Capítulo 7
Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões
2ª Edição© Gerson Lachtermacher,2005
Programação Não Linear
Capítulo 7
Conteúdos do Capítulo
Programação Não Linear Aplicações Solução Gráfica Resolução no Excel
Controle de Estoque Modelo do Lote Econômico
Problemas de Localização Caso LCL Telecom S.A.
Capítulo 7
Programação Não Linear
De forma geral um problema de programação não linear tem a seguinte forma:
Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem ser incluídos neste formato.
),...,,(= onde 0
,...,2,1 para )(
)( ou
21 n
ii
xxx
mibgst
fMinMax
xx
x
x
Capítulo 7
Programação Não LinearAplicações
Problemas de Mix de Produtos em que o “lucro” obtido por produto varia com a quantidade vendida.
Problemas de Transporte com custos variáveis de transporte em relação à quantidade enviada.
Seleção de Portfolio com Risco
Capítulo 7
Considere o Problema de Programação Linear e sua solução gráfica
1
Max Z x x 3 51 2
1
2x 122
3x x 2 18 1 2
s r x 4. .
x x 0 01 2,
Programação Não LinearSolução Gráfica
x2
x1
(0;6)(2;6)
(0;0)(4;0)
(4;3)SoluçãoViável
Capítulo 7
Considere o Problema e sua solução gráfica.
Max Z x x 3 51 2
1s.t. x 4
x x 0 01 2,
9 5 21612
22x x
Programação Não LinearSolução Gráfica
0
x2
1 2 3 4
4
2
6
0 x1
SoluçãoViável
(2;6)
Capítulo 7
A solução ótima: é a mesma do problema
linear. continua na fronteira do
conjunto de soluções viáveis.
não é mais um extremo do conjunto de soluções viáveis, mas poderia ainda ocorrer em um ponto extremo.
Não existe a simplificação (enumeração) existente em Programação Linear
Programação Não LinearSolução Gráfica
0
x2
1 2 3 4
4
2
6
0 x1
SoluçãoViável
(2;6)
Capítulo 7
1
2x 122
3x x 2 18 1 2
s r x 4. .
x x 0 01 2,
MaxZ= x x x x 126 9 182 131 12
2 22
Programação Não LinearSolução Gráfica
x2
x1
(0;6)(2;6)
(0;0)(4;0)
(4;3)SoluçãoViável
Capítulo 7
A função objetivo é uma equação quadrática.
Programação Não LinearSolução Gráfica
Z= x x x x
Z x x x x
Z x x
Para x x
Para
126 9 182 13
9126
1813
182
269
126
9
126
1813
182
13
182
26
441 637 9 7 13 7
9 7 13 7
1 12
2 22
2 2
12
1
2
22
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
Z = 907 171 =
Z = 857
221 =
Z = 807 =
9 7 13 7
271 9 7 13 7
1
2
2
2
1
2
2
2
x x
Para x x
Capítulo 7
Max Z = x x x x = 857 126 9 182 131 12
2 22
2
4
4
6
2 x 1
x2
SoluçãoViável
Z = 907
Z = 807Z = 857
Programação Não LinearSolução Gráfica
Capítulo 7
1
2x 122
3x x 2 18 1 2
s r x 4. .
x x 0 01 2,
Max Z= x x x x 54 9 78 131 12
2 22
Programação Não LinearSolução Gráfica
x2
x1
(0;6)(2;6)
(0;0)(4;0)
(4;3)SoluçãoViável
Capítulo 7
A função objetivo é uma equação quadrática
Z= x x x x
Z x x x x
Z x x
Para x x
Para
54 9 78 13
954
1813
78
269
54
9
54
1813
78
13
78
26
81 117 9 3 13 3
9 3 13 3
1 12
2 22
2 2
12
1
2
22
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
Z = 198 0 =
Z = 189
9 9 3 13 3
36 9 3 13 3
1
2
2
2
1
2
2
2
=
Z = 162 =
x x
Para x x
Programação Não LinearSolução Gráfica
Capítulo 7
Solução no interior doconjunto de soluçõesviáveis e não mais na fronteira do conjunto
4
2
6
2 4 x1
x2
SoluçãoViável
3
3
Z = 162Z = 189
Z = 198
222
211 1378954198 xxxx=ZMax
Programação Não LinearSolução Gráfica
Capítulo 7
Programação Não Linear
A solução ótima de um problema de programação não linear(NLP), diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer ponto do conjunto de soluções viáveis.
Isso torna os problemas de NLP muito mais complexos, obrigando os algoritmos de solução a pesquisar todas as soluções viáveis.
Capítulo 7
Programação Não LinearExcel
O Excel utiliza o algoritmo GRG (generalized reduced gradient) para chegar à solução para um dado problema.
O algoritmo não garante que a solução encontrada é uma solução global.
O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero. Uma boa medida é começar a otimização com valores diferentes de zero para as variáveis de decisão.
Capítulo 7
Programação Não LinearExcel
Uma maneira prática para tentar minorar o problema de
máximos e mínimos locais é começar a otimização de
diversos pontos iniciais, gerados aleatoriamente.
Se todas as otimizações gerarem o mesmo resultado,
você pode ter maior confiança, não a certeza, de ter
atingido um ponto global.
Capítulo 7
Programação Não Linear Controle de Estoque
Um dos modelos mais simples de controle de estoque é
conhecido como Modelo do Lote Econômico.
Esse tipo de modelo assume as seguintes hipóteses A demanda (ou uso) do produto a ser pedido é praticamente
constante durante o ano.
Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez no
exato instante em que este chegar a zero.
Capítulo 7
Programação Não Linear Controle de Estoque
Determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado os seguintes custos: Manutenção de Estoque – Custo por se manter o capital no
estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios financeiros para a empresa.
Custo do Pedido – Associado a trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto.
Custo de Falta – Associado a perdas que venham a decorrer da interrupção da produção por falta do produto.
Capítulo 7
Demanda Anual =100Lote=25,Pedido= 4Estoque Médio = 12,5
3 6 9 12meses
25
12,5
25
Demanda Anual =100Lote=50, Pedidos = 2Estoque Médio = 25
6 12meses
50
Programação Não Linear Controle de Estoque
Capítulo 7
Variável de DecisãoQ – Quantidade por Pedido
Função Objetivo =
Onde:D = Demanda Anual do Produto
C = Custo Unitário do Produto
S = Custo Unitário de Fazer o Pedido
Cm= Custo unitário de manutenção em estoque por ano
Programação Não Linear Controle de Estoque
mC2
QS
Q
DCDTotal Custo
Constante
Capítulo 7
Caso LCL Computadores
A LCL Computadores deseja diminuir o seu estoque de
mainboards. Sabendo-se que o custo unitário da
mainboard é de R$50,00, o custo anual unitário de
manutenção de estoque é de R$20,00 e o custo unitário
do pedido é de R$10,00, encontre o lote econômico
para atender a uma demanda anual de 1000
mainboards.
Capítulo 7
Caso LCL Computadores
Capítulo 7
Caso LCL Computadores
Capítulo 7
Caso LCL Computadores
Capítulo 7
Caso LCL Computadores
Na solução apresentada do lote econômico, a quantidade de pedidos por ano é fracionário, já que
Isso não representa um problema
25,3132
1000
º
LotedoTamanho
AnualDemandalotesden
Capítulo 7
Programação Não LinearProblemas de Localização
Um problema muito usual na área de negócios é o de localização de Fábricas, Armazéns, Centros de distribuição e torres de transmissão telefônica.
Nesses problemas devemos Minimizar a distância total entre os centros consumidores e o centro de distribuição, reduzindo assim teoricamente o custo de transporte ou perdas de transmissão.
O usual é se colocar um eixo cartesiano sobre um mapa e determinar a posição dos centro consumidores em relação a uma origem aleatória.
Capítulo 7
Caso LCL Telefonia Celular S.A.
Localidade X Y
Nova Iguaçu -5 10
Queimados 2 1
Duque de Caxias 10 5
O Gerente de Projetos da LCL Telefonia Celular S.A., tem que localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baixada Fluminense. Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localizações relativas abaixo, determine o melhor posicionamento para a torre.
Capítulo 7
Caso LCL Telefonia Celular S.A.
Nova Iguaçu(-5,10)
Queimados (2,1)
Duque deCaxias(10,5)
X
Y
Capítulo 7
Caso LCL Telefonia Celular S.A.
3
1
22 )()(i
ii YyXxMin
Variáveis de Decisão X – Coordenada no eixo X da torre de transmissão Y – Coordenada no eixo Y da torre de transmissão
Função-objetivo
Capítulo 7
Caso LCL Telefonia Celular S.A.
10)()(
10)()(
10)()(
23
23
22
22
21
21
YyXx
YyXx
YyXx
Restrições de Distância
Capítulo 7
Caso LCL Telefonia Celular S.A. Modelo no Excel
=SOMA(D2:D4)
Capítulo 7
Caso LCL Telefonia Celular S.A.Parametrização
Capítulo 7
Caso LCL Telefonia Celular S.A. Solução
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