacitor de
20 F.
a) Uma tensão de 15 V é aplicada entre A e D. Calcule a corrente em cada fio; b) Nas mesmas condições, determine a carga no capacitor;
c) Nas mesmas condições, determine a ddp ente B e C;
R: a) 5,0A; b) 3,0x102C; c) 5,0 V
14) No circuito , r1 e r2 são as resistências internas do voltímetro e do
amperímetro respectivamente. Calcular a corrente e a tensão em R (R= 8) considerando:
a) S1 aberta e S2 na posição 1; R: 1 A
b) S1 fechada e S2 na posição1; R: 10(8+r1)/(10r1+16)
c) S1 aberta e S2 na posição 2; R: 10/(10+r2)
d) Em que condições r1 teria pouca influência no circuito? R: r1>>8
e) Em que condições r2 teria pouca influência no circuito? R: r2<<8
15) Uma partícula (2 prótons + 2 nêutrons) com energia de 1,0MeV penetra num campo magnético uniforme de
2000G. A velocidade da partícula é perpendicular ao campo. (a) Determine o raio do círculo descrito pela partícula; R: 0,72m
(b) Determine o tempo para a partícula descrever meia volta. R: 6,5x10-7s
16) Um feixe de elétrons de 10keV penetra numa região de campo magnético uniforme perpendicular a esta folha. A
trajetória do feixe é mostrada abaixo. Determine:
(a) O(s) sentido(s) do(s) campo(s); R: Entrando na folha no 1o arco e saindo no segundo
(b) O(s) módulo(s) do(s) campo(s); R: 200G
17) Um anel no plano desta folha e 1,0cm2 de área tem uma resistência de 10. Um campo magnético, uniforme e perpendicular à folha, é ligado e cresce, saindo da folha, até o valor de 4000G segundo a equação B(t) = 1000t (B em
Gauss e t em segundos).
(a) Indique o sentido da corrente no anel; R: Horário
(b) Determine a corrente em função do tempo. R: 1A
B C
I=9A
3 6
8
A
B C
E
D
F
C
R
r2 2
1
r = 2
E = 10V
A
V
r1
S1
S2
3,4cm
3,4cm
F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho
137
18) No problema anterior, o campo é desligado e diminui linearmente segundo a equação B(t) =
4000 – 100t (B em Gauss e t em segundos). (a) Indique o sentido da corrente no anel; R: Anti-horário
(b) Determine a corrente em função do tempo enquanto o campo diminui. R : i = 100mA
(constante)
19) Na figura abaixo, calcule a força (módulo, direção e sentido) na espira de 40x60 cm2 percorrida por uma corrente
de 100mA. O módulo de B é 0,5T. R: 2x10 –2 N
20) Acelerado por uma ddp V, um feixe de ions positivos de massa m penetra num campo magnético uniforme B
conforme mostra a figura abaixo. Os ions têm carga +e (ionização simples). (a) Determine D. (b) Determine D para
ions de ionização dupla. Considere íons de H , C e N, todos com carga +e. Para um campo magnético de 0,5T, e ddp
V = 10kV, calcule D para os três casos.
R: (a) 21
me
2V
B
2D (b)
21
me
V
BD
2
(c)DH= 5,0 cm; DC = 17,4 cm; DN = 18,7 cm
40 cm
60 cm
D Canhão de íons
Top Related